Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170-+=,
dxy
2
:50+-=. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với dd
12
, một tam
giác cân tại giao điểm của dd
12
, .

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:

xyxy
xy ()
xy ()
1
2222
2
7175

1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.

·
d
1
VTCP a
1
(2;1)=-
r
; d
2
VTCP a
2
(3;6)=
r

Ta có: aa
12
.2.31.60=-=
uuruur
nên dd
12

2(1)
-
é
=
Û=Û--=Û
ê
=-
ë
++-

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng dxy:350+-=
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng dxy:350--=
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. dxy:350+-=; dxy:350--=.
Câu hỏi tương tự:
a) dxy
1
:7170-+=, dxy
2
:50+-=, P(0;1) . ĐS: xy330+-=; xy310-+=.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350++=, dxy
2
:310++= và điểm
I(1;2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt dd
12
, lần lượt tại A và B sao cho
AB 22= .


a
1
31(33)32
1
-
-+=--Û=-
-

ABbaabtt
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với tab=-).
tttt
2
2
512402;
5
Û++=Û=-=-
+ Với tabba220,2=-Þ-=-Þ==- xy:10ÞD++=
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555


Ad
AaaMAaa
BdBbb
MBbb
1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
--=---
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v MBMA3=
ị

( )
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị--=
ớ
ợCõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40--=+-= ln lt ti A, B sao cho
MAMB230= .

ã
Gi s Aaad
1
(;35)-ẻ, Bbbd
2
(;4)-ẻ.
Vỡ A, B, M thng hng v MAMB23= nờn
MAMB
MAMB
23(1)

ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra dxy:0-=.
+
aba
AB
abb
2(1)3(1)1
(2)(1;2),(1;3)
2(36)3(3)1
ỡỡ
-=--=
ị-
ớớ
-=--=
ợợ
. Suy ra dx:10-= .
Vy cú dxy:0-= hoc dx:10-= .

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho OAOB(3)+ nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):

=
ị+=
ớớ
=
==
ợ
ù
ợ

Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy1360
62
+=+-=
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng OAOB+ nh nht.

ã
xy260+-=

Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.

949
10
+



OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1+=

ab
20
10,
9
==
ị
dxy:29200+-=.



baab
ab
2
8
ỡ
+=
ớ
=
ợ
.

ã
Khi ab 8= thỡ ba28+=. Nờn: badxy
1
2;4:240==ị+-=.

ã
Khi ab 8=- thỡ ba28+=- . Ta cú: bbb
2
440222+-==- .
+ Vi
( ) ( )
bdxy222:1221240=-+ị-++-=
+ Vi
( ) ( )
bdxy222:1221240=--ị++-+=.
Cõu hi tng t:
a) MS(8;6),12= . S: dxy:32120--=; dxy:38240-+=


= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

ị
(
D
1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 4

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng dxy:2340++=.
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc
0
45 .

·
PT đường thẳng (
D
) có dạng: axby(–2)(1)0+-=
Û
axbyab–(2)0++= ab
22
(0)+¹.
Ta có:
ab

+-=.
+ Với ab5 =- . Chọn ab1,5==-
Þ
Phương trình xy:530
D
-+=.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng dxy:220--= và điểm I(1;1) .
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng
d một góc bằng
0
45 .

·
Giả sử phương trình đường thẳng
D
có dạng: axbyc0++= ab
22
(0)+¹.
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2

+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë·
Với ba3=-
Þ

D
: xyc30-+=. Mặt khác dI(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8

đạt giá trị nhỏ nhất.

·
AddA
12
(1;1)=ÇÞ- . Ta có dd
12
^ . Gọi
D
là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên
D
. ta có:
ABACAHAM
2222
1111
+=³
(không đổi)
Þ
ABAC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM
2
1
khi H º M, hay
D
là đường thẳng đi qua M

(C)
Þ
(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứCõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D: xy2340++=. Tỡm
im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45 .

uuurr

ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169156450
3
13
ộ
=
ờ
--=
ờ
ờ
=-
ở
.

(,).(,)3
2
D
D
===



mm
mmm
4.(36)313
3924151;
53
+--
=+==-=
+ Vi mM1(3;1)=-ị- + Vi mM
1313
7;
33
ổử
--
=ị-
ỗữ
ốứCõu 19. Trong mt phng to Oxy, cho im A(0;2) v ng thng dxy:220-+=. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC .

ã

5
=
BCcc
2
1
125300180
5
=-+=
5
5



cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ở
=
ợ
uuuruuur



bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)
ỡ
---+-=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ c 1= khụng l nghim ca (*) nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6

(*)


bc
b
c
c
bbcc
c

bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi bc2=-, thay vo (1) ta c cb4,2==
ị
BC(2;1),(4;5) .
+ Vi bc=- , thay vo (1) ta c cb2,2==-
ị
BC(2;5),(2;7)- .
Vy: BC(2;1),(4;5) hoc BC(2;5),(2;7)- .

Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20++=; dmxmym
2
:(2)(1)350++=. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d

ốứị
dd
12
, luụn ct nhau. Ta cú: AdBddd
1212
(0;1),(2;1),ẻ-ẻ^
ị

D
APB vuụng ti P
ị
P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216+Ê+==

ị
PAPB 4+Ê. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung
ằ
AB


P(2; 1) hoc P(0; 1)

ị
M
262
;
1515
ổử
-
ỗữ
ốứCõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng dxy:230-+= v 2 im AB(1;0),(2;1) .
Tỡm im M trờn d sao cho MAMB+ nh nht.

ã
Ta cú:
AABB
xyxy(23).(23)300-+-+=>
ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị
A (3;2)
Â
-
ị
Phng trỡnh ABxy:570
Â

Trang 7

TP 02: NG TRềN

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy250= v ng trũn (C): xyx
22
20500+-+=. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100+--+=

Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),
B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng dxy:380= . Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.

ã
Tỡm c C (1;1)
1
- , C
2
(2;10)-- .

:4320++=. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v
tip xỳc vi d
2
v d
3
.

ã
Gi tõm ng trũn l Itt(;32)-
ẻ
d
1
.
Khi ú: dIddId
23
)(,)(, =


tt
tt
34(32)5
5
43(32)2
5
+-+
=
+-+


S: xy
22
(10)49-+= hoc xy
222
10707
434343
ổửổửổử
-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
.

Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
D
: xy380++=,
xy':34100
D
-+= v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm Itt(38;)--
ẻ

D
.. Ta cú: dIIA(,)
D
Â

ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi '.
D
Tỡm ta tip im ca C()v '
D
.

ã
Gi Iab(;) l tõm ca ng trũn (C). C() tip xỳc vi
D
ti im M(6;9) v C() tip
xỳc vi
D
Â
nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 8 a
abab
dIdI
aa
IMu
ab
ab
543
4333431
(,)(,')
433685

ab
a
ab
b
251504685
10;6
543
190;156
4
ỡ
-=-
ù
ộ
==

-
ớ
ờ
=-=
=
ở
ù
ợ

Vy: Cxy
22
():(10)(6)25-+-= tip xỳc vi '
D
ti N (13;2)
hoc Cxy

(1)(1)1-++= v xy
22
(5)(5)25-++=.

Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy():240--=. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).

ã
Gi Immd(;24)()-ẻ l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==.

ã
m
4
3
= thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
.

ã
m 4= thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy

ờ
=
ờ
ởã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)
2
+ (y + 2)
2
= 25

ã
Vi a =
31
2

ị
I
31
;27
2
ổử
-
ỗữ

ẻ
d
ị
Iaa(23;)-+ . (C) tip xỳc vi
D
nờn:
dIR(,)
D
=
a 2
210
5
10
-
=
a
a
6
2
ộ
=

ờ
=-
ở

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9
ỡ
=
ớ
=+
ợ
, IIA'ẻ
ị
Itt(23;22)
Â
+ .
AIIAtI
1
2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur

ị
(C
Â
): xy
22
(3)(3)4-+-=

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450+=. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42

-++=
ỗữỗữ
ốứốứCõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2420+-++=. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB 3= .

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R 3= . PT ng thng IM: xy34110--=. AB 3= .
Gi Hxy(;) l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2
ỡ
ẻ
ù
ớ
=-=
ù
ợ



xy

==-
ở

ị
H
129
;
510
ổử
--
ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã
Vi H
129
;
510
ổử
--
ỗữ

): xy
22
(5)(1)13-+-=.

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4-+-= v im
K(3;4) . Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm I (1;2) , bỏn kớnh R 2= .
IAB
S
D
ln nht


D
IAB vuụng ti I

AB 22= .
M IK 22= nờn cú hai ng trũn tho YCBT.
+ T
1
() cú bỏn kớnh RR
1
2==
ị
Txy

1
2
4
ổử
<<
ỗữ
ốứ
thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
khi v ch khi
( )
( )
d
DBAB
ddd
DCACd
2
2
2
2
9
1
3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ

bbb
22
3146
35
34
-+-
=-=
+

ị

bbb
bbb
4
35
3
1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ở

Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2

ABC(3;0),(0;4),(0;4)-
ị

D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC

ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d: xy10--= v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8-++=, (C
2
): xy
22
(5)(4)32++-=. Vit phng trỡnh

2222
(3)(3)22(5)(5)42-++-=-++-

a = 0
ị
I(0; 1), R = 2

ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2++=.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip
DABC.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 11 ·
y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
Cxyx
22
:20++=. Viết phương trình tiếp
tuyến của
( )
C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30

Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy
1
():3230
D
-±+=
+ xyb
2
():30
D
++= tiếp xúc (C) dIR
2
(,)
D
Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy

=
ï
î

Þ

abc
abc
2,1,10
1,2,10
é
==-=-
ê
===-
ë

Þ

xy
xy
:2100
:2100
D
D
é
--=
ê
+-=
ë
.

-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë·
Với ab3=
Þ

D
: xyc30++=. Mặt khác dIR(;)
D
=
c4
10
10
+
Û=
c

Û
ê
=
ë

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: xy360;++= xy3140+-=; xy380;--= xy3120-+=.

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C
1
): xyxy
22
–2–2–20+=, (C
2
): xyxy
22
–8–2160++=.

·
(C
1
) có tâm I
1
(1;1) , bán kính R
1
= 2; (C
2
) có tâm I
2
(4;1) , bán kính R

dIR
ab
bb
ab
22
11
22
22
1
22
2
(;)
44
(;)
41
472472
1
44
D
D
ỡ
+-
ỡỡ
=
ù
==-
ùù
ỡ
=
ùùù


ã
(C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R 2= ; (C
Â
) cú tõm I
Â
(1; 2) v bỏn kớnh R'22= .
Ta cú: IIRR'2
Â
==-
ị
(C) v (C
Â
) tip xỳc trong
ị
Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (C
Â
) tip xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II (1;1)
Â
=--
uur

ị
PTTT: xy70+-=

Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1

(),() ngoi nhau. Xột hai trng hp:
+ Nu d // Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng: xc0+=.
Khi ú: dIddIdcc
12
(,)(,)4==+

c 2=-
ị
dx:20-=.
+ Nu d khụng song song vi Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng: dyaxb: =+.
Khi ú:
dId
dIddId
1
12
(,)2
(,)(,)
ỡ
=
ớ
=
ợ



b
a
bab
aa
2

42
737
;
2412
ộ
==
ờ
ờ
ờ
==-
ờ
ờ
=-=
ờ
ởị
dxy:34140-+= hoc dxy:3460--= hoc dxy:724740+-=.
Vy: dx:20-=; dxy:34140-+=; dxy:3460--=; dxy:724740+-=.

Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1
():450+--= v
Cxyxy
22
2
():68160+-++=. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca C
1



dIR
dIR
11
22
(,)
(,)
D
D
ỡ
=
ớ
=
ợ



bcab
abcab
22
22
23(1)
343(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
-+=+
ù

0
22
4
3
ộ
=
ờ
-=+
=-
ờ
ở
.

ị
y:20
D
+= hoc xy:4390
D
--=.

Cõu 25. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340++-=. Tia Oy ct (C) ti im
A. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú bỏn kớnh RÂ = 2 sao cho (T) tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã
(C) cú tõm I (23;0)- , bỏn kớnh R 4= . Tia Oy ct (C) ti A(0;2) . Gi J l tõm ca (T).
Phng trỡnh IA:
xt

) tip xỳc vi (C).

ã
(C
m
) cú tõm Imm(1;2)+- , bỏn kớnh Rmm
22
'(1)45=+++,
(C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1, OI mm
22
(1)4=++ , ta cú OI < R
Â

Vy (C) v (C
m
) ch tip xỳc trong.
ị
R
Â
R = OI ( vỡ R > R)
ị
mm
3
1;
5
=-=.

Cõu 27. Trong mt phng Oxy, cho cỏc ng trũn cú phng trỡnh Cxy
22
1

trung im ca MN
ị

MN
dIdIHR
2
2
222
(,)2
2
ổử
==-=
ỗữ
ốứ

Phng trỡnh ng thng d cú dng: axbycab
22
0(0)++=+ạ.
Ta cú:
dId
dId
1
2
1
(,)
2
(,)2
ỡ
=
ù

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 14 ã
(C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị
ã
ã
AMB
AMB
0
0
60(1)
120(2)
ộ
=
ờ
=
ờ
ở

Vỡ MI l phõn giỏc ca
ã
AMB nờn:
(1)
ã
AMI = 30
0


2
(0; 7- )

Cõu 29. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng
D
nh bi:
Cxyxyxy
22
():420;:2120
D
+--=+-=. Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi
(C) hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 60
0
.

ã
ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R 5= .
Gi A, B l hai tip im. Nu hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 60
0
thỡ IAM l na tam
giỏc u suy ra IMR=252= .
Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: xy
22
(2)(1)20-+-=.
Mt khỏc, im M nm trờn ng thng
D
, nờn ta ca M nghim ỳng h phng trỡnh:
xy
xy
22

627
;
55
ổử
ỗữ
ốứCõu 30. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9-++= v ng
thng dxym:0++=. Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k
c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam giỏc ABC
vuụng.

ã
(C) cú tõm I(1; 2), R = 3. ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 IA 32ị=



m
m
m
m
1
5
3216
7
2
-

tuyn ca (T)
ị

m
m
dId
m
11
19
(,)66
41
5
+
ộ
=
==
ờ
=-
ở
.

Cõu 32. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy
22
():186650+--+=
v Cxy
22
():9
Â
+=. T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ),
gi A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng 4,8.

ỡ
ù
ỡ
ẻ+--+=

ớớ
=
+=
ợ
ù
ợ

xx
yy
45
30
ỡỡ
==

ớớ
==
ợợ

Vy M(4;3) hoc M(5;0) .

Cõu 33. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4-++=. M l im
di ng trờn ng thng dyx:1=+. Chng minh rng t M k c hai tip tuyn MT
1

00
11
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ
. ng trũn (T) ng kớnh IM cú tõm J bỏn
kớnh
IM
R
1
2
= cú phng trỡnh
xxxx
Txy
22
22
0000
11(1)(3)
():
224
ổửổử
+--++
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ

T M k c 2 tip tuyn MT

()()
(1)(3)30(1)
224
(1)(2)4
ỡ
+--++
ù
-+-=
ị--+--=
ớ
ù
-++=
ợ

To cỏc im TT
12
, tho món (1), m qua 2 im phõn bit xỏc nh duy nht 1 ng
thng nờn phng trỡnh TT
12
l xxyxx
000
(1)(3)30--+--=.
A(1;1)- nm trờn TT
12
nờn xxx
000
1(3)30-++--=

x
0

Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b
2
> 0).

a
ab
dMd
ab
ab
22
0
64
[,()]44
12
5
é
=
--
ê
=Û=Û
=-
ê
+
ë
. Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)
và cắt đường tròn (C) có phương trình xy

2
0
860
3
4
é
=
ê
Û+=Û
=-
ê
ë·
a = 0: chọn b = 1
Þ
d: y – 2 = 0
·
a = b
3
4
- : chọn a = 3, b = – 4
Þ
d: 3x – 4 y + 5 = 0.
Câu hỏi tương tự:
a) d đi qua O, Cxyxy
22
():26150+-+-=, l 8= . ĐS: dxy:340-=; dy:0= .
b) d đi qua Q(5;2) , Cxyxy

c
2
34
4101
,4
4101
31
D
-++
é
=-
Þ==Û
ê
=--
ë
+
.
Vậy phương trình
D
cần tìm là: xy341010++-= hoặc xy341010+--= .
Câu hỏi tương tự:
a) Cxy
22
():(3)(1)3-+-=, dxy:3420120-+=, l 25= .
ĐS: xy:3450
D
-+=; xy:34150
D
--=.


4
13
43
é
=
-++
=Û
ê
=-
ë
+

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 17

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: xy43270++= và xy43130+-=.

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
2230+---= và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.

·
(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 25<
Þ
M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = IAIHIHIM
2222

(,)
2
= .
Giả sử phương trình đường thẳng d: AxByAB
22
(2)(6)0(0)-+-=+¹
dOd
52
(,)
2
=
Û

AB
AB
22
2652
2
--
=
+

Û
BABA
22
4748170+-=
Û

BA
BA

-+
= : chọn A = 47
Þ
B = 24555-+

Þ
d:
( )
xy47(2)24555(6)0-+-+-=
Câu hỏi tương tự:
a) Cxyxy
22
():4690++-+=, M(1;8)- . ĐS: xyxy710;177390++=++=.

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6260+-+-= và điểm
A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).

·
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3)
Î
(C).
PT đường thẳng d có dạng: axbyab
22
(3)(3)0,0-+-=+¹
Û
axbyab330+--=.
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B

):
xy
22
(6)25-+=. Gọi A là một giao điểm của (C
1
) và (C
2
) với y
A
> 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C
1
), (C
2
) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

·
(C
1
) có tâm O(0; 0), bán kính R
1
= 13 . (C
2
) có tâm I
2
(6; 0), bán kính R
2
= 5. Giao điểm
A(2; 3). Giả sử d: axbyab
22

30+=
Û

b
ba
0
3
é
=
ê
=-
ë
.

·
Với b = 0: Chọn a = 1
Þ
Phương trình d: x 20-=.

·
Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3
Þ
Phương trình d: xy370-+=.

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mxy4 0+=, đường tròn (C):
xyxmym
222
22240+--+-= có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.



IAB
S 12
D
=
Û

m
dIAHmm
m
2
3
(,).12325480
16
3
é
=±
ê
D=Û-+=Û
=±
ê
ëCâu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():1+=, đường thẳng
dxym():0++=. Tìm m để C()cắt d() tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

·

đường tròn có phương trình Cxyxy
22
():2440+-+-=. Gọi I là tâm đường tròn C(). Tìm
m sao cho d() cắt C() tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.

·
C() có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt C() tại 2 điểm phân biệt A, B dIdR(,)Û< mm
2
221232Û-+-<+

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 19

mmmmmmR
222
14418954170Û-+<+Û++>ÛÎ
Ta có:
·
SIAIBAIBIAIB
IAB
119
.sin.
222
=£=
Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9

():4690++-+= và
điểm M(1;8)- . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

·
(C) có tâm I (2;3)- , bán kính R 2= .
PT đường thẳng d qua M(1;8)- có dạng: daxbyab:80+-+= ( ab
22
0+¹).

· ·
IAB
SIAIBAIBAIB
1
..sin2sin
2
D
==.
Do đó:
IAB
S
D
lớn nhất
Û

·
AIB
0
90=
Û

=
ë
.
+ Với ba17=Þ=
Þ
dxy:710++= + Với ba717=Þ=
Þ
dxy:177390++=

Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
4460++++= và
đường thẳng D: xmym–230++= với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.

·
(C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử
D
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Kẻ đường cao IH của
D
IAB, ta có: S
D
ABC
=
·
IAB
SIAIBAIB
1
..sin

-
=
+

Û
15m
2
– 8m = 0
Û
m = 0 hay m =
8
15

Câu hỏi tương tự:
a) Với Cxyxy
22
():2440+-+-=, xmy:2120
D
++-=. ĐS: m 4=- .
b) Với Cxyxy
22
():2450+---=, xmy:20
D
+-=. ĐS: m 2=-

Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: xy–5–20= và đường tròn (C):
xyxy
22
2480++--=. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường
thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho

Vỡ
ã
ABC
0
90= nờn AC l ng kớnh ng trũn, tc im C i xng vi im A qua tõm I
ca ng trũn. Tõm I(1;2), suy ra C(4;4).

Cõu 48. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trũn (C ): xyxy
22
2480++--= v
ng thng (
D
): xy2310--= . Chng minh rng (
D
) luụn ct (C ) ti hai im phõn bit
A, B . Tỡm to im M trờn ng trũn (C ) sao cho din tớch tam giỏc ABM ln nht.

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R = 13 . dIR
9
(,)
13
D
=<
ị
ng thng (
D
) ct (C) ti
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú
ABM

+-=
ợ

xy
xy
1,1
3,5
ộ
==-
ờ
=-=
ở

ị
P(1; 1); Q(3; 5)
Ta cú dP
4
(,)
13
D
= ; dQ
22
(,)
13
D
= . Nh vy dM(,)
D
ln nht

M trựng vi Q.

2222
24502450
3120123
ỡỡ
+---=+---=

ớớ
+-==-
ợợ

Gii h PT trờn ta c: BC
7333373333
;;;
2222
ổửổử
+--+
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc ngc li.

Cõu 50. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(3)(4)35-+-= v im
A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã
(C) cú tõm I(3; 4). Ta cú:
ABAC
IBIC
ỡ

( )
aa
IAu
aa
222
222
cos,
2
12151
++
===
+++
uur
r


aa
2
2251+=+


a
a
3
1
3
ộ
=
ờ
=-

- , thỡ u
1
1;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
r

ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
1
5
3
ỡ
=+
ù
ớ
=-
ù
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
7313111373131113
;,;
2222

ổử
-
ỗữ
ốứ
,
B(3;0) . Tỡm to im M thuc (C) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng
20
3
.

ã
ABABxy
6410
4;:43120
93
=+=--=. Gi M(x;y) v hdMAB(,)= .
Ta cú:
xy
xy
hABh
xy
4312
120
4380
.44
43320
235
--
ộ
-+=

ỡ
--=
ớ
+=
ợ
(vụ nghim)

Cõu 52. Trong mt phng to Oxy, cho ng trũn Cxyxy
22
():2690++-+= v ng
thng dxy:3450-+=. Tỡm nhng im M ẻ (C) v N ẻ d sao cho MN cú di nh nht.

ã
(C) cú tõm I (1;3)- , bỏn kớnh R 1=
ị
dIdR(,)2=>
ị
dC()ầ=ặ.
Gi
D
l ng thng qua I v vuụng gúc vi d
ị
xy():4350
D
+-=.
Gi NdN
00
17
;
55

55
ổử
-ẻ
ỗữ
ốứ
, Nd
17
;
55
ổử
ẻ
ỗữ
ốứ
.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 22

TP 03: CC NG CễNIC

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
2516
+=. A, B l cỏc im trờn (E)
sao cho: AFBF
12

12
(1;1),(5;1)- v tõm sai e 0,6= .

ã
Gi s Mxy(;) l im thuc elip. Vỡ na trc ln ca elip l
c
a
e
3
5
0,6
=== nờn ta cú:
MFMFxyxy
2222
12
10(1)(1)(5)(1)10+=++-+-+-=


xy
22
(2)(1)
1
2516
--
+=

Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):
xy
22
1

2
l hai tiờu im ca (E)).

ã
Ta cú: ab10,5==
ị
c 53= . Gi M(x; y)
ẻ
(E)
ị
MFxMFx
12
33
10,10
22
=-=+ .

ã
FFMFMFMFMFFMF
222
12121212
2..cos=+-



( )
xxxx
22
2
33331

thc: PFMFMOMFMFM
222
1212
3.=+ .

ã
(E):
xy
abab
22
2222
31
11
4
+=ị+=, ab
22
3=+ ị
xy
22
1
41
+=
ị
MMMMM
Paexaexxyaex
2222222
()()2()() 1=+++-=

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 23

-
=-= ,

x
dMx
0
0
83
8
(,)
33
D
-
=-= (vỡ x
0
44-ÊÊ)
ị

MF
dM
2
3
(,)2
D
= (khụng i).

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy
22
51680+= v hai im A(5; 1),
B(1; 1). Mt im M di ng trờn (E). Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch DMAB.

5
ổử
-
ỗữ
ốứ
cú:

( )
xyxy
2
22
0000
11119
.5.4516.8036
25420
5
ổử
ổử
-Ê++==
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ

xyxyxyxy
00000000
266263239239-Ê-Ê-Ê-Ê-+Êị-+Ê

xy
xy

x
y
0
0
8
3
5
3
ỡ
=
ù

ớ
ù
=-
ợ

Vy,
MAB
SkhiM
85
max9;
33
ổử
=-
ỗữ
ốứ
.

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp

22
85170
323
139413
ổử
Ê+=
ỗữ
ỗữ
ốứ

Du "=" xy ra


xy
x
xy
y
22
2
1
3
94
2
2
32
ỡ
ỡ
+=
ù
ùù

Nhn xột rng MOxẽ nờn ng thng x 1= khụng ct elip ti hai im tha YCBT.
Xột ng thng
D
qua M(1; 1) cú PT: ykx(1)1=-+. To cỏc giao im AB, ca
D
v
E() l nghim ca h:
xy
ykx
22
1(1)
259
(1)1(2)
ỡ
ù
+=
ớ
ù
=-+
ợị
kxkkxkk
222
(259)50(1)25(29)0+--+--= (3)
PT (3) luụn cú 2 nghim phõn bit xx
12
, vi mi k . Theo Viet:
kk

xy
E
22
():1
94
+=, M(1;1) S: xy:49130
D
+-=

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
82
+=. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
M cú to nguyờn.

ã
Trc ht ta cú nhn xột: Nu im xyE(;)()ẻ thỡ cỏc im xyxyxy(;),(;),(;)---- cng
thuc (E). Do ú ta ch cn xột im MxyE
00
(;)()ẻ vi xyxyZ
0000
,0;,ẻ.
Ta cú:
xy
22
00
1
82

xy
22
1
82
+=. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
tng hai to ca M cú giỏ tr ln nht (nh nht).

ã
Gi s MxyE(;)()ẻ
ị

xy
22
1
82
+=. p dng BT Bunhiacpxki, ta cú:

xy
xy
22
2
()(82)10
82
ổử
+Ê++=
ỗữ
ốứ

ị
xy1010-Ê+Ê .

10
ỡ
=
ù
ớ
ù
+=-
ợ


M
41010
;
55
ổử
--
ỗữ
ốứTrn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 25

Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
93
+= v im A(3;0) . Tỡm trờn
(E) cỏc im B, C sao cho B, C i xng qua trc Ox v DABC l tam giỏc u.

ABC u

dABCBC
3
(,())
2
=

xy
00
33-=

yx
22
00
3(3)=-

ị

x
xx
x
22
0
00
0
0
(3)9
3
ộ

1
:0-=, dnx+my
2
:0= , vi mn
22
0+ạ. Gi M, N l cỏc giao im ca d
1
vi (E),
P, Q l cỏc giao im ca d
2
vi (E). Tỡm iu kin i vi mn, din tớch t giỏc MPNQ
t giỏ tr nh nht.

ã
PTTS ca dd
12
, l:
xnt
d
ymt
1
1
1
:
ỡ
=
ớ
=
ợ
,

++++
ốứốứ

+ P, Q l cỏc giao im ca d
2
v (E)

ị

mnmn
PQ
mnmnmnmn
22222222
6666
;,;
49494949
ổửổử
--
ỗữỗữ
ỗữỗữ
++++
ốứốứ

+ Ta cú: MN
^
PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi.

MPNQ
SSMNPQOMOP
1

mn
S
mn
22
22
72()144
13
13
()
2
+
=
+
. Du "=" xy ra

mnmnmn
2222
9449+=+=
Vy: S
144
min
13
= khi mn= .

Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh:
xy
22
1
169
-=.