Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 1

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): xyz–32–50+=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).

·
(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)
Þ
(Q) có VTPT
P
nnAB,(0;8;12)0
éù
== ¹
ëû
u
uurr
rrÞ
Qyz():23110+-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),
2330Pxyz(): +++=. ĐS: Qxyz():220-+-=


Þ

nBA
nu
ì
^
í
^
î
u
ur
r
rr

Þ
chọn nBAu,(10;4;1)
éù
==
ëû
u
ur
rrÞ
Phương trình của (P): xyz104190-+-=.

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
() và d


Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
xyzxyz
222
26420++-+ =. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ v (1;6;2)=
r
, vuông góc với mặt phẳng xyz():4110
a
++-= và tiếp xúc với (S).

·
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ()
a
là n (1;4;1)=
r
.

Þ
VTPT của (P) là:
[ ]
P
nnv
,(2;1;2)==-
r
rr

Þ
PT của (P) có dạng: xyzm220-++=.
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên dIP(,())4=

125

==. Chứng minh rằng điểm Mdd
12
,, cùng
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.

·
d
1
qua M
1
(0;1;0)- và có u
1
(1;2;3)=
r
, d
2
qua M
2
(0;1;4) và có u
2
(1;2;5)=
r
.
uu
12
;(4;8;4)0
éù
= ¹

1
nên có
phương trình xyz220+-+=. Kiểm tra thấy điểm MP(1;–1;1)()Î .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 2

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
xyz33
221

== và mặt cầu
(S): xyzxyz
222
22420++ +=. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=
r
.
(P) // d, Ox
Þ
(P) có VTPT
[ ]
nui,(0;1;2)==-
r
rr

=-
ëÞ
(P): yz23250-++= hoặc (P): yz23250-+-=.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxy
222
2440+++ = và
mặt phẳng (P): xz30+-=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;1)-
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT
P
n (1;0;1)=
r
.
PT (Q) đi qua M có dạng: AxByCzABC
222
(3)(1)(1)0,0-+-++=++¹
(Q) tiếp xúc với (S)
Û
dIQRABCABC
222
(,())43=Û-++=++ (*)

QP
QPnnACCA()().00^Û=Û+=Û=-

Qxyz():2260++-= hoặc Qxyz():1110250-+-=.

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
–242–30++++=.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r 3= .

·
(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox
Þ
(P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0)
Þ
(P): y – 2z = 0.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
222–10+++-+=
và đường thẳng
xy
d
xz
20
:
260
ì
=
í

=-
î

Û

abcabdab
abcabdab
,2(),3(1)
177,2(),3(2)
é
==-+=
ê
=-=-+=
ë

+ Với (1)
Þ
(P): xyz40+ = + Với (2)
Þ
(P): xyz717540-+-=

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
xyz
1
1
:
211
D
-
==

b
) song song với (
a
) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng
p
6
p
= .

·
Do (
b
) // (
a
) nên (
b
) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6
p
nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (
b
) là h = Rr
2222
534-=-=
Do đó
D
D
D

8
p
= .
ĐS: xyz():2210+-+=
b www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

2
2
+-
=
++

Û

A
BCABC
2222
(2)2()+-=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được: ABB
2
850+=
Û

B
AB
0(3)
850(4)
é
=
ê
+=
ë·
Từ (3): B = 0

abc
P
ab
dAPd
abc
222
40
()
5
4
(;())
ì
++=
ï
ì
D
+
Û
íí
=
=
î
ï
++
î
P

Û

ac


Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
xt
dyt
z
():12
1
ì
=
ï
=-+
í
ï
=
î
và điểm
A
(1;2;3)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

·
(d) đi qua điểm M(0;1;1)- và có VTCT u (1;2;0)=
r
. Gọi nabc(;;)=
r
với abc
222
0++¹
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): axbyczaxbyczbc(0)(1)(1)00-+++-=Û+++-= (1).


www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 5

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm MNI(1;1;0),(0;0;2),(1;1;1) Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
MP
NP
dIP
()
()
(,())3
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û


dCPdDP
()
()
(,())(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcd
abd
bcdabcd
abcabc
222222
20
30
3a42
ì
-++=
ï
++=
ï
í
-++++++


Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
A
(1;2;3) , B(0;1;2)- ,
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P() đi qua
A
và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến P() bằng khoảng cách từ C đến P().

·
Vì O
Î
(P) nên Paxbycz():0++=, với abc
222
0++¹.
Do A
Î
(P)
Þ
abc230++= (1) và dBPdCPbcabc(,())(,())2=Û-+=++ (2)
Từ (1) và (2)
Þ
b 0= hoặc c 0= .

·
Với b 0= thì ac3=-
Þ
Pxz():30-=
·
Với c 0= thì ab2=-

=
Þ

abcdabcd
abcabc
222222
222
2
+++-+-+
=
++++

www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6 abcd
abcd
3360
(3)
5230
é
-+-=
Û
ê
-+-+=
ë

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

220;;
22
5230
ì
+-+=
-
ï
-+=Û===
í
ï
-+-+=
î
.
Chọn
abcd23;2;3=Þ===-
Þ
()
a
: xyz23230++-=
Vậy:
()
a
: xyz2230 =hoặc ()
a
: xyz23230++-=

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương

(2;1;3)=
r
, d
2
đi qua B(1;2;1) và có
d
u
2
(2;1;4)=-
r
.
Do (P) cách đều dd
12
, nên (P) song song với dd
12
,
Þ

Pdd
nuu
12
,(7;2;4)
éù
==
ëû
r
rrÞ

1
ì
=+
ï
=-
í
ï
=
î
,
xyz
d
2
211
:
122
+
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với d
1
và d
2
, sao cho khoảng cách từ d
1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d
2
đến (P).


r
rrÞ
Phương trìnht (P): xyzm220+++=.

m
ddPdAP
1
7
(,())(;())
3
+
== ;
m
ddPdBP
2
5
(,()) (,())
3
+
==
ddPddP
12
(,())2(,())= mm72.5Û+=+
mm
mm
72(5)
72(5)

·
(S) có tâm I(1;2;1)- , bán kính R 2= .
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹
Ta có:
AP
BP
dIPR
()
()
(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcabdab
abcabdab
,,23(1)
38,,23(2)
é
=-= =+
ê


== . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

·
Gọi H là hình chiếu của A trên d
Þ
d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có
A
HHI³
Þ
HI lớn nhất khi
AI
º . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận
AH
uu
ur
làm VTPT
Þ
(P): xyz75770+ =.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{
xtytzt2;2;22=-+=-=+ . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.

·

uur
, cùng phương với
(
)
v 2;0;1=-
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là: xzxz2(4)1.(1)290 += =.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
12
:
212

== và điểm
A
(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
(P) có VTPT nabc(;;)=
r
, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u (2;1;2)=

î

Þ

cab
dab
2(2)
ì
=-+
í
=+
î
. Xét 2 trường hợp:
TH1
: Nếu b = 0 thì (P): xz10-+= . Khi đó: dAP(,())0= .
TH2: Nếu b
¹
0. Chọn b 1= ta được (P): axyaza22(21)220+-+++=.
Khi đó:
dAP
aa
a
22
99
(,())32
845
13
22
22
==£

==
-
. ĐS: Pxyz():5134210+-+=

Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm
M(0;1;2)- và N(1;1;3)- . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.

·
PT (P) có dạng:
A
xByCzAxByCzBC(1)(2)020+++-=Û+++-=
ABC
222
(0)++¹

NPABCBCABC(1;1;3)()3202-ÎÛ-+++-=Û=+
PBCxByCzBC():(2)20Þ++++-=;
dKP
B
CBC
B
(,())
22
424
=
++
www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 9

Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc

Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a) cha ng thng ():
xyz1
112
-
==

v to vi mt phng (P) : xyz2210 += mt gúc 60
0
. Tỡm ta giao
im M ca mt phng (a) vi trc Oz.

ã

( )
nnmm
mm
2
2
111
cos,2410
22
245
Â
==-+=
-+
rr

m 22=- hay m 22=+
Kt lun : M(0;0;22)- hay M(0;0;22)+

Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao
tuyn d ca hai mt phng xy():210=
a
, xz():20
b
= v to vi mt phng
Qxyz():2210+= mt gúc
j
m
22
cos
9
j

+
==
+++


BBCC
22
13850+=.
Chn CBB
5
11;
13
=ị==.
+ Vi BC1==
ị
Pxyz():410-++=
+ Vi BC
5
, 1
13
==
ị
Pxyz():2351350-++=.

Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im
AB
(1;2;3),(2;1;6) v mt
phng Pxyz():230++-=. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt
phng (P) mt gúc a tho món
3


abcd
bcd
abc
abc
222
230
2a60
23
6
141
ỡ
-+-+=
ù
+=
ù
ớ
++
ù
=
ù
++++
ợ


abcbdb
abcdb
4,3,15
,0,
ộ

++-=
í
++-=
î
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60
a
= .

·
ĐS: Pxyz():2220++ = hoặc Pxyz():2220 +=

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Pxyz():52510-+-= và
Qxyz():48120 +=. Lập phương trình mặt phẳng
R
() đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc
0
45=
a
.

·
Giả sử PT mặt phẳng (R): axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
R

ë·
Với ac=- : chọn abc1,0,1===-
Þ
PT mặt phẳng
R
xz():0-=

·
Với ca7= : chọn abc1,20,7===
Þ
PT mặt phẳng
R
xyz():2070++=
Câu hỏi tương tự:
a) Với PxyzQOyzM
0
():20,()(),(2;3;1),45 =º-=
a
.
ĐS:
R
xy():10++= hoặc
R
xyz():534230-+-=

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
xyz

Đáp số: (P): xyz511240+++= hoặc (P): xyz220 =.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
1
2
:
111
D
-
==
-
,
xyz
2
235
:
211
D
+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P):
xyz2220 += hoặc (P): xyz240++-=
b)

45,30 .

·
Gọi nabc(;;)=
r
là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là ij(1;0;0),(0;1;0)==
rr
.
Ta có:
OxP
OyP
2
sin(,())
2
1
sin(,())
2
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î

Û

ab

ã
PQ((),())=
a
.
Chn hai im
MNd(1;1;3),(1;0;4) ẻ. Ta cú:
MPcab
NPdab
()
()74
ỡỡ
ẻ=
ị
ớớ
ẻ=+
ợợị
(P): axbyabzab(2)740++ ++=
ị

ab
aabb
22
3
cos.
6
542
a

3
cos.
6
542
a
+
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
. t
b
x
a
= v fx
2
()cos
a
=
Xột hm s
xx
fx
xx
2
2
921
().
6
542

12
()(),:
112
-+
==
-
. S: Pxyz():30-+-=.
c) Vi Qxyz():220 =,
xt
dyt
zt
:12
2
ỡ
=-
ù
=-+
ớ
ù
=+
ợ
. S: Pxyz():30++-=.

Cõu 35. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im MN(1;1;3),(1;0;4) v mt phng
(Q): xyz250+-+=. Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua M, N v to vi (Q) mt gúc
nh nht.

ã
S: Pyz():40-+=.
Cõu hi tng t:

PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 12

Chọn hai điểm MNd(1;2;0),(0;1;2) Î. Ta có:
MPcab
NPdab
()2
()2
ìì
Î=-
Þ
íí
Î=-+
îîÞ
(P):
ab
axbyzab20
2
-
++-+=
Þ

b
abab
22
2
sin

2
()sin=
a
.
Xét hàm số
fx
xx
2
4
()
525
=
-+
. Dựa vào BBT, ta được
fxx
51
max()
65
=Û=
Þ

0
0>
a
.
Vậy
a
lớn nhất khi
a
b

2
là lớn nhất.

·
d
1
đi qua M(1;2;0)- và có VTCP u (1;2;1)=-
r
.Vì dP
1
()Ì nên MP()Î .
PT mặt phẳng (P) có dạng:
A
xByCz(1)(2)0-+++= ABC
222
(0)++¹
Ta có: dPunCAB().02ÌÛ=Û=+
rr
.
Gọi
·
Pd
2
((),)=
a

Þ

ABAB
A

sin
tt
2
2
1(43)
.
3
245
+
=
++
a

Xét hàm số
t
ft
tt
2
2
(43)
()
245
+
=
++
. Dựa vào BBT ta có: ft
25
max()
7
= khi t 7=-


Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
121
:
111
+-+
==
-
và điểm
A
(2;1;0)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.

·
ĐS: Pxyz():210++-=.

www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 13

Cõu 39. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): xyz220-++= v im
A
(1;1;1)- . Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A, vuụng gúc vi mt phng (Q) v
to vi trc Oy mt gúc ln nht.

ã
S: Pyz():0+= hoc Pxyz():2560++-=.


1
560
460
ỡ
++=
ù
ù
ớ
-+=
ù
-+=
ù
ợ
ị
abc
777777
;;
456
===
Vy phng trỡnh mt phng (P):
xyz456770++-=.
Cõu hi tng t
:
a) Vi A(1; 1; 1). S: (P): xyz30 +=

Cõu 41. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mt phng (P) thay i
qua AM ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chng minh
rng:
bc
bc

ur
Khi ú Sbcbc
222
()=+++ .
Vỡ bcbcbcbc
222
2;()4++ nờn Sbc6 .
M bcbcbcbc2()416=+ị. Do ú S 96 . Du "=" xy ra

bc4==.
Vy: Smin96= khi bc4==.

Cõu 42. Trong khụng gian to
Oxyz, cho im
A
(2;2;4) v mt phng P(): xyz40+++=.
Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v (Q) ct hai tia Ox, Oy ti 2 im B,
C sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 6.

ã
Vỡ (Q) // (P) nờn (Q): xyzdd0(4)+++=ạ. Gi s BQOxCQOy(),()=ầ=ầ

ị
BdCdd(;0;0),(0;;0)(0) <.
ABC
SABAC
1
,6
2
ộự

nhất.

·
Giá sử
A
aOxBbOyCcOz(;0;0),(0;;0),(0;0;)ÎÎÎ abc(,,0)> .
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:
xyz
abc
1++=.
Ta có: MP(9;1;1)()Î
Þ

abc
911
1++= (1);
OABC
Vabc
1
6
= (2)
(1)
Û
abcbcacab9=++ ≥ abc
2
3
39()
Û
abcabcabc
32


Þ
(P):
xyz
1
2733
++=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2;4) . ĐS:
xyz
P():1
3612
++=

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
OAOBOC
222
111
++
có giá trị
nhỏ nhất.

·
ĐS: Pxyz():23140++-=.

Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OAOBOC++ có giá trị nhỏ
nhất.



ã

dP
uun;(2;5;3)
ộự
==-
ởỷ
u
uruur
r
.
D
nhn u
r
lm VTCP
ị

xyz112
:
253
D
+
==
-Cõu 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d) cú phng trỡnh:
{ xt=- ;
yt

. Lp phng trỡnh ca ng thng d i qua im M, ct v vuụng gúc
vi D.

ã
u (2;1;1)
D
=-
r
. Gi H = d
ầ

D
. Gi s Httt(12;1;)+-+-
ị
MHttt(21;2;)=
uu
uur
.
MHu
D
^
uu
uur
r


ttt2(21)(2)()0-+ =

t
2

im A(1;7; 1), B(4;2;0). Lp phng trỡnh ng thng (D) l hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng AB trờn (P).

ã
Gi (Q) l mt phng qua A, B v vuụng gúc vi (P)
ị
(Q): 8x + 7x + 11z 46 = 0.
(D) = (P) ầ (Q) suy ra phng trỡnh (D).

Cõu 5. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng
xz
d
xyz
20
:
3230
ỡ
-=
ớ
-+-=
ợ
trờn mt phng
Pxyz:250-++=.

ã
PTTS ca d:
xt
yt
zt

22
ổửổử
-ẻ-ẽ
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Gi
Hxyz(;;) l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn (P). Ta tỡm c
H
474
;;
363
ổử

ỗữ
ốứ
.
www.VNMATH.com
PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 16

Gi
D
l hỡnh chiu vuụng gúc ca d trờn (P)
ị

D
i qua A v H

ị

a) Vi
xyz
d
112
:
213
+
==, Pxyz():3250-+-=. S:
xm
ym
zm
123
:229
532
D
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=+
ợCõu 6. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, gi A, B, C ln lt giao im ca mt phng
(
)
: 62360Pxyz++-= vi Ox, Oy, Oz. Lp phng trỡnh ng thng d i qua tõm
ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ng thi vuụng gúc vi mt phng (P).

xt
yt
zt
1
6
2
3
2
2
13
ỡ
=+
ù
ù
ớ
=+
ù
ù
=+
ợ
.

Cõu 7. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 3 im
A
BC(1;2;1),(2;1;1);(0;1;2)- v
ng thng
xyz
d
112
:

232
.0301(2;1;1)
5291
ỡ
=
ỡỡ
-+==
ù
ùù
=+-==ị
ớớớ
ùùù
++==
ẻ
ợợ
ợ
uu
uruuur
uuuruuur

Do ng thng
D
nm trong (ABC) v vuụng gúc vi (d) nờn:

ABC
ABCd
d
un
unu
uu
www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 17

Dng 2: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n mt ng thng khỏc

Cõu 8. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng d cú phng
trỡnh
xyz
d
11
:
211
-+
==
-
. Vit phng trỡnh ca ng thng D i qua im M, ct v
vuụng gúc vi ng thng d v tỡm to im MÂ i xng vi M qua d.

ã
PTTS ca d:
xt
yt
zt
12
1
ỡ
=+

3
=
ị
H
712
;;
333
ổử

ỗữ
ốứ
,
MH
142
;;
333
ổử
=
ỗữ
ốứ
uu
uur

Phng trỡnh ng thng
D
:
xyz21
142

==

-
. S:
13
:
321
+-
D==
-
x
yz

Trong khụng gian cho im A(-4;-2;4) v ng thng (d) cú phng trỡnh: x = -3 + 2t; y = 1
- t; z = -1 + 4t; t
ẻ
R. Vit phng trỡnh ng thng (
D
) i qua A; ct v vuụng gúc vi (d).

Cõu 9. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng
xyz
d
11
:
121
-+
==
-
v hai im
A
(1;1;2)- ,

;;
333
ổử
ỗữ
ốứị
uAH3(2;5;8)
D
==-
uu
ur
r

ị
Phng trỡnh
D
:
xyz112
258
+
==
-
.

Cõu 10. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng
xyz11
:
231

-
.

www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 18

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
thẳng D:
x
yz11
212
+-
==
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường
thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.

·
Phương trình tham số của
D
:
xt
yt
zt
12
1
2
ì
=-+

uruuur

Þ
SACAB
1
,
2
éù
=
ëû
uu
uruuur
= t
2
18(1)198-+ ≥ 198
Vậy Min S = 198 khi t 1= hay C(1; 0; 2)
Þ
Phương trình BC:
xyz336
234

==

.

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
122
:

-
2t ; 2 + 2t)
Î
d
Þ
MNttt(33;2;22)=
uu
uur

Để MN // (P) thì MNnt.07=Û=
uu
uurr
Þ
N(20;
-
12; 16)
Phương trình đường thẳng
D
:
xyz224
976

==
-

Câu hỏi tương tự:
a)
xyz
d
12

xyz241
322
-+-
==
-
,Pxyz():32320 =, M(3;2;4) . ĐS:
xyz324
:
569
-++
D==
-Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng xyz():32290
a
-+-=và hai
điểm
A
(4;4;6) B,(2;9;3) . Gọi
EF
, là hình chiếu của
A
và B trên ()
a
. Tính độ dài đoạn
EF
. Tìm phương trình đường thẳng
D
nằm trong mặt phẳng ()


EFABABABAB
2
361171
.cos(,())1sin(,())381
53214
aa
==-=-=

AB
cắt ()
a
tại K(6;1;9)- ; uABn,(1;7;11)
Da
éù
==
ëû
u
uruuuruur
. Vậy
xt
yt
zt
6
:17
911
D
ì
=+
ï

r
rrr

PTTS ca (d): xtytzt12,,1=+==+. Gi A = (d)
ầ
(
D
)
ị

A
ttt(12;;1)++.
. Do A
è
(P) nờn: tttt122102+-++==-
ị

A
(3;2;1)
Theo gi thit ta cú:
P
PQ
Q
un
unn
un
,(3;2;1)
D
D
D

==
-
. Lp phng trỡnh ng thng D i qua trc tõm ca
tam giỏc ABC, nm trong mt phng (ABC) v vuụng gúc vi ng thng (d).

ã
Ta cú ABACABAC(1;1;2),(1;1;3),(1;5;2)
ộự
=-= ị=
ởỷ
u
uuruuuruuuruuurị
phng trỡnh (ABC): xyz5290++-=
Gi trc tõm ca
D
ABC l Habc(;;)
BHAC
abca
CHABabcbH
HABCabcc
.0
232
.0301(2;1;1)
()5291
ỡ
=
ỡỡ

ộự
ị==-
ớ
ởỷ
^
ợ
rr
rrr
rrị
PT ng thng
xyz211
:
12211
D

==
-
.

Cõu 16. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): xyz250+-+=, ng
thng
xyz
d
313
:
211
++-

^
ớ
^
ợ
rr
rr
.
Do ú ta cú th chn
Pd
unu
1
,(1;1;1)
3
D
ộự
==
ởỷ
r
rr

ị
PT ca
D
:
xt
yt
zt
1
4
ỡ


M
2111
;;
333
ổử

ỗữ
ốứ
. Vy AM t GTLN khi M
2111
;;
333
ổử

ỗữ
ốứ
.
Cõu hi tng t:
www.VNMATH.com
PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 20

a) Pxyz():2290+-+=,
xt
dyt
zt
1
:32
3

D
-
==, mt phng Pxyz(): 50+-= . Vit phng trỡnh ca ng thng d i
qua im A , nm trong ( P) v hp vi ng thng
D
mt gúc
0
45 .

ã
Gi
d
uu,
D
rr
ln lt l cỏc VTCP ca d v
D
;
P
n
r
l VTPT ca ( P).
t
d
uabcabc
222
(;;),(0)=++ạ
r
. Vỡ d nm trong ( P) nờn ta cú :
Pd

caccc
2
15
143000;
7
+===-
+ Vi
c 0= : chn ab1==
ị
PTTS ca d l :
xt
yt
z
3
1
1
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=
ợ

+ Vi
a
c
15
7

PTTS d:
xt
yt
zt
32
2
1
ỡ
=+
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
M(1;3;0)ị (P) cú VTPT
P
n (1;1;1)=
r
, d cú VTCP
d
u (2;1;1)=-
r

Vỡ D nm trong (P) v vuụng gúc vi d nờn VTCP
dP
uun,(2;3;1)
D
ộự
==-

xyz
xyz
222
20
23110
(1)(3)42
ỡ
+++=
ù
-+-=
ớ
ù
-+++=
ợ

ị
N(5; 2; 5) hoc N(3; 4; 5)

ã
Vi N(5; 2; 5)
ị
Phng trỡnh ca
xyz525
:
231
-++
D==
-
trong mt phng (
a
) v ct (DÂ); (d) v (D) chộo nhau m khong cỏch gia chỳng bng
6
2
.

ã
(
a
) cú VTPT n (1;1;1)=-
r
, (
D
) cú VTCP u (1;1;1)
D
=
r

ị
(
D
)
^
(
a
).
Gi
A
()()

(
a
) nờn mi ng thng nm trong
(
a
) v khụng i qua B u chộo vi (
D
).
Gi
d
uabc(;;)=
r
l VTCP ca (d)
ị

d
unabc.0=+-=
rr
(1)
v
d
u
r
khụng cựng phng vi
AB
u
uur
(2)
Ta cú:
dddBd(,)(,)

(3)
T (1) v (3)
ị
ac 0=


a
c
0
0
ộ
=
ờ
=
ở
.

ã
Vi a 0= . Chn bc1==
ị

d
u (0;1;1)=
r

ị

x
dyt
zt

ù
=-
ớ
ù
=-
ợ
.
12
13
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=-
ợ
.

ã
Phng trỡnh tham s ca
1
D
:
xt
yt
zt
7'
32'
9'
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=-

MNbMNb
.0
.0
ỡỡ
ùù
^=

ớớ
^=
ùù
ợợ
uu
uurruuuurr
uuuurruuuurr
. T õy tỡm c t v t
Â

ị
To ca M, N.
ng vuụng gúc chung
D
chớnh l ng thng MN.
Cõu hi tng t:
a) Vi
xt
yt
z
1
3
():12

xyz
210470
:
3260
D
ỡ
+=
ớ
++=
ợCõu 21. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng thng d i qua im
(
)
M 4;5;3 v ct c hai ng thng:
xy
d
yz
1
23110
:
270
ỡ
++=
ớ
-+=
ợ
v
xyz

dyt
zt
2
22
2
22
:13
15
ỡ
=+
ù
=-+
ớ
ù
=-
ợ
.
Gi
A
ddBdd
12
,=ầ=ầ
ị

A
ttt
111
(53;72;) + , Bttt
222
(22;13;15)+-+

ởỷ
uu
uruuur
r



t
t
1
2
2
0
ỡ
=
ớ
=
ợị

AB
(1;3;2),(2;1;1)
ị
AB (3;2;1)=-
u
uur

ng thng d qua M(4; 5; 3) v cú VTCP AB (3;2;1)=-

==

,
xt
dyt
zt
2
:4
12
ỡ
=
ù
=-
ớ
ù
=-+
ợ
. S:
b) M(3; 10; 1) ,
xyz
d
1
213
:
312
-++
==,
xyz
d
2

DD
và mặt phẳng (
a
) có
phương trình là
xt
xyz
ytxyz
zt
12
2
112
:53,:,():20
112
DDa
ì
=+
-++
ï
=+==-++=
í
ï
=
î
. Viết phương
trình đường thẳng d đi qua giao điểm của
1
D
với (
a

-++==-
ïï
îî

Trục Oy có VTCP là j
(0;1;0)=
r
. Gọi d là đường thẳng qua A cắt
2
D
tại
Bttt(1;1;22)+-+-+ . ABtttdOyABjtAB(;3;21);03(3;0;5)= ^Û=Û=Þ=
u
uuruuurruuur

Đường thẳng d đi qua A nhận AB (3;0;5)=
u
uur
làm VTCP có phương trình là
xu
y
zu
13
2
15
ì
=+
ï
=
í

đường thẳng dd
12
, lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I.

·
PTTS của
{
dxtytzt
2
:';12';32'==-+=- . Idd
12
=Ç
Þ
I(1;1;1) .
Giả sử: BtttdCtttdtt
12
(1;12;12), (';12';32')(0,'1)+++Î-+-ι¹

D
BIC cân đỉnh I
Û

IBIC
ABAC[,]0
ì
=
í
=
î
uu

-
=
z
1
3
+
,
x 4
1
-
=
y
1
=
z
3
2
-
. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo
nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d
1
và d
2
.

·

==
-
. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P),
(Q) và cắt (d
1
), (d
2
).

·
(P) có VTPT
P
n (1;4;1)=-
r
, (Q) có pháp vectơ
Q
n (3;4;9)=-
r

www.VNMATH.com
PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 24

(d
1
) cú VTCP u
1
(2;4;3)=-
r
, (d

ợ
P
P
rr

ị
(
D
) = (P
1
)
ầ
(Q
1
) v (
D
) // (
D
1
)
(
D
) cú vect ch phng
PQ
unn
1
[;](8;3;4)
4
==
r

12
[;](0;24;18)==-
r
rr

Phng trỡnh mp (Q
1
): xyz0(3)24(1)18(2)0-++ =
yx
43100-+=
Ta cú:
PQ
11
()()()
D
=ầ
ị
phng trỡnh ng thng (
D
) :
xyz
yz
253226550
43100
ỡ
+++=
ớ
-+=
ợ



Ad
1
()ẻ ị
A
ttt(42;12;)++-; BdBttt
2
()(32;53;72)
ÂÂÂ
ẻị-+-+-

A
Btttttt(722;632;72)
ÂÂÂ
=-+ + +
u
uur
,
P
n (2;1;2)=-
r
.
T gi thit ta cú:
P
ABn
AB
.0
3
ỡ
=

xyz211
122
-+-
==
-
.

Cõu 27. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P):
xyz210-++= v hai
ng thng
xyz
d
1
123
:
213
-+-
==,
xyz
d
2
112
:
232
+
==. Vit phng trỡnh ng
thng D song song vi (P), vuụng gúc vi d
1
v ct d
2

E
(3;1;6)- .
Ta cú:
P
un
uu
d
1
1
()
.0
.0
D
D
ỡ
ỡ
=

ớớ
=
^
ợ
ợ
rr
rr
P



abc


Cõu 28. Trong khụng gian Oxyz, cho hai ng thng dd
12
(),() v mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
d
1
12
():
121
++
==,
xyz
d
2
211
():
211

==; Pxyz():250+-+=. Lp phng
trỡnh ng thng (d) song song vi mt phng (P) v ct dd
12
(),() ln lt ti A, B sao cho
di on AB nh nht.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 25
ỡ
=
=
ớ
=-
ợ
,
A
(1;2;2) , AB (3;3;3)=
u
uur
.
Vy
xyz
d
122
:
111

==.

Cõu 29. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng
xyz
d
1
8610
():
211
+
==

ẻ
d
1
, Bttt
222
(;2;42) +
ẻ
d
2
.

ị
ABtttttt
212121
(28;4);214)=-+ +-
u
uur
.
ABi,(1;0;0)=
u
uur
r
cựng phng


tt
tt
21
21
40

xtyz52;16;32=-+=-=.

Cõu 30. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng: (d
1
):
xt
yt
zt
238
104
ỡ
=-+
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
v (d
2
):
xyz32
221
-+
==
-
. Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi trc Oz v ct c hai
ng thng (d
1
), (d



A
Bkcuứngphửụng,
u
uur
r



tt
tt
21
21
28260
2480
ỡ
-+=
ớ
+=
ợ



t
t
1
2
17
6
Cõu 31. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) v
ng thng (d):
xyz
xyz
6320
632240
ỡ
-+=
ớ
++-=
ợ
. Vit phng trỡnh ng thng D // (d) v ct cỏc
ng thng AB, OC.

ã
Phng trỡnh mt phng (
a
) cha AB v song song d: (
a
): 6x + 3y + 2z 12 = 0
Phng trỡnh mt phng (
b
) cha OC v song song d: (
b
): 3x 3y + z = 0
www.VNMATH.com