TR
ƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
CHUYÊN ðỀ:
trình học phổ thông. Tuy nhiên, nó cũng không quá cũ, chẳng có gì ñể nói như nhiều người
thường nghĩ. Bởi vì tuy là tiếp xúc nhiều nhưng ta ñã cho rằng phương pháp này không ñược
hiệu quả lắm bên cạnh những ñịnh lí, tiên ñề to lớn trong hình học không gian, cho những bài
giải ngắn gọn, mà lãng quên nó. Do ñó, tìm hiểu về phương pháp này sẽ giúp ta có một hệ
thống vững chắc giữa hình học không gian giải thuần tuý bằng ñịnh lí, tiên ñề, tính chất,… và
hình học không gian giải bằng biến ñổi vector và toạ ñộ.
Cố gắng thực hiện mục ñích ñó, nhóm chúng tôi ñã trình bày chuyên ñề của mình như sau:
Chuyên ñề gồm hai phần lớn: Vector và Toạ ñộ. Trong mỗi phần lại ñược chia thành nhiều
ñề mục nhỏ theo thứ tự nhất ñịnh, từ cơ bản ñến nâng cao, giúp xây dựng một hệ thống kiến
thức vững chắc, ña dạng nhưg vẫn dễ tiếp thu. Từ lí thuyết nền tảng ñến lí thuyết cao hơn, ví
dụ nhỏ ñến những bài toán ứng dụng lớn, ñó là sự cố gắng rất lơn của chúng tôi.
Bên cạnh những kiến thức cần thiết cho việc học hành chính quy của các bạn, ñiều chúng
tôi tâm ñắc nhất là có thể giúp các bạn nâng cao óc sáng tạo thông qua mảng kiến thức Sáng
tạo nằm cuối quyển sách, về hệ toạ ñộ Afin. ðó tuy không phải là những gì các bạn sẽ gặp
trong chương trình học cũng như trong thi cử, nhưng nó sẽ mang lại một cách suy nghĩ khá
mới mẻ, mở rộng ñược tầm hiểu biết, mang ñến cho chúng ta cách nhìn nhận vấn ñề tốt hơn, và
cho riêng các bạn chuyên toán, sẽ yêu môn toán hơn vì sự biến ñổi bất ngờ ñến thú vị của nó.
Trên lí thuyết, hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc là tiêu chuẩn, không chỉ trong toán học mà còn
nhiếu bộ môn khác. Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta vẫn cần biết ñến một hệ trục khác
không vuông góc. ðiều ñó làm thay ñổi hoàn toàn cách ta ghi nhận một sự việc, hiện tượng nào
ñó: hình tròn không còn tròn nữa, các ñường thẳng song song sẽ cắt nhau…! Nghe tuy thật
mâu thuẫn nhưng thật ra giữa hai hệ trục có mối quan hệ rất chặt chẽ và dĩ nhiên, không hề
mâu thuẫn với nhau. Mối liên hệ ñó như thế nào? Câu hỏi sẽ ñược giải ñáp trong phần Sáng
tạo của cúng tôi. Hơn thế nữa, các bạn sẽ còn nhận ra rằng nhiều khi ta ñã nhìn vấn ñề theo
một hệ trục “không trực chuẩn” như thế, cả trong học tập lẫn ñời sống, mà không nhận ra ñấy
thôi. Chúng tôi ñã nêu lên một số vấn ñề như thế trong phần Chuyên ñề của mình. Tuy nhiên vẫn
còn một số câu hỏi mà chúng tôi ñang giải quyết và rất mong ñợi sự hỗ trợ từ các bạn và quý
Lí thuyết
………………………………………………………………………… 5
1. ðịnh nghĩa vector, Quan hệ giữa các vector, Các phép toán ………………………… 5
2. ðiều kiện ñồng phẳng………………………………………………………………… 6
3. Góc giữa hai vector, Hình chiếu, Tích vô hướng………………………………………. 7
4. Hệ vector ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính………………………………………… …
8
Bài tập
………………………………………………………………………… 9
• Chương II TOẠ ðỘ
Lí thuyết
………………………………………………………………… ……18
1. Toạ ñộ vector, Toạ ñộ ñiểm, ðiều kiện ñồng phẳng, ñồng phương và các phép
toán………………………………………………………………………………….… 18
2. Ví dụ áp dụng……………………………………………………………………… … 19
3. Tích vô hướng, Tích hữu hướng và công thức tính thể tích…………………… …… 25
4. Ví dụ áp dụng ………………………………………………………………………… 26
5. Hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc………………………………………………… ………. 29
6. Ví dụ áp dụng………………………………………………………… ………………. 30
7. Tâm tỉ cự……………………………………………………………………… ……… 34
Bài tập
………………………………………………………………………… … 36
1. Hệ trục cho tam diện, hình chóp………………………………………………… …… 36
2. Hệ trục cho lăng trụ…………………………………………………………………… 56
3. Hình không mẫu mực……………………………………………………………… … 60
• Chương III
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG HAI CÁCH
………… … 66
u
, ñộ dài của vector ñó là u hoặc
u
- Vector có ñiểm ñầu và ñiểm cuối trùng nhau ñược gọi là vector- không (kí hiệu là
AA
hoặc
0
).
2. Quan hệ của các vector trong không gian:
a) 2 vector ñồng phương hoặc không ñồng phương:
- 2 vector
vu
, (khác
0
) ñược gọi là ñồng phương (kí hiệu
u
//
v
) nếu chúng nằm trên cùng 1 ñường
và ñồng phương, khi ñó tồn tại mp(P) chứa
vu
, .
- Nếu trong (P) 2 vector ñó cùng chiều, thì ta nói
u
và
v
cùng chiều trong không gian (kí hiệu
u
↑↑
v
)
- Nếu trong (P) 2 vector ñó ngược chiều, thì ta nói
u
và
v
ngược chiều trong không gian (kí hiệu
u
↑↓
v
) nếu chúng ngược chiều và cùng ñộ dài
d) 3 vector ñồng phẳng hoặc không ñồng phẳng:
- 3 vector
wvu
,, (khác
0
) ñồng phẳng khi chúng cùng nằm trong 1 mp hoặc nằm trong các mặt phẳng
song song.
- Nếu 3 vector không có tính chất trên thì chúng không ñồng phẳng
3. Các phép toán vector:
a) Phép cộng vector:
B A
v
a
C
- ðịnh nghĩa: Cho 2 vector
1210
, ,3,
−
.
Vector
n
AA
0
là tổng của n vector ñã cho và ñược kí hiệu:
n
uuuu +++= '
21
- Tính chất:
i)
u
+0
=
u
ii)
u
+(-
u
) = 0
+
w
)
b) Phép trừ 2 vector:
B
u
v
A
w
C
Hiệu của
u
và
v
là 1 vector
w
và ñược kí hiệu
u
khi k<0. Kí` hiệu:
v
= k.
u
- Tính chất:
i) 1.
u
=
u
ii) m.(n.
u
) = (m.n).
u
, (m,n
∈
R)
ii) m.(
u
+
ii) Nếu
u
//
v
thì tồn tại 1 số thực k sao cho
v
=k.
u
và k là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó. 4. ðiều kiện ñồng phẳng của 3 vector:
- Cho 3 vector
wvu
,,
(khác0
) và . ðể 3 vector ñó ñồng phẳng cần và ñủ là tồn tại 2 số thực m.n sao
cho
vnumw
+
=
Các vector
wvu
,,
ñược gọi là cơ sở của
a
. Bộ số (x,y,z) ñược gọi là toạ ñộ của
a
. Vector
a
có biểu
diễn như vậy ñược gọi là phân tích của
a
theo 1 cơ sở. Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
,
.
Góc tạo bởi 2 vector không phụ thuộc vào cách chọn ñiểm O
Góc tạo bởi 1 vector
0
và 1 vector khác 0
không xác ñịnh.
b) Tính chất:
i) Nếu
'
u u
↑↑
và '
v v
↑↑
thì
( ', ')
u v
=
( , )
AB
, thì
( , )
u v
=180
06. ðộ dài hình chiếu của 1 vector lên 1 trục tọa ñộ: B
A
O A’ B’ x
Cho
AB
là trục tọa ñộ Ox. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên Ox. A’B’ là hình
chiếu của AB lên Ox. Ta có hệ thức sau:
' ' cos
A B AB
α
=
(
. .
u v v u
=
ii)
.( ) . .
u v w u v u w
+ = +
iii)
( . ). .( . ),
k u v k u v k R
= ∈
iv)
2
2
. ( )
u u u u
= =
v)
. .
u v u v
≤
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
8
8. Hệ vector ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính:
a) Hệ vector ñộc lập tuyến tính:
Trong không gian vector V, hệ n vector
1 2
, , ,
n
x x x
ñược gọi là ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi từ
biểu thức:
1 1 2 2
0
n n
k x k x k x
+ + + =
Ta suy ra:
1 2
k x k x k x
+ + + =
c) Tính chất:
- Nếu 1 hệ vector
1 2
, , ,
n
x x x
là ñộc lập tuyến tính thì mọi vector của hệ ñều khác
0
- Nếu hệ vector
1 2
, , ,
n
x x x
ñộc lập tuyến tính thì mọi vector con của nó cũng ñộc lập tuyến tính
- Nếu hệ n vector
1 2
, , ,
n
x x x
phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ vector chứa hệ ñó ñều phụ thuộc tuyến
tính
1
0
n
i i
i
k x
=
=
∑
-
N
ế
u 1 h
ệ
vector
1 2
, , ,
n
x x x
là
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
1 2
, , ,
n
x x x
và cách bi
ể
u th
ị
ñ
ó là duy nh
ấ
t
>
Vi
ệ
c ch
ứ
ng minh 1 h
ệ
vector
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính hay ph
ụ
thu
ng chéo nhau trong hình
h
ọ
c.
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
9
MỘT SỐ BÀI TẬP
Những kĩ năng biến ñổi bài toán theo kiểu vector nói chung không phức tạp, ta cần làm nhiều
bài ñể nắm vững ñược nhiều dạng khác nhau. Khi ñó có thể nắm ñược mấu chốt vấn ñề khi gặp
một bài mới.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB,
SC, SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’
Ta có :
3
SA SB SC SG
+ + =
(G là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác ABC)
' ' ' 3 '
aSA bSB cSC dSG
⇔ + + =
M
ặ
t khác ta có A’, B’, C’, G’
ñồ
ng ph
ẳ
ng nên
' ' ' '
SG mSA nSB pSC
= + +
v
ớ
i m + n + p = 1
=
3 ( ) 3
a b c d m n p d
⇒ + + = + + =
⇒
3
' ' ' '
SA SB SC SG
SA SB SC SG
+ + =
Trên các c
ạ
nh AB, BC, CD, DA c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n ABCD, ng
ườ
i ta l
ấ
y theo th
ứ
t
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
10
' ' ' '
' ' ' '
AA BB CC DD
A B B C C D D A
= = =
Gi
ả
i:
ðặ
t
' ' ' '
, , ,
' ' ' '
) ( ) ( ) 0d AB b d BC c d CD− + − + − =
ðặ
t
; ; a d b d c d
α β γ
− = − = − =
Ta có:
0
AB BC CD
α β γ
+ + =
Gi
ả
s
ử
0
α
≠
V
ậ
y
α
=
T
ươ
ng t
ự
0
β
=
và
0
γ
=
Do
ñ
ó a = b = c = d
' ' ' '
AA BB CC DD
AB BC CD DA
⇔ = = =
⇔
' ' ' '
' ' ' '
AA BB CC DD
s
ố
k, ngh
ĩ
a là:
' ' ' '
' ' ' '
A A B B C C D D
A B B C C D D A
= = =
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i
ñ
i
ể
m O b
ấ
t kì trong không gian ta luôn có:
' ' ' '
OA OB OC OD OA OB OC OD
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
11
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
A A B B C C D D
k
A B B C C D D A
AA BB CC DD
m
AB BC CD DA
= = = =
⇒ = = = =
(v
ớ
i m = 1- k)
D
ựng các mặt phẳng
, , ,
α β γ θ
lần lượt qua A, B, C, D và song song với (P). Chúng cắt lần lượt tại A
1
,
B
1
, C
1
, D
1
. Áp dụng ñịnh lý Thales trong không gian ta có:
1
1
'
'
OAA A
k
A B OB
= =
;
1
1
'
'
4
1 1 1 1
1 1 1 1
. . . 1
OA OB OC OD
k
OB OC OD OA
⇒ = =
1
1
k
k
=
⇔
= −
1
k
⇔ = −
(vì nếu k=1 thì
A B C D
≡ ≡ ≡
, vô lí)
4
AA BB CC DD
GG
+ + +
≤
Ta biến ñổi như sau:
' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
4 '
AA BB CC DD
AG GG G A BG GG G B CG GG G C DG GG G D
GG
+ + + =
+ + + + + + + + + + +
=
4 ' ' ' ' ' ' ' ' '
4 ' ' ' ' '
GG AA BB CC DD AA BB CC DD
GG AA BB CC DD
= + + + ≤ + + +
⇒ ≤ + + +
y
a b c x
z
GA GB GC GD
R
+ + + + +
+ + + ≥
Giải:
ðặt
, , , , ,
AB a AC b AD c BC x BD y CD z
= = = = = =
Vì G là trọng tâm tứ diện nên ta có:
( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
0
4
GA GB GC GD
GA GB GC GD
y
a b c x
z
+ + + =
≥ +
Dấu “=” ⇔
GB OB
↑↑
2
. . .
GC R GC OG
GC
≥ +
Dấu “=” ⇔
GC OC
↑↑
2
. . .
GD R GD OG
GD
≥ +
Dấu “=”⇔
GD OD
↑↑
C
D
ấu “=”
O G ABCD
⇔ ≡ ⇔
là tứ diện ñều. Cho t
ứ diện gần ñều ABCD. M là ñiểm tuỳ ý trọng không gian . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
MA+MB+MC+MD.
Giải:
Bài toán sẽ ñơn giản hơn nếu ta có kết quả sau:
( )
1
. *
MA MO OA R
R
≥ +
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
13
Việc chứng minh rất dễ dàng:
+ + + ≥ + + + + =
D
ấu “=”
⇔
M
≡
O
G
ọi I, J lần lượt là trung ñiểm của AB, CD.
Ta có
ACD
∆BCD
= ∆
(
)
c c c
− −
AJ JB
⇒ =
2 2 2
8 8
8 8 4 8
1
2 2
b c a
OI
b c a a a b c
OA OI
IA
a b c
R OA
+
⇒ = −
+ + +
⇒ = + = − + =
+ +
⇒ = =
V
ậy:
( )
2 2 2
2( )
Min MA MB MC MD a M O
a b c
+ + + = + + ⇔ ≡
,
'
NC
n
ND
=
a) Hãy biểu thị các vector
' , '
B M B N
theo
, ,
a b c
b) Xác ñịnh m, n ñể ñường thẳng MN song song với ñường thẳng B’D
c) Tính ñộ dài ñoạn thẳng MN theo ñộ dài a, b, c là 3 cạnh của hình hộp trong trường hợp MN song
song với B’D và
. ’ ’ ’ ’
ABCD A B C D
là hình hộp chữ nhật
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
1 1
'
1 1 1
MA mMC
B A B M m B C B M
m B M mB C B A
m B M mc a b
m
B M a b c
m m m
⇒ =
⇒ − = −
⇒ − = −
⇒ − = − +
⇒ = − − +
− − −
* Bi
ểu diễn
'
B N
⇒ − = −
⇒ − = −
⇒ − = + − +
⇒ − = − +
− −
b) Ta có:
' ' ' '
'
B D B D B B
B D a b c
= +
= + +
Theo câu a):
' '
1 1 1
1
n
k
n
n m
n
n m n m
MN k B D k
n m m
n m
m
n m m
k
m
+ =
− −
+ = − +
= −
− − − −
⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔
= −
− −
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
15
c) MN//B’D
2 2 2 2
2 2 2
1
3
1
4
1
( )
4
1
( )
16
1
4
n
m
k
MN a b c
MN a b c
MN a b c
= −
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i vector
w
có
ñộ
dài b
ằ
ng 1 và
ñồ
ng ph
ẳ
ng v
ớ
i
,
u v
thì vector
( . ). ( ).
a u w v v w u
= − −
có
ñộ
const
γ α β
= = =
Do
1
u v w
= = =
Nên ta có:
. cos
u w
α
=
,
. cos
v w
β
=
,
. cos
u v
γ
=
2 2 2
sin ( ) sin
sina const
α β α β
α β β α
α β γ
γ
= +
= + =
⇒ = =
V
ậ
y vector
a
có
ñộ
dài không
ñổ
i Bài 4: Cho t
ứ
di
ệ
n
ñề
u ABCD c
ớ
i nhau t
ừ
ng
ñ
ôi m
ộ
t.
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
16
Gi
ả
i:
O
H
A
ñườ
ng cao xu
ấ
t phát t
ừ
A t
ớ
i tam giác BCD nên:
( )
( )
( )
1
3
1
2 6
AH AB AC AD b c d
AH
AO b c d
= + + = + +
⇒
= = + +
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
. 5 5
36
1
5 25 . 5 . . 5 . . 5 .
36
1 25 5 5 1
5 5 .0 0
36 2 2 2 2 2 2 36
OB OC b c d b c d
b b c b d c d c c d d b d c d
a a a a a a
a a a
= − − − + −
= − + − + − + + − +
= − + − + − + + − + = =
V
ậ
y
Bài 5: Cho l
ă
ng tr
ụ
tam giác ABCA’B’C’. G
ọ
i
', ', '
a AC b BA c CB
= = =
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng 3 vector
, ,
a b c
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng
ả
i:
ðặ
t
' , ,
AA x AB y AC z
= = =
Ta có
, ,
x y z
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng (ABCA’B’C’ là l
ă
ng tr
ụ
)
' '
' ' ( )
' '
AC AA AC
a x y
ả
s
ử
ta có:
( ) ( )
( 1) (1 ) ( 1) 0
a kb c
x z k x y l x y z
k l x k y l z
= +
⇒
+ = − + + −
⇒
+ − + − − + =
Do
, ,
x y z
ñộ
c l
l k
+ − = − ≠
(vô lí)
V
ậ
y ta không tìm
ñượ
c giá tr
ị
k, l
ñể
th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
a kb c
= +
hay 3 vector
, ,
x y z
ph
ụ
__________________________________________________________________________
18
CHƯƠNG II
TỌA ðỘ
Trong phần này lý thuyết sẽ ñược minh họa ngay bằng các ví dụ nhỏ giúp chúng ta nhanh chóng
có ñược các kỹ năng cần thiết ñể giải các bài tóan lớn hơn về sau.
1. Tọa ñộ của 1 vector:
Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho vector
u
, khi ñó tồn tại duy nhất bộ 3 số thực x,y,z sao cho
. . . ( , ,
u x i y j z k i j k
= + +
là các vector ñơn vị tương ứng trên các trục tọa ñộ Ox,Oy,Oz). Bộ 3 số thực
có thứ tự (x,y,z) ñược gọi là tọa ñộ của
u
. Các số x,y,z tương ứng là hoành ñộ, tung ñộ, cao ñộ của
vector ñó. Vector
0
có tọa ñộ (0,0,0). Kí hiệu:
=
2. Tọa ñộ của 1 ñiểm:
Trong hệ tọa ñộ Oxyz cho ñiểm M. tọa ñộ của
OM
ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm M
- Nếu
0 0 0
( , , )
x y z
là tọa ñộ của
OM
, thì tọa ñộ của M ñược kí hiệu M
0 0 0
( , , )
x y z
- Nếu các ñiểm A(x
1
,y
1
,z
1
) và B(x
2
=
• Cho
1 1 1
( , , )
u x y z
,
2 2 2
( , , )
v x y z
và
3 3 3
( , , )
w x y z
. ðiều kiện cần và ñủ ñể 3 vector ñó ñồng phẳng là
tồn tại 1 cặp số m, n sao cho
1 2
1 2
1 2
mx nx
my ny
mz nz
+
+
thì
1 2 1 2 1 2
( , , )
u x x y y z z
= + + +
- Nếu
v a b
= −
thì
1 2 1 2 1 2
( , , )
v x x y y z z
= − − −
- Nếu
.
w k a
=
(
k R
∈
), thì
1 1 1
19
1 1 1
2 2 2
2 2 2
( , , 0)
x y z
k x y z
x y z
= = = ≠
k>0: 2 vector
ñ
ã cho cùng chi
ề
u; k<0: 2 vector
ñ
ã cho ng
ượ
c chi
ề
u
-
Cho 2
ñ
i
ể
m A(x
a là
MA kMB
=
, thì t
ọ
a
ñộ
ñ
i
ể
m M là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
:
1 2
1 2
1 2
( )
( )
( )
x x k x x
y y k y y
z z k z z
− = −
ấ
t kì không thu
ộ
c (P). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
ñể
ñ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) là t
ồ
n t
ạ
i 3 s
n:
Ta có M n
ằ
m trong mp(ABC), m
ặ
t khác
AB
và
AC
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên t
ồ
n t
ạ
i c
ặ
p s
ố
a, b sao cho:
AM a AB bAC
= +
= + +
+ + =
•
Chi
ề
u
ñả
o:
Ng
ượ
c l
ạ
i gi
ả
s
ử
có
ñ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
20
( ) ( )
OM OA y OB OA z OC OA
⇔ − = − + −
AM y AB z AC
= +
V
ậ
y 3 vector
, ,
AM AB AC
ñồ
vector
(
)
b 2, y,z
cùng ph
ươ
ng v
ớ
i vector
a
.
b.
Tìm t
ọ
a
ñộ
vector
c
, bi
ế
t r
ằ
ng
c
ng
b
( )
y 6
1 3 4
b 2, 6,8
z 8
2 y z
= −
−
⇔ = = ⇔ ⇒ −
=
b.
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t, ta có :
( )
c a
c 2a c 2, 6, 8
)
A 2, 1,3 , B 0,1, 1 , C 1,2,0 , D 3,2, 1 .
− − − −
Xác
ñị
nh t
ọ
a
ñộ
các
ñỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ
a hình h
ộ
p .
Gi
ả
i :
Vì
ABCD
là hình bình hành nên:
( )
D D
D D
+ = =
− = ⇔ = ⇒ −
= − = −
T
ươ
ng t
ự
ta có
ñượ
c
(
)
(
)
1 1
A 4,1, 2 , B 2,3, 6 .
− −
Cho
ñ
i
ể
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
21
b.
Tìm t
ọ
a
ñộ
2
M
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i
M
qua m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy .
MM
nên
(
)
1
M 1, 2, 3
− − −
.
b.
G
ọ
i
1
H
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
M
lên Oxy, ta
ñượ
c
(
)
1
H 1, 2,0
. Vì
1
ñượ
c
(
)
2
H 0,0,3
. Vì
2
H
là trung
ñ
i
ể
m
3
MM
nên
(
)
3
M 1, 2,3
− −
.
Trong không gian Oxyz, cho các vector :
(
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
b.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ba vector
u, v, w
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng . Gi
ả
i
a.
Ta có th
ể
trình bày theo 2 cách sau :
= + ⇔ − = +
= −
,vô nghi
ệ
m
⇔
3 vector
a, b,c
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
b.
Ta có :
-5 1 1 5 5 -5
.8 .8 32 8.26 8.30 0
-3 7 7 9 9 -3
+ + = − + =
)
(
)
a 1, t,2 , b t 1,2,1 và c 0,t 2,2
+ −
.
Xác
ñị
nh t
ñể
a, b,c
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
Gi
ả
i : ðể
a, b,c
m A(1,1,-2), B(4,0,-1), C(-1,7,0), D(0,-2,-4), E(2,2,1). Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng:
a)
4
ñ
i
ể
m A,B,C,D cùng n
ằ
m trên 1 m
ặ
t ph
ẳ
ng
b)
4
ñ
i
ể
m A, B, C, E không cùng n
ằ
m trên 1 m
(1)
Ta có:
6
3 2
5
(1) 3 6
8
2 2
5
6 8
5 5
m n
m
m n
n
m n
AC AB AD
− = −
= −
⇔ − − = ⇔
= −
− =
ñồ
ng ph
ẳ
ng
2 3 (1)
(1) 6 1(2)
2 3 1 (3)
AB m AC n AE
m n
m n
m n
= +
− + =
⇔ + = −
+ =
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
23
Từ (1) và (2)
)
(
)
(
)
a 2,3,1 , b 5, 7,0 và c 3, 2,4
− − −
.
a. Chứng tỏ rằng
a, b,c
không ñồng phẳng .
b. Phân tích vector
(
)
d 3, 2,1
−
theo 3 vector
a, b,c
.
Giải :
a. Ta có :
( )
⇔ − = − − ⇔ = − = −
= +
Vậy , ta ñược :
33 15 10
d a b c
7 7 7
= − − +
.
Trong không gian Oxyz cho các
ñiểm A(2,0,0), C(0,3,0), O’(0,0,4). Dựng hình hộp chữ nhật
OABC.O’A’B’C’
a) Tìm tọa ñộ các ñỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật ấy
b) Chứng tỏ rằng
'
AC
và
'
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
24
(2,3,0)
' ' '(2,0,4)
' ' '(0,3,4)
' ' '(2,3,4)
OB OA OC B
OA OA OO A
OC OA OO C
OB OB OO B
= + ⇒
= + ⇒
= + ⇒
= + ⇒
Ta có:
' ( 2,3,4)
' (2,3,4)
AC
OB
= −
=
⇒
= −
(1)
(2)
(3)
Thay vào (2)
3 3
⇒ = −
, vô lí
V
ậy
'
AC
và
'
OB
không cùng phương
b)
I là trung ñiểm của OC
3
(0, ,0)
2
(1)
Ta có :
2 2 2
0
(1) 0 0 0
1
4 4 4
' 0. '
m n
m
m n
n
m n
OA BC nIJ
− + =
=
⇔ + = ⇔
=
+ =
⇒ = +
m n
m
m n
⇒
= +
+ =
⇒
=
+ =
Từ (1) và (2)
1
0
m
n
=
⇒
=
Copyright: Tài liệu đại học ©