Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
,
dxy
2
:50
+-=
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam
giác cân tại giao điểm của
dd
12
,
.

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:

xy
330
+-=
và
xy
310
-+=Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250
-+=
.
dxy
2
:36–70
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.


thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=

d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3
2(1)

1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
,
P
(0;1)
. ĐS:
xy
330
+-=
;
xy
310
-+=
.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:310
++=
và điểm
I

Þ=Û
í
-+=
î
uuruur·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=

Þ
AB = 4 (không thoả).

·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1

:10
ÞD++=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

=ị-=ị==

xy
:790
ịD =Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d

1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
=
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v
MBMA
3
=

ị


hoc (2)
ị

(
)
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị =
ớ
ợCõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40
=+-=
ln lt ti A, B sao cho
MAMB
230
=
.

ã

a
AB
ab
b
5
55
2(1)3(1)
(1);,(2;2)
2
2(36)3(3)
22
2
ỡ
ổử
ù
ỡ
-=-
=
ị
ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra
dxy
:0

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho
OAOB
(3)
+
nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OAOBabab
332312
+=+=

ab


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OAOB
+
nh nht.

ã

xy
260
+-=Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.

ã
ng thng (d) i qua
M
(1;2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn

ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ



ab
22
949
10
+



OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1
+=


=
.

ã
Gi
AaBbab
(;0),(0;)(,0)
ạ
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ



8
=-
thỡ
ba
28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==- .
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
=-+ị-++-=

+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu hi tng t:
a)



axbyab
20
++=
ab
22
(0)
+ạ

Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+

7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

(–2)(1)0
+-=
Û

axbyab
–(2)0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Ta có:
ab
ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450
=


5
=-
. Chọn
ab
1,5
==-

Þ
Phương trình
xy
:530
D
-+=
.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường thẳng
dxy
:220
=
và điểm
I
(1;1)
.
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm
I
một khoảng bằng
10
và tạo với đường thẳng

2
.5
-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30

:
xyc
30
-+=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140

. Gọi
A
là giao điểm của
d
1
và
d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng
d
1
và
d
2
lần lượt tại
B
,
C

(
B
và
C
khác
A
) sao cho
ABAC
22
11

2
1
khi H
º
M, hay
D
là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
:
xy
20
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
(1;2)
-
, dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:350
-+=
. ĐS:

(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứCõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D:
xy
2340
++=
. Tỡm

0
(,)45
D
=
ị
ABu
1
cos(;)
2
=
uuurr

ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169156450
3

bng
15
2
.

ã
Ta cú ON
(3;4)
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
(36;)
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1
(,).(,)3
2
D

,
cho im
A
(0;2)
v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .

ã
Gi s
BbbCccd
(22;),(22;)
ẻ
.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
ABu
.0
=




cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ởCõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30
+-=
, dxy
2
:90
+-=
v
im

ABC vuụng cõn ti A


ABAC
ABAC
.0
ỡ
=
ớ
=
ợ
uuuruuur



bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)
ỡ
+-=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ
c
1
=

ù
+++=-+-
ù
-
ợ

T (2)

bc
22
(1)(1)
+=-



bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi
bc
2
=-
, thay vo (1) ta c
cb


Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20
++=
; dmxmym
2
:(2)(1)350
++=
. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PAPB
+
ln nht.

ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2)(1)35

AdBddd
1212
(0;1),(2;1),
ẻ-ẻ^

ị

D
APB vuụng ti P
ị
P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216
+Ê+==ị

PAPB
4
+Ê
. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung
ằ
AB


=
v hai im
A
(1;2)
-
,
B
(3;4)
. Tỡm im M
ẻ
(D) sao cho
MA MB
22
2
+
cú giỏ tr nh nht.

ã
Gi s M MttAMttBMtt
(22;)(23;2),(21;4)
D
+ẻị=+-=
uuuruuur

Ta cú:
AMBMttft
222
215443()
+=++=
ị

+
nh nht.

ã
Ta cú:
AABB
xyxy
(23).(23)300
-+-+=>

ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị

A
(3;2)
Â
-

ị
Phng trỡnh
ABxy
:570
Â
+-=
.
Vi mi im M


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 7

TP 02: NG TRềN

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20500
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100
+ +=Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),

+ Vi C
2
(2;10)

ị
(C):
22
xyxy
9191416
0
333
+-++=Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:230
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v

5
+-+
=
+-+



t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1) =-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1

++=
,
xy
':34100
D
-+=
v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm
Itt
(38;)ẻ

D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=


xy
:4330
D
-+=
v
xy
':34310
D
=
. Lp phng trỡnh ng trũn
C
()
tip xỳc vi ng thng
D
ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi
'.
D
Tỡm ta tip im ca
C
()
v
'
D
.

ã
Gi
Iab
(;)

433685
4
55
(3;4)
3(6)4(9)0
3454
D
DD
ỡ
ỡ
-
-+
ỡ
=
ùù
-+=-
=

ớớớ
^=
ợ
ùù
-+-=
+=
ợ
ợ
uuur
r
'
D
ti
N
(13;2)

hoc Cxy
22
():(190)(156)60025
++-= tip xỳc vi
'
D
ti
N
(43;40)
Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2;1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .

ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222

dxy
():240
=
. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).

ã
Gi
Immd
(;24)()
-ẻ
l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==
.

ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ

Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
118551010
-=-+


2a
2
37a + 93 = 0


a
a
3
31
2
ộ
=
ờ
=
ờ
ởã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)

ổử
-++=
ỗữ
ốứCõu 9. Trong h to
Oxy
cho hai ng thng
dxy
:230
+-=
v
xy
:350
D
+-=
. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.

ã
Tõm I
ẻ

ở

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9 ị
(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-=
hoc (C): xy
22
8
(7)(2)
5
-++=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã

2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur

ị
(C
Â
): xy
22
(3)(3)4
-+-=Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứã

+-++=
. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB
3
= .

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R
3
= . PT ng thng IM:
xy
34110
=
. AB
3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2
ỡ
ẻ
ù
ớ

;
510
ộ
=-=-
ờ
ờ
ờ
==-
ở

ị
H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=

ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)13
-+-=
.

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-+-=
v im
K
(3;4)
. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm
I

ị
Txy
22
1
():(3)(4)4
-+-=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10

+
T
2
()
cú bỏn kớnh R
22
2
(32)(2)25
=+=
ị
Txy
22
1
():(3)(4)20
-+-=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1

3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ
-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-

Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43

1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ở

Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2
=
l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứCõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1

D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC

ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d:
xy
10
=
v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2

1
), (C
2
) nờn
IIRR IIRRIIRIIR
11221122
,
=+=+ị=


aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++-

a = 0
ị
I(0; 1), R =
2ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2
++=
.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip