Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


1
1
CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
PHẦN II: HÌNH CHĨP

Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TỐN
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ
thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
Bài tốn đơn giản hay khơng một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vng góc và đơn vị
trên các trục.
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vò trí của gốc O ( Đỉnh của góc vng, tâm
mặt cầu ….)
Bước 2: Dựa vào điều kiện của bài tốn để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt
cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy.
(có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
+)Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
+) Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng,
điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
+) Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
+) Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài tốn sang tính chất đại số
và giải tích, đưa bài tốn về bài tốn đại số, giải tích. Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết

'
khác với S
Ta luôn có:

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


2
2

SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABCS
CBAS
'''
.
'''
.


Chú ý.
a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn
hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng.
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy.

* Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh bên
vu«ng gãc
đáy.
Ví dụ 1.
Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau;
AB = 3; AC = AD= 4
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD)
( KD: 2002)
Giảii
+ Chän hƯ trơc Oxyz sao cho A  O
D Ox; C  Oy và B  Oz
 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
 Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ:
1
4 4 3
  
x y z
 3x + 3y + 4z - 12 = 0
Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ:
d(A; mp’(BCD)) =
6 34
17Ví dụ 2.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A,
AD = a, AC = b, AB = c.Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

 
2S abc a b c  

 
2 2 2 2 2 2
BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c đpcm
2 2
a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a


     


 

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)
c a a b 2ca b

Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD),

1
n u (1;1; 2)
  
 
:
( ): x y 2z 0.   

Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ chỉ phương
1
u

:

x a t
(SC): y a t
z 2t
 


 


 


N SC N(a t; a t; 2t)
    

a a a a 2
N ( ) a t a t 2( 2t) 0 t N ; ;

A
P
N
M
B
C
a
O
z
a 2

a
x
D
y
z
y
x
A
B
C
D

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


4
4
a a a 2 2a 2a 2a 2
AN ; ; ; AN a; MP ; ; 0 ; MP .

Cho hình chóp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; đáy ABCD là hình thang vuông có
BC = 2a,
a
AD
2

và đường cao AB = a. M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x (
0 x a)
 
. Tính độ
dài đường cao DE của BMD. Đònh x để DE đạt giá trò nhỏ nhất.
Giải
Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0),
a
D 0; ; 0 , S(0; 0; a), M(0; 0; x)
2
 
 
 
.
BM ( a; 0; x).
 


Phương trình đường thẳng BM qua B với , vectơ chỉ phương:
x a at
(BM) : y 0
z xt
 

x a
Ta có:
2 2
2 2 2 2
ax a a x
DE ; ;
2
x a x a
 
 
 
 
 



       
   
         
2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a x a a x a a x (x a a 4x
DE 1
4 4 2
(x a ) (x a ) (x a ) x a
a a
DE minDE x 0 x 0 M A.
2 2


 

2
[BM; BC] ( a.h; 0; a ) a(h; 0; a)
    
 a.n 

, với
n (h; 0; a)



n (h; 0; a)
 

là pháp vectơ của mặt phẳng ().
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương
1
u (a; a; 0) a(1;1; 0) a.u ,  
 
với
1
u (1;1; 0)

.
() hợp với AC một góc 30
o




BC (SAB) BC BM BCNM
   
là hình thang vuông tại B và M.

ABM vuông cân đỉnh A 
BM a 2.
MN là đường trung bình của

SAD
a
MN .
2
 
Diện
tích hình thang vuông BCNM:
2
1 3a 2
S .BM(MN BC)
2 4
  
.

Ví dụ 6.
Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam
giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để
thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Giải

(1) 1 3 . .
a b c a b c
    1
abc 27
6
 
.
C
y
2a
S
N
D
y
a
x
a
B
H
A
M Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


6

Giải.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0;
0).
mp(P) qua H vng góc với SB tại I cắt đường thẳng SC
tại K, dễ thấy
[H, SB, C] =
 
IH, IK
 
(1).
SB ( 1; 3; 4)  

,
SC (0; 3; 4) 

suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t


 




 


5 15 3 51 32
I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25


379 281
cos[H, SB, C]
12645

 

Ví dụ 8.
Cho hình chóp S. ABCD có SA  (ABCD) và SA =
a 6
, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a.
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Giải.
Dựng
/ /
BB AD, CC AD 
và I là trung điểm AD
/ / / /
a 3 a 3a
BB CC ; AB ; AC
2 2 2
    

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông
   



Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ
n

:
(SBC): 2 2x z a 6 0
  

Vì:
AD// BC AD//(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))  
z
S
a 6

x
A
B
B
/

C
C
/

I
D

qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.
1) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài OE.
2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P).
3) Tính tỉ số thể của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng
(P).
Bài 2. ( ĐH 2001 )
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm BC. Trên các nửa đường thẳng AA
1
,
MM
1
vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI =
NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng: AH

NI.
Bài 3.
Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C. Giả sử A cố định còn
B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC. Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC
là lớn nhất.
Bài 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA =
3a
và vuông với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến mặt phẳng (SBC).
3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 5.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC).