Huỳnh Bửu Tính
1
V
V
E
E
C
C
T
T
O
O
R
RV
V
À
ÀT
T
Ọ
Ọ
A
AĐ

Ẳ
N
N
G
G
j
)
)
1. Tọa độ vector.
Định nghĩa: ( ; )axy axiy=⇔=+
GG
GG
Cho Khi đó
11 2 2
( ; ), ( ; ).uxyvxy==
GG
+
1212
(;uv x xy y±= ± ±
GG
+
11
.(;ku kx ky=
G
+ cùng phương ⇔ ∃k ≠ 0:
v


.uv xx yy=+
GG
+
22
11
||uxy=+
G

+
m
12 12
2222
1122
cos( , )
.
xx yy
uv
x
yxy
+
=
++
GG

+
.0uv uv⊥⇔ =
GG GG
2. Tọa độ của điểm.
Định nghĩa:
(; )


+ Điểm M(x;y) chia đoạn AB theo tỷ số k ≠ 1 ⇔
.
M
AkMB=
J
JJG JJJG

⇔
1
1
AB
AB
x
kx
x
k
y
ky
y
k
−
⎧
=
⎪
⎪
−
⎨
−
⎪

AABAC
A
BAC
==
JJJG JJJG
JJJG JJJG

+ Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

;
33
ABCABC
x
xxyyy
G
++ ++
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ H là trực tâm của tam giác ABC
⇔
.0
.0
AH BC
BH AC
⎧
=
⎪
⎨

ay by cy
y
abc
++
⎧
=
⎪
⎪
++
⎨
++
⎪
=
⎪
++
⎩
C
C

+ Tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A

AB
AB
ax bx cx
x
abc
ay by cy
y
abc
−++

+
⎨
+
⎪
=
⎪
+
⎩

+ Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔
A
DBC=
J
JJG JJJG
.
+ Diện tích tam giác ABC

22
2
11
.(.)( )( )( )(
22
ABC B A C A C A B A
S ABAC ABAC x xy y x xy y
Δ
=−=−−−−
JJJG JJJG JJJG JJJG
)−

Chú ý. Cho điểm M(x;y). Khi đó

Bài 4. Cho hình thoi ABCD biết A(3;1), B(−2;4) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên Ox.
Xác định tọa độ hai đỉnh C và D.
Bài 5. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD trong mỗi trường hợp sau
1. Biết A(2;−1) và B(−1;3).
2. Biết A(3;0) và C(−4;1).
Bài 6. Cho ba điểm A(3;1), B(0;7) và C(5;2).
1. Chứng minh ABC là tam giác vuông.
2. M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh trọng tâm G của tam giác MBC luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 7. Cho A(2;1), B(3;−1), C(−2;3).
1. Tìm tọa độ điểm D trên Oy để ABDC là hình thang có hai đáy AB và CD.
2. Tìm tọa độ điểm hình chiếu H của A trên BC.

Huỳnh Bửu Tính
3
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
GT

N
G
G
1. Phương trình của đường thẳng.
1.1. Dạng tổng quát.
Δ: Ax + By + C = 0, A
2
+ B
2
≠ 0
Đường thẳng qua điểm M(x
0
;y
0
), có phương trình
Δ: A(x − x
0
) + B(y − y
0
) = 0, A
2
+ B
2
≠ 0
Nếu Δ qua gốc tọa độ O, thì Δ: Ax + By = 0, A
2
+ B

Ví dụ. Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M(2;−1) và có vectơ chỉ phương
(3;4)u =−
G
.
Tìm điểm N ∈ Δ sao cho tam giác OMN vuông tại O.
1.3. Dạng chính tắc.
Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x
0
;y
0
), vector chỉ phương
(;) 0uab
=
≠
G
G
.
Δ:
00
x
xyy
ab
−−
=

Đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A
;y
A
) và B(x

1. OA + OB = 12.
2. S
ΔOAB
= 12 đvdt. B
1.5. Đường thẳng có hệ số góc.
Δ: y = kx + b
− Nếu Δ qua M(x
0
,y
0
), hệ số góc k thì Δ: y − y
0
= k(x − x
0
).
− Giả sử k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d
1
, d
2
và α là góc giữa hai đường thẳng đó.
Khi đó
21
21
tg
1
kk

: Bx − Ay + C
2
= 0.
Huỳnh Bửu Tính
4
Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB: 2x − y + 5 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O và tâm hình chữ
nhật là I(4;5). Viết phương trình các cạnh còn lại.
2. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng.
Cho đường thẳng Δ và điểm M. Khi đó hình chiếu H của điểm M trên Δ được xác định như sau
(1) Lập phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với Δ,
(2) H = d ∩ Δ.
Ví dụ. Cho đường thẳng Δ: x + 2y + 3 = 0 và điểm M(2;5).
Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên Δ. Từ đó suy ra điểm N đối xứng với điểm M qua Δ.
Chú ý.
(i) H là hình chiếu của điểm M trên Δ ⇔
.
.0
H
MH u
Δ
∈Δ
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
JJJJGJJG

(ii) A đối xứng với B qua Δ ⇔

Cho hai đường thẳng Δ
1
: A
1
x + BB
1
y + C
1
= 0 và Δ
2
: A
2
x + B
2
B y + C
2
= 0.
(1)
11 11 11
22 22 22
,,
xy
A
BBCC
DD D
A
A
BBCC
===
A

⎧
⎨
≠∨ ≠
⎩
− Δ
1
≡ Δ
2
⇔ D = Dx = D
y
= 0
(2) Nếu A
2
BB
2
C
2
≠ 0, thì
−
111
12
222
// .
A
BC
A
BC
ΔΔ⇔ = ≠

−

và d
2
: y = k
2
x + b
2
. Khi đó
(i) d
1
// d
2
⇔
12
12
kk
bb
=
⎧
⎨
≠
⎩
(ii) d
1
≡ d
2
⇔
12
12
kk
bb

.
Huỳnh Bửu Tính
5
2. Cho điểm I(−2;0) và hai đường thẳng d
1
: 2x − y + 5 = 0, d
2
: x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại A, B sao cho 2
I
AIB
=
J
JGJJG
.
4. Chùm đường thẳng.
Giả sử hai đường thẳng Δ
1
: A
1
x + BB
1
y + C
1
= 0 và Δ
2

2
: x − 3y + 1 = 0.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm của hai đường thẳng
d
1
: 2x − y + 1 = 0 và d
2
: x − 2y − 3 = 0
đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau.
5. Góc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng Δ
1
: A
1
x + BB
1
y + C
1
= 0 và Δ
2
: A
2
x + B
2
B y + C
2
= 0. Đặt . Khi đó
n
12
(, )α= Δ Δ

bằng 45
°
.
Chú ý.
(i) 0
°
≤ α ≤ 90
°
(ii)
12
12
//
0
ΔΔ
⎡
α= ⇔
⎢
Δ≡Δ
⎣
D
(iii) α = 90
°
⇔ Δ
1
⊥ Δ
2
⇔ A
1
A
2

). Khi đó

00
22
||
(;)
A
xByC
dM
AB
++
Δ=
+

Chú ý. Cho hai đường thẳng song song Δ
1
: Ax + By + C
1
= 0 và Δ
2
: Ax + By + C
2
= 0. Khi đó
12 12 1
21
22
(, ) ( , ),
||
ddMM
CC

1
và Δ
2
là

11 1 2 2
22 22
11 22
2
A
xByC AxByC
AB AB
++ ++
=±
++
(
*
)
Nếu Δ
1
và Δ
2
cắt nhau, thì (
*
) là phương trình phân giác của góc giữa hai đường thẳng Δ
1
và Δ
2
.
− Gọi D, E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài hạ từ A của tam giác ABC. Khi đó

EE
bx cx by cy
xy
bc bc
−−
==
−−

Ví dụ. Cho hai đường thẳng Δ
1
: 3x + 5y − 10 = 0 và Δ
2
: 3x + 5y + 8 = 0.
1. Viết phương trình đường thẳng Δ cách đều Δ
1
và Δ
2
.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ
3
đối xứng với Δ
1
qua Δ
2
.
8. Bài tập cơ bản.
Bài 1. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(−1;1), N(1;9), P(9;1) là các trung điểm
của ba cạnh tam giác.
Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;−1), B(−2;1), C(3;5).
1. Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BM của tam giác ABC.

⎧
⎨
=
⎩
.
Lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó.
Bài 6. Cho tam giác ABC có BC:
1
12
xy−−
=
−
3
, các trung tuyến BM: 3x + y − 7 = 0 và CN: x + y − 5 = 0. Viết
phương trình các cạnh AB và AC.
Bài 7. Xác định các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng
2
12
x
mt
y
t
=
+
⎧
⎨
=−
⎩
và 3x + 4y + 12 = 0 bằng 45
0

1. Viết phương trình BC.
2. Tìm tọa độ A và viết phương trình đường cao BH.
Đs. A(0;5), BC: x − 2y = 0 và BH: 3x + 4y − 10 = 0.
Bài 11. Cho điểm M(3;3). Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(2;1), cắt tia Ox và Oy tại A và B sao cho
tam giác MAB vuông tại M.
Đs. x + 2y − 4 = 0 và x + y − 3 = 0.
Bài 12. Cho tam giác ABC có BC: 2x − y − 4 = 0 và hai đường cao BH: x + y − 2 = 0, CK: x + 3y + 5 = 0. Viết
phương trình các cạnh còn lại của tam giác.
Đs. AB: 3x − y − 6 = 0, AC: x − y − 3 = 0.
Huỳnh Bửu Tính
7
Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD có AB: 2x − y − 1 = 0, AD qua M(3;1) và tâm
1
2
(1;)I − . Viết phương trình các
cạnh AD, BC và CD.
Đs. AB: x + 2y − 5 = 0, BC: x + 2y + 5 = 0, CD: 2x − y + 6 = 0.
Bài 14. Cho tam giác ABC có
1
2
(;0M − ) là trung điểm AB và H(1;3), K(−1;1) lần lượt là chân đường cao hạ từ
đỉnh B và C (B có hoành độ dương).
1. Viết phương trình cạnh AB.
2. Tìm tọa độ A, B, C.
Đs. 1. AB: 2x + y + 1 = 0 2. A(−2;3), B(1;−3), C(3;3).
Bài 15. Cho tam giác ABC đều có đỉnh A(3;−5) và trọng tâm G(1;1).
1. Viết phương trình cạnh BC.
2. Viết phương trình cạnh AB và AC.
Đs. BC: x − 3y + 12 = 0, AB:
(6 5 3) 3 3 15 3 0xy+−++=

Tìm tọa độ đỉnh B và C.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm
41
33
;(G ), BC: x − 2y − 4 = 0 và BG: 7x − 4y − 8 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 4. Cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0.
Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC.
Bài 5. Cho hai đường thẳng d
1
: x + y + 5 = 0 và d
2
: x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2;3).
Tìm điểm B trên d
1
và điểm C trên d
2
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).
Bài 6. Cho tam giác ABC có A(0;0), B(2;4), C(6;0) và các điểm M trên cạnh AB, N trên cạnh BC, P và Q trên
cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông.
Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q.
Bài 7. Cho đường thẳng Δ: x − y + 2 = 0 và hai điểm A(1;−2), B(2;1).
Tìm điểm M ∈ Δ sao cho
1. MA + MB nhỏ nhất.
2. |MA − MB| lớn nhất.
Bài 8. Viết phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD biết tâm I(1;6) và các điểm M(3;0), N(6;6), P(5;9),
Q(−5;4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA.
Bài 9. Cho hai điểm A(−2;2), B(1;3) và đường thẳng d: 2x + 3y − 4 = 0.
Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho |MA − MB| lớn nhất.
Huỳnh Bửu Tính

3
: x – 2y = 0.
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
1
bằng hai
lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
.
ờng thẳng Δ
m
: (m − 2)x + (m − 1)y + 2m − 1 = 0 và hai điểm A(2;3), B(1;0). Bài 18. Cho đư
1. Chứng minh rằng Δ
m
luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
2. Xác định m để Δ
m
có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB.
3. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ
m
là lớn nhất.
Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD biết rằng tâm )1;(
2
1
−
I , AB: x − 2y = 0 và AB = 2AD.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 20. Cho đường thẳng Δ: 5x − 12y + 32 = 0 và hai điểm A(1;−1), B(5;−3).
Tìm tọa độ điểm M sao cho M cách Δ một khoảng bằng 4 và cách đều hai điểm A, B.

1
, d
2
lần lượt tại A, B sao cho
1. P là trung điểm AB.
2. IA = AB (A, B ≠ I).
Bài 29
. Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) biết đỉnh A(1;3), BC: x − 5 = 0 và tâm đường tròn nội tiếp hình
thang là I(3;−1). Tìm tọa độ B, C, D.
Huỳnh Bửu Tính
9
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
GT
T
R
R
Ò
Ò
N

2
.
Dạng 2
. Cho đường cong
(C): x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0, với a
2
+ b
2
− c > 0.
Khi đó (C) là đường tròn tâm I(a;b), bán kính
.
22
cbaR −+=

Ví dụ 1. Xác định tọa độ tâm và bán kính của các đường tròn sau
1. (C
1
): x
2
+ y
2
− 4x + 2y − 4 = 0.
2. (C
2
): 2x
2


22
00
(, )
()
M
M
IRFxy
C
ρ
=−=
= x
0
2
+ y
0
2
− 2ax
0
− 2by
0
+ c.
Nhận xét.
(i) F(x
0
,y
0
) > 0 ⇔ M nằm ngoài (C).
(ii) F(x
0

1
x − 2b
1
y + c
1
= 0 và (C
1
): x
2
+ y
2
− 2a
2
x − 2b
2
y + c
2
= 0.
Khi đó, trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là một đường thẳng có phương trình
Δ: 2(a
1
− a
2
)x + 2(b
1
− b

): x
2
+ y
2
− 2x + 2y − 7 = 0
(C
2
): x
2
+ y
2
+ 4x − 6y − 3 = 0
Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn.
Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ. Khi đó
(i) d(I,Δ) > R ⇔ Δ ∩ (C) = ∅
(ii) d(I,Δ) = R ⇔ Δ ∩ (C) = H , Δ được gọi là tiếp tuyến của (C), H là tiếp điểm. { }
(iii) d(I,Δ) < R ⇔ Δ ∩ (C) = A B{ , }
Chú ý. Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
(i) N u biết tiếp điểm T(x
0
;y
0
), thì tiếp tuyến của (C) là đường thẳng qua T và vuông góc với
có phương trình là
0

2
) = (I
2
,R
2
). Khi đó
(i) (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ |R
1
− R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2

(ii) (C
1
) tiếp xúc với (C
2
) ⇔
12 1 2
12 1 2

nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường
tròn (C).
2. Cho đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
− 12x − 4y + 36 = 0. Viết phương trình đường tròn (C
2
) tiếp xúc với Ox,
Oy và tiếp xúc ngoài với (C
1
).
3. Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
= 1 và (C
2
): (x − 2)
2
+ (y − 3)
2
= 4. Viết phương trình tiếp tuyến
chung trong của hai đường tròn.
4. Cho hai đường tròn (C
1

2
+ 2mx − 2my + 3m
2
− 4 = 0 (1)
1. Định m để (1) là phương trình một đường tròn.
2. Tính bán kính của đường tròn (1) biết nó tiếp xúc với đường thẳng Δ: 2x − y = 0.
Bài 2
. Cho A(2;0) và B(0;1). Chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA
2
− MB
2
= MO
2
là một đường
tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy.
Huỳnh Bửu Tính
11
Bài 3. Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau
1. Tâm I ∈ d: x + y − 3 = 0, tiếp xúc trục hoành và có bán kính R = 1.
2. (C) qua hai điểm A(2;1), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y − 2 = 0.
3. (C) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x + y + 1 = 0 tại điểm A(1;−4) và qua điểm B(5;2).
4. Tâm I ∈ d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc đồng thời với d
1
: 3x + 4y + 5 = 0, d
2
: 4x − 3y − 5 = 0.
5. Tâm I(2;−4) và cắt đường thẳng d: 3x + 4y − 5 = 0 tạo thành dây cung có độ dài bằng 8.
6. Tiếp xúc với đường thẳng 3x − 4y − 31 = 0 tại điểm A(1;−7) và có bán kính R = 5.
7. Qua A(4;2) và tiếp xúc với hai đường thẳng d
1

: 4x − 3y − 12 = 0, d
2
: 4x + 3y − 12 = 0. Xác định tâm và bán kính của đường
tròn nội tiếp (C) của tam giác có các cạnh lần lượt nằm trên trục tung Oy, d
1
và d
2
.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC:
33xy 0
−
−=
; A, B thuộc trục hoành và bán kính đường
tròn nội tiếp r = 2. Tìm tọa độ A, B, C.
Bài 7. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x − 4y − 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của đường tròn (C)
1. Δ vuông góc với đường thẳng d: 8x + 6y − 9 = 0.
2. Δ song song với đường thẳng d: 3x + 4y − 2 = 0.
3. Δ đi qua điểm A(3;5).
4. Δ hợp với đường thẳng d: x − 2y + 3 = 0 một góc 45
°
.
Bài 8. Cho A(1;1), B(4;−3) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0.
1. Tìm điểm C ∈ d sao cho d(C,AB) = 6.
2. Viết phương trình đường tròn (T) qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Bài 9. Cho đường thẳng d: x − y + 1 = 0 và đường tròn (C): x
2

m
): x
2
+ y
2
− 2(m + 1)x + 4my − 5 = 0.
1. Định m để (C
m
) tiếp xúc với (C).
2. Chứng minh rằng các đường tròn của họ (C
m
) tiếp xúc với (C) cắt nhau. Viết phương trình tiếp tuyến
chung của các đường tròn ấy.
Bài 12
. Cho đường thẳng Δ: x + 1 = 0 và Δ
/
: x − 1 = 0 cắt Ox lần lượt tại A và B. Gọi M và N là hai điểm di động
trên Δ và Δ
/
có tung độ là m và n sao cho mn = 4.
1. Viết phương trình đường thẳng AN và BM.
2. Chứng minh giao điểm I của AN và BM thuộc một đường tròn cố định.
1
, F
2
cố định sao cho F
1
F
2
= 2c, c > 0. Khi đó
M ∈ (E) ⇔ MF
1
+ MF
2
= 2a (a > c)
F
1
, F
2
: các tiêu điểm,
F
1
F
2
= 2c: tiêu cự
2. Phương trình của elíp
Các yếu tố
Dạng chính tắc
(E):
22
22
1

(0;−c), F
2
(0;c)
Đỉnh
A
1
(−a;0), A
2
(a;0), BB
1
(0;−b), B
2
B (0;b) A
1
(0;−a), A
2
(0;a), BB
1
(−b;0), B
2
B (b;0)
Tâm sai
c
e
a
=
< 1
c
e
a

Hình vẽ 3. Tiếp tuyến của elip. Cho (E):
−
b

−c
c
b
O
B
1
F
1
F
2
B
2
a
A
2
x
A
−a
y

1
−a
−

) ∈ (E) là Δ:
00
22
1
xx yy
+
=
αβ

b. Đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi α
2
A
2
+ β
2
B
2
= C
2
c. Đường thẳng qua hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A(x
A
;y
A
) đến (E) là Δ:
22
1
AA
xx yy
+=
αβ

0000
22 22
( 4) ( 4) 10.xyxy
−
++ + +=
Huỳnh Bửu Tính
13
Bài 2. Lập phương trình của (E) biết
1. Hai đỉnh trên một trục có tọa độ (0;−2), (0;2) và một tiêu điểm F(1;0).
2. (E) qua hai điểm M(1;−2) và
3
2
(;5N − ).
Bài 3
. Lập phương trình của (E) biết
1. (E) có một đỉnh trên trục lớn là A(−5;0) và tiếp xúc với d:
43 5 40 0xy
+
−=.
2. (E) tiếp xúc với cả hai đường thẳng d
1
: 3x − 2y − 20 = 0 và d
2
: x + 6y − 20 = 0.
3. Trục lớn trên Oy, điểm M ∈ (E) có y
M
= 3,
1
52MF = và
2

+ 25y
2
= 225, biết tiếp tuyến song song đường thẳng d: 4x + 5y − 7 = 0.
3. (E): 4x
2
+ y
2
− 36 = 0, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x − 4y − 1 = 0.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
4. (
E): 4x
2
+ y
2
− 4 = 0, biết tiếp tuyến lập với trục hoành một góc 60
°
.
5. (E): 4x
2
+ 9y
2
− 36 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(3;−4).
6. (E): 5x
2
+ 18y
2
− 90 = 0, biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến bằng 3.
Bài 6
. Cho (E): 8x
2

E).
Bài 8
. Cho elip (E):
22
1
16 5
xy
+= và hai điểm A(−3;0), B(−1;1).
1. Lập phương trình các tiếp tuyến của (
E) song song với đường thẳng AB. Tìm tọa độ các tiếp điểm.
2. Cho điểm
M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB.
Bài 9
. Cho elip (E): 9x
2
+ 25y
2
= 225.
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M(1;1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung
điểm của
AB.
2. Tìm trên (
E) hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.
Bài 10
. Cho elip (E):
22
1
25 16
xy
Huỳnh Bửu Tính
14
H
H
Y
Y
P
P
E
E
B
B
O
O
L
L
1. Định nghĩa
Cho hai điểm
F
1
, F
2
cố định sao cho F
1
F

+ b
2
− Trục thực trên Ox có độ dài 2a, trục ảo trên Oy có độ dài 2b
− Tiêu điểm F
1
(−c;0), F
2
(c;0)
− Đỉnh trên trục thực A
1
(−a;0), A
2
(a;0)
− Tâm sai
c
e
a
=
> 1− Đường chuẩn Δ:
a
x
e
=
±
− Bán kính qua tiêu điểm
+
x > 0
MF
1
= a + ex

0
) ∈ (H) là

Δ:
00
22
1
xx yy
ab
−=

b. Đường thẳng
Δ: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi

a
2
A
2
− b
2
B
2
= C
2
(C ≠ 0)
c. Đường thẳng qua hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ
A(x
A
;y
A

1
F
2
và tìm giao điểm của (C) với (H).
3. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có cùng tiêu điểm với (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở
của (H).
Bài 2
. Lập phương trình chính tắc của (H).
1. (H) tiếp xúc với d: x −
3 y − 1 = 0 tại điểm M(4; 3).
2. Tiêu cự
42
, hai tiệm cận vuông góc với nhau.
−
c
−
a O a c
F
1
A
1
A
2
F
2
y =
y
b
a
x

Bài 3
. Viết phương trình tiếp tuyến của (H).
1. (H): x
2
− 4y
2
= 20, tại các giao điểm với đường thẳng x − 3y = 0.
2. (H): 4x
2
− 5y
2
− 20 = 0, song song với đường thẳng d: 3x + 2y − 1 = 0.
Bài 4
. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (H): 9x
2
− 16y
2
= 144 trong mỗi trường hợp sau
1. Δ qua điểm A(4;−9). Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Δ // d:
221xy−+=0. Tìm tọa độ tiếp điểm.
3. Δ hợp với d: 3x + 2y + 5 = 0 một góc 45
°
.
Bài 5
. Cho họ đường cong
22
22
(): 1
25

(): 1
16 9
xy
H −=.
1. Gọi I là trung điểm đoạn OF
1
. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (H) và qua điểm I.
2. Tìm điểm M ∈ (H) sao cho M nhìn đoạn F
1
F
2
dưới một góc vuông.
Bài 8
. Cho (H) có hai tiêu điểm F
1
(−3;0), F
2
(3;0) và đường chuẩn có phương trình
1
3
x =±
.
1. Lập phương trình chính tắc của (
H).
2. Tìm
A, B trên (H) sao cho tam giác OAB đều.
Bài 9
. Cho hypebol (H): 5x
2
− 4y

R
A
A
B
B
O
O
L
L1. Định nghĩa.
Cho điểm
F và đường thẳng Δ cố định, F ∉ Δ. Khi đó
M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,Δ)

F: tiêu điểm

MF: bán kính qua tiêu
2. Phương trình chính tắc.

Phương trình chính tắc y
2
= 2px y
2
= − 2px x
2
= 2py x
2
= − 2py

Đường chuẩn
Δ: x = −
2
p
Δ: x =
2
p
Δ: y = −
2
p
Δ: y =
2
pTâm sai e = 1.
3. Tiếp tuyến của parabol.
1. Tiếp tuyến tại điểm
M(x
0
;y
0
) ∈ (P)
+ (
P): y
2
= ± 2px: y
0
y = ± (x
0

2. Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại
M và N của (P).
Bài 2
. 1. Cho (P) có đỉnh tại gốc tọa độ và đi qua điểm (2;2 2).A Đường thẳng d đi qua
5
2
(;1)I cắt (P) tại M,
N sao cho IM = IN. Tìm tọa độ M và N.
2. Cho (
P): y
2
= 64x và đường thẳng Δ: 4x + 3y + 46 = 0. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên (P)
và
Δ. Xác định M, N để MN ngắn nhất.
3. Lập phương trình chính tắc của (
P) có trục đối xứng Ox, biết rằng (P) chắn trên d: x + 2y = 0 một
đoạn có độ dài
45.
Bài 3
. Cho (P): y
2
= 2x.
1. Tìm điểm
M ∈ (P) sao cho MF = 2.
2. Tìm
A, B ∈ (P) sao cho ΔOAB đều.
3. Cho
A, B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB = 4. Tìm tập hợp trung điểm H của đoạn AB.
Bài 4
. Cho (P): y

−
và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại B.
2.
Tìm tất cả các điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.
Bài 7
. Cho parabol (P): y = x
2
− 2x + 3 và đường thẳng d cùng phương với đường thẳng y = 2x sao cho d cắt (P)
tai hai điểm phân biệt
A, B.
1.
Viết phương trình đường thẳng d khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc.
2.
Viết phương trình đường thẳng d khi AB = 40.