Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

CHUYÊN ĐỀ 9
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

m

Các bài toán về tọa độ trong không gian thường có các yêu cầu xác đònh tọa độ của điểm,
vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc 2 vectơ, các vấn đề về mặt phẳng và đường thẳng trong không gian
(phương trình, vò trí tương đối, song song, vuông góc, số đo góc, khoảng cách,… ). Tùy theo từng
trường hợp ta cần lưu ý vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây :

co

I. Toạ độ điểm. Toạ độ vectơ

c.

Trong không gian tọa độ vuông góc Oxyz có 3 vectơ đơn vò trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là
G G G
e1 , e2 , e3 .
JJJJG
G
G
G
* Cho M(x, y, z) thì OM = x. e1 + y. e2 + z. e3 .
G
G
G
G
G

1− k

gb

*

)

on

2. Các phép toán trên tọa độ vectơ
G
G
Cho hai vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3). Với α và β là 2 số thực ta có các công thức tính
và công thức quan hệ sau :

kh

a) Công thức tính toán
G
G
α . a + β . b = ( α .a1 + β .b1, α .a2 + β .b2, α .a 3 + β .b 3 )
G G
a . b = a1.b1 + a2.b2 + a 3 .b 3

( )=

G G
n
cos a, b

(

)

(b1, b2, b 3 ≠ 0)

m

G
G
a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a 3 .b 3 = 0
Chú ý :

co

Góc hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là góc nhọn tạo bởi hai vectơ chỉ phương của
2 đường thẳng đó.
MẶT PHẲNG

c.

I. Phương trình mặt phẳng

G
1.* Phương trình tham số của mặt phẳng α qua M(x0, y0, z0) có cặp vectơ chỉ phương a = (a1,
G
a2, a 3 ), b = (b1, b2, b 3 ) viết là :

oc
uo


a2

a3

b2

b3

( x − x0 ) +

a3

a1

b3

b1

( y − y0 ) +

a1 a2
b1

b2

( z − z0 ) = 0 .

kh


α cắt β

G
G
⇔ n khác phương n1
ĐƯỜNG THẲNG

oc
uo

I. Phương trình đường thẳng

c.

α ⊥β

G
G
⇔ n // n1
G
G
⇔ n ⊥ n1

α // β

co

G G
Vò trí giữa hai mặt phẳng α , β là vò trí giữa 2 pháp vectơ n , n1 :



⎧ Ax + By + Cz + D = 0
⎨
⎩ A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(α)
(β)

(II)

kh

Ghi chú:

Cho phương trình đường thẳng Δ xác đònh bởi hệ (II). Để viết thành phương trình tham
số của đường thẳng ta có thể đặt z = t và tính x, y theo t từ hệ (II) và nhờ hệ (I) ta có được vectơ
chỉ phương và điểm của Δ (hoặc x = t,

hoặc y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến còn lại theo t được đơn giản).
3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) :
⎧ A1x + B1y + C1z + D1 = 0
⎨
⎩ A 2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0

3


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Có dạng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (*) với m, n không đồng thời
bằng 0.


Vấn đề 2 :
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

kh

on

gb

¾ Phương pháp :
Thông thường ta có 2 cách sau :
- Cách 1 : Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Cách 2 : Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
- Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt
phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác đònh được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng
chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau :
+ Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt
phẳng đi qua A và chứa d.
+ Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm
trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.
+ Đường thẳng (Δ) song song với d1 và cắt d2 : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng chứa d2
và song song với d1.
Chẳng hạn :
1. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng
ấy.
ª Cách giải :
- (Δ) đi qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với d.
- (Δ) đi qua A và cắt d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d. Khi đó (Δ) chính là giao
tuyến của α và β.


oc
uo

Bài toán 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d)
¾ Phương pháp :
A

(d)

H

gb

- Cách 1 : (d) cho bởi phương trình tham số :
+ H ∈ (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t.
→

→

+ Tìm tham số t nhờ điều kiện AH ⊥ a d
- Cách 2 : (d) cho bởi phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z)
→

→

kh

on


- Hình chiếu H chính là giao điểm của (Δ) và (α).
Bài toán 5 : Tìm hình chiếu (Δ) của đường thẳng (d) theo phương của đường thẳng (D) lên mặt
phẳng (α).
(Δ)
(d)
¾ Phương pháp :
A

co

(D)

d

c.

(Δ)

H

oc
uo

- Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và song song với (D)
- Hình chiếu (Δ) chính là giao tuyến của (α) và (β)
Vấn đề4
ĐỐI XỨNG

kh


6


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

oc
uo

c.

co

m

- Trường hợp 2 : (Δ) và (D) song song :
+ Tìm một điểm A trên (D)
+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ)
+ d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (Δ)
- Trường hợp 3 : (Δ) và (D) chéo nhau :
+ Tìm 2 điểm phân biệt A, B trên (D)
+ Tìm điểm A’, B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua (Δ)
+ d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’, B’.
Bài toán 4 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng α.
¾ Phương pháp :
- Trường hợp 1 : (D) cắt α
+ Tìm giao điểm M của (D) và (α)
+ Tìm một điểm A trên (D)
+ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α .
+ d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và M .
- Trường hợp 2 : (D) song song với α.

Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ)
¾ Phương pháp :
- Tìm hình chiếu H của M trên (Δ)
- Khoảng cách từ M đến (Δ) chính là độ dài đoạn MH.
Bài toán 3 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d1 và d2.
¾ Phương pháp :
7


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

Khoảng cách giữa α và β được cho bởi công thức : d(α, β) =

D1 − D2
2

A + B2 + C 2

m

- Tìm một điểm A trên d1.
- Khoảng cách giữa d1 và d2 chính là khoảng cách từ điểm A đến d2.
Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song α :
Ax + By + Cz + D1 = 0
Và β : Ax + By + Cz + D2 = 0
¾ Phương pháp :

+ Tìm vectơ chỉ phương

→ →


⎧ → →
⎪ AB ⊥ a
+ AB là đoạn vuông góc chung d1, d2. ⇔ ⎨ → →1 tìm được t1 và t2
⎪ AB ⊥ a
2
⎩

on

+ Khi đó d(d1, d2) = AB

Vấn đề 6
GÓC

Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình :
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

kh

d:

d’ :

x − x0 y − y0 z − z0


Chú ý :
- d ⊥ d’
⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0
-α⊥β
⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0
- d song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng α ⇔ aA + bB + cC = 0

→

co

Vấn đề 7
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng α và β có phương trình :
α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

m

sin ϕ =

→

→

→

- α cắt β


Nếu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta có cách khác :
- α cắt β
⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2

⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A 2 B2 C 2 D2

- α trùng β

⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
=
A 2 B2 C 2 D2

gb

- α song song β

on

Vấn đề 8
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG


a) a d1 và a d 2 cùng phương

A ∈ d 2 : d1 ≡ d 2
A ∉ d 2 : d1 / / d 2

9


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
→

→

→

co

Vấn đề 9
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
- Cách 1 :
Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng α.
+ Hệ vô nghiệm :
d // α.
+ Hệ có nghiệm duy nhất :
d cắt α
+ Hệ vô số nghiệm :
d⊂α
- Cách 2 :



oc
uo

+ a. n = 0 ( a ⊥ n )

Ví dụ 1:

Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D)

⎧ x − 2z = 0
⎨
⎩3x − 2y + z − 3 = 0

gb

và vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + 5 = 0
Giải

Phương trình tham số của (D) viết

on

⎧ x = 2t
⎪
7
3
⎪
⎨y = t −
2

1 1 2 2
⎟
2 ⎠
⎝ 2

= (– 11, 2, 15)

10

7
,1
2

)

(vectơ chỉ phương của (D) và


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Vậy phương trình (Q) viết
–11x + 2 ( y +

3
) + 15z = 0 ⇔ 11x – 2y - 15 z – 3 = 0.
2

Cách khác:
Pt mặt phẳng (Q) chứa (D) và vuông góc (P) có dạng:

m

gb

⎧3x − 7 y + z − 3 = 0
⎨
⎩ x − 9 y − 2z + 5 = 0

kh

on

Để mặt phẳng (P) : 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng trên thì (P) chứa (D) nghóa là
⎛ 1 18 ⎞ ⎛ 31 9 ⎞
chứa 2 điểm A ⎜ , 0, ⎟ , B ⎜ , , 0 ⎟ ∈ (D). Điều kiện để (P) chứa A, B thì m, n thỏa hệ phương
7 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠
⎝7
trình :
18
⎧5
⎪⎪ 7 + 4. 7 + m = 0
⎨
⎪5. 31 + 9 .n + m = 0
⎪⎩ 10 10

⎧m = −11
⇒ ⎨
⎩n = −5

Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường
thẳng:
⎧x − 2 y + z − 4 = 0

uo

c.

co

m

(P) : 2x – z = 0
b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH min ⇔ MH ⊥ Δ2
C1 : Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với Δ2.
Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3)
C2 : MH = (−1 + t, 1 + t, −3 + 2t), với H ∈ Δ2
Do MH . a Δ 2 = 0 ⇒ t = 1. Vậy điểm H (2, 3, 3).
Ví dụ 4: ( ĐH KHỐI B-2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D .
b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD,A1D1 .Tính góc giữa hai đường
thẳng MP và C1N .
BÀI GIẢI:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho ta có :
A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a)
C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a)
Suy ra M (a, 0, a 2 ); N ( a 2 , a, 0); P (0, a 2 , a)
a) A 1 B = (a, 0, −a) B1 D = (−a, a, −a)
Gọi (P) là mp qua B1D và (P) // A1B
⇒ (P) có pháp vectơ n = (1, 2, 1)
⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = 0

a


1 vectơ chỉ phương của (dm) là :
2
2
a = (−2m + m + 1, −(2m +1) , - m(1 – m))
1 pvt của (P) là n = (2, −1, 0)
ycbt ⇔ a . n = 0 ⇔ −4m2 + 2m + 2 + (4m2 + 4m + 1) = 0

⇔ 6m + 3 = 0 ⇔ m = −

1
2

12


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

m

Ví dụ 6 ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp
chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0),
D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm CC’.
a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
a
b. Xác đònh tỷ số
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b
BÀI GIẢI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0)
b
)

12
4
JJJG JJJJG
JJG
b) (A’BD) có vectơ pháp tuyến ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a2 ) hay n = (b, b,a)

(MBD) có vectơ pháp tuyến

uo

JJJG JJJJG
JJJG
⎡ BD,BM ⎤ = ( ab , ab , −a2 ) hay m = (b, b, −2a)
⎣
⎦
2 2
JJJG JJG
Ta có : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔ m . n = 0

co

A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a,

⇔ b2 + b2 – 2a2 = 0 ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔

a
=1
b

oc

⎧ x = t,y = 0,z = 0
⎪
⇔ ⎨y = 0 . Vậy H (1; 0; 0).
⎨
x
−
1
=
0
⎩
⎪z = 0
⎩

d(I, OA) = IH = (1 − 1)2 + (0 − 3)2 + (0 − 4)2 = 5.
Ví dụ 8 ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường
⎧ x + 3ky − z + 2 = 0
thẳng d k : ⎨
⎩kx − y + z + 1 = 0
Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng
(P):
x – y – 2z + 5 =0JJG
JJG
BÀI GIẢI: n1 = (1, 3k, −1); n 2 = (k, −1, 1)
13


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

JJG
ad


M

C

N
D

a)

H

O

B

oc
uo

S

c.

co

Ví dụ9 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là
trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

b)

on

⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH =

2 6
.
3

(ABM) ∩ SD = N ⇒ N là trung điểm SD

VSBMN SM SN 1
1
1
=
.
= ⇒ VSMNB = VSBCD = VSABCD
4
8
VSBCD SC SD 4
1
Tương tự: VSABN = VSABCD
4
3
Vậy: VSABMN = VSMNB + VSABN = VSABCD
8
3 1 1
1
= . . AC.BD.SO = .4.2.2 2 = 2 (đvtt)

2

Gọi (α) là mp chứa SA và // BM
⇒ PT (α) : 2x + z − 2 2 = 0
2 6
.
3
2x + 2 2y + 3z − 2 2 = 0

b)

Pt mp(ABM):

m

Ta có d(SA, BM) = d(B, α) =

co

⎧x = 0
⎪
Pt tham số SD: ⎨y = −1 + t (t ∈ R).
⎪
⎩z = 2 2t

1
2

N là giao điểm của SD và mp (ABM) ⇒ N (0; − ; 2)


gb

Ví dụ 10 ( ĐH KHỐI D -2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng
ABCA1B1C1. Biết A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b)
a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng
B1C và AC1 lớn nhất.
BÀI GIẢI: a) C1 (0; 1; b)
Gọ
i (α) là mặt phẳ
ng chứa B1C và song song với AC1
JJJJG
JJJJG
B1C = (a;1; − b) ; C1A = (a; −1; − b)
JJJJG JJJJG

on

Suy ra: ⎡⎣ B1C,C1A ⎤⎦ = (−2b;0; −2a)

Suy ra ptrình (α): b(x − 0) + 0(y − 1) + a(z − 0) = 0 .
⇔ bx + az = 0.

kh

Ta có: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)=

ab
2


ab
2

≤

a+b
2 2

=

4
2 2

= 2

⎧a = b
⎪
Max d ⇔ d = 2 ⇔ ⎨a + b = 4 ⇔ a = b = 2
⎪a > 0, b > 0
⎩

15

.


Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
ab
16 − 2ab


m

Cách 2: d =

Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
BÀI GIẢI: Cách 1: A (−4; −2; 4)

c.

⎧x = −3 + 2t
⎪
(d) : ⎨y = 1 − t
⎪z = −1 + 4t
⎩

⇒ phương trình (Δ) :

oc
uo

LấyJJJJ
MG (−3+2t; 1 – t; −1 + 4t) ∈ (d)
⇒ AM = (1 + 2t; 3 – JJJJ
t; −G5JJJJ
+G4t)
JJJG
Ta có: AM ⊥ (d) ⇔ AM. ad = 0 (với ad =(2; −1; 4)).
⇔ 2 + 4t – 3 + t – 20 + 16t = 0 ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1.JJJJG
Vậy đường thẳng cần tìm là đt AM qua A có VTCP AM =(3;2;−1)

⎪⎩(β ) ⊥ (d) → n ( β ) = ad = (2; −1;4)

⎧ x − 2y − z + 4 = 0
⎩2x − y + 4z − 10 = 0

Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = 0 Pt (Δ) : ⎨

Ví dụ 12 ( ĐH KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng:
x −1 y + 3 z − 3
=
=
và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0
−1
2
1

kh
d:

a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng
Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vuông góc với d.
⎧x = 1 − t
⎪
BÀI GIẢI: a) Phương trình tham số của d : ⎨y = −3 + 2t (t∈ R)
⎪z = 3 + t
⎩

16


⎪z = 4 + t '
⎩

co

G G

Suy ra vectơ chỉ phương của Δ : [a, n] = (−5; 0; − 5) hay (1; 0; 1)

c.

Ví dụ 13 ( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với

oc
uo

A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4).
a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC1B1).
b) Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với
BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN.
BÀI GIẢI: a) Hình chiếu của A1 xuống mp (Oxy) là A ⇒ A1(0; -3; 4)
Hình chiếu của C1 xuống mp (Oxy) là C ⇒ C1(0; 3; 4)
JJJG
Cặp véc tơ chỉ phương của (BCC1B1) là : BC = (−4;3;0)
JJJJG
BB1 = (0;0;4)
Suy ra véc tơ pháp tuyến của (BCC1B1) là :
JJG
JJG

2
JJG
JJJJG JJJJG
n P = ⎡⎣ AM; BC1 ⎤⎦ = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2)

Mặt khác (P) đi qua A nên có phương trình : x + 4(y + 3) – 2z = 0
⇔ x + 4y – 2z + 12 = 0
JJJJJG
A1C1 đi qua A1 và có véc tơ chỉ phương A1C1 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0)
⎧x = 0
⎪
nên có phương trình : ⎨ y = −3 + t (t ∈ R)
⎪z = 4
⎩

17


Thế phương trình A1C1 vào phương trình (P) ta được t = 2
Thế t = 2 vào phương trình (A1C1) ta được x = 0, y = −1, z = 4
⇒ N (0; −1; 4)
3
17
và MN = (0 − 2)2 + (−1 + )2 + (4 − 4) 2 =
2
2
Ví dụ 14 ( ĐH KHỐI D-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
x −1 y + 2 z +1
⎧x + y − z − 2 = 0
=

Ta có : a = b và NB = (11, 2, 11) không cùng phương với a .
Vậy d1 // d2
JJG
JJG JJJG
Mp (P) qua N và có pháp vectơ : n =[ a , NB ] = (−15; −11; 17)
Phương trình (P) là: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = 0
⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = 0
JJJG JJJG
b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒ ⎡⎣ OA,OB⎤⎦ = (0, −10, 0)
1 JJJG JJJG
⇒ Diện tích (ΔOAB) = ⎡⎣OA,OB⎤⎦ = 5 (đvdt).
2

kh

on

gb

***

18