LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
I. XỬ LÍ ĐƯỜNG CAO, TRUNG TRỰC TRONG TAM GIÁC
Bài 1. Tam giác ABC có B(2; 5), các đường cao d
1
: 2x + 3y + 7 = 0; d
2
: x – 11y + 3 = 0. Viết phương trình
các cạnh của tam giác.
Bài 2. Tam giác ABC có C(–4; –5), các đường cao d
1
: 5x + 3y – 4 = 0; d
2
: 3x + 8y + 13 = 0. Viết phương
trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 3. (Trich tạp chí toán học và tuổi trẻ, tháng 10/2007)
Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2).
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có phương trình:
9x –3y – 4 = 0 và x + y –2 = 0.
b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC.
Bài 4. (Trich tạp chí toán học và tuổi trẻ, tháng 10/2007)
Cho tam giác ABC có A(–2; 1) và các đường cao có phương trình 2x – y + 1 = 0; 3x + y + 2= 0. Viết phương
trình đường trung tuyến qua đỉnh A của tam giác.
Bài 5. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 =
0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ.
II. XỬ LÍ TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
Bài 1. Cho tam giác ABC có B(2; –7), phương trình đường cao qua A là 3x + y + 11 = 0, phương trình trung
tuyến vẽ từ C là x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
III. XỬ LÍ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân
giác trong BD. Biết
H M
17
( 4;1), ;12
5
 
−
 
 
và BD có phương trình
x y
5 0
+ − =
. Tìm tọa độ đỉnh A của tam
giác ABC.
Lời giải :
Đường thẳng ∆ qua H và vuông góc với BD có PT:
x y
5 0
− + =
.
BD I I
(0;5)
∆ ∩ = ⇒

Giả sử


Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường
phân giác trong (AD):
x y
2 5 0
+ − =
, đường trung tuyến (AM):
x y
4 13 10 0
+ − =
. Tìm toạ độ đỉnh B.
Lời giải :
Ta có A = AD
∩
AM ⇒ A(9; –2). Gọi C
′
là điểm đối xứng của C qua AD ⇒ C
′

∈
AB.
Ta tìm được: C
′
(2; –1). Suy ra phương trình (AB):
x y
9 2
2 9 1 2
− +
=
− − +

(3; 3)
= −

làm VTPT:
AB x y
( ): 3 0
− + =
.
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
3 0
2 1 0

− + =

+ + =

⇒
A
4 5
;
3 3
 
−
 
 
.
M
( 1;2)



Giả sử
C t t BC
2 7
2 ; ( )
3 3
 
− + + ∈
 
 
.
Ta có:
IB IC t t
2 2 2 2
8 10 8 10
2
3 3 3 3
       
= ⇔ − + + = +
       
       
⇔

t loaïi vì C B
t
0 ( )
4
5


Lời giải :
03. BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Phương trình BC:
x y
2 1
3 4
− +
=
−
⇒ Toạ độ điểm
C
( 1;3)
−

+) Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d
2
, I là giao điểm của BB’ và d
2
.
⇒ phương trình BB’:
x y
2 1
1 2
− +
=
x y

′
⇒

= − =


+) Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.
+) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
y x
A
x y y
3 0 5
( 5;3)
3 4 27 0 3
 
− = = −
⇔ ⇒ −
 
− + = =
 

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(2; –1) và các đường phân giác trong góc B và C lần lượt có phương trình x
– 2y + 1= 0 ; x + y + 3 = 0.
Lập phương trình đường thẳng BC.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(–1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân giác trong góc C
nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Ví dụ 7. (Trích đề thi ĐH khối D - 2011)
Cho tam giác ABC có B(–4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường phân giác trong góc A là x – y – 1 = 0. Tìm tọa
độ các đỉnh A và C.
Ví dụ 8. (Trích đề thi ĐH khối B - 2010)

.
Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH
⇒

AB x y
( ) : 2 3 0
+ − =
.
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 3 0
2 0

+ − =

+ − =


⇒

A
(1;1)

⇒
PT
AM x y
( ): 2 3 0
+ − =


(1;1)
,
B
(3; 3)
−
,
C
( 1;2)
−
.
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh
C
(3; 1)
−
và phương trình của cạnh huyền là
d x y
:3 2 0
− + =
.
Lời giải :
Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên ∆ABC vuông cân tại C. Gọi I là trung điểm
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
của
AB
. Phương trình đường thẳng CI:
x y



⇔
x y
x y
2 2
3 2 0
3 1 72
5 5 5

− + =

   

+ + − =
   

   

⇔
x y
x y
3 19
;
5 5
9 17
;
5 5

= =

B b b BD
( ;2 )
− ∈
b b
E CE
1 1
;
2 2
 
+ +
⇒ − ∈
 
 
⇒
b
3
= −

⇒
B
( 3;5)
−
. Gọi A
′
là điểm đối xứng của A qua BD ⇒ A
′

∈
BC. Tìm được A
′

Do
AB CH
⊥
nên phương trình AB:
x y
1 0
+ + =
.
+) B =
AB BN
∩

⇒
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
x y
x y
2 5 0
1 0

+ + =

+ + =


⇔

x
y
4
3

+ + =

− − =

. Suy ra: I(–1; 3)
A
'( 3; 4)
⇒
− −

+) Phương trình BC:
x y
7 25 0
+ + =
. Giải hệ:
BC x y
CH x y
: 7 25 0
: 1 0

+ + =

− + =

⇒
C
13 9
;
4 4
 

= = =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao CH: 2x + y + 3 = 0, cạnh AC qua
M(0; –1),
AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ B và phân giác góc A là x – 2y – 2 = 0 , x – y – 1 = 0, điểm
M(0; 2) thu
ộc AB và AB = 2AC. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác
Đ/s: B(0; 1), C(3; 1)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác từ A, trung tuyến từ B, đường cao từ C
có phương trình lần lượt là
3 0; 1 0; 2 1 0.
+ − = − + = + + =
x y x y x y Tìm toạ độ các đỉnh tam giác
Đ/s:
12 39 32 49 8 16
; , ; , ; .
17 17 17 17 17 17
     
−
     
     
A B C

Bài 4:
Tam giác ABC có A(7; 9), trung tuy

n k
ẻ
t
ừ
A
l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.
Bài 6:
Tam giác ABC có B(–4; 3),
đườ
ng cao k
ẻ
t
ừ
A và phân giác trong qua C có ph
ươ
ng trình,
: 3 15 0
.
: 3 0
+ − =


− + =


0;
> >
a b và
2 2 2
= +
a b c
.
Với elip chính tắc thì các tiêu điểm thuộc trục lớn, trục lớn nằm trên Ox.
+ Một điểm M thuộc elip thì
1 2
2
+ =
MF MF a

+ Độ dài trục lớn bằng 2a, trục nhỏ bằng 2b, tiêu cự bằng 2c.
+ Các đỉnh của elip có tọa độ :
( ;0),( ;0),(0; ),(0; )
− −
a a b b
và hai tiêu điểm
1 2
( ;0), ( ;0)
−
F c F c

+ Tâm sai của elip:
( )
; 1
= <
c

4 ; 4
= + =
C a b S ab

+ Ph
ươ
ng trình các
đườ
ng chu
ẩ
n
2
= ± = ± →
a a
x
e c
kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng chu
ẩ
n
2
2 2
= =
a a
d

0;
> >
a b và
2 2 2
= +
a b c
.
V
ớ
i elip liên h
ợ
p thì tr
ụ
c l
ớ
n thu
ộ
c Oy.
Ví dụ 1.
Xác
đị
nh các y
ế
u t
ố
c
ủ
a các elip sau

a)

p sau:
a)

Độ
dài tr
ụ
c l
ớ
n b
ằ
ng 10, tiêu c
ự
b
ằ
ng 8.
b)
Tiêu c
ự
b
ằ
ng 8 và tâm sai b
ằ
ng
3
.
5

c)

Độ

ụ
c l
ớ
n b
ằ
ng 6; tiêu c
ự
b
ằ
ng 4.
b)
M
ộ
t tiêu
đ
i
ể
m là F
1
(–2; 0) và
độ
dài tr
ụ
c l
ớ
n b
ằ
ng 10.
c)
Tr

c) tâm sai bằng
5
3
và chu vi hinh chữ
nh
ậ
t c
ơ
s
ở
b
ằ
ng 20.
Ví dụ 5.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c c
ủ
a elip trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a)
M
ộ

i
ể
m A(2; 1) và
1
B 5;
2
 
 
 

c)
Tiêu c
ự
b
ằ
ng 8, (E) qua
(
)
M 15; 1
−

d)
Tr
ụ
c l
ớ
n b
ằ
ng 12; qua
đ

M
(4; 0) và
N
(0; 3).
b)
(
E
)
đ
i qua các
đ
i
ể
m
(
)
(
)
M 3 3;2 , N 3;2 3
.
c)*
Hai tiêu
đ
i
ể
m
F
1
(–2; 0),
F

F
1
(–6; 0) và
F
2
(6; 0) tâm sai
2
e
3
=

b)
Tr
ụ
c l
ớ
n thu
ộ
c
Ox
,
độ
dài tr
ụ
c l
ớ
n b
ằ
ng 8; tr
ụ

Hai tiêu
đ
i
ể
m thu
ộ
c
Ox
; tr
ụ
c l
ớ
n có
độ
dài b
ằ
ng 26, tâm sai
12
e
13
= .
Ví dụ 8.
Cho elip có hai tiêu
đ
i
ể
m
1 2
( 3;0), ( 3;0)
−F F

i
đ
i
ể
m M thu
ộ
c elip, tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2
1 2 1 2
3 .= + − −
P MF MF OM MF MF

Ví dụ 9. Cho elip
2 2
4 9 36, (1;1).
+ =x y M
Viết pt đường d đi qua M, cắt elip tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung diểm của AB,
Đ/s: 4x + 9y – 13 = 0
Ví dụ 10. Cho elip
2 2
1, (1;1).
25 9
+ =
x y

dưới 1 góc 60
0
, 90
0
, 120
0
.
c) Tìm M nằm trên
2 2
( ): 1
25 9
+ =
x y
E nhìn 2 tiêu điểm cuả (E) dưới 1 góc vuông.
d) Viết phương trình chính tắc của (E) biết 1 điểm M có hoành độ x
M
= 2 nằm trên (E) và thỏa mãn
1 2
13 5
;
3 3
= =
MF MF
Ví dụ 2.
Cho (E): 4x
2
+ 9y
2
= 36. Tìm M trên (E) sao cho:
a)

( ): 1
25 4
+ =
x y
E và
đườ
ng th
ẳ
ng (d): 2x + 15y – 10 = 0.
a)
CMR (d) luôn c
ắ
t (E) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B. Tính
độ
dài AB.
b)
Tìm C trên (E) sao cho ∆ABC cân t
ạ
i A bi
ế
t x
A

m M trên (E) sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n d là nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví dụ 5.
Cho
2 2
( ): 1
25 16
+ =
x y
E . A, B là 2
đ
i
ể
m trên (E) sao cho AF
1
+ BF
2
= 8.
a)
Tính AF
2

x y
E . Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn
đ
i qua các giao
đ
i
ể
m
c
ủ
a 2 elip
đ
ó.
Ví dụ 7.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ


11. BÀI TOÁN VỀ ELIPSE – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Gọi phương trình đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với
0
a
≠
). Tung
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) và (E)
là:
( )
2 2 2
2 2
25 3
1 9. 25 5
25 9 25 5
a y a
y y a a
−
+ = ⇔ = ⇔ = ± − ≤

ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm là
5 5 5 5
,
3 3
x x= = −
Ví dụ 8.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

Đ
êcac vuông góc Oxy cho
đ
i
ể

ớ
i nhau qua tr
ụ
c hoành và tam giác
ABC là tam giác
đề
u.
Đ
/s:








−








7
34
;
7

;
7
2
,
7
34
;
7
2
BA

Ví dụ 9.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho elip
2 2
( ): 1
16 4
+ =
x y

17 3 22 17 3 22
; , ;
3 13 3 13
   
− −
−
   
   
   
B C

Ví dụ 10.
Cho 2 elip
2 2
1
( ) : 1
4 1
+ =
x y
E và
2 2
2
( ): 1
1 6
+ =
x y
E
a)
CMR 2 elip c
ắ

+ =
x y
E
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 5 10 0
+ − =
d x y
a) CMR: (d) luôn cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.
b) Tìm điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC cân tại A, x
A
> 0.
Đ/s:
(0; 2)
−
C
Ví dụ 12. Cho
2 2
( ): 1; : 2 2 0
8 4
+ = − + =
x y
E d x y

a) CMR: (d) cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.
b) Tìm điểm C trên (E) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -


Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; -1) cắt đường tròn tâm I(4; 0) bán kính R = 5 tại A, B sao
cho MA = 3MB.
Đ/s: x + 2y + 1 = 0 hoặc 2x – y – 3 = 0.
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A ngoại tiếp
2 2
( ): 2.
+ =
C x y
Tìm tọa
độ 3 đỉnh của tam giác biết điểm A thuộc tia Ox.
Đ/s:
(
)
(
)
(2;0); 2;2 2 ; 2;2 2
+ − −A B C

Bài 7: Cho hai đương tròn
2 2
1
2 2
2
( ): 4 2 4 0
( ): 10 6 30 0

+ − + − =




Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm ngoài
2 2
( ): 6 2 6 0.
+ − + + =
C x y x y
Viết phương trình
đường thẳng d qua A cắt (C) tại hai điểm B và C sao cho AB = BC.
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đường cao
: 3 3 0,
AH x
− =
phương trình hai đường phân
giác trong góc B và góc C lần lượt là
3 0
x y
− =
và
3 6 0
x y
+ − =
, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác bằng 3. Viết phương trình các cạnh tam giác biết đỉnh A có tung độ dương.
Đ/s:
( ): 3 ;( ): 3 18
= = − +
AB y x AC y x

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình:
0128

th
ờ
i
đườ
ng th
ẳ
ng AB
đ
i qua I (A, B là hai ti
ế
p
đ
i
ể
m).
Đ
/s: M(0; 4)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Bài 11: Cho 3 đường thẳng
1
2
3
: 3 0
: 4 0
: 2 0
+ + =



2
2
1
2
2
2
1
( ): 1
2
( ): 2 ( 2) 4

− + =



− + − =

C x y
C x y
. Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với
đường tròn (C
1
) cắt đường tròn (C
2
) theo dây cung có độ dài bằng
2 2.

Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng
1 2 3
: 3 0; :2 5 0; : 0

cắt nhau tại diểm I và điểm M(1; 2).
Viết phương trình đường ∆ qua M cắt d, d′ lần lượt tại A, B sao cho
2 .
=
AI AB

Bài 17: Trong mặt phẳng cho điểm A(7; 1) và hai đường thẳng
1
:2 7 0
.
:4 3 27 0
+ + =


′
+ − =

d x y
d x y
Lập phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết B thuộc d
1
, C thuộc d
2
và nhận
7 5
;
3 3
 
 

) tại A, B cắt (C
2
) tại C, D sao cho
2 7; 8
= =
AB CD

Đ/s:
2 3 5 3 0; 2 3 5 3 0
+ + − = + − − =
x y x y

Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đường cao và trung tuyến xuất phát từ A
lần lượt có phương trình
6 5 7 0; 4 2 0.
− − = − + =
x y x y
Tính diện tích tam giác ABC biết rằng trọng tâm của
tam giác thu
ộc trục hoành và đường cao xuất phát từ đỉnh B đi qua điểm E(1; −4).
Bài 22: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC vuông cân tại A, các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường
thẳng
1 2 3
: 5 0; : 1 0; : 2 0; 5 2.
d x y d x d y BC+ − = + = + = =
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -