Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH
Vấn đề1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
1.Trong hệ tọa độ Oxy cho
(1; 2;1)a = −
r
,
( 2;1;1)b = −
r
,
3 2c i j k= + −
r
r r
r
.Tìm tọa độ các véctơ
a)
3 2u a b= −
r
r r
b)
3v c b= − −
r r r
c)
w 2a b c= − +
uur r r r
d)
3
2
2
x a b c= − +
r r r r
2.Trong hệ tọa độ Oxy cho

1
(1; 2; )
4
a = −
r
,
( 2;1;1)b = −
r
,
3 2 4c i j k= + +
r
r r
r
a) Tính các tích vô hướng
.a b
r r
,
.c b
r r
.Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc
b)Tính
os(a,b)C
r r
,
os(a,i)C
r r
5.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB

r r r
r
2.Tính tích
, .wu v
 
 
r r uur
biết rằng
a)
(1; 2;1)u = −
r
,
(0;1;0)v =
r
,
w (1;2; 1)= −
uur
b)
( 1; 1;1)u = − −
r
,
(0;0;2)v =
r
,
w (1; 2; 1)= − −
uur
c)
4u i j= +
r r r
,

a)
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 9x y z− + + + − =
b)
2 2 2
25
4 5 3 0
4
x y z x y z+ + − + + + =
2.Cho A(1;3;-7), B(5;-1;1) .
a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
3.Cho A(1;1;1) ,B(1;2;1) ,C(1;1;2) , D(2;2;1)
a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp Oxy, Oyz
4.Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
5.Cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện
b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
6.Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
luôn là phương trình của một
mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
7.Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α

b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
7.Cho mp(P):2x- y+2z- 2 = 0 và hai điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4).
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH
a)Tính khoảng cách từ A đến mp (P)
b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất.
c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)
8.Cho ba mặt phẳng
( )
( )
( )
: 2 2 1 0
: 2 1 0
: 2 2 3 0
x y z
x y z
x y z
α
β
γ
− − − =
− + − =
− + + − =
a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?
b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều
( )
α
và
( )
γ
c)Tính khoảng cách giữa hai mp

2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến
b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)
12. Cho hai mặt phẳng
( )
: 2 2 5 0x y z
α
− + − =
và mặt cầu (C)
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với
( )
α
b)Tính góc giưa mp
( )
α
với Ox
c)Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với
( )
α
một góc 60
0
13.Cho bốn điểm A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Viết phương trình mp ABC.
b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
14.Viết phương trình mp đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x- y+ z -4= 0 và 3x-
y + z -1= 0
15. Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 và x+ y - z + 3= 0 đồng thời

r
b) đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3).
c)Đi qua A và song song với đường thẳng
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−

d)Đi qua M(1;2;4) và vuông góc với mặt phẳng 3x- y + z -1= 0
2.Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
a)Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
c)Qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng (d
1
):
1 2

độ
5.Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d)
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

lên mặt phẳng (P):x+ y - z + 3= 0
6.Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 2 1 0, : 2 1 0x y z x y z
α β
− − − = − + − =
Vấn đề 6: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
-GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
7.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
a) (d)
1 7 3
2 1 4
x y z− − −
= =
và (d’)


Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH
d) (d)
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d’) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 3 3 9 0, : 2 3 0x y z x y z
α β
− − − = − + + =
8.Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có.
a)(d)
12 9 1
4 3 1
x y z− − −
= =
và
( )
:3 5 2 0x y z

4 3 1
x y z− − −
= =
b) (d
2
):
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

c)(d
3
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 3 3 9 0, : 2 3 0x y z x y z
α β
− − − = − + + =
13.Cho đường thẳng (d)
1 1 3
1 2 1
x y z− − −

2 2
2 4 4
x y z− −
= =
−

(d
3
):
1
2 1 1
x y z −
= =
, (d
4
) :
2 1
2 2 1
x y z− −
= =
−

a)Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) cùng nằm trên một mặt phẳng.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó
b)Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
c)Tính côsin góc giữa (d
1

1 2 3
x y z− − −
= =
19.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho MA+MB nhỏ
nhất
20.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp
( )
: 2 4 0x y z
α
+ + + =
.Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho
MA MB−

lớn nhất
21.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp
( )
: 2 4 0x y z
α
+ + + =

sao cho
MA
2
+MB
2
+MC
2
nhỏ nhất
24.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3), D(1;5;1) và mp
( )
: 1 0x y z
α
+ + + =
Tìm điểm M trên mp
( )
α

sao cho MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
nhỏ nhất
25.Cho ba đường thẳng (d
1
):
1 2 2

2
) và (d
3
)
26.Cho hai đường thẳng (d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t
= +


=


= −

Và (d
2
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 1 0, : 2 3 0x y z x z
α β
+ + − = + − =
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d
1
) và (d


= +


=

28.Cho hai đường thẳng (d):
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
và (d’):
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
)
29.Cho hai đường thẳng (d):
1 2 3
1 2 3
x y z− − −
= =

z t
= +


= − +


=

Và (d
2
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 0, : 1 0x y z x
α β
+ − + = + =
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng (d
1
) và cắt (d
2
)
31.Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 4 1 0, : 0x y x z
α β
+ − = + =
.Viết phương
trình đường thẳng đi qua điểm M(0;1;-1) vuông góc và cắt đường thẳng (d)
32.Cho hai điểm A(1;1;-5), B(0;1;-7) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )

0 2k a< <
)
a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất
b)Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’D’BC) khi k biến thiên.
c)Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và lúc đó MN
song song với AC.
5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc
·
0
60BAD =
và đường cao SA = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c)Góc giữa đường thẳng SA và mp (SCD)
e)Gọi M, N lần lược là trung điểm của SA,SB.TÍnh tỉ số
.
.
S MNAB
S ABCD
V
V
6.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.Gọi I
là trung điểm của AB.
a)Chứng minh rằng CI
⊥
SB
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c)Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH
d)Tính tỉ số

10. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
*Một số đề thi đại học trong thời gian gần đây
1) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt
phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
2) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông
góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng
minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
3) (Đề dự bị 2 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và
đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
α − + = β + + − =( ) : 6x 3y 2z 0,( ) : 6x 3y 2z 24 0
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC.
4) (Đề dự bị 2 khối A năm 2007) Cho hình chóp SABC có góc
( )
o
60ABC,SBC =
∧

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x + 2y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính MO. Tìm tọa độ
tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho
V
OABC
= 3.
8) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). . Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S
sao cho
( )
o
60SBC,SAB =
∧
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ∆AHK vuông
và tính V
SABC
?
9)(Đề dự bị 1 khối D năm 2007)Cho đường thẳng d:
1
1z
1
2y
2
3x
−
+
=
+
=
−

BCMA
V
.
11)(Đề dự bị 2 khối D năm 2007).Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng
2
z
3
3y
2
1x
:d
1
=
−
−
=
−
và
5
5z
4
y
6
5x
:d
2
−
+
==
−

Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =
2a
.H là hình chiếu của A lên SB .Chứng minh rằng tam
giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
15. (Đề chính thức khối B năm 2007).
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, Gọi E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm của SA,M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vuông
góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
(Đề chính thức khối A năm 2007).
16.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N,P lần lược là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh
AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP
ĐỀ THAM KHẢO sè 1
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Phng phỏp ta trong khụng gian Ban KHTN- LTH
*********
I - PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im)
Cõu I (2,0 im) Cho hm s
3 2
y = - x + (m - 1)x + (m + 3)x - 4.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s v i m = 0
2. Tỡm hm s ng bin trờn khong (0; 3)
Cõu II (2,0 im)
1. Gii phng trỡnh:
( )
2 2
sinx 1+ tanx x + tan x=1
2. Gii bt phng trỡnh:
+ + +3 4 2 1 3x x x

Chng minh rng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab bc ac 3
+ +
c a + c b a b +a c b a +b c 2

II - PHN RIấNG (3,0 im) . Thớ sinh ch oc lm mt trong hai phn (phn A hoc B)
A. Theo chng trỡnh Chun
Cõu VI.a (2,0 im)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho A(2; 2) và hai đờng thẳng (d) : x+y-2=0 và (d) : x + y
-8 =0
Tìm toạ độ của B

(d) và C

(d)sao cho
ABC
vuông cân tại A
2. Trong không gian cho hai đờng thẳnhg
( )



=+
=+
032
022
:
1
zx

d
tại A, B phân biệt sao cho AB = 3
Cõu VII.a (1,0 im) Cho n

N
*
thoả mãn :
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 . 4.2 (2 1).2 25
+
+ + + + +
+ + + + =
n n
n n n n n
C C C C n C
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niutơn của (x + 1/x)
12
B. Theo chng trrỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2,0 im)
1. Giải phơng trình
+ + + =
2
4 3
1 0
2
z
z z z
Với z C
2. Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d

=+
zyx
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
), (d
2
) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng. Lập phơng trình đ-
ờng thẳng qua gốc toạ độ vuông góc và cắt
( )
1
d
b) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
), (d
2
)
Phương pháp tọa độ trong khơng gian –Ban KHTN- LTĐH
Câu VII.b (1 điểm)
Cho hàm số
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−