HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT

Chuyên đề7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ℑ 1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Tọa độ điểm :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2. Cho A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
)
ta có:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −

1 2 3
a a i a j a k
= + +
r r r r
2. Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r
ta có

1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
± = ± ± ±
r r

1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka
=
r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r

và
b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =


=

r r


1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=



Photocopy – Phúc – – 0939 302 308 Trang 59
HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT
B. BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính
, .( 3 )AB AC O BF A C
 
= +
 
uuur uuur uuur uuur
.
b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A’(0;0;3), C’(1;2;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật .
b) Tính độ dài đường chéo B’D của hình hộp chữ nhật .
c) Gọi G
1
,G
2
lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BC’ và tam giác ACD’.Tính
khoảng cách giữa G
1
và G
2

Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) , C(3; 1; –1).
a/. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác .
b/. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

a/. Xác định tâm và bán kính của nặt cầu (S)
b/. Xét vị trí tương đối của điểm M và mặt cầu (S)
Bài 9:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) :
x y 2z 1 0+ + + =
và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2 x + 4y – 6z + 8 = 0
a/. Viết phương trình mặt cầu (S
1
) có tâm là M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
b/. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Photocopy – Phúc – – 0939 302 308 Trang 60
HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT
ℑ3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Phương trình mặt phẳng:
 Định nghĩa :
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A,B,C không đồng
thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
 Nếu (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có véctơ pháp tuyến là
( ; ; )n A B C=
r
 Phương trình mặt phẳng (

không cùng phương và có giá song
song hoặc nằm trên (
α
) thì vectơ pháp tuyến của (
α
) được xác định
,n a b
 
=
 
r r r
 Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
D = 0 khi và chỉ khi (
)
α
đi qua gốc tọa độ.
A=0 , B
0
≠
, C
0
≠
, D
0
≠
khi và chỉ khi

1
α
):
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
và (
2
α
):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
 (
α
) // (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C
D kD
=


≠

 (
α
) ≡ (
α
’) ⇔

o
(x
o
;y
o
;z
o
) đến mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 2 2 2
( ,( ))
o o o
o
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
B. BÀI TẬP:
Photocopy – Phúc – – 0939 302 308 Trang 61
HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.

ì
nh mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau :
a) (P) đi qua M(2 ;3 ;2) và song song với giá hai véctơ
(1;1; 2); ( 3;1;2)u v= − = −
r r
b) (P) đi qua hai điểm M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song với trục Oy
c) (P) đi qua điểm M(1 ;-1 ;2) và chứa đường thẳng
2 1 3
( ) :
2 1 1
x y z
d
− + −
= =
− −
d) (P) đi qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) và vuông góc với mp (Q): 4x - y + 2z − 1 = 0
e) (P) đ
i
qu
a

các
điểm là h
ì
nh
c
h
iế
u vuông góc
c

ℑ3. ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Phương trình đường thẳng:
Photocopy – Phúc – – 0939 302 308 Trang 62
HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT
Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ
chỉ phương
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
:
0 1
0 2
0 3
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +

1
' '
2 2
' '
0 3
3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +



= + = +
 
 
= +
= +


∉


r ur
 d ≡ d’⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∈


r ur

u
r
,
'u
ur
không cùng phương
' '
1 1
' '
2 2
' '

d y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

Phương trình : A(x
o
+a
1
t)+B(y
o
+a
2
t)+C(z
0
+a
3
t)+D = 0 (1)
 Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)
 Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
 Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d
⊂
(α)
Đặc biệt : (
d

r
; d’quaM’(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ;vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )a a a a
=
uur
Phương pháp :
 Lập phương trình mp(
α
) chứa d và song song với d’
 d(d,d’)= d(M’,(
α
))
B.BÀI TẬP:
Baøi 1:Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau :
a/.Ptrình đường thẳng d đi qua M(2;0;–3) và nhận
(2; 3;5)a
→
= −
làm vecto chỉ phương
b/.Phương trình đường thẳng d đi qua M(–2; 6; –3) và song song với trục Oy
c/.Phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 0; –3) và B(3, –1; 0).
d/.Ptrình đường thẳng d đi qua M(–2; 3;1) và song song với d :
2 1 2

.
c/. Viết ph.trình đường thẳng d đi qua K(1; 1; –2), song song với mặt phẳng
(P): x – y- z – 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng d.
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
Bài 4:
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng
(P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b) Viết phương trình tham số của đuờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ): 2 4 0 , ( ) : 2 2 0P x y z Q x y z
+ − + = − + + =
Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường
thẳng (∆) :
9 2 ,
5 3
x t
y t t R
z t
=


= + ∈


= +

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (∆)

x y z+
∆ = =
và
2
1
: 2 ,
1 2
x t
y t t R
z t
= +


∆ = + ∈


= +

a/. Chứng minh rằng
1
∆
và
2
∆
chéo nhau .
b/.Viết phtrình mặt phẳng
( )
α
chứa
1



∆
=


= − +

và mp (P) : x + y + z - 7=0
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (∆) và (P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (∆) trên mp(P).
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) và (∆’) lần lượt có phương
trình:
7 3
1 2 5
: ; ': 2 2
2 3 4
1 2
x t
x y z
y t
z t
= +

− + −

∆ = = ∆ = +

−

Chứng tỏ đ.thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc.
Photocopy – Phúc – – 0939 302 308 Trang 65
HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1:Trong không gian Oxyz cho đthẳng d:





−=
+=
+=
tz
ty
tx
4
2
21
và phẳng (P):2x + 2y +z= 0.
a/ Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).Tính góc giũa d và (P).
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P)
c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d và điểm A(-1 ; 0 ; 2).
d/ Tìm điểm A’ đối xứng của A(-1 ; 0 ; 2). qua đường thẳng d
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2;3).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).
Tính khỏang cách từ M đến mp(P).
b/ Tìm tọa độ hinh chiếu của điểm M lên mp(P).
Bài 3:
Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0, Q): 4x +5y – z+ 1= 0.

y
z t
= −


 
∆ ∆ ∈
=
 
 
= +


a) Chứng minh rằng đường thẳng (∆)và(∆’) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (∆)và (∆’).
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm D(-3;1;2) và mặt phẳng
( )
α
đi qua ba điểm
A(1;0;11) , B(0;1;10), C(1;1;8).
a/. viết phương trình đường thẳng AC .
b/. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
( )
α
.
c/.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D,bán kính r = 5.Chứng minh mặt phẳng

( )
α
cắt mặt cầu (S).

mp(P): x + y + z – 2 = 0.
a) Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).
b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
a) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách
giữa đường thẳng DC và mặt phẳng (P).
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :
(S) : (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 1)
2
= 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = 0
a/. Chứng minh : (P) và (S) cắt nhau
b/. Xác định tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của của (P) và (S).
Bài 13: Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 2y – 2z – 6 = 0
a/. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) :x+y+z – 9 =0
và cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn lớn .
b/. Viết phương trình mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (R) :x+2y+z – 1 =0
và tiếp xúc với mặt cầu (S) .

Bài 14 : Cho dường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình :
(d) :
6

−
a/. Chứng tỏ (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
b/. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và (d
2
) .
c/. Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
) .
e/.Lập phương trình đường thẳng (
∆
) thuộc mặt phẳng (P) và song song cách đều
(d
1
) và (d
2
).
Photocopy – Phúc – – 0939 302 308 Trang 67
HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT
Bài 16:Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2

) cắt nhau
b/. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và (d
2
).
Bài 17:Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :
(d) :
3
2 2 ,( )
3
x t
y t t R
z t
=


= + ∈


= −

, (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2
= 5
Chứng tỏ đ.thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc.

x
và phương trình mặt phẳng (P): 2x + y - z + 1 = 0
1) Tìm tọa độ điểm B là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (d) và song song với mặt phẳng (P) .
Photocopy – Phúc – – 0939 302 308 Trang 68