Nguyễn Hữu Hải

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CĂN BẢN
1. Tọa độ củar véc tơ và tọa
độr của
điểm
r
r
r





Véc tơ u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
uuuu
r r r r
Điểm M = ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk
r
Véc tơ 0 = (0;0;0)
Điểm A = ( x A ; y A ; z A ) ; B = ( xB ; yB ; z B ) ; C = ( xC ; yC ; zC ) thì
uuur
uuur
AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z B − z A ) và AB = AB =

 Tọa độ trung điểm I của AB: xI =

( xB − x A )

2

r

'
'
'
Cho u = ( x; y; z ) ; v = ( x ; y ; z ) thì



 x = x'
r r
r
r r

u ± v = ( x ± x ' ; y ± y ' ; z ± z ' ) ; ku = ( kx; ky; kz ) ; u = v ⇔  y = y '
z = z'




 x = kx '
r
r
r

r
x y z ' ' '
'
u cùng phương với v ⇔ u = kv ⇔  y = ky ⇔ ' = ' = ' ( x . y .z ≠ 0 )
x y z

2
2
Độ dài véc tơ: u = x + y + z
rr
r r
u.v
x.x ' + y. y ' + z.z '
Góc giữa hai véc tơ: cos u, v = r r = 2 2 2 '2 '2 '2
u.v
x +y +z . x +y +z

( )

3.2.Tích có hướng của hai véc tơ
 Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau
r r y z z x x y
u , v  = 
= yz ' − y ' z ; zx ' − z ' x; xy ' − x ' y )
   y ' z' ; z ' x' ; ÷
÷ x ' y' (



 Tính chất:

r r

r

r r


r r uu
r r

r r uu
r

o u , v, w đồng phẳng u, v  .w = 0 (∗) (ba véc tơ có giá song song hoặc nằm trên
một mặt phẳng).
r r uu
r r
r r uu
r
o u, v, w không đồng phẳng u, v  .w ≠ 0 (∗) .
uuur uuur uuur

o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔  AB, AC  . AD = 0 (∗) (bốn điểm nằm trên
một mặt phẳng).
uuur uuur uuur
o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔  AB, AC  . AD ≠ 0 (∗) (bốn đỉnh của
một tứ diện).
uuur uuur

o Diện tích hình bình hành: S ABCD =  AB, AD  (∗)

uuur uuur
uuur2 uuur 2 uuur uuur
 AB, AC  (∗) ; S
=
AB . AC − AB. AC


(1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R.

Dạng 2: x 2 + y 2 + z 2 − 2 Ax − 2 By − 2Cz + D = 0 (2) , với điều kiện A2 + B 2 + C 2 − D > 0 là
phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính R = A2 + B 2 + C 2 − D .

5. Phương trình mặt phẳng
r

r

 Véc tơ n ≠ 0 vuông góc với mặt phẳng ( α ) được gọi là VTPT của mặt phẳng ( α ) .
r r
 Véc tơ u ≠ 0 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( α ) được gọi là VTCP của
mặt phẳng ( α ) .
r r

 Nếu u , v là hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng

r r
r
u , v  = n là một VTPT của mặt phẳng ( α ) .
 
uuu
r uuur
r
Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì  AB, AC  = n là một VTPT của mặt phẳng

( α ) thì


b
c

2


Nguyễn Hữu Hải
'
'
'
'
 Nếu hai mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( β ) : A x + B y + C z + D = 0 giao nhau thì

 Ax + By + Cz + D = 0

hệ phương trình: 

'
'
'
'
A x + B y + C z + D = 0

được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

∆ trong không gian.

7. Khoảng cách
7.1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì:


∆ :  y = y0 + bt ; M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ∆, VTCP u = (a; b; c) ; được tính bởi CT:
 z = z + ct
0

r uuuuuu
r
u , M 0 M 


d ( M , ∆) =
r
u

7.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

r

Nếu đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u = (a; b; c )
ur

Đường thẳng ∆ ' đi qua điểm M 0' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) và có VTCP u ' = (a ' ; b ' ; c ' ) thì
r ur uuuuuur
u , u '  .M M '

 0 0
d ( ∆, ∆ ' ) =
r ur'
u , u 


+ (α)

ur
r
n = k n'
A B C D
P( β ) ⇔ 
⇔ '= '= '≠ '
'
A B C D
 D ≠ kD
u
r
r
n = k n '
A B C D
≡(β) ⇔ 
⇔ '= '= '= '
'
A B C D
 D = kD
ur
r
và ( β ) cắt nhau ⇔ n ≠ kn ' ⇔ ( A : B : C ) ≠ ( A' : B ' : C ' )
r ur
và ( β ) vuông góc vớ nhau n.n' = 0 ⇔ AA' + BB ' + CC ' = 0

+ (α)
8.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng


'
+ ∆≡∆ ⇔
, hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.
'
'
 M 0 ∈ ∆ ( M 0 ∈ ∆ )
ur
r
u = ku '
ur
r
'
'
+ ∆ P∆ ⇔ 
,
hay
và hệ (I) vô nghiệm.
u
=
ku
'
'
M
∉
∆
M
∉
∆
( 0 )
 0


(

rr

+ ∆ P( α ) ⇔ phương trình (*) vô nghiệm u.n = 0, M 0 ∉ ( α )

)

rr
+ ∆ ⊂ ( α ) ⇔ phương trình (*) có vô số nghiệm u.n = 0, M 0 ∈ ( α )

(

)

(

rr

+ ∆ và ( α ) cắt nhau tại một điểm ⇔ phương trình (*) có nghiệm duy nhất u.n ≠ 0
r
r
Lưu ý: ∆ ⊥ ( α ) ⇔ u = k n

8.4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
4

)


 z = z + ct
0

r uuuur
u , M 0 I 
r


r
Gọi d = d ( I , ∆ ) =
, trong đó M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ∆, u = (a; b; c) là VTCP của ∆
u

+ Nếu d > R ⇒ ∆ và (S) không có điểm chung
+ Nếu d = R ⇒ ∆ tiếp xúc với (S) ( ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu (S))
+ Nếu d < R ⇒ ∆ cắt (S) tai hai điểm A, B ( ∆ gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))
8.6. Vị trí tương đối giữa một điểm và mặt cầu
2
2
2
Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt cầu (S): ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 ,tâm
I ( a; b; c ) , bán kính R thì MI =

( a − x0 )

2

+ ( b − y0 ) + ( c − z 0 )
2



; 00 ≤ ( ∆, ∆' ) ≤ 90 0

)

9.2. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
r
r
Đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) và mặt phẳng ( α ) có VTPT n = ( A; B; C ) thì
sin ( ∆, ( α ) )

rr
u.n
r r
= cos u, n = r r =
u.n

( )

Aa + Bb + Cc
A + B +C . a +b +c
2

2

2

2


A + B +C . A + B +C
2

2

2

'2

'2

'2

; ( 0 0 ≤ ( α , β ) ≤ 900 )

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Vấn đề 1:

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ CỦAVÉCTƠ, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

r
r
r r
r
r
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho a = (1; −2;1) , b = (−2;1;1) , c = 3i + 2 j − k . Tìm tọa độ các

véctơ sau:


3r
2

r

d) x = a − b + 2c

c) w = a − b + 2c
r

r

r r r

Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho a = (1; −1;0) , b = (−1;1; 2) , c = i − 2 j − k , d = i
r
r
a) xác định k để véctơ u = (2; 2k − 1;0) cùng phương với a
r
r r
r
b) xác định các số thực m, n, p để d = ma − nb + pc
r r r

r

c) Tính a , b , a + 2b
Bài 3: Cho A ( 2; 5; 3) , B ( 3;7; 4 ) , C ( x; y; 6 )
a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz. Tính độ dài đoạn AB


TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
r r

Bài 1: Trong không gian Oxyz , tính tích có hướng u, v  biết rằng:
r
r
r
r
r r r r r r r
a) u = (1; −2;1) , v = (−2;1;1)
b) u = (−1;3;1) , v = (0;1;1)
c) u = 4i + j , v = i − 2 j − k
6


Nguyễn Hữu Hải

r r uu
r

Bài 2: Trong không gian Oxyz , tính tích u , v  .w và kết luận sự đồng phẳng của các véc
tơ, biết rằng:
r
r
uu
r
a) u = (1; −2;1) , v = (0;1;0) , w = (1; 2; −1)
r
r

PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU

Bài 1: Trong không gian Oxyz , tìm tâm và bán kính mặt cầu
a) ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 9

2
2
2
b) −2 x − 2 y − 2 z + 8 x − 10 y − 6 z −

25
=0
2

Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho A ( 1;3; −7 ) , B ( 5; −1;1) .
a) Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c) Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho A ( 1;1;1) , B ( 1;2;1) , C ( 1;1;2 ) , D ( 2;2;1)
Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm: A ( 1;2; −4 ) ,
Bài 4: a)
Trong
gian
Viếtkhông
phương
trình mặt, cầu
đi qua bốn điểm A, B, C, D
B ( 1; −3;1
,
C

a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n(1; −1;5) làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trìnhr mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm
r
trong mp đó là a = (1; 2; −1), b = (2; −1;3)
c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e) Viết phương trình mp (ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp ( P ) : 2 x − y − 3 z − 2 = 0
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
( Q) : 2x − y + 2z − 2 = 0
d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, song song với trục Oy và vuông góc với
mặt phẳng ( R ) : 3 x − y − 3 z − 1 = 0
e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz.
Bài 3: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox,
Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho: OA = OB = OC.
Bài 4: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy,
Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 5: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy,
Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng
tâm tam giác ABC.
Bài 6: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD, biết rằng: A ( 2; −1;6 ) , B ( −3; −1; −4 ) ,
C ( 5; −1;0 ) , D ( 1;2;1) .
a) Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)
b) Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Bài 7: Trong không gian Oxyz , cho mp(P): 2 x − y + 2 z − 2 = 0 và hai điểm A ( 2; −1;6 ) ,
8



( α ) một góc 600

Bài 13: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 1;1;2 ) , B ( 1;2;1) , C ( 2;1;1) , D ( 1;1; −1)
a) Viết phương trình mặt phẳng ABC.
b) Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Bài 14: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và
qua giao tuyến của hai mặt phẳng x − y + z − 4 = 0 và 3x − y + z − 1 = 0
Bài 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai
mp x + 2 z − 4 = 0 và x + y − z + 3 = 0 đồng thời song song với mặt phẳng x + y + z = 0
Bài 16: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt
9


Nguyễn Hữu Hải

phẳng 3 x − y + z − 2 = 0 và x + 4 y − 5 = 0 đồng thời vuông góc với mp 2 x − y + 7 = 0
Bài 17: Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, C’D’và D’A’.
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K)
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)
c) Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)
Bài 18: Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
AB = SA = 2a; AD = a . Đặt hệ trục Oxyz sao cho các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với
các tia AB, AD, AS.
a) Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.
b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
c) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
d) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
e) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 19: Trong không gian Oxyz , cho tam giác đều ABC cạnh a; I là trung điểm của BC.


a) Qua điểm A ( 3; −1;2 ) và song song với đường thẳng  y = 3 + t
 z = −t


b) Qua A ( 3; −1;2 ) và song song với hai mặt phẳng x + 2 z − 4 = 0; x + y − z + 3 = 0
c) Qua điểm M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng:
 x = 1 − 2t
x −1 y − 2 z +1

=
=
(d1):  y = 3 + t và (d2):
2
−1
3
 z = −t


Bài 3: Cho tứ diện ABCD, biết rằng: A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
10


Nguyễn Hữu Hải

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(1;5;-2) và vuông góc với cả hai
đường thẳng AB, CD.
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):
lên các mặt phẳng tọa độ.

4
3
−2
1
x −1 y − 2 z
x
y +8 z − 4
=
= và (d’)
=
=
b) (d)
2
−2
1
−2
3
1
x − 2 y z +1
x−7 y −2 z
=
=
=
=
c) (d)
và (d’)
4
−6 −8
6
9

c) (d)
và ( α ) : x + 2 y − 4 z + 1 = 0
8
2
3

a) (d)

Bài 9: Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

x −1 y − 7 z − 3
x − 6 y +1 z + 2
=
=
=
=
và (d’)
2
1
4
3
−2
1
x −1 y − 2 z
x
y +8 z − 4
=
= và (d’)
=
=

Bài 11: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
và ( α ) : 3x + 5 y − z − 2 = 0
4
3
1
x +1 y − 3 z
=
= và ( α ) : 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0
b) (d)
2
4
3
x − 9 y −1 z − 3
=
=
c) (d)
và ( α ) : x + 2 y − 4 z + 1 = 0
8
2
3

a) (d)

Bài 12: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến các đường thẳng:
x − 12 y − 9 z − 1
=

=
=
=
=
, (d2):
1
2
−2
2
4
−4
x y z −1
x − 2 y z −1
= =
(d3): = =
,
(d4) :
2 1
1
2
2
−1

(d1):

a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình
tổng quát của mặt phẳng đó
b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
c) Tính côsin góc giữa (d1) và (d3)
Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2) và mp ( α ) : x + y + z − 2 = 0


mp ( α ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài 22: Cho hai điểm A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp ( α ) : x + y + z − 2 = 0 . Tìm điểm M trên
mp ( α ) sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
Bài 23: Cho ba điểm A(3;1;0), B(1;-2;5), C(-1;-2;-3) và mp ( α ) : x + y + z − 2 = 0 . Tìm
điểm M trên mp ( α ) sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 nhỏ nhất.
Bài 24: Cho 4 điểm A(3;1;0),B(1;-2;5), C(-1;-2;-3), D(1;5;1) và mp ( α ) : x + y + z + 1 = 0 .
Tìm điểm M trên mp ( α ) sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 nhỏ nhất.
 x = 3t
x −1 y + 2 z − 2

=
=
Bài 25: Cho ba đường thẳng (d1):
, (d2):  y = 1 − t và (d3) là giao tuyến
1
4
3
z = 5 + t

của hai mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 4 z − 3 = 0, ( β ) : 2 x − y − z + 1 = 0

Viết phương trình song song với (d1) cắt cả hai đường thẳng (d2) và (d3)
 x = 1 + 2t

Bài 26: Cho hai đường thẳng (d1):  y = t
và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng
z = 3 − t



2
3
1
1
5
−2

a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c) Tính góc giữa (d1) và (d2)
x = 2 − t
x −1 y − 2 z − 3

=
=
Bài 29: Cho hai đường thẳng (d):
và (d’):  y = −1 + t .
1
2
3
z = t


a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c) Tính góc giữa (d1) và (d2)
 x = 1 + 3t

Bài 30: Cho hai đường thẳng (d1):  y = −2 + t và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng
z = t

KA-2002: Cho ∆1 : 
2
x + 2 y − 2z + 4 = 0
 z = 1 + 2t


1) Viết ptmp (P) chứa ∆1 và song song với ∆ 2
2) Cho M (2;1; 4) . Tìm tọa độ điểm H thuộc ∆ 2 sao cho MH có độ dài nhỏ nhất.
ĐS: (P): 2x – z = 0, H(2;3;4)

14


Nguyễn Hữu Hải

 x + 3ky − z + 2 = 0
. Tìm k để d k ⊥ ( P), ( P) : x − y − 2 z + 5 = 0 ;
 kx − y + z + 1 = 0

KD-2003: Cho đường thẳng d k : 
ĐS: k = 1

uuur

KB-2003: Cho A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho AC = (0;6;0) . Tính khoảng cách từ trung
điểm I của BC đến OA.
ĐS: 5
KD-2004: Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C (1;1;1;), ( P) : x + y + z − 2 = 0 . Viết pt mặt cầu đi qua A, B, C
có tâm thuộc (P).
ĐS: (x – 1)2 + y2 + (z – 1)2 = 1

KA-2005: Cho d :

x −1 y + 3 z − 3
=
=
, ( P) : 2 x + y − 2 z + 9 = 0
−1
2
1

1) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho d ( I , ( P)) = 2
2) Tìm tọa độ điểm A = d ∩ ( P ) . Viết pt tham số của ∆ : ∆ ⊂ ( P), ∆ qua A, ∆ ⊥ d
2) A(0; -1; 4), ∆ : x = t, y = -1; z = 4 + t.

ĐS: 1) I1(-3; 5; 7), I2(3; -7; 1)
KD-2006: Cho A(1; 2;3), d1 :

x −2 y + 2 z −3
x −1 y −1 z +1
=
=
, d2 :
=
=
2
−1
1
−1
2
1


ĐS: 1) (P): x + 3y + 5z – 13 = 0

2) M(0; 1; -1), N(0; 1; 1)

KD-2007: Cho A(1; 4; 2), B( −1; 2; 4), ∆ :

x −1 y + 2 z
=
=
−1
1
2

1) Viết ptđt d đi qua trọng tâm G của ∆ OAB và vuông góc mp(OAB).
2) Tìm tọa độ M thuộc ∆ sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
15


Nguyễn Hữu Hải

x
2

ĐS: 1) d : =

y−2 z−2
=
, 2) M(-1; 0; 4)
−1

ĐS: 1) x2 + y2 + z2 – 3x – 3y – 3z = 0
2) H(2; 2; 2)
KB-2008: Cho A(0;1; 2), B(2; −2;1), C (−2;0;1)
1) Viết pt mp(ABC)
2) Tìm tọa độ M thuộc mp có pt: 2 x + 2 y + z − 3 = 0 và MA = MB = MC
ĐS: 1) (ABC): x + 2y – 4z + 6 = 02)M(2; 3; -7)
KA-2008: Cho A(2;5;3), d :

x −1 y z − 2
= =
2
1
2

1) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d
2) Viết pt mp (α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α ) lớn nhất
ĐS: 1) H(3; 1; 4)

2) (α ) : x – 4y + z – 3 = 0

CĐ-2009: Cho ( P1 ) : x + 2 y + 3 z + 4 = 0, ( P2 ) :3 x + 2 y − z + 1 = 0 . Viết pt mp(P) đi qua A(1;1;1) ,
vuông góc 2 mp (P1) và (P2).
ĐS: (P): 4x – 5y + 2z – 1 = 0
KD-2009: Cho A(2;1;0), B(1; 2; 2), C (1;1;0), ( P) : x + y + z − 20 = 0 . Tìm tọa độ D thuộc (AB) sao
cho CD song song với (P).
ĐS: D(5/2; 1/2; -1)
KB-2009: Cho tứ diện ABCD có A(1; 2;1), B(−2;1;3), C (2; −1;1), D(0;3;1) . Viết pt (P) qua A, B
sao cho d (C , ( P)) = d ( D, ( P))
ĐS: (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0, (P): 2x + 3z – 5 = 0
KA-2009: Cho ( P) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0, ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 . CMR (P) cắt (S)


KD-2011: Cho A(1; 2;3), d :

x +1 y z − 3
= =
. Viết pt ∆ đi qua A, ∆ ⊥ d và cắt Ox.
2
1
−2

ĐS: ∆ : x = 1 + 2t; y = 2 + 2t; z = 3 + 3t
x − 2 y +1 z
=
= , ( P) : x + y + z − 3 = 0 . Gọi I là giao giữa ∆ và (P). Tìm tọa
1
−2
−1
độ M thuộc (P) sao cho: MI ⊥ ∆, MI = 4 14 .
ĐS: M(5; 9; -11), M(-3; -7; 13)

KB-2011: Cho ∆ :

KA-2011: Cho A(2;0;1), B(0; −2;3), ( P) : 2 x − y − z + 4 = 0 . Tìm tọa độ M thuộc (P) sao cho
MA = MB = 3.

ĐS: M(0; 1; 3), M(-6/7; 4/7; 12/7)

KD-2012: Cho ( P) :2 x + y − 2 z + 10 = 0, I (2;1;3) . Viết pt mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một
đường tròn có bán kính bằng 4.
ĐS: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25


Viết pt mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại A, B

sao cho ∆ IAB vuông tại I.
ĐS: x2 + y2 + (z – 3)2 = 8/3
KA-A1-2013(CT-CHUẨN): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
∆:

x−6
−3

=

y +1
−2

=

z+2
1

và điểm A(1;7;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông

góc với ∆ . Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho AM = 2 30 . ĐS:
 51 1 17 
M 1 ( 3; −3; −1) ; M 2  ; − ; − ÷
7
7
7


.
7
2
4

và đường thẳng ∆ :

17


Nguyễn Hữu Hải

KD-2013(CT-NC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1; 3; -2) và mặt
phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z + 5 = 0 . Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng
đi qua A và song song với (P).

2
3

ĐS: d ( A; P) = ; (Q) : x − 2 y − 2 z + 3 = 0

KD-2013(CT-Chuẩn): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1; -1; -2), B(0; 1;
1) và đường thẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết
phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P).
(Q ) : x − 2 y + z + 1 = 0

2 2


1

Cho tứ diện EFGH biết E(1; 2; 3), F(5; 1; 0), G(2; 5; -1), H(2; -1; 1).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (EFG).
2/ Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục hoành, đi qua điểm H và

tiếp xúc với mặt phẳng (EFG).
-------HẾT--------

18


Nguyễn Hữu Hải

SỞ GD&ĐT ĐĂK LĂK

ĐỀ 2
ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 12 – CHƯƠNG III
Năm học 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 45 phút không kể thời gian giao đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Bài 1: (3,0 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm I(4; 9; -5 ) và mặt phẳng
(P): 3x + 10y – 4z +3 = 0.
1) Tìm tọa độ một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và viết phương trình mặt phẳng (Q)
qua I và song song với (P).
2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với (P).
Bài 2: (4,0 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
2
2

ĐỀ 3
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III - NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: HÌNH HỌC 12
Thời gian làm bài: 45 phút

I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm)
Bài 1. (4,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 3), B(6; - 1; - 5) và mặt
phẳng (P) có phương trình: xu+uur2y – z + 1 = 0.
1/ Tìm tọa độ véc tơ AB , tính độ dài đoạn thẳng AB và tìm tọa độ điểm M nằm trên
trục Oy cách đều hai điểm A, B.
2/ Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (P).
3/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
(P).
Bài 2(3,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho tam giác CDE biết C(1; 2; 3), D(2;- 1;5) và E(1;3;4).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (CDE). Chứng minh OCDE là hình tứ diện.
2/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OCDE. (với O là gốc tọa độ).
II/ PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Học sinh chọn một trong hai phần riêng dưới đây)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Bài 3a. (3,0 điểm) Trong không gian Oxyz, Cho điểm P(3; 2; -1) và mặt cầu (S) có phương
trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 .
1/ Chứng tỏ (P) nằm ngoài mặt cầu (S).
2/ Tìm tọa độ điểm T trên mặt cầu (S) sao cho PT đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn
nhất đó.
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Bài 3b. (3,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm H(2; 0; -1) và mặt cầu (S) có phương
trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 .