Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
I. VÉC TƠ – TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1. Cho các điểm A(2; 3); B(−1; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm D để
a) ABCD là hình bình hành.
b) ACDB là hình bình hành.
Bài 2. Cho các điểm A(−1; 1); B(1; 3), C(−2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
Bài 3. Cho các điểm A(4; 6); B(1; 4),
3
7; , ( 2;2)
2
C D
 
−
 
 
.
Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng; ba điểm A, B, D thẳng hàng.
Bài 4. Cho các điểm A(1; 3); B(3; −2), C(2; 2). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(2; 1).
Bài 5. Cho các điểm A(0; 5); B(−2; −1), C(2; 1). Tìm tọa độ G; H; I của tam giác ABC.
Đ/s: I(−1; 2).
Bài 6. Cho các điểm A(2; −3); B(3; 4), C(0; 2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn
3 2 0.
MA MB
− =

2;5 , 1;1 , 3;3 .
A B C
a)
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m D sao cho
3 2 .
AD AB AC
= −
  

b)
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm to
ạ

độ

1;1 , 5; 3 ,
A B
− −

đỉ
nh C thu
ộ
c Oy và tr
ọ
ng tâm G thu
ộ
c Ox. Tìm to
ạ

độ

đỉ
nh C.
Đ
/s:
( )
4
;0 , 0;2 .
3
G C
 
 
 

Bài 13.

; 1;1 .
H C I≡
Bài 14.
Cho
( )
(
)
0;2 , 3; 1 .
A B
− −
Tìm to
ạ

độ
tr
ự
c tâm và tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác OAB.
01. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
(
)

/s:
1 1
;1 ; ;1 .
2 4
H O
   
−
   
   

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Phương trình có các yếu tố vuông góc, song song
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua C(−2; 5) và song song với đường thẳng d’: 4x − 5y +10 = 0.
b) d đi qua điểm D(−5; 3) và vuông góc với đường thẳng
1 2
':
4 9
x t
d
y t
= −


= +

.
c) d đi qua điểm M(2; 5) và song song với đường thẳng
1 3
':


Lập phương trình đường thẳng có yếu tố tạo góc:
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua A(2; −3) và tạo với ∆: x − 2y + 3 = 0 góc φ với
1
cos
φ .
10
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua A(1; −3) và tạo với ∆: x + 3y + 2 = 0 góc 45
0

Đ/s: d: 2x + y +1 = 0
c) d đi qua M(−3; −1) và tạo với trục Ox góc 45
0

Đ/s: d: x + y +4 = 0
Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d biết d đi qua A(−1; −1) và tạo với ∆: 2x − 3y + 1 = 0 góc φ với
1
cos
φ .
26
=
Đ/s: d: x + y +2 = 0
Bài 3.
Lập phương trình đường thẳng
d

− 3 = 0 góc φ với
4
cos
φ .
5
=

Đ/s: d: x + 2y +1 = 0
c) d đi qua A(2; 0) và tạo với Ox góc φ với
3
cos
φ .
10
=
Đ/s: d: x + 3y – 2 = 0

Lập phương trình đường thẳng có yếu tố khoảng cách:
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua M(2; −3) và khoảng cách từ A(1; 1) đến d bằng
3
.
2

Đ/s: d: x + y +1 = 0
b) d đi qua M(4; 2) và khoảng cách từ A(1; 0) đến d bằng
3
.
10

Đ/s: d: x – 3y +2 = 0

ế
t
a)
d
đ
i qua O(0; 0) và cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(2; 2), B(4; 0)
Đ/s: x + y = 0 và x – 3y = 0
b)
d
đ
i qua OM(4; 2) và cách
đề
u hai
đ
i
ể
m A(3; 0), B(–5; 4)
Đ/s: x + 2y – 14 = 0 và y – 2 = 0
Bài 3.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình

ng 4.
Đ/s: y + 1 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0
3) Phương trình có dạng đoạn chắn
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 2) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a) OA = 2OB.
b)
2 2
1 4
1.
OA OB
+ =

c)
9
.
2
OAB
S
=

Đ/s: b) a = b = 1 c) a = b = 3
Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; −3) và cắt Ox, Oy tại A, B sao cho
a)
2
.
3
OA OB
=


Bài 3.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
d
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng ∆: 2
x
–
y
+ 1 = 0 và c
ắ
t
Ox, Oy
t
ạ
i
A, B
sao cho
a)

+ =

c)
( )
6
; .
17
d O d =
Đ/s: b) a = 4; b = 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
1) Bài toán tìm điểm thuộcđường thẳng
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: 2x + y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho
a)
2 5
MA = v
ớ
i A(3;
−
1)
b)

2
19
MA
MB

)
; 3 2
d M ∆ = v
ớ
i ∆: x + y + 3 = 0.
b)

(
)
(
)
1 2
; ;d M d M
∆ = ∆
, v
ớ
i ∆
1
: x + 2y – 1 = 0; ∆
1
: 2x + y + 4 = 0;
Đ/s: a)
M(2; 1) và M(–7; –2)
b)
M(–1; 0) và M(–7; –2)
Ví dụ 3.
Cho 2
đ
i
ể

. Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho tam giác AMN
vuông tại A.
Ví dụ 5. Cho đường thẳng
1 2
:
1 3
x t
d
y t
= −


= − +

, B(3; –1), C(–1; –3). Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ 6. Cho đường thẳng
2 2
:
1 2
x t
y t
= − −

∆

= +

và điểm M(3; 1). Tìm điểm B trên ∆ sao cho MB ngắn nhất.
Đ/s:
1 3

−
 
 

2) Một số bài toán về góc; khoảng cách và diện tích
Ví dụ 1. (Khối B - 2003). Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1; −1) là trung điểm cạnh
BC và
2
;0
3
G
 
 
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Đ/s: B(4; 0); C(−2 ; −2)
Ví dụ 2. (Khối B - 2007). Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 2) và các đường thẳng
1
2
: 2 0
: 8 0
d x y
d x y
+ − =


+ − =

. Tìm
đ

3; 1 , 5;3
B C
B C

−

−



Ví dụ 3.
Cho hình bình hành
ABCD
tâm
I
có di
ệ
n tích
S
= 2. Bi
ế
t
A
(1; 0),
B
(2 ; 0), tâm
I
thu
ộ
c phân giác

ệ
t
ọ
a
độ

Oxy
có
A
(2; –1),
B
(1; –2), tr
ọ
ng tâm
G
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
d
:
x
+
y
– 2 = 0.
Tìm t
ọ

ằ
m
trên
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y – 2 = 0. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh C bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác ABC b
ằ
ng
27
.
2

Ví dụ 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ


đỉ
nh C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.
Cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng
2 2
: ; ':
3 4 5
x t x u
d d
y t y u
= + = +
 
 
= + = +
 
, A(2; 0), B(1; –4). Tìm trên d điểm G, trên d’ điểm C sao cho
G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d
1
: 2x – 3y + 1 = 0, d
2
: 4x + y – 5 = 0. A là giao điểm của d
1
và d

m M trên d sao cho tam giác ABM
cân t
ạ
i M.
Bài 4.
Cho hai
đ
i
ể
m A(2; 1), B( –1; –3) và hai
đườ
ng th
ẳ
ng d
1
: x + y + 3 = 0; d
2
: x – 5y – 16 = 0.
Tìm t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m C, D l
ầ
n l
ượ

i
ể
m A(1; 1), B(
−
3; 4). Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng AB b
ằ

độ
Oxy cho tam giác ABC, v
ớ
i
(1;1) , ( 2;5)
A B
−
,
đỉ
nh C n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng x = 4, và
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a tam giác n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng 2x – 3y + 6 = 0. Tính di
ệ
n tích tam giác ABC.
Bài 8.

G
 
 
 
. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; –1) và đường thẳng d: x – 2y –1 = 0. Tìm tọa độ
điểm C thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; –5 ) và đường thẳng
:3 4 4 0
d x y
− + =
. Tìm trên d hai
điểm A và B đối xứng nhau qua
5
2;
2
I
 
 
 
sao cho diện tích tam giác ABC bằng15.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
I. XỬ LÍ ĐƯỜNG CAO, TRUNG TRỰC TRONG TAM GIÁC
Bài 1. Tam giác ABC có B(2; 5), các đường cao d
1

Bài 5. Tam giác ABC, B(3; 5), đường cao AH: 2x – 5y + 3 = 0, đường trung tuyến CM: x + y – 5 = 0. Viết
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 6. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh có phương trình là d
1
: 5x + 4y – 1 = 0, d
2
: 8x + y – 7 = 0.
Bài 7. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường cao và đường trung tuyến kẻ
từ một đỉnh có phương trình là d
1
: 5x + 4y – 1 = 0, d
2
: 8x + y – 7 = 0.
Bài 8. Tam giác ABC, A(4; 6), phương trình đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình: 2x –
y + 13 = 0, 6x – 13y + 29 = 0. Tìm tọa độ của B, C.

03. BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
III. XỬ LÍ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân
giác trong BD. Biết
H M
17
( 4;1), ;12

HH H
' '(4;9)
⇒
.
Phương trình AB:
x y
5 29 0
+ − =
. B = AB
∩
BD ⇒
B
(6; 1)
−
⇒
A
4
;25
5
 
 
 

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường
phân giác trong (AD):
x y
2 5 0
+ − =
, đường trung tuyến (AM):
x y

x y
7 25 0
+ − =

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là
M
( 1;2)
−
, tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác là
I
(2; 1)
−
. Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình
x y
2 1 0
+ + =
.
Tìm toạ độ đỉnh C.
Lời giải :
PT đường thẳng AB qua M và nhận
MI
(3; 3)
= −

làm VTPT:
AB x y
( ): 3 0
− + =
.

 
 
.
Đường thẳng BC qua B và nhận
n
(2;1)
=

làm VTCP nên có PT:
x t
y t
2
2
3
7
3

= − +



= +


Giả sử
C t t BC
2 7
2 ; ( )
3 3
 

14 47
;
15 15
 
 
 
.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
∆
ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d
1
:
x y
3 –4 27 0
+ =
, phân giác trong góc C có phương trình d
2
:
x y
2 –5 0
+ =
. Tìm toạ độ điểm A.
Lời giải :
03. BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Phương trình BC:
x y
2 1

2 5 0 1
 
− − = =
⇔ ⇒
 
+ − = =
 

+) Vì I là trung điểm BB’ nên:
B I B
B I B
x x x
B
y y y
'
'
2 4
(4;3)
2 3

= − =
′
⇒

= − =


+) Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.
+) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
y x

+ − =
,
x y
2 5 0
− + =
. Điểm
M
(3;0)
thuộc đoạn AC thoả mãn
AB AM
2
=
.
Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Lời giải :
Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD
⇒

E
(2; 1)
−
.
Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH
⇒

AB x y
( ): 2 3 0
+ − =
.
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:

−
.
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 3 0
2 5 0

+ − =

− + =


⇒

C
( 1;2)
−

Vậy:
A
(1;1)
,
B
(3; 3)
−
,
C
( 1;2)
−

 
−
 
 
⇒
AI BI CI
72
5
= = =
Ta có:
A B d
AI BI
,
72
5

∈


= =


⇔
x y
x y
2 2
3 2 0
3 1 72
5 5 5


   
− −
   
   
.
Ví dụ 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
ABC
∆
, với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân giác
trong BD:
x y
2 0
+ − =
và phương trình đường trung tuyến CE:
x y
8 7 0
+ − =
. Tìm toạ độ các đỉnh B, C.
Lời giải :
Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử
B b b BD
( ;2 )
− ∈
b b
E CE
1 1
;
2 2
 
+ +

: (7;0)
2 7 0

+ − =
= ∩ ⇒

+ − =

.
Ví dụ 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao
CH x y
: 1 0
− + =
, phân giác trong
BN x y
: 2 5 0
+ + =
. Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác
ABC.
Lời giải :
Do
AB CH
⊥
nên phương trình AB:
x y
1 0
+ + =
.
+) B =
AB BN

+) Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì
A BC
'
∈
.
Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d):
x y
2 5 0
− − =
.
Gọi
I d BN
( )
= ∩
. Giải hệ:
x y
x y
2 5 0
2 5 0

+ + =

− − =

. Suy ra: I(–1; 3)
A
'( 3; 4)
⇒
− −


   
= − + + + =
   
   
,
d A BC
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
+ − +
= =
+
.
Suy ra:
ABC
S d A BC BC
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
= = =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao CH: 2x + y + 3 = 0, cạnh AC qua
M(0; –1),
AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ B và phân giác góc A là x – 2y – 2 = 0 , x – y – 1 = 0, điểm
M(0; 2) thu
ộc AB và AB = 2AC. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác
Đ/s: B(0; 1), C(3; 1)

ủ
a tam giác ABC.
Bài 5:
Xác
đị
nh to
ạ

độ

đỉ
nh B c
ủ
a tam giác ABC bi
ế
t C(4; 3) và
đườ
ng phân giác trong, trung tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
A
l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ

nh c
ủ
a tam giác ABC.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD có A(-2; 0) và tâm I(0; 0). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
Đ/s: B(0; 2), C(–1; 0), D(0; –2;)
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có A thuộc d
1
: x + y + 2 = 0, các đỉnh C, D thuộc đường d
2
: x – y – 2 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết diện tích hình vuông bằng 8.
Đ/s: A(–2; 0), B(0; 2), C(2; 0), D(0; –2;)
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
: x − 3y = 0, C thuộc d
2
: 2x + y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh
hình vuông ABCD biết rằng B, D thuộc đường thẳng d
3
: x – y = 0.
Đ/s: A(3; 1), B(3; 3), C(1; 3), D(1; 1) hoặc A(3; 1), B(1; 1), C(1; 3), D(3; 3)
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x + 2y – 3 = 0 và d

,
(
)
2; 10
C − −
:2 16 0
AD x y
+ − =
;
:2 14 0
BC x y
+ + =
;
: 2 18 0
CD x y
− − =

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông có đỉnh (−4; 8) và một đường chéo có phương trình 7x – y +
8 = 0. Viết phương trình các cạnh hình vuông.
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông có tâm I(1; 1) và phương trình một cạnh là x – y + 2 = 0.
Viết phương trình các cạnh của hình vuông đã cho hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
(
)
(
)

Đ/s:
B(3; 5), C(1; 7), D(–1; 5)
Ví dụ 10. (Trích đề ĐH khối A năm 2012)
Cho hình vuông ABCD có
11 1
;
2 2
 
 
 
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, N là
đ
i
ể
m trên CD sao cho CN = 2DN. Bi
ế
t
ph
ươ
ng trình c
ạ
nh AN là 2x – y – 3 = 0. Tìm t
ọ

I J K
Tìm tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD.
Đ/s:
(
)
(
)
(
)
(
)
1;5 , 3;1 , 5;1 , 1; 3
− −
A B C D
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh
(
)
3;5
−A
, tâm I thuộc đường
thẳng
: 5
= − +
d y x
và diện tích bằng 25. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng tâm I có
hoành độ dương.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD có tâm I, biết A(–2; 2) trọng tâm các tam giác ABC và IBC lần lượt là
4 7 5
;2 , ' ; .

a
độ
các
đỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
A(–1;5), B(–3;–1); D(5; 3)
Bài 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho các
đ
i
ể
m
(
)
(
)
(
)
0;2 , 5; 3 , 2; 2 , (2; 4)
− − − −
M N P Q

độ
Oxy cho hình vuông ABCD bi
ế
t M(2; 1), N(4;
−
2); P(2; 0), Q(1; 2)
l
ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c các c
ạ
nh AB, BC, CD, AD. Hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình các c
ạ
nh c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
: 1 0, : 2 0, : 2 0, : 3 0.
− + + = − − + = − + + = − − + =
AB x y BC x y CD x y AD x y

Bài 7.
Cho hình vuông ABCD có A(1; 1),

Cho hình vuông ABCD có A(1; 2),
đ
i
ể
m M (–2; 3) là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh CD. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh còn
l
ạ
i c
ủ
a hình vuông.
Đ/s:
B(3; 4), C(–1; 4); D(–3; 2)
Bài 9.
Cho hình vuông ABCD có
3 1
;
2 2
 

a hình vuông.
Đ/s:
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0 , 1;1 , 2;0 , 1; 1
−
A B C D

Bài 10.
Cho hình vuông ABCD có
5 5
;
2 2
 
 
 
I
là tâm, các
đỉ
nh A, B l
ầ
n l
ượ
t thu

ặ
p n
ữ
a nhé!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(2; 2) là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD. Điểm M(– 3; 1) thuộc đường thẳng AB và trung điểm N của cạnh CD thuộc đường
thẳng d: x + 2y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Đ/s: (AB): x − y + 4 = 0; 3x − 5y + 14 = 0.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
3 5
;
2 2
 
 
 
I
là tâm c
ủ
a hình
ch
ữ
nh
ậ
t, AB = 2AD và AD có ph
ươ

nh
ậ
t ABCD có AB = 2AD. Các
đ
i
ể
m M, N P, Q
l
ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c các c
ạ
nh AB, BC, CD, DA v
ớ
i
( ) ( )
4 1
;1 , 0;3 , 4; , 6;2 .
3 3
   
− −
   
   
M N P Q
Vi
ế
t ph

đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t bi
ế
t E(0; –3) thu
ộ
c BD.
Đ
/s: A(0; 1), B(2; 3), C(3; 2), D(1; 0)
Ví dụ 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có AB = 2AD.
Đ
i

/s: A(–1; 1), B(1; 3), C(2; 2), D(0; 0)
Ví dụ 6.
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng chéo là
1
;0 ,
2
 
 
 
I
c
ạ
nh AB có ph
ươ
ng trình
là
2 2 0, 2 .
− + = =

AC x y và đường thẳng BD đi qua điểm
(
)
6; 12
− −E

Đ/s:
3 3
; .
2 2
 
−
 
 
I

Bài 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có

1;
−
2)
Bài 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
Oxy, cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
(AB): x – y + 1 = 0 và ph

t ABCD có tâm I(1; –1) ph
ươ
ng trình AD: x + y + 2 = 0; AD = 2AB. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh bi
ế
t
đỉ
nh A có hoành
độ
âm.
Đ
/s: A(–2; 0), B(0; 2), C(4; –2)
Bài 8.
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD có D(–1; 3),
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a phân giác trong góc A là
6 0.

; 2
3
 
− −
 
 
G
là tr
ọ
ng tâm tam giác ABC. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thang.
Đ
/s: A(–1; –1), B(0; –2), C(–1; –3) và m
ộ
t c
ặ
p n
ữ
a nhé!
Ví dụ 2.
Cho hình thang vuông ABCD t
ạ
i A, B v

/s: A(1; 1), B(0; 2), C(1; 3), D(3; 3)
Ví dụ 3.
Cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB và di
ệ
n tích hình thang b
ằ
ng 9. Bi
ế
t ph
ươ
ng trình các
đườ
ng chéo AC và BD l
ầ
n l
ượ
t là x – y + 1 = 0, x + y – 3 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình thang.
Đ
/s: A(2; 3), B(2; 1), C(–1; 0), D(–1; 4)
Ví dụ 4.
Cho hình thang vuông ABCD t
ạ

độ

đ
i
ể
m A bi
ế
t
.
5
= =
BC
AB AD
Đ
/s: A(-1; 0), B(0; 1), C(1; 4), D(-2; 1)
Ví dụ 5.
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD và AB < CD, A(0; 2), D(-2; -2). Giao
đ
i
ể
m I c
ủ
a hai
đườ
ng
chéo n
ằ
m trên
đườ
ng th

B C
t t
B C

Ví dụ 6. Cho hình thang ABCD (với AB // CD) có AD = AB, DC = 2AB và

0
90
=BAD . Biết M(1; −1) là
trung điểm của BD và trọng tâm tam giác ABD là
2
;0
3
 
 
 
G
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang.
Đ/s: B(4; 0), D(–2; –2); C(6; –6) hoặc B(–2; –2), D(4; 0), C(0; –8)
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD,
đường thẳng AD có phương trình 3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x – 2y = 0, góc tạo bởi hai
đường thẳng BC và AB bằng 45
0
. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và
điểm B có hoành độ dương.
Ví dụ 8. Cho 3 điểm A(–2; 0), B(0; 4), C(4; 0). Tìm D sao cho ABCD là hình thang cân có một đáy là AB
tính diện tích hình thang đó.
06. KĨ THUẬT XỬ LÍ HÌNH THANG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

A B C D

Ví dụ 3.
Cho hình thoi ABCD có A(1; 0), BD: x – y + 1= 0. Tìm các
đỉ
nh còn l
ạ
i bi
ế
t
4 2.
=BD

Đ/s:
(2;3), ( 1; 2), ( 2; 1)
− − − −
B C D

Ví dụ 4.
Cho hình thoi ABCD có A(0; –1), C(2; 1), tâm I thu
ộ
c d: x + y – 1 = 0. Tìm các
đỉ
nh C, D.

Đ/s:
(0;2), ( 2;1); (4; 1), (2; 3)
− − −
C D C D


ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2; 1) và AC = 2BD.
Đ
i
ể
m
1
0;
3
 
 
 
M
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB,
đ
i
ể
m N(0; 7) thu
ộ
c

ọ
a
độ

Oxy
cho hình thoi ABCD có c
ạ
nh AB, CD l
ầ
n l
ượ
t n
ằ
m trên 2
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
: 2 5 0; : 2 1 0.
d x y d x y
− + = − + =
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ

AC BD
=
.
Đ
i
ể
m
4
2;
3
 
 
 
M
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB,
đ
i
ể
m
13
3;
3
 
 

 
− − =
 
 
B BD x y

Ví dụ 9.
Cho hình bình hành ABCD có A(–3; –1); B(2; 2) giao
đ
i
ể
m 2
đườ
ng chéo thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng x – 6y
– 3 = 0, di
ệ
n tích hình bình hành b
ằ
ng 26. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ

− −
   
   
C D

Ví dụ 12.
Cho hình bình hành ABCD có B(1; 5),
đườ
ng cao AH: x + 2y – 2 = 0, phân giác trong góc ACB là
x – y – 1 = 0. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình bình hành.
Đ/s:
Th
ầ
y ch
ư
a gi
ả
i! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!

( 1) 5
− + =
x y
b)
2 2
( 2) 10
+ + =
x y
c)
2 2
( 5) ( 4) 25
− + + =
x y

Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tâm I thuộc d: 2x + y + 4 = 0 và đi qua A(0; 0), B(2; –1)
b) Tâm I thuộc d: x + y +1 = 0 và đi qua A(1; 5), B(2; –2)
Đ/s: a)
( 1; 2), 5
I R− − =
b)
( 2;1), 5
I R
− =

Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
a) A(1; 6), B(4; 0), C(3; 0).
b) A(0; 0), B(2; 6), C(4; 2).
Đ/s: a)
2

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
2 2
( ):( 1) ( 3) 4
− + + =
m
C x y
và đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d.
Bài 2. Cho đường cong
2 2
( ): 4( 1) 2 3 1 0
+ + − + − + =
m
C x y m x my m

Tìm m để
a) (C
m
) là phương trình đường tròn?
b) (C
m
) là đường tròn có bán kính
13.
=R
Đ/s: b) m = 2
Bài 3. Cho đường cong
2 2
( ): 2( 1) 1 3 0
+ + + − + − =
m

p ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn (C')
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đườ
ng
tròn (C) qua
đườ
ng th
ẳ
ng (d): x + 2 = 0.
Bài 5.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác ABC bi

 
 
A B C

Đ/s:
2 2
1 1 1
2 2 4
   
− + − =
   
   
x y

Bài 8. Cho các đường thẳng
1 2
: 4 3 12 0; : 4 3 12 0.
− − = + − =
d x y d x y Tìm tâm và bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác có 3 cạnh là d
1
; d
2
và trục Oy.
Đ/s:
4 4
;0 ,
3 3
 
=

 
− − =
 
 
b)
7 3 1
; ,
2 2
2
I R
 
=
 
 

Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tiếp xúc với Ox tại A(2; 0) và đi qua B(1; 1).
b) Tiếp xúc với Ox tại A(−1; 0) và đi qua B(1; 2).
Đ/s: a)
(2;1), 1
I R
=
b)
( 1;2), 2
I R
− =

Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn biết
a) Tiếp xúc với Ox tại A(3; 0) và tiếp xúc với d: x + 2 = 0.
b) Tiếp xúc với Ox đồng thời đi qua A(0; 8), B(−1; 1).

:7 5 0; : 13 0
− − = + + =
d x y d x y và m
ộ
t ti
ế
p
đ
i
ể
m là M(1; 2).
b)
Ti
ế
p xúc v
ớ
i ba
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2 3
:3 4 35 0; :3 4 35 0; : 1 0
+ − = − − = − =
d x y d x y d x .
Đ
/s: a)
(29; 2), 20 2
( 6;3), 5 2


Bài 2. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB biết
a) A(8; 0); B(0; 6)
b) A(3; 0); B(0; −4)
Đ/s: a)
(2;2), 2
=
I R
Bài 3. Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh là
4 3 65 0;7 24 55 0;3 4 5 0
− − = − + = + − =
x y x y x y
Lập phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác
Đ/s: Tam giác ABC vuông ở A; S = 100; p = 30 ⇒ r = 5.
Bài 4. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có phương trình ba cạnh là
a)
15 8 65 0;3 4 10 0;5 12 30 0
− − = − − = + − =
x y x y x y
b)
3 4 6 0;4 3 1 0; 0
+ − = + − = =
x y x y y
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
4
( ):( 2)
5
− + =
C x y và hai
đườ

đườ
ng th
ẳ
ng ∆
1
, ∆
2
và tâm K ∈ (C).
Bài 6.
Hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn (C) bi
ế
t r
ằ
ng
a)

đườ
ng kính AB v
ớ
i A(–1; 1), B(5;3)
b)
qua 3
đ
i

ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy cho hai
đ
i
ể
m A(2; 0) và B(6; 4). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn (C) ti
ế
p
xúc v
ớ
i tr
ụ
c hoành t
ạ
i
đ
i
ể

3
M
 
 
 
và cắt
(C) tại hai điểm A, B sao cho
10.
=AB
Đ/s: x – 3y – 2 = 0
Ví dụ 2. Cho đường tròn
2 2
( ):( 4) ( 3) 25
+ + − =
C x y và ∆: 3x – 4y + 10 = 0. Lập pt đường thẳng d vuông
góc với ∆ và cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6.
Đ/s: c = 27; c = -13.
Ví dụ 3. Cho đường tròn
2 2
( ) :( 1) 10
+ + =
C x y
. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(3; 3) và cắt (C) tại
hai điểm A, B sao cho
3 .
=
MB MA

Đ
/s: 2x – y – 3 = 0

i
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x + y – 2 = 0 và c
ắ
t
đườ
ng tròn theo m
ộ
t dây cung có
độ
dài
b
ằ
ng 6.
Ví dụ 5.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, vi
ế
t ph
ươ
ng trình

ng d qua
đ
i
ể
m K
sao cho d c
ắ
t (C) theo dây cung AB nh
ậ
n K làm trung
đ
i
ể
m.
Ví dụ 6.
Cho
đườ
ng tròn
( )
2
2
( ):( 1) 2 9
C x y
− + − =
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ

2 2
( ): 2 6 6 0
+ − − + =
C x y x y
và
đ
i
ể
m M(2; 4).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đ
i
ể
m M n
ằ
m trong
đườ
ng tròn.
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ

ng trình
đườ
ng tròn
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đườ
ng tròn
đ
ã cho qua
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
Đ
/s: b) x – y + 2 = 0
Ví dụ 8.
Cho
đườ
ng tròn
2 2
( ) : ( 1) 9
C x y
+ + =
. Vi
ế
t ph

( ):( 1) ( 2) 40
− + + =
C x y
có tâm I và
đườ
ng th
ẳ
ng
: ( 1) 2 3 0.
∆ + − + + =
x m y m
Tìm m
để ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng
6 11.

Đ/s:
77
0; 2; 1 .
11
= = = ±m m m

06. ĐƯỜNG TRÒN – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 10. (Khối A – 2009)
Cho đường tròn
2 2
( ) : 4 4 6 0
+ + + + =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Cho đường tròn và đường thẳng
2 2
( ) :( 1) ( 1) 9
:( 1) 1 0

− + − =


∆ + + − =


C x y
m x my

a) Chứng minh rằng ∆ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm m để độ dài đoạn AB luôn đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất?
Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(6; 2) và đường tròn
2 2
( ) :( 1) ( 2) 5
− + − =
C x y

Lập phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại 2 điểm A; B sao cho
2 2
50.
+ =MA MB

Hướng dẫn: Dễ thấy M nằm ngoài đường tròn, đặt AH = x, với H là trung điểm của AB.
Tính toán một hồi với Pitago suy ra

C x y x my m
+ − − + − =
có tâm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0. Tìm m
biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
Đ/s:
16
3; .
3
= ± = ±m m

Bài 6. Cho đường tròn
2 2
( ): ( 3) 9
C x y
+ − =
và đường thẳng ∆: x + (m –1)y + 2 – m = 0.
Tìm m để đường ∆ cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.
Đ/s: m = 2.
Bài 7. Cho đường tròn
2 2
( ) : ( 2) 25
C x y
+ + =
và đường thẳng d: x + 5y – 7 = 0.
Gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng và đường tròn, tính diện tích tam giác IAB.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Đ/s:
17
( 3;2), (2;1); .

+ + =
và điểm A(1; −2). Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại
hai điểm M, N sao cho tam giác AMN có trọng tâm là I, với I là tâm của đường tròn.
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1 2
: 3 0; : 3 0
+ = − =
d x y d x y . G
ọ
i (T) là
đườ
ng tròn ti
ế
p xúc v
ớ
i d
1
t
ạ
i A, c
ắ
t d
2
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m B, C sao cho tam giác ABC vuông t

ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, cho tam giác ABC có
đỉ
nh
1
;1 .
2
 
 
 
B

Đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác
ABC ti
ế
p xúc v
ớ
i các c
ạ
nh BC, CA, AB l
ầ