LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

Tọa độ của vectơ và của điểm:
Cho
( ; ; )
( ; ; )
u x y z u xi y j zk
M x y z OM u xi y j zk

= ⇔ = + +


= ⇒ = = + +


    
    

N
ế
u
(
)
( ; ; ), ( ; ; ) ; ;
A A A B B B B A B A B A
A x y z B x y z AB x x y y z z
= = → = − − −

đ
ó
( )
1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2
; ;
( ; ; ),
( ; ; ), ,
; ( ) ( ) ( )
A B A B A B
u v x x y y z z
ku kx ky kz k
mu nv mx nx my ny mz nz m n
u x y z v x y z AB x x y y z z
x x
u v y y
z z
± = ± ± ±
= ∈
± = ± ± ± ∈
= + + = + + → = − + − + −
=



k v ku y ky hay
x y z
z kz
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = =


=

 
ℝ


Tích vô h
ướ
ng c
ủ
a hai vect
ơ
:
Cho
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )
u x y z v x y z
= =
 
.
Tích vô h

+ +
= = → ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
+ + + +
 
     
 

Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho:
= − = − = − − =
(1; 1;0), ( 1;1;2), 2 ,
 
   
 
a b c i j k d i

a) Xác
đị
nh k
để
véct
ơ

= −
(2;2 1;0)

u k
cùng ph
ươ
ng v
ớ

1 1 1
2 2 1 2
a k
k
−
⇔ = ⇔ = −
−


b)
2 (1; 2; 1); (1;0;0)
c i j k c d i d= − − ⇒ − − = ⇒
   

 


01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ta có
3
2
( ; ;0)
1
1
( ; ;2 ) 2 0
2
2 0



    


c)
2 2 2 2 2
1 ( 1) 2; ( 1) 1 2 6
a b= + − = = − + + =
 

2 2 2
2 (1 2.1; 1 2.1;0 2.2) ( 1;1;4) 2 ( 1) 1 4 18 3 2
+ = − − + + = − → + = − + + = =
   
a b a b

Ví dụ 2:

Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
b) Tính cosin các góc của tam giác ABC.
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC là
φ
1;

φ
2
;
φ
3

Ta có
(1; 2;1); (2;1;0); (3; 1;1)
AB BC AC= − = = −
  

Do góc gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng không v
ượ
t quá 90
0
nên ta có:

+ + + +
− +
= = =
+ + +
 
 
 

c)
Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0)
(1; 1 ;1), (2; 3 ;2)
IA y IB y
→ = − − = − −
 

I cách đều A và B khi
2 2 2 2 2 2 2 2
7 7
1 (1 ) 1 2 (3 ) 2 0; ;0
2 2
IA IB IA IB y y y I
− −
 
= ⇔ = ⇔ + + + = + + + ⇔ = →
 
 

Ví dụ 3: Cho:
(
)

= − +
u a b c

  
b)
4 2
= − −
u a b c

  
c)
2
4
3
= − +
u b c

 

d)
3 5
= − +
u a b c

  
e)
1 4
2
2 3
= − −

.
a b c

 
b)
(
)
2
.
a b c

 
c)
2 2 2
+ +
a b b c c a
 
   

Ví dụ 5: Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
(
)
2 1 1 0 3 4 1 3
= = − = +

Ví dụ 6:
Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
1 3 4 2 1 1 2 1
= = − − =
; ; , ; ; , ; ;
a b c m m

 
. Tìm m để
a)

2 74
+ =a c
 
(Đ/s: m = 1)
b)

(
)
(
)
2 . 2 0
+ − =
b c a c

= +

( ; ; ), ,a b a b
Y a b
 
 



Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1).
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành.
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức
3 2 0
+ − =
MA MB CM
   

Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm
(3;1;0), ( 2;4;1)
−
A B
Đ
/s:
11
0; ;0
6
 
 
 

 
M
Ví dụ 12:
Tìm t
ọ
a
độ
chân
đườ
ng vuông góc H c
ủ
a tam giác OAB v
ớ
i
( 3; 2;6), ( 2;4;4), (0;0;0)
− − −
A B O
Đ
/s:
96 80 192
; ;
41 41 41
 
−
 
 
H
Ví dụ 13:
Cho các
đ

c)
Tìm
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
2 ,
− + =
MA MB MC MD
   
v
ớ
i D(4; 3; 2)
Đ
/s:
1
1; ;0
2
 
 
 
M
Ví dụ 14:
Tìm

Đ
/s:
(
)
0;3;0
C

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 
Tích có hướng của hai véc tơ:
Cho hai véc tơ:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; ) ; ; ;
y z z x x y
u x y z v x y z u v
y z z x x y
 
 
= = → =
 
 
 
   

Ví dụ 1:

( )
( 1;3;1)
; 7;0;5
( 2;1; 2)
u
u v
v

= −

 
→ = −

 
= − −



 


c)

( )
(2;0; 1)
; 2;4;4
( 2;2; 1)
u
u v
v

 
; ,
  
u v a
v
ớ
i
(
)
= − −
3; 1; 2 .

a b)
 
=
 
; 4.
 
u v c)
(
)
 
=
 
0
; ; 60 ,
  
u v a v
ớ
i

− −



 


a)
( ) ( )
; ; . 0 2; ; 1 . 3; 1; 2 0 3 6 2 2 0 4 8 2.
u v a u v a m m m m m m m m
   
⊥ ⇔ = ⇔ − − − + − − = ⇔ − − + − − = ⇔ = − ⇔ = −
   
     

b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1
; 4 2 1 4 5 6 5 4 5 6 11 0
11
5
m
u v m m m m m m m
m
=



     

( )
( )
2
2
2
2
2 0
2
227 23
23 227
4 2 5 5 6 5 42
21 46 9 0
42
m
m
m
m
m m m
m m
m
≤

− ≥

≤

−
 

 
=
 
  
a b c và không đồng phẳng khi
; . 0.
 
≠
 
  
a b c
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi
; . 0
 
=
 
  
AB AC AD và không đồng phẳng khi
; . 0.
 
≠
 
  
AB AC AD
+
Ứ
ng d
ụ
ng 2:
Tính diện tích tam giác.

02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
+ Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác hoặc tứ diện.
Ta có
1 1 3
; . . .
6 3
∆
∆
 
= = → =
 
  
ABCD ABC
ABC
V
V AB AC AD S h h
S

⇒ thể tích khối hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
là
; . '
 
=
 
  

 
− − − −
 
 
AB AC
, . 18.( 2) 36.3 72 0
 
⇒ = − − − = − ≠
 
  
AB AC AD nên ba vectơ
, ,
  
AB AC AD
không đồ
ng ph
ẳ
ng.
V
ậ
y A, B, C, D là 4
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t t
ứ
di
ệ

   
BCD
BC BD S BC BD
Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có
1 12 36
. . 3. 3.
3
77 77
= → = = =
ABCD
ABCD BDC
BDC
V
V S AH AH
S

d)
( 6;3;3), (2;1;1)
= − =
 
AB CD
Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có:
2 2 2 2
6.2 3.1 3.1
6 1
cos
φ .
3
324
6 3 3 . 2 1 1

AD a b c BC
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1 0 1
2 2 0 (1;0; 2)
1 1 2
− = =
 
 
= ⇔ − = − ⇔ = → −
 
 
+ = − = −
 
 
a a
AD BC b b D
c c

Làm tương tự
' ' '(0; 1;2); ' ' '(0; 3;1); ' ' ' (2;0; 2)
= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −
     
A B AB B B C BC C AA DD A
, ;
b)
1 4 4 2 2 1
, ; ; (9; 2;4) , . ' 9.1 2.( 2) 4.( 1) 9
2 1 1 0 0 2
 − − − −

V V V
V

d)
' . ' . '
9 9
3
6 6
= + = + =
ABCDD D ACD B ACD
V V V (đvtt)
Ví dụ 5: Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
11 2 2 1 0 3 2
= = − = −
; ; , ; ; , ; ;
a b c m m

 
. Tìm m để
a)
; 3 5
 
=
 

; . 0,
 
=
 
a b c
  
với
(3;1;1)
=

c
c)
; 3 10
 
=
 
a b
 
(Đ/s: m = –1)
Ví dụ 7: Cho
(
)
(
)
2;1;3 , 1; 1;2 1
= − = + −
 
u v m m . Tìm m
để


0
; ; 30 ,
 
=
 
  
u v a

v
ớ
i
(
)
2;1;1 .
= −

a

Ví dụ 8:
Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
3 2 1 0 1 3 3 2 11
= − = − = + −
; ; , ( ; ; ), ; ;
a b c m m


đ
ã cho
đồ
ng ph
ẳ
ng

Ví dụ 9:
Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
2 3 1 3 11 2 2 3 1
= + + = − = −
; ; , ( ; ; ), ; ;
a m m b c
 

. Tìm m
để

a)

; 110
 
=

 
. Tìm
m, n bi
ế
t
,
 
=
 
c a b

 
:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a)
(
)
(
)
(
)
3; 1; 2 , 1;2; , 5;1;7
= − − = =a b m c

 

b)
(
)

ây:
a)
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3
= − = =a b c

 
b)
(
)
(
)
(
)
4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1
= = − =
a b c

 

c)
(
)
(
)


đồ
ng ph
ẳ
ng:
a)
(
)
(
)
(
)
1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2
= = + = −a m b m c m

 

b)
(2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)
= + − = + + = +a m m b m m c m m

 

d)
(
)
(
)
(
)

Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác ABDC.
Ví dụ 14:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz cho 4
đ
i
ể
m A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A, B, C, D là 4
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ

nh A.
d)
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Ví dụ 15:
Trong không gian cho các
đ
i
ể
m A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3).
a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng A, B, C không th
ẳ
ng hàng.
b)
Ch
ứ
ng t
ỏ

n tích tam giác SAB.
b)
Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác ABCD.
c)
Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD. T
ừ

đ
ó tính kho
ả
ng cách t
ừ
S
đế
n (ABCD).
d)
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (SCD).



(P)
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
và có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
; ;
=

n A B C
thì có ph
ươ
ng trình
đượ
c vi
ế

ng trình t
ổ
ng quát
(
)
: 0.
P Ax By Cz D
+ + + =


(P)
đ
i qua ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C thì có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
;
P
n AB AC
 
=
 
  

P
P
n n
n n n
n n


(P)
đ
i qua
đ
i
ể
m A và song song v
ớ
i hai véc t
ơ

;
 
a b
thì
;

⊥

 
→ =

 

 
→ =

 
⊥


 
  
 
P
P
P
n AB
n AB n
n n

Ví dụ 1.

Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến
(
)
= −
1; 2;1 .

n
b) qua M(2; 0; 1) và song song v
ớ
i (Q): x + 2y + 5z

ẫ
n gi
ả
i:
a) (P)
đ
i qua M(1; 1; 2) và có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1; 2;1
= −

n nên có ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
(
)
: 1. 1 2. 1 1. 2 0 2 1 0
− − − + − = ⇔ − + − =
P x y z x y z

ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q): 4x + z
−
1 = 0; (R): 2x + 3y
−
z
−
5 = 0 nên có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
( ) ( ) ( )
4 0 1
; 3;6;12 3 1; 2; 4 1; 2; 4
2 3 1

⊥


 
→ = = = − = − − −
⇒
= − −



2. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua A và nh
ậ
n vect
ơ

(
)
1; 1;5
−

n làm vect
ơ
pháp tuy
ế
n
b) Vi
ế
t ph
ươ


a b
c) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng qua C và vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
d) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a

ặ
t ph
ẳ
ng qua A và song song v
ớ
i (P): 2x – y – 3z – 2 = 0.
03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz).
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:
a)
( )
3 1 1 2 1 4
2 3 1 0

− −

− + − =

β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
b)
( )

2 2 2 5 0

− − −

− − + =

β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z

Ví dụ 5.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (α)
đ
i qua
đ
i
ể
m
M
và giao tuy

(
)
(
)
2 1 1 4 0 3 1 0
− − + − = − + − =
; ; , : ,M P x y z Q : x y z

c)
(
)
(
)
(
)
3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0
− − + = − + + =
; ; , : ,M P x y z Q : x y z

d)
(
)
(
)
(
)
0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0
− + − = − − − =
; ; , : , :M P x y z Q x y z


ph
ẳ
ng (
R
) cho tr
ướ
c, v
ớ
i:
a)
2 4 0 3 0 2 0
P y z Q x y z R x y z
( ): , ( ) : , ( ) :
+ − = + − − = + + − =

b)
4 2 5 0 4 5 0 2 19 0
P x y z Q y z R x y
( ): , ( ) : , ( ):
− + − = + − = − + =

c)
3 2 0 4 5 0 2 7 0
P x y z Q x y R x z
( ): , ( ) : , ( ):
− + − = + − = − + =

Ví dụ 7.
Vi
ế

R
) cho tr
ướ
c, v
ớ
i:
a)
2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0
P x y Q y z R x y z
( ): , ( ) : , ( ):
+ − = − − = + − − =

b)
2 4 0 3 0 2 0
P y z Q x y z R x y z
( ): , ( ) : , ( ):
+ − = + − + = + + − =

c)
2 4 0 2 5 0 2 3 6 0
P x y z Q x y z R x y z
( ): , ( ) : , ( ):
+ − − = + + + = − − + =

d)
3 2 0 4 5 0 2 7 0
P x y z Q x y R x z
( ): , ( ) : , ( ):
− + − = + − = − + =


ẳ
ng song song v
ớ
i (
Oxy
) có ph
ươ
ng trình
là
z
−
a
= 0.


 Mặt phẳng (yOz):
véc t
ơ
pháp tuy
ế
n là
Ox
và
đ
i qua
g
ố
c t
ạ
o

pháp tuy
ế
n là
Oy
và
đ
i qua
g
ố
c t
ạ
o
độ
nên có ph
ươ
ng trình là
y
= 0.
Đặ
c bi
ệ
t, m
ặ
t ph
ẳ
ng song song v
ớ
i (
Oxz
) có ph

đ
i qua trung
đ
i
ể
m
I
c
ủ
a
AB
và nh
ậ
n

AB
làm véc t
ơ
pháp
tuy
ế
n.



Ph
ươ
ng trình m
ặ
t ch

)
(
)
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
thì (
P) có ph
ươ
ng
trình
đ
o
ạ
n ch
ắ
n:
( )
: 1
+ + =
x y z
P
a b c
.
Một số đặc điểm của mặt chắn:
+ Độ dài ; ;
= = =
OA a OB b OC c

+ Thế tích tứ diện
1 1

a b c a b c

Ta có
1
; ;
6
= = = → =
OABC
OA a OB b OC c V abc

• Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có
3
3 3
1 1 1 3 1 3
6 216
2
+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥abc abc
a b c
abc abc

min
1
.216 36 36 6
6
→ ≥ =
⇒
= ⇔ = = =
OABC
V V a b c , t
ừ

ắ
t các tr
ụ
c Oy, Oz l
ầ
n l
ượ
c t
ạ
i các
đ
i
ể
m B, C sao cho di
ệ
n tích tam giác ABC b
ằ
ng
6.

Đ
/s:
( )
: 1
2 2
y z
ABC x
± ± =

Ví dụ 3.

ượ
c t
ạ
i các
đ
i
ể
m B, C sao cho
2
OABC
V
=
, với O là gốc tọa độ.
Đ/s:
( )
: 1; 1
2 3 2 2 3 2
x y z x y z
ABC
+ − = − + =

Ví dụ 4. Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với
(P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho
4
OABC
V
=

Đ/s:
( )

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng

(
)
2 2 2
; ; , 0
= + + >

u a b c A B C có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i (d)
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ

+ Ph
ươ
ng trình tham s
ố

( )
0
0
0
:
= +


= +


= +

x x at
d y y bt
z z ct

+ Ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c
( )
0 0 0
: .

Trong đó véc tơ chỉ phương của d được xác định bởi ;
d P Q
u n n
 
=
 
  

 (d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho
d
u u
∆
=
 

 (
d
) đi qua điểm
A
và vuông góc với hai đường thẳng (
d
1
), (
d
2
) thì
1
1 2
2
;

ặ
t ph
ẳ
ng (
α
), (
β
) thì
;
α
α β
β

⊥

 
→ =

 
⊥


 
  
 
d
d
d
u n
u n n


 
→ =

 
⊥


 
  
 

Ví dụ 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i

d
M u


Ví dụ 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m A, B cho tr
ướ
c:
a)
(
)
(

; ; ; ;
A , B
Ví dụ 3:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m A và song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
cho tr

4 2 3
+ − −
− = =
∆
( ; ; ), :
x y z
A
e)
3 4
1 3 2 2 2
3 1

= +

− = −


= −

∆
( ; ; ), :
x t
A y t
z t

Ví dụ 4:
Vi
ế
t ph
ươ


( ):
( ):
P x y z
Q x y z
b)
2 3 3 4 0
2 3 0

− + − =

+ − + =

( ):
( ):
P x y z
Q x y z

c)
3 3 4 7 0
6 2 6 0

+ − + =

+ + − =

( ):
( ):
P x y z
Q x y z

= + = −
 
( ; ; ), : , :
x t x t
A d y t d y t
z t z t
b)
1 2
1 1 3
2 11 2 2
3 3
 
= + = +
 
− = − + = − +
 
 
= = +
 
( ; ; ), : , :
x t x t
A d y t d y t
z z t

c)
1 2
1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
 

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
, chính t
ắ
c c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
a)

đ
i qua
A
(1; 2; –1) và có vect
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là
(
)
1; 2;1 .

ng (P): 2x – 5y – z + 1 = 0 và (Q): 3x + 4z – 4 = 0.
Ví dụ 7:
Tìm ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng:
a)
qua A(3; –1; 2) và song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
1 2
: 3
= −


∆ = +




= −

x t
d y t
z t
và
2
1 2 1
:
2 1 3
− − +
= =
−
x y z
d
d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với
( )
1 2
:
2 3 1
− +
∆ = =
−
x y z

2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số
Cho đường thẳng
( )
0

= +

1
: 2 .
2 2
x t
d y t
z t
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c d sao cho
a)
(
)
= −
13; 2; 1;0 .
MA A
b)
(
)
(
)
⊥ −
; 0;1;2 , 1;2; 2 .
MI IA I A
c)

1 ; 2 ;2 2 .
M d M t t t
∈ ⇒ + − +
a)

( ) ( ) ( )
(
)
2 2 2
2 2
1 0;2;0
13 13 1 1 2 2 2 13 9 2 7 0
7 16 14 23
; ;
9 9 9 9
t M
MA MA t t t t t
t M
 = − ⇒

= ⇔ = ⇔ − + − + + = ⇔ + − = ⇔
 

= ⇒ −
 

 


V

)
(
)
1 ;1 2 ;1 2 , 1 ; 2 2 ;1 2
MA t t t MB t t t
= − + − = − − − + −
 

Theo bài,
2 2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 2 ) (1 2 ) ( 1 ) ( 2 2 ) (1 2 )
MA MB MA MB t t t t t t
= ⇔ = ⇔ − + + + − = − − + − + + −
2 2
3 11 3 11
9 2 3 9 10 6 8 3 ; ; .
8 8 4 4
t t t t t t M
 
⇔ − + = − + ⇔ = ⇔ = ⇒ −
 
 

d) Ta có
( ) ( ) ( )
1 ;1 2 ;1 2 , 1 ; 2 2 ;1 2 ; 3 6 ; 2 4 ; 1 7
MA t t t MB t t t MA MB t t t
 
= − + − = − − − + − → = − − + − +
 

 

= ⇒ −
 

 


V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví dụ 2:
Tìm
đ
i
ể
m M trên
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1

ớ
i A(1; 0; –1), B(4; –2; 3)
d)

30
,
2
MAB
S = v
ớ
i A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2)
Đ
/s: M(1; 0; 0)
Ví dụ 3:
Tìm
đ
i
ể
m M trên
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:
2
x t
d y t
z t
= +

c)

14,
MA = v
ớ
i A(0; 2; 1)
Đ
/s: M(–1; –1; 3)
d)
IM ⊥ d, v
ớ
i I(3; 0; –4)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ví dụ 4: Tìm điểm M trên đường thẳng
1
: 2 3
x t
d y t
z t
= +


= −


=

th
ỏ

MA = v
ớ
i A(3; 0; –2)
Đ
/s: M(2; –1; 1)
Ví dụ 5:
Tìm
đ
i
ể
m M trên
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−
thỏa mãn
a)
30,
MI = với I(2; 0; –3) Đ/s: M(1; 1; 2)
b) tam giác MAB cân tại M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2) Đ/s: M(2; 1; 0)
c)
2 2 2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
(
)
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D
P A x B y C z D

+ + + =


+ + + =





( ) ( )
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2



∩ ⇔

≠



Đặc biệt,
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0.
P P n n A A B B C C
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
 

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau:
a)
{
− + + =
− + − =
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
b)
{

3 2 5
−
≠ ≠ ⇒
−
hai mặt phẳng cắt nhau.
b)
Ta có
2 3 2
3 4 8
−
≠ ≠ ⇒
−
hai mặt phẳng cắt nhau.
c)
Ta có
2 2 4 5
25
5 5 10
2
−
= = = ⇒
−
hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
ã cho trùng nhau.
Ví d

c)
− − + − =


+ − + − =

3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)

{
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
+ − − =
+ − + =


Hai m

ắ
t nhau nhau khi
3 2
7
6
3
2
9
7 6
m
n
m
n
−

≠


≠
−

⇔


−

≠
≠



+ + − =

05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
 Hai mặt phẳng song song nhau khi
6
5 2 11
5
5
3 1 5
3
n
m
n
m

= −

− −

= = ≠ ⇔

−

=




t ph
ẳ
ng trùng nhau khi
5 2 11
3 1 5
m
n
− −
= = = ⇒
−
hệ vô nghiệm.
c)
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =


+ − + − =


 Hai mặt phẳng song song nhau khi
( )
2
4
2 4 3
2 2 10
4 3 3 4 0
3 3 2 5

t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau nhau khi
2
2
4
4
3 2
2 1
3 4 0
3 2
m m
m
m
m m
m m
m
+

≠

≠

≠

⇔ ⇔



m
m
m
=

+ =


+ − −

= = = ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ =
 
− −
 
=
=



Ví dụ 3.
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các c
ặ

x y z
x y z
− − − =


− − + =

d)
6 4 6 5 0
12 8 12 5 0
x y z
x y z
− − + =


− − − =


Ví dụ 4.
Xác
đị
nh m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây song song v


+ + − =

d)
2 0
2 4 3 0
x my z
x y nz
+ − + =


+ + − =


Ví dụ 5.
Xác
đị
nh m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây vuông góc v
ớ
i nhau?
a)
2 7 2 0

3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =


+ − + − =


II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình
( )
( )
0 0 0
:
: 0
x x y y z z
d

(
)
; ;
P
n A B C
=




( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0
. 0
/ /
0
P d P d
Aa Bb Cc
n u n u
d P
Ax By Cz D
M P M P
 
+ + =
⊥ ≠

 
⇔ ⇔ ⇔

T F
(
)
d P
⊂

(
)
/ /
d P

T F


( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0
. 0
0
P d P d
Aa Bb Cc
n u n u
d P
Ax By Cz D
M P M P
 
+ + =
⊥ ≠

đ
i
ể
m th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình
0
0 0 0
0
00

x
x x y y z z
y
a b c
Ax By Cz D
z
=

− − −

= =
 

ươ
ng
đố
i gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a)
( )
+ −
= = − + − =
1 3
: ; :3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
b)
( )
− − −
= = + − + =
9 1 3

ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m M(
−
1; 3; 0) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
2;4;3 .
d
u
=


M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có véc t

(
)
1;3;0 / / .
M P d P
− ∈
⇒
b)
Đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m M(9; 1; 3) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
8;2;3 .
d
u
=


ạ
i có,
(
)
(
)
(
)
9;1;3 .
M P d P
∈
⇒
⊂

c)
Đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m M(
−
1; 0;
−
2) và có véc t
ơ

Ta có
(
)
(
)
(
)
. 1; 1;3 1;2; 1 1 2 3 4 0
d P
u n d P I
= − − = − − = − ≠
⇒
∩ =
 

T
ạ
o
độ

đ
i
ể
m I th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình

= − +



= −


= −
  
⇔ ⇔ =
  
= − +
= − +
  
  
+ − − =
− + − + − − = ⇒ = −

= −





LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3 1 7
; ; .
2 2 2
I

d) (P) ch
ứ
a d

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; −3) và có véc tơ chỉ phương
(
)
;2 1;2 .
d
u m m= −


M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1;3; 2 .
P
n
= −



M P

= − =


⇔ ⇔ =
 
− ≠
∉



 

c)
1
2 1 2
( ) 1
2 1 3
1 3 2
d P
m
m m
d P u kn m
m
= −

−
⊥ ⇔ = ⇔ = = ⇔ ⇔ = −


ụ
3.
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
12 9 1
: ; ( ):3 5 2 0.
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =

b)
11 3
: ; ( ):3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =

c)
13 1 4
: ; ( ): 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
− − −
= = + − + =



b)
3 4
: 1 4 ; ( ):( 1) 2 4 9 0
3
x t
d y t P m x y z n
z t
= +


= − − + − + − =


= − +


c)
3 2
: 5 3 ; ( ):( 2) ( 3) 3 5 0
2 2
x t
d y t P m x n y z
z t
= +


= − + + + + − =




Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
với
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
:
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
:
x x y y z z
d
M x y z d u a b c
a b c
x x y y z z
M x y z d u a b c
d
a b c


= →

≡

 

+ Nếu
1 2 1 2
M d d d
∈ → ≡

+ Nếu
1 2 1 2
/ /
M d d d
∉ →

N
ế
u
1 2
1 2
1 2
d d
u ku
d d
∩

≠ →

= + =
 
 
= − = +
 
1 2
1 2 1 '
: 3 , : 2 '
2 2 '
x t x t
d y t d y t
z t z t

b)
− − − − + +
= = = =
−
1 2
1 7 3 6 1 2
: , :
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
1 1 1
1 2
2 2 2
( 2;1; 1), (1;3;0)
( 2; 3;2)

t khác
1 2 1 2 1 2
, (4;5; 3) , . 29 0
u u u u M M
   
= −
⇒
= − ≠ →
   
    
hai
đườ
ng th
ẳ
ng chéo nhau
b)
Ta có
1 1 1
1 2
2 2 2
(2;1;4), (1;7;3)
(5; 8; 5)
(3; 2;1), (6; 1; 2)
u M d
M M
u M d

= ∈

⇒

= − − − = →
   
    
hai
đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t nhau.
Ví dụ 2. Trong không gian cho bốn đường thẳng
( ) ( ) ( ) ( )
− − − − − − −
= = = = = = = =
− − −
1 2 3 4
1 2 2 2 1 2 1
: , : ; : , :
1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1
x y z x y z x y z x y z
d d d d
a) Chứng tỏ rằng d
1
và d
2
cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
H
ướ
ng d

ậ
n th
ấ
y
1 2
1 2
1 2
/ /
1
2
d d
u u
d d

≠ →

≡

 


L
ạ
i có, M
1
(1; 2; 0)
∈
d
1
, thay vào d

d
1
//
d
2
nên
1 1 2
, (0; 2; 2) 2(0;1;1)
n u M M
 
= = − − = −
 
  

Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (
P
) :
y
+
z
– 2 = 0
b) Ta có
3 3
. 2 0 ( )
P
n u P d
= ≠ ⇒ ∩
 

G

 
=
 


= +


Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
d
4
c
ắ
t mp (P) t
ạ
i
đ
i
ể
m B(4; 2; 0).
Ta có

1 1
3 3 3
3; ; (2;1; 1); . 9 0

a)
1 2
1
1 2 4
: ; :
2 1 3
2 3
x t
x y z
d d y t
z t
= − +

− + −

= = = −

−

= − +


b)
1 2
5 2 3 2 '
: 1 ; : 3 '
5 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t

= − + = +
 
 
′
= = −
 

e)
1 2
1 5 3 6 1 3
: ; :
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
− + − − + +
= = = =
f)
1 2
2 1 7 2
: ; :
4 6 8 6 9 12
x y z x y z
d d
− + − −
= = = =
− − −

Ví dụ 4. Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau? Khi đó tìm tọa độ giao điểm của chúng?
a)
1 2

 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
(
)
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D
P A x B y C z D

+ + + =


+ + + =



Đặ
t

0 0
1 2
α ( );( ) 0 α 90
P P= ⇒ ≤ ≤


(
)
(
)
0
1 2 1 2
/ /
α 0
⇔ = ⇒ =
 
P P n kn


(
)
(
)
0
1 2 1 2
. 0
α 90 .
P P n n⊥ ⇔ = ⇒ =
 


5
cosα
33
=
(
Đ/s:
m
= –1)
Ví dụ 2:
Cho hai mặt phẳng
( ): 1 0
( ):( 1) 3 (4 3) 3 0
+ + + =


− + + − + =

P x y z
Q m x y m z

Tìm
m
để
( )

( );( )
α
P Q
=
với

− + + =


+ + − =


x y z
x y z
d)
2 2 3 0
2 2 12 0
− − + =



+ + =


x y z
y z

Ví dụ 4:
Xác
đị
nh m
để
góc gi
ữ
a các c
ặ

α 45
+ + − =


+ + + =


=

mx y mz
x my z

c)
0
( 2) 2 5 0
( 3) 2 3 0
α 90
+ + − + =


+ − + − =


=

m x my mz
mx m y z
d)
0
3 0

= =
 
u a b c u a b c

Đặ
t
( )

( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
β ; cosβ cos ;
.
.
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
 
 
 
u u
a a bb c c
d d u u
u u
a b c a b c

1 2 1 2
. 0
β 90 .
⊥ ⇔ = ⇒ =
 
d d u u
Ví dụ 1:
Cho các đường thẳng
1
1 3
:
2 1 1
− −
= =
−
x y z
d và
2
3 ( 1)
: –1 3
4
= + +


= +


= +

x m t

1 2
165
; α; sinα
15
= =d d
Ví dụ 2:
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a)
1 2
1 2 2 –
: –1 : –1 3
3 4 4 2
= + =
 
 
= + = +
 
 
= + = +
 
x t x t
d y t d y t
z t z t

b)
1 2
1 2 4 2 3 4
: ; :
2 1 2 3 6 2
− + − + − +

= − = + =
 
 
= + = +
 
x t x t
d y t d y t
z t z mt

III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là
(
)
; ;
=

d
u a b c
và mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến
(
)
; ; .
=

P
n A B C

Đặt
( )



(
)
/ / . 0 0
⇔ = ⇔ + + =
 
d P
d P u n Aa Bb Cc


( )
⊥ ⇔ = ⇔ = =
 
d P
a b c
d P u kn
A B C

Ví dụ 1:
Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
( )
1 1
:
2 1 1
:3 2 5 3 0
+ −

= =

để

đườ
ng th
ẳ
ng d song song v
ớ
i (P):
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a)
( )
1 2
:
2 3 1
: (2 1) 3 1 0
+ −

= =

−


− + + − + =

x y z
d
P x m y mz m

b)


+ + + − =

x y z
d
P m x my z m

b)
( )
1
: 2 ; : ( 2) 5 3 0
3
= +


= − + + + + − =


=

x t
d y t P x m y mz m
z t

Ví dụ 4: Cho đường thẳng và mặt phẳng
( )
1 2
:
1 1 1
:2 ( 2) 3 0

1 3 2
:2 ( 3) (4 1) 1 0
+ −

= =

−


+ + + − + =

x y z
d
P x m y m z

Tìm giá trị của tham số
m
để
a)
d
// (
P
) Đ/s: Không tồn tại
m
.
b)
d
tạo với (
P
) góc φ với

ủ
a S lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a BD.
Bi
ế
t góc gi
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính kho
ả

giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ C đến mặt phẳng (SHD)
b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SAM).
b) từ C đén (SAH)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với
3; .
= =
AB a AC a
Gọi I là điểm trên BC
sao cho
1
2
=
BI IC
và H là trung điểm của AI. Biết rằng
( )
⊥
SH ABC
và góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 60
0
. Tính khoảng cách