Chñ ®Ò V

Ph¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt
Tãm t¾t lÝ thuyÕt:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở
thành bậc nhất một ẩn (§5).
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
x = 0
2
( 1) ⇔ ax + bx = 0 ⇔ x ( ax+b ) = 0 ⇔ 
b
x=−
a

Dạng 2: b = 0 khi đó
−c
( 1) ⇔ ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 =
a
−c
−c
≥ 0 thì x = ±
-Nếu
.
a
a
−c
< 0 thì phương trình vô nghiệm.

−b
−b'
x1 = x 2 =
x1 = x 2 =
2a
a
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
∆ ' < 0 : phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn
phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.
3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
b

S = x1 + x 2 = − a

P = x x = c
1 2

a
x1 =

−b + ∆
;
2a

∆ ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân
x1 =


5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều
kiện nào đó.
1
1
a) αx1 + βx 2 = γ; b) x12 + x 2 2 = m; c)
+
=n
x1 x 2

d) x12 + x 2 2 ≥ h; e) x13 + x 23 = t; ...
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp
giải hệ phương trình.

§12.CỰC TRỊ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định nghĩa
Tìm giá trị lớn nhất (max) hay giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức là xác
định giá trị của biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
-Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA.
Để tìm maxA cần chỉ ra A ≤ M , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA =
M.
-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.
Để tìm minA cần chỉ ra A ≥ m , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.
2.Các dạng toán thường gặp
2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):
Nếu A = B2 + m (đa thức 1 biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), …
thì A có giá trị nhỏ nhất minA = m.


Nu A = - B2 + M (a thc 1 bin), A = - B2 C2 + M (a thc hai bin),

a + b a + b ; a b a b a,b . Du = xy ra khi ab 0 .
-S dng mt s bt ng thc quen thuc.
Bt ng thc Cụsi:
1
a1 ,a 2 ,...,a n 0 ( a1 + a 2 + ... + a n ) n a1a 2 ...a n du = xy ra khi a1 = a2 =
n
= an.
Bt ng thc Bu-nhi-a-cp-ski: a1 ,a 2 ,...,a n ;b1 ,b 2 ,...,b n cú

(a

2
1

+ a 2 2 + ... + a n 2 ) ( b12 + b 2 2 + ... + b n 2 ) ( a1b1 + a 2b 2 + ... + a n b n ) du = xy

ra khi

2

a1 a 2
a
=
= ... = n .
b1 b 2
bn

Bài tập 1:
TT
1.

x2 - 6x + 5 = 0


5.
2x2 + 5x + 1 = 0
5. 3x2 - 6x + 5 = 0
6.
5x2 - x + 2 = 0
6. 3x2 - 12x + 1 = 0
2
7.
x - 3x -7 = 0
7. 5x2 - 6x - 1 = 0
8.
x2 - 3 x - 10 = 0
8. 3x2 + 14x + 8 = 0
9.
4x2 - 5x - 9 = 0
9. -7x2 + 6x = - 6
10. 2x2 - x - 21 = 0
10. x2 - 12x + 32 = 0
11. 6x2 + 13x - 5 = 0
11. x2 - 6x + 8 = 0
12. 56x2 + 9x - 2 = 0
12. 9x2 - 38x - 35 = 0
13. 10x2 + 17x + 3 = 0
13. x2 - 2 3 x + 2 = 0
14. 7x2 + 5x - 3 = 0
14. 4 2 x2 - 6x - 2 = 0
15. x2 + 17x + 3 = 0

=2
x2 6 x

2/ x4 + 3x2 4 = 0

2. THI BèNH Gii phng trỡnh: x +

4
=3.
x+2

Câu II: (2,0đ) C tho Giải bất phơng trình và các phơng trình sau:
1. 6 - 3x -9
3. 36x4 - 97x2 + 36 = 0

2
x +1 = x - 5
3
2
4. 2 x 3 x 2 = 3
2x + 1

2.


Bài 1: (2,25đ) hue
Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy giải các phơng trình sau:
a) 5x2 + 13x - 6=0

b) 4x4 - 7x2 - 2 = 0

CâuII: (2,5đ). Nghệ An Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x2
(m+3)x + m = 0 (1).
1. Giải phơng trình (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2
thoả mãn: x1 + x2 =

5
x1x2.
2

3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = x1 x2
Bi 2 ( 2 im) HI PHềNG
Cho phng trỡnh x2 + mx + n = 0 ( 1)
1.Gii phng trỡnh (1) khi m =3 v n = 2
2.Xỏc nh m ,n bit phng trỡnh (1) cú hai nghim x1.x2 tho món
x1 x 2 = 3
3
3
x1 x 2 = 9

Bi 3 (1,5 im THI BèNH)Cho phng trỡnh: x 2 - 2(m +1) x + m 2 + 2 = 0 (n
x)
1) Gii phng trỡnh ó cho vi m =1.
2) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x1, x2
tho món h thc: x12 + x22 = 10 .
Bi 2. (2,0 im) THI BèNH





Bài 2. ĐÀ NẲNG ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình:  x y
 2 − 3 = 334
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.
Câu 3 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với
m là tham số
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x 1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé nhất của
biểu thức P = x13 + x23
Bài 4 (2 điểm).

QUẢNG TRỊ

Cho phương trình bậc hai ẩn số x:
x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m.
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.
Câu 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ

Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.


2) Hải d ơng Cho phơng trình (ẩn x): x 2 2(m + 1)x + m 2 1 = 0 .
Tìm giá trị của m để

số )
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Đặt A = x1.x2 2(x1 + x2) với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng
trình trên. Chứng minh : A = m2 + 8m + 7
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng .
Bài 3 (1,5 điểm): quảng bình
Cho phơng trình: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), với n là tham số.
a) Tìm n để phơng trình (1) có một nghiệm x = 3.
b) Chứng minh rằng, với mọi n - 1 thì phơng trình (1) luôn có hai
nghiệm phân biệt.
Bài tập 3: Cho phơng trình:
x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = 2;
m = - 2;
m = 5;
m = -5;
m = 3;
m = 7;
m=
-4
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần
lợt bằng
x = 3;
x = -3;
x = 2;
x = 5;
x = 6;
x = -1
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.

m = 3;
m = 7;
m = - 4;
m = 2;
m = -7;
m=
-8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần
lợt bằng
x = 1;
x = - 4;
x = -2;
x = 6;
x = -7;
x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 6: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1
= x2
Bài tập 7:
Cho phơng trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2
Bài tập 8:
Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0

a) Giải phơng trình với m = - 5
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 15: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phơng trình với m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm
còn lại
Bài tập 16:Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
a) Giải phơng trình với m = - 2
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài tập 17: Cho phơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 18: Cho phơng trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22
Bài tập 19: Cho phơng trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0

Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn
x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 25: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0
(1)
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
Bài tập 26: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm,
nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài tập 27:
a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung.
Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0

(1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0

(2)

b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của phơng
trình (2) và ngợc lại.
Bài tập 28: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình:
x2 - (2m - 1)x + m 2 = 0
Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 29: Gọi x1; x2 là nghiệm của phơng trình: