Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần hình học
PHẦN HÌNH HỌC
Chủ đề 1 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
• Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là :
1
3
V Bh=
• Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là :
V Bh=
• Thể tích của khối hộp bằng tích diện tích đáy với chiều cao của nó.
• Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
• Chú ý :
a) Tỷ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỷ số đồng dạng.
b) Ta thường áp dụng kết quả sau : Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba
điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó :
. ' ' '
.
' ' '
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
= × ×
Ví dụ :
1) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,
các cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
. Hãy tính thể tích khối chóp đó.
Giải :
Kẻ SH⊥(ABC). H là trọng tâm của ∆ABC.

= =
.
a- Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
b- Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Giải :
a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Mp(P) cắt hình
chóp theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’.
Ta có : BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC, do đó BD // (P), từ đó suy ra (P)
cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’ // BD
Kẻ HE // AC’, khi đó : EC’= EC và
' ' ' 2
3
SC SH SB
SE SH SB
= = =
Suy ra :
' 2 ' 1 ' 1
1 1
3 3 3
SC SE SC EC
SE SE SE
−
− = − ⇔ = ⇔ =
Do đó :
2 2
' 3 ' 2 ' '
3 3
SC SE EC EC CC= = × = =
Vậy C’ là trung điểm của SC và SC⊥(AB’C’D’)
Ta có :

AC a a a
SH V a V= = ⇒ = × = ⇒ =
GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 13
Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần hình học
Bài tập :
1) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỷ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
2) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đt qua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao
cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính
CDEF
V
theo a.
3) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 60
0
.
Hãy tính thể tích khối chóp đó.
4) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. SA vuông góc với đáy. Biết AB=a, BC=2a,
SA=a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.AEF theo a.
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c.
Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB và SD sao cho AB’⊥ SB, AD’⊥ SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
6) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Mp(CEF)
chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện đó.
7) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Biết
·
0
120BAC =
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (TN 2009)
8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60

là trung điểm của BC
13) Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân (BA = BC). Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài bằng
3a
. Cạnh bên SB tạo
với đáy một góc bằng 60
0
.
a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy.
14) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng
đáy, SA= SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng đáy bằng 45
0
. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD. (CĐ B 2010)
15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH =
.
GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 14
Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần hình học
Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện
SMBC theo a. (ĐH D 2010)
16) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0

bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a. (TN 2011)
Chủ đề 2 : MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
1- Mặt nón :
• Diện tích xung quanh :
xq
S rl
π
=
Diện tích đáy :
2
d
S r
π
=
-
• Diện tích toàn phần :
tp xq d
S S S= +
Thể tích :
2
1 1
3 3
V Bh r h
π
= =
Bài tập :
1- Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

0
60SAB =
. Tính diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
5- Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có các cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là
0
45
. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC.
6- Cho tứ diện đều EFGH có cạnh bằng a. Tính thể tích khối nón có đỉnh là E và mặt đáy là hình tròn ngoại
tiếp tam giác FGH.
2- Mặt trụ :
• Diện tích xung quanh :
2
xq
S rl
π
=
Diện tích đáy :
2
d
S r
π
=

• Diện tích toàn phần :
tp xq d
S S S= +
Thể tích :

2EM u
=
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp của
,EFG MNK∆ ∆
.
4- Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
( ; )O r
và
( '; ')O r
. Khoảng cách giữa hai đáy là
' 3OO r=
. Một
hình nón có đỉnh là
'O
và có đáy là hình tròn
( ; )O r
.
a) Gọi
1
S
là d.tích xung quanh của hình trụ và
2
S
là d.tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số
1
2
S
S
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỷ số thể tích hai phần đó.
3- Mặt cầu :

2 2
'r r h= −
b- Giao của mặt cầu và đường thẳng :
Cho mặt cầu
( ; )S O r
và đường thẳng
∆
.
( , )h OH d O= = ∆
•
h r
>
:
∆
không cắt
( ; )S O r
•
h r
=
:
∆
tiếp xúc
( ; )S O r
tại H
•
h r
<
:
∆
cắt

, ,SA SB SC
đôi một vuông góc nhau và
, , SA a SB b SC c= = =
. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
4- Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
5- Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và chiều cao bằng a.
6- Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a,
( )SA ABCD⊥
,
2SC a
=
. CMR hình chóp
.S ABCD
nội tiếp được trong một mặt cầu và tính diện tích mặt cầu này.
GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 16
Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần hình học
Chủ đề 3 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và các ứng dụng
Định lí. Trong không gian Oxyz, cho :
a a a a b b b b
1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos( , )
.
+ +
=
+ + + +
r
r
•

a b a b a b a b
1 1 2 2 3 3
0⊥ ⇔ + + =
r
r
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trong K.gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính r có phương trình:
x a y b z c r
2 2 2 2
( ) ( ) ( )− + − + − =
Phương trình :
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
+ + + + + + =
với
a b c d
2 2 2
0+ + − >
là phương trình mặt cầu có


a
r
và
b
r
cùng phương 
, 0a b
 
=
 
r r r
.
•

, ,a b c
r r r
đồng phẳng 
, . 0a b c
 
=
 
r r r
.
2- Phương trình mặt phẳng :
Phương trình
0+ + + =Ax By Cz D
, trong đó
2 2 2
0+ + ≠A B C

( )P
, ta có:

•

1 2
( ) ( )PP P
1 2
1 2

=

⇔

≠


n kn
D kD
ur uur

•

1 2
( ) ( )≡P P
1 2
1 2

=


:
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
IV- PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
có dạng:
0 1
0 2

Cho hai đường thẳng d và d
′
lần lượt có VTCP là
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a a a a a
′ ′ ′ ′
= =
r r
và
0 0 0
( ; ; )M x y z d∈
,
, , ,
0 0 0
'( ; ; ) 'M x y z d∈
. Đặt
, 'n a a
 
=
 
r r ur
, ta có các điều kiện sau:
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song
d // d
′

⇔

0


d cắt d
′

⇔

0
. 0
n
n MM

=


′

=

r r
uuuuur
r
' . ' 0d d a a⊥ ⇔ =
r ur
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau : d chéo d’
n.MM' 0⇔ ≠
r uuuur
V. VTTĐ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :
Cho (P):
+ + + = 0Ax By Cz D
, có vtpt
( ; ; )n A B C=


=

• ⇔

∉


r r
. 0
( )
( )
a n
d P
M P

=

• ⊂ ⇔

∈


r r
0d P a n• ⇔ ≠
r r
c¾t ( ) .
d P n k a• ⊥ ⇔ =
r r
( ) .

(1; 1; 2), (3;1;1)A B− −
và mp
( ): 2 3 5 0P x y z− + − =
.
a) Tìm toạ độ điểm
'A
đối xứng với A qua mp(P)
b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).
6- Cho mp
( ):2 3 4 0P x y z− − + =
và mặt cầu
2 2 2
( ) : 6 2 2 3 0S x y z x y z+ + + − − − =
. Lập phương trình
( )mp
α
song song (P) và tiếp xúc (S).
7- Cho điểm A(0,1,-1) và đường thẳng
1 2
: 3
2
x t
d y t
z t
= −


=



α
+ + − =

9- Tìm toạ độ M
’
đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d :
2
1 2
1
x t
y t
z
=


= − +


=

10- Cho 2 đường thẳng : d
1
:
3
1 2
2 2
x t
y t
z t
= −

= − +


=

và d
2
:
1 2
3
=


= −


=

x t
y t
z t
a) Chứng minh :
1 2
d d⊥
và d
1
chéo d
2
.
b) Viết pt đường vuông góc chung của d

17- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm E(-1; 0; 1), F(3; 4; 5)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng EF.
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực của đoạn EF.
18- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ) :( 2) ( 1) 16S x y z− + + + =
và mặt phẳng
( ) : 2 2 0P x y z m− + + =
( với m là tham số).
a) Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Tìm m để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với giá trị m vừa tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của
mp(P) và mặt cầu (S).
19- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 0; 5), và hai mặt phẳng
(P) : 2x - y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y –z + 5 = 0.
1) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q).
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (T) đi qua M và vuông góc với cả (P) và (Q).
GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 19