TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TẬP 3

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC
uuuruuuruuuruuuur

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
0
IAIB
+=
uuruur
r
;
2
OAOBOI
+=
uuuruuuruur

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý.
Ta có: 03
GAGBGCOAOBOCOG
;++=++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.
Ta có: 04
GAGBGCGDOAOBOCODOG
;+++=+++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: 0

r
r
không cùng
phương. Khi đó:
abc
,,
r
rr
đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R:
cmanb
=+
r
rr

· Cho ba vectơ
abc
,,
r
rr
không đồng phẳng,
x
r
tuỳ ý.
Khi đó: $! m, n, p Ỵ R:
xmanbpc
=++
r
rrr

3. Tích vô hướng của hai vectơ

rr
. Qui ước:
0
uv
.
=
rr

+
0
uvuv
.
^Û=
rrrr

+
2
uu
=
rr C
HƯƠNG III

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


uxyzuxiyjzk
;;=Û=++
rrrrr

b) Tính chất: Cho
123123
aaaabbbbkR
(;;),(;;),
==Ỵ
rr

·
112233
abababab
(;;)
±=±±±
r
r

·
123
kakakaka
(;;)
=
r

·
11
22
33

r
r
r
Û
akbkR
()
=Ỵ
rr11
312
22123
123
33
0
akb
aaa
akbbbb
bbb
akb
,(,,)
ì
=
ï
Û=Û==¹
í
ï
=
ỵ

222222
123123
ababab
ab
ab
ab
aaabbb
.
cos(,)
.
.
++
==
++++
r
r
r
r
r
r
(với
0
ab,
¹
r
r
r
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Đònh nghóa:

x = z = 0; M
Ỵ
Oz
Û
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
AAABBB
AxyzBxyz
(;;),(;;)

·
BABABA
ABxxyyzz
(;;)
=
uuur
·
222
BABABA
ABxxyyzz
()()()
=-+-+-
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
111
ABABAB
xkxykyzkz
M
kkk
;;
ỉư


444
ABCDABCDABCC
xxxxyyyyzzzz
G ;;
ỉư
+++++++++
ç÷
èø

4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) Đònh nghóa: Cho
123
aaaa
(,,)
=
r
,
123
bbbb
(,,)
=
r
.
[ ]
( )
233112
233231131221
233112
aaaaaa

(
)
ababab
[,] sin,
=
rr
rr
rr
·
ab
,
rr
cùng phương
0
ab[,]
Û=
rrr

c) Ứng dụng của tích có hướng:
· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
ab
,
rr
và
c
r
đồng phẳng Û
0
abc[,].
=

B
¢
C
¢
D
¢
:
ABCDABCD
VABADAA
.''''
[,].'
=
uuuruuuruuur·
Thể tích tứ diện ABCD:
1
6
ABCD
VABACAD
[,].=
uuuruuuruuur
Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc,
tính góc giữa hai đường thẳng.

2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
· Phương trình
222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
với
222
0
abcd
++->
là phương trình
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222
abcd
++-
.

Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 29
VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau đây:
2
aij

02
2
a
;;
ỉư
=
ç÷
èø
r
;
450
b
(;;)
=-
r
;
41
0
3
3
c ;;
ỉư
=
ç÷
èø
r
;
11
3
5

uabc
=-+
r
rrr
b)
42
uabc
=
r
rrr
c)
2
4
3
ubc
=-+
r
rr

d)
35
uabc
=-+
r
rrr
e)
14
2
23
uabc

4
axa
+=
rrr
với
(
)
021
a
;;
=-
r

c)
2
axb
+=
r
rr
với
(
)
541
a
;;
=-
r
,
(
)

ca
=
rr
.
Bài 6. Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
111401321
abc
;;,;;,;;
=-=-=-
r
rr
. Tìm:
a)
(
)
abc
.
r
rr
b)
(
)
2
abc

và
b
r
:
a)
(
)
(
)
431123
ab
;;,;;
==-
r
r
b)
(
)
(
)
254603
ab
;;,;;
==-
r
r

c)
212022
ab

, biết rằng:
a)
213132324
51120
abc
auubuc
(;;),(;;),(;;)
.,.,.
ì
=-=-=-
í
=-=-=
ỵ
r
rr
r
rrrrr
b)
231123211
6
abc
uaubuc
(;;),(;;),(;;)
,,.
ì
=-=-=-
í
^^=-
ỵ
r

===-
ỵ
r
rr
r
rrrrr

e)
723435111
57
abc
aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,
ì
==-=-
í
=-=-^
ỵ
r
rr
r
rrrrr

Bài 9. Cho hai vectơ
ab
,
r
r
. Tìm m để:


c)
321211
332
ab
umabvàvambcùngphương
(;;),(;;)
ì
=-=-
í
=-=+
ỵ
r
r
rr
rrrr

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 30
Bài 10. Cho hai vectơ
ab
,
r
r
. Tính X, Y khi biết:
a)
46
ab
Xab
,

XabYab
,,,
,
ì
===
í
=-=+
ỵ
rr
rr
rr
rr
d)
(
)
0
212660
abab
XabYab
(;;),,,
,
ì
= ==
í
=-=+
ỵ
rr
rr
rr
rr

(
)
(
)
(
)
625363310
ambnc
;;,;;,;;
=-=-=
r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
2315641
abcmn
;;,;;,;;
===
r
rr

Bài 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
abc
,,

c)
(
)
(
)
(
)
312111221
abc
;;,;;,;;
= ==-
r
rr
d)
(
)
(
)
(
)
425313201
abc
;;,;;,;;
===
r
rr

e)
231120324
abc

r
rr
đồng phẳng:
a)
(
)
(
)
(
)
12121022
ambmcm
;;,;;,;;
==+=-
r
rr

b)
21121122212
ammbmmcmm
(;;);(;;),(;;)
=+-=++=+
r
rr

c)
(
)
(
)

,,
r
rr
không đồng phẳng. Biểu diễn
vectơ
u
r
theo các vectơ
abc
,,
r
rr
:
a)
(
)
(
)
(
)
210112221
377
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=-
í
=-

)
(
)
101011110
891
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=
í
=-
ỵ
r
rr
r
d)
(
)
(
)
(
)
102230034
1622
abc
u
;;,;;,;;
(;;)

f)
(
)
(
)
(
)
211132322
435
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=
í
=-
ỵ
r
rr
r

Bài 15. Chứng tỏ bốn vectơ
abcd
,,,
rr
rr
đồng phẳng:
a)
(

rr
không đồng phẳng và vectơ
d
r
. Chứng minh bộ ba vectơ sau không
đồng phẳng:
a)
bcdmanb
,,
=+
rrr
rr
(với m, n ≠ 0) b)
acdmanb
,, =+
rr
rrr
(với m, n ≠ 0)
c)
abdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0) d)
bcdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0)
e)

=
uuuruuur

Û

0
ABAC,
éù
=
ëû
uuuruuur
r·
ABCD là hình bình hành
Û

ABDC
=
uuuruuur·
Cho
D
ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
D
ABC
trên BC. Ta có:

uuuruuuruuur
Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
· Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
a)
123
M
(;;)
b)
312
M
(;;)
-
c)
113
M
(;;)

d)
121
M
(;;)
-

e)
257
M
(;;)

(;;)

d)
121
M
(;;)
-

e)
257
M
(;;)
-
f)
22157
M
(;;)
-
g)
11910
M
(;;)
-
h)
367
M
(;;)

Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
a)

ABC
(;;),(;;),(;;)
-
b)
013211123171019
ABC
(;;),(;;),(;;)
-

c)
347532123
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
423211387
ABC
(;;),(;;),(;;) e)
312121113
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
414074312
ABC
(;;),(;;),(;;)


(;;),(;;)
-
c)
414074
AB
(;;),(;;)
-

d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)

f)
423211
AB
(;;),(;;)Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm:
a)
111110311
ABC
(;;),(;;),(;;)


Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M.
· Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? · Tìm tọa độ điểm M.
a)
(
)
(
)
217452
A B;;,;;

b)
432211
AB
(;;),(;;)

c)
109122034
AB
(;;),(;;)
-

d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)
c)
(
)
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D
;;,;;,;;,;;

e)
231412637548
ABCD

Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
· Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
· Tính thể tích khối hộp.
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
101212111455
ABDC
;;,;;,;;,';;

b)
253100302312
ABCA
(;;),(;;),(;;),'(;;)c)
021111000110
ABDA
(;;),(;;),(;;;),'(;;)

d)
022012111121
ABCC

a) Phân tích vectơ
AE
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
b) Phân tích vectơ
AG
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng
minh rằng MN ^ A¢C.
Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông
góc với mặt phẳng (MNP). Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 33
VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác đònh tâm J và bán kính R
¢
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
với
222
0
abcd
++->

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222
abcd
++-
. Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

xyzxyz
++ ++=

g)
222
84240
xyzxyz
++-++-=
h)
222
340
xyzxy
++-+=

i)
222
333631520
xyzxyz
+++-+-=
k)
222
622100
xyzxyz
++-+-+=

Bài 2. Xác đònh m, t,
a
, … để phương trình sau xác đònh một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của
các mặt cầu đó:
a)


f)
2222
22421580
xyztxtytzt(ln)ln.(ln)ln
+++-+++++=

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 34
Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a)
1353
IR(;;),-= b)
5372
IR
(;;),
-=
c)
1325
IR
(;;),
-=
d)
2433
IR
(;;),
-=

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
a)

(;;),(;;)
-
b)
032241
AB
(;;),(;;)

c)
321213
AB
(;;),(;;)d)
433215
AB
(;;),(;;)

e)
235413
AB
(;;),(;;)

f)
625407
AB
(;;),(;;)Bài 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:

d)
572311944150
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)e)
623016201410
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

f)
010231222112
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)Bài 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P)
cho trước, với:
a)
120113201
ABC
POxz
(;;),(;;),(;;)
()()
ì

í
º
ỵ

Txyzxyz
(;;)
():
ì
-
í
++-+-+=
ỵ
VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
, R
1
) và S
2
(I
2
, R
2
).

·

1212
IIRR

) tiếp xúc trong
·

1212
IIRR
=+
Û
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc ngoài

·

121212
RRIIRR
-<<+

Û
(S
1
), (S
2
) cắt nhau theo một đường tròn.

Bài 1. Xét vò trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
222

241050
46220
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+-+=
í
++ +-=
ï
ỵ
d)
222
222
842150
4122250
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+ =
í
+++ +=
ï
ỵ

e)
222
222
26450

4232
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
-+-++=
í
-+++-=+
ï
ỵ
b)
222
2222
32181
1233
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
-++++=
í
-+-+-=-
ï
ỵ

c)

ỵ
Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 35
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng:

2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
hoặc:
222
2220
xyzaxbyczd
++++++=

– Tìm giới hạn q tích (nếu có).
2. Tìm tập hợp tâm mặt cầu
– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn:
xft
ygt
zht
()
()
()
ì

a)
22
124
MAMB
+=
b)
3
2
MA
MB
= c)
·
0
90
AMB =

d) MA = MB e)
222
210
MAMBkk
()()
+=+>

Bài 3. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi:
a)
222
46231920
xyzxymzm()
++ +-+-=

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
· Vectơ
0
n
¹
r
r
là VTPT của (a) nếu giá của
n
r
vuông góc với (a).
· Hai vectơ
ab
,
r
r
không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên (a).
Chú ý:
·
Nếu
n
r
là một VTPT của (
a
) thì
kn
r

· Nếu (a) có phương trình
0
AxByCzD
+++=
thì
nABC
(;;)
=
r
là một VTPT của (a).
· Phương trình mặt phẳng đi qua
0000
Mxyz
(;;)
và có một VTPT
nABC
(;;)
=
r
là:

000
0
AxxByyCzz
()()()
-+-+-=

3. Các trường hợp riêng

Chú ý:

+++=·
(
a
), (
b
) cắt nhau
Û

111222
ABCABC
::::
¹

·
(
a
) // (
b
)
Û

1111
2222
ABCD
ABCD
==¹


++=

5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
a
): Ax + By + Cz + D = 0

( )
000
0
222
AxByCzD
dM
ABC
,()
a
+++
=
++III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Các hệ số Phương trình mặt phẳng (a) Tính chất mặt phẳng (a)

A = C = 0
0
ByD
+=

(a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz)
B = C = 0
0
AxD
+=

(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)

Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 37
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (
a
) ta cần xác đònh một điểm thuộc (
a
) và một VTPT của nó.
Dạng 1: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
có VTPT
(

r
:
Khi đó một VTPT của (
a
) là
[
]
nab
,
=
r
rr
.
Dạng 3: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
và song song với mặt phẳng (
b
): Ax + By + Cz + D = 0:
(
a
):
(
)
(
)

) là:
nAMu
,
éù
=
ëû
uuur
rr

Dạng 6: (
a
) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP
u
r
của đường thẳng (d) là một VTPT của (
a
).
Dạng 7: (
a
) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Xác đònh các VTCP
ab
,
r
r

1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác đònh các VTCP
ab
,
r
r
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
– Lấy một điểm M thuộc d

nab
,
=
r
rr
.
Dạng 10: (
a
) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
– Xác đònh VTCP
u
r
của (d) và VTPT
n
b
r
của (
b
).
– Một VTPT của (
a
) là:
nun
,
b
éù
=
ëû
rrr
.

.
Dạng 12: (
a
) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho
trước:
– Giả sử (
a
) có phương trình:
0
AxByCz+D
++=
(
)
222
0
ABC
++¹
.
– Lấy 2 điểm A, B
Ỵ
(d)
Þ
A, B
Ỵ
(
a
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
dMk
(,())

=-
M3;1;1,n1;1;2
r
b)
(
)
(
)
-=
M2;7;0,n3;0;1
r
c)
(
)
(
)
=
M4;1;2,n0;1;3
r

d)
(
)
(
)
-=
M2;1;2,n1;0;0
r
e)
(
d)
11
A;1;0,B1;;5
22
ỉưỉư

ç÷ç÷
èøèø
e)
211
A1;;,B3;;1
323
ỉưỉư
-
ç÷ç÷
èøèø
f)
256132
AB
(;;),(;;)Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP
ab
,
r
r
cho trước, với:

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
(
)
b
cho
trước, với:
a)
(
)
(
)
(
)
215
MOxy
;;,
b
= b)
(
)
(
)
121230
Mxy;;,:
b
+=

c)
(
)

toạ độ, với:
a)
(
)
215
M
;;
b)
(
)
121
M
;;
- c)
(
)
110
M
;;
- d)
(
)
365
M ;;
-

e)
235
M
(;;)

123243456
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
352120037
ABC
(;;),(;;),(;;)e)
240517111
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
300050007
ABC
(;;),(;;),(;;)Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm B, C cho trước, với:
a)
124321213
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
000213421

311214
2310
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
-+-=
ỵ
b)
( )
213421
23250
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+-+=
ỵ
c)
()
213479
34850

)
(
)
12523102310
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
+-+=-++=

Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 39
b)
(
)
(
)
10222030
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
-+ = =

c)
(
)
(
)
2402325034850
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
-+-+=+ =


21140310
MPxyzQ: xyz;;,:,
+-=-+-=

c)
(
)
(
)
(
)
34119642704283110
MPxyzQ:xyz;;,:,
+=-++=

d)
(
)
(
)
(
)
00153250210
MPxyzQxyz;;,:,:
-+-= =

Bài 11. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
2403020

c)
2402502360
PxyzQxyzRxyz
():,():,():
+ =+++= +=

d)
320450270
PxyzQxyRxz
():,():,():
-+-=+-=-+=

Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với:
a)
20513201232
PxyQxyzMk
():,():,(;;),
=-+==
VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 1. Xét vò trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a)
23250
34850
xyz
xyz

xyz
ì
+=
í
=
ỵ
e)
22450
25
55100
2
xyz
xyz
ì
+=
ï
í
+=
ï
ỵ
f)
326230
326330
xyz
xyz
ì
=
í
+=
ỵ

+=
ỵ

d)
390
2230
xymz
xnyz
ì
-+-=
í
++-=
ỵ
e)
2350
6620
xyz
mxyz
ì
++-=
í
=
ỵ
f)
3530
2310
xymz
xyz
ì
-+-=

()
ì
+-=
í
+-+-=
ỵ

Bài 3. Xác đònh m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
a)
2720
32150
xymz
xyz
ì
-++=
í
+-+=
ỵ
b)
213230
1450
mxmyz
mxmyz
()
()
ì
++=
í
+-+-=
ỵ

mxyz
ì
=
í
+ =
ỵ
f)
3530
3250
xymz
xyz
ì
-+-=
í
+++=
ỵ
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.

·
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0

HP
,
()
ì
í
Ỵ
ỵ
uuuur
r·
Điểm M
¢
đối xứng với điểm M qua (P)
Û

2
MMMH
¢
=
uuuuuruuuurBài 1. Cho mặt phẳng (P) và điểm M.
· Tính khoảng cách từ M đến (P). · Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên (P).
· Tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua (P).
a)
2260235
PxyzM

Bài 2. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
a)
2310
2350
xyz
xyz
ì
-++=
í
-++=
ỵ
b)
6210
6230
xyz
xyz
ì
-++=
í
-+-=
ỵ
c)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =

+-+=
ỵ

Bài 3. Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:
a)
632703
xyzk
,
-+-==
b)
326504
xyzk
,
+==

c)
6231202
xyzk
,
-++==
d)
2441403
xyzk
,
-+-==

Bài 4. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a)
2310
2350

4850
xyz
xyz
ì
-++=
í
-++=
ỵ
e)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
ỵ
f)
36370
210
xyz
xyz
ì
+-+=
í
+-+=
ỵ

Bài 5. Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng bằng k cho trước:

-+-=
í
ï
=
ï
ỵ
c)
63210
2260
4
7
xyz
xyz
k
ì
+ =
ï
ï
+-+=
í
ï
=
ï
ỵ

Bài 6. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều điểm N và mặt phẳng (P):
Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 41
a)
2250122


Bài 7. Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách đều hai mặt phẳng:
a)
10
50
xyz
xyz
ì
+-+=
í
-+-=
ỵ
b)
2210
2250
xyz
xyz
ì
+-+=
í
++-=
ỵ
c)
2450
4210
xyz
xyz
ì
-++=
í

í
+-+=
ỵ

Bài 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng
(Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a)
(
)
1232440
AQxyz;;–,():
+=
. b)
(
)
312623120
A Qxyz;;–,():
-++=
.
Bài 9. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm
A một khoảng k cho trước:
a)
22502144
QxyzAk
():,(;;),
+-+=-=
b)
244302343
QxyzAk
():,(;;),


Góc giữa (
a
), (
b
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
12
nn
,
rr
.

( )
12121212
222222
12
111222
nnAABBCC
nn
ABCABC
.
cos(),()
.
.
ab
++
==
++++
rr
rr

-+-=
ỵ
b)
2210
2250
xyz
xyz
ì
+-+=
í
++-=
ỵ
c)
2450
4210
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
ỵ

d)
44270
2450
xyz
xz
ì
+-+=

mxmyz
mxmyz
()
()
a
ì
++=
ï
+-+-=
í
ï
=
ỵ
b)
0
2120
70
45
mxymz
xmyz
a
ì
++-=
ï
+++=
í
ï
=
ỵ
c)

í
ï
=
ỵ

Bài 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
g
b
a
,, lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng
(ABC). Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) 1coscoscos
222
=++
gba

PP Toạ độ trong không gian Trần Só Tùng
Trang 42
VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (
a
):
0
AxByCzD
+++=
và mặt cầu (S):
2222
xaybzcR
()()()-+-+-=

– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (
a
).
H là tiếp điểm của (S) với (
a
).

·
(
a
) cắt (S) theo một đường tròn
Û

dIR
(,())
a
<

Để xác đònh tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (
a
).
– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (
a
).
H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (
a
).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến:
22

ỵ

c)
222
2110
24220
Pxyz
Sxyzxyz
():
():
ì
+ =
í
+++ +=
ỵ
d)
222
2250
648130
Pxyz
Sxyzxyz
():
():
ì
-++=
í
++ +=
ỵ

e)

2222
424501231
PxyzSxyzm
():;():()()()()
-+-=-+++-=-

c)
2222
326702112
PxyzSxyzm
():;():()()()()
+-+=-+-++=+
d)
2222
23610042123540
PxyzSxyzmxmyzmm():;():()
-+-=+++-+-+++-=

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
a)
3522310
IPxyz
(;;),():
+=
b)
147667420
IPxyz
(;;),():
+-+=



c)
222
13249
Sxyz():()()()
-+++-=
tại
715
M
(;;)
-

d)
222
222220
Sxyzxyz():
++ =
và song song với mặt phẳng
326140
xyz
-++=
.
e)
222
642110
Sxyzxyz():
++-++-=
và song song với mặt phẳng
43170
xz

thẳng:
1
5113
232
xyz
d:
+-+
==
-
,
1
718
320
xyz
d :
++-
==
-
.
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;

c)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D
;;,;;,;;,;;
d)
231412637548
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;) e)
572311944150

(;;)
và có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
:

1
2
3
o
o
o
xxat
dyyattR
zzat
():()
ì
=+
ï
=+Ỵ
í
ï
=+
ỵ

· Nếu
123

ï
=+
ỵ
và
01
02
03
xxta
dyyta
zzta
:
¢¢¢
ì
=+
ï
¢¢¢¢
=+
í
ï
¢¢¢
=+
ỵ·
d // d
¢

Û



Û

0000
aacùngphương
Mxyzd
,
(;;)
¢
ì
í
¢
Ï
ỵ
rr

Û

00
aacùngphương
aMMkhôngcùngphương
,
,
¢
ì
í
¢
ỵ
rr
uuuuuur


·
d
º
d
¢

Û

0101
0202
0303
xtaxta
hệytaytaẩnttcóvôsốnghiệm
ztazta
(,)
¢¢¢
ì
+=+
ï
¢¢¢¢
+=+
í
ï
¢¢¢
+=+
ỵÛ

aaaMM,,
éù
¢¢
==
ëû
uuuuuur
r
rrr·
d, d
¢
cắt nhau
Û
hệ
0101
0202
0303
xtaxta
ytayta
ztazta
¢¢¢
ì
+=+
ï
¢¢¢
+=+
í
ï

0
aa
aaMM
,
,.
ì
¢
¹
ï
í
¢¢
=
ï
ỵ
r
rr
uuuuuur
rr·
d, d
¢
chéo nhau
Û

0101
0202
0303
aakhôngcùngphương

aaMMkhôngđồngphẳng
,,
¢¢
uuuuuur
rr

Û

[
]
00
0
aaMM,.
¢¢
¹
uuuuuur
rr·
d
^
d
¢

Û

aa
¢
^

í
ï
=+
ỵ

Xét phương trình:
010203
0
AxtaBytaCztaD()()()
++++++=
(ẩn t) (*)

·
d // (
a
)
Û
(*) vô nghiệm

·
d cắt (
a
)
Û
(*) có đúng một nghiệm

·
d
Ì
(

Û
d(I, d) > R

·
d tiếp xúc với (S)
Û
(*) có đúng một nghiệm
Û
d(I, d) = R

·
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
Û
(*) có hai nghiệm phân biệt
Û
d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
r
và điểm M.

0
MMa
dMd
a
,
(,)


1212
12
12
aaMM
ddd
aa
,.
(,)
,
éù
ëû
=
éù
ëû
uuuuuur
rr
rr

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
với
mặt phẳng (
a
) chứa d
2

.

( )
12
12
12
aa
aa
aa
.
cos,
.
=
rr
rr
rr

9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
và mặt phẳng (
a
) có VTPT
nABC
(;;)
=

Dạng 1: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
:

1
2
3
o
o
o
xxat
dyyattR
zzat
():()
ì
=+
ï
=+Ỵ
í
ï
=+
ỵ

d: bằng cách giải hệ phương trình
P
Q
()
()
ì
í
ỵ
(với việc chọn giá trò
cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d:
PQ
ann
,
éù
=
ëû
rrr·
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2

trên đường thẳng
D
.

0
H
MHu
ì
ỴD
í
^
ỵ
V
uuuuur
r

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
0
, H.

·
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P)
Ç
(Q)
Dạng 8: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và cắt hai đường thẳng d

Cách 2: Gọi (P) =
01
Md
(,)
, (Q) =
02
Md
(,)
. Khi đó d = (P)
Ç
(Q). Do đó, một VTCP của d
có thể chọn là
PQ
ann
,
éù
=
ëû
rrr
.
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Tìm các giao điểm A = d
1

Ç
(P), B = d

d
1
, N
Ỵ
d
2
. Từ điều kiện
1
2
MNd
MNd
ì
^
í
^
ỵ
, ta tìm được M, N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
Trần Só Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 47

·
Cách 2:
– Vì d
^
d
1
và d
^
d

Khi đó d = (P)
Ç
(Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P):

·
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa
D
và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
Ỵ

D
.
– Vì (Q) chứa
D
và vuông góc với (P) nên
QP
nan
,
D
éù
=
ëû
rrr
.
Khi đó d = (P)
Ç
(Q).
Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d

r
cho trước:
a)
Ma
(1;2;3),(1;3;5)
-=-
r
b)
Ma
(0;2;5),(0;1;4)
-=
r
c)
Ma
(1;3;1),(1;2;1)
-=-
r

d)
Ma
(3;1;3),(1;2;0)
=-
r
e)
Ma
(3;2;5),(2;0;4)
-=-
r
f)
Ma


d)
(
)
(
)
210012
A, B
;;;;
e)
(
)
(
)
127124
A, B
;;;;
- f)
(
)
(
)
213422
A, B
;;;;Bài 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng
D cho trước:
a)

=-
ỵ
d)
252
422
423
xyz
A(;;),:
D
+
-==
e)
34
13222
31
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=+
ï
-=-
í
ï
=-
ỵ
f)
312

(;;),():
++=

Bài 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
cho trước:
a)
62230
35210
Pxyz
Qxyz
():
():
ì
+++=
í
=
ỵ
b)
23340
230
Pxyz
Qxyz
():
():
ì
-+-=
í
+-+=
ỵ
c)

Qy
():
():
ì
+-=
í
-=
ỵ
f)
210
10
Pxyz
Qxz
():
():
ì
++-=
í
+-=
ỵ

Bài 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường
thẳng d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
121

ỵỵ

c)
12
11
123222
333
xtx
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=-=
ïï
-= =-+
íí
ïï
=-=+
ỵỵ
d)
12
731
4144292
4312
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=-+=+

ztz
(;;),:,:
ìì
==
ïï
-=-=-
íí
ïï
=-=
ỵỵ

Bài 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường
thẳng D cho trước:
a)
1221
2
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=
ï
-=-
í
ï
=
ỵ
b)

ï
=-+
ỵ
d)
3141
2
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=
ï
-=-
í
ï
=-
ỵ

e)
1
12322
33
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì

cho trước:
a)
12
121
105322
113
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=-
ïï
=-=+
íí
ïï
=+=-
ỵỵ
b)
12
113
21122
33
xtxt
Adytdyt
zzt
(;;),:,:
ìì
=+=+
ïï

ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=-
ïï
-=-+=
íí
ïï
=-+=
ỵỵ

e)
12
243
231121
1323
xtxt
Adytdyt
ztzt
(;;),:,:
ìì
=+=-+
ïï
-=-=+
íí
ïï
=+=-+
ỵỵ
f)
12

Pyz
xt
xyz
ddyt
z
():
:,:
ì
+=
ï
ï
ì
=-
ï
-
í
===+
í
ï
-
ï
=
ï
ỵ
ỵ
b)
12
62230
121
322

Pxyz
xtxt
dytdyt
ztzt
():
:,:
ì
-+-=
ï
ï
ìì
=-+=+
ïï
í
=-=-+
íí
ï
ïï
=+=
ï
ỵỵ
ỵ
d)
12
33470
11
222
333
Pxyz
xtx

a)
1
2
11
212
11
121
213
321
xyz
xyz
d
xyz
d
:
:
:
D
ì

==
ï
-
ï
ï
+-
==
í
-
ï

-+-
==
í
ï
++
ï
==
ï
ỵ

c)
1
2
122
:
143
122
:
143
47
:
591
-+-
ì
D==
ï
ï
-+-
ï
==

ì
++-
==
ï

ï
ï
-+-
==
í
ï

ï
==
ï
ỵ-

Bài 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
3223
144
2412
xtxt
dytdyt

221
13
312
xtxt
dytdyt
ztzt
:,:
ìì
=+=+
ïï
=+=+
íí
ïï
=-=+
ỵỵ
d)
12
2312
312
122
xtxt
dytdyt
ztzt
:,:
ìì
=+=-+
ïï
= =-
íí
ïï

():
D
ì
+
ï
==
í
-
ï
+-+=
ỵ

c)
113
122
2230
xyz
Pxyz
:
():
D
ì
+
ï
==
í
-
ï
-+-=
ỵ

ï
==
í
ï
+++=
ỵ
f)
12
121
2350
xyz
Pxyz
:
():
D
ì

ï
==
í

ï
+=
ỵ

g)
54250
220
210
xyz

í
+-=
í
ỵ
ï
+ =
ỵ

Bài 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng
d
1
và cắt đường thẳng d
2
cho trước:
a)
12
1
12
011
311
1
x
xyz
Addyt
zt
(;;),:,:
ì
=-
ï


12
14113
123
623325
xyzxyz
Add(;;),:,:
+ +-
====

Trích đoạn Viết phương trình mặt phẳng

---