LỜI CẢM ƠN

Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ m- PHẲNG TRONG KHÔNG
Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn đã nhiệt
GIAN EUCLIDE n CHIỀU.
tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở
những ý tưởng giúp tôi hoàn thành khóa luận này.
ĐỀ CƯƠNG KHÓA LUẬN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa toán
Chương 0: MỞ ĐẦU
Trường Đai Học Sư Phạm đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ,
I).Lý
do
chọn
đề
đóng góp ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt
tài…………………………………………………………..........
nghiệp của mình.
II).Phạm
vi
nguyên
Tôi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm
cứu……………………………………………………………
Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có được nguồn tài liệu
III).Mục
đích
chọn
đề
làm khóa luận.
tài……………………………………………………..........
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè

vô


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
1.3.1.

Định

nghĩa………………………………………………………..
1.3.2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong V En
……..
2.4.

Tích

có

hướng…………………………………………………….........
2.4.1.

Định

nghĩa………………………………………………………..
2.4.2. Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong V En
……………………
2.5. Biểu thức tọa độ của tích hổn hợp trong V En
………………………….
2.6.


trình

tham

số…………………………………………………
4.2.

Phương

trình

tổng

quát……………………………………………….
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

5. Vị trí tương đối của các phẳng trong En
5.1.

Định

5.2.


Định

lý…………………………………………………………….
lý…………………………………………………………………
5.6.

Định

5.7.

Định

nghĩa…………………………………………………………….
lý…………………………………………………………………
5.7.1.

Hệ

quả

Hệ

quả

1…………………………………………………………...
5.7.2.
2…………………………………………………………...
5.8.


quả……………………………………………………………..
5.10.
dụ……………………………………………………………..
6. Khoảng cách giữa các phẳng
6.1.

Khoảng

cách

giữa

2

điểm……………………………………………...
6.2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêu
phẳng……………………………...
6.2.1.

Vectơ

pháp

tuyến

của

siêu

phẳng………………………………….


phẳng………………………………………...

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
6.4.1.

Định

nghĩa…………………………………………………………
6.4.2. Đường vuông góc chung của 2 cái
phẳng…………………………
6.4.3.

Định

lí

Định

lí

1……………………………………………………………
6.4.4.

Khoa Toán

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƯƠNG 0hương 0: MỞ ĐẦU
I.) Lý do chọn đề tài:
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học kỹ thuật. Toán
học là nền tảng cho tất cả các nghành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói rằng
không có toán học sẽ không có ngành khoa học nào cả. Toán học giúp chúng
ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết vấn đề, trí thông minh sáng tạo.
Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh. Nói đến toán
học là nói đến sự gọn gàng và logic.
Ở phổ thông, môn toán là một môn khá là quan trọng, khá hay hay, đòi
hỏi nhiều tư duy, kĩ năng. Đặc biệt đây là môn học hình học, đây là môn học
khá trừu tượng khiến học sinh hơi vất vả.
Hình học là môn học xuất hiện rất sớm. Hàng trăm năm trước công
nguyên, con người đã đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch,
xây dựng những kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời với ý
nghĩa là môn khoa học về đo đạct. Nhưng rồi con người không chỉ cần đo đất,
mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn. Tuy nhiên hình học chỉ trở thành
môn khoa học thực sự khi con người nên lên các tính chất hình học bằng con
đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp.

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2


1) Các bài toán về phương trình m- phẳng trong không gian n –- chiều.
a) Phương trình tham số.

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

b) Phương trình tổng quát.
2) Các bài toán xét vị trí tương đối của các phẳng trong không gian
Euclide En.
3) Tính khoảng cách giữa các phẳng.
Với mỗi dạng bài toán tôi đưa ra lời giảphương pháp giải, các ví dụ và
bài tập minh họa có lời giải để học sinh nắm vững, vận dụng được vào quá
trình giải toán hình học.
III. Mục đích chọn đề tài:
Đề tài nghiênuyên cứu về các dạng bài toán m - phẳng trong không gian
Euclide n - chiều. Đây là những nội dung quan trọng trong không gian
Euclide, đưa ra lờiphương pháp giải 1 số bài toán liên quan đến m - phẳng
trong không gian Euclide n - chiều nhằm giúp ích phần nào cho học sinh
THPT giải các bài toán hình học không gian được nhanh hơn, ngắn gọn hơn,
nhằm nâng cao hiệu quả học tập.

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 9

()

( )

3) λ a ..b = λ a.b với λ ∈ R
4) a . a ≥ 0, dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0
CHÚ Ý: Tương ứng f nói trên là một ánh xạ f: V x V → R thỏa mãn 4 điều
kiện nêu trên. Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với
mọi hai vectơ bất kì của nó sẽ trở thành một không gian vectơ Euclide. Không
gian vectơ Euclide n chiều được kí hiệu là V nE hoặc E n .
Các định nghĩa liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ.

( )

. a . b = a . b cos a, b
. a

2

2

=a ⇒ a =

a

2

. a ⊥ b ⇔ a .b = 0

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

n

|a|=

∑a
i =1

2
i

, cos( a, b) =

a.b
a .b

∑a b
=

i =1

n

i i
n

∑a . ∑b
i =1

2
i

Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ a và b là: a ∧ b = c

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

2.2. Tính chất:
. a ∧ b = - b ∧ a (phản giao hoán)
. p.( a ∧ b ) = p. a ∧ b = a ∧ p. b với p ∈ R
. ( a + b )∧ c = a ∧ c + b ∧ c
. a ∧ ( b + c ) = a ∧ b +a ∧ c .
2.3. Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong VE3
. Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai vectơ a = ( a1 , a2 , a3 ) ,

b = ( b1 , b2 , b3 ) Hãy tìm tọa độ của vectơ a ∧ b = c . Ta dễ dàng tính được
tọa độ của vectơ c như sau:

 a2
c = a ∧ b = 
 b2
. Nếu

a3 a3
,
b3 b3


+

a3

a1

b3

b1

2

+

a1 a 2
b1

2

b2

a12 + a 22 + a32 . b12 + b22 + b32

. Gọi S là diện tích hình bình hành được

a

dựng trên các vectơ a, b (H.8)
(H.8)

g = a ∧b

3.2. Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp
Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng (H.7).

c

Gọi V là thể tích của hình hộp dựng
trên các vectơ a, b, c . Khi đó V = S.h

h

trong dó S là diện tích của hình bình
hành dựng trên hai vectơ a và b còn

b
a

h là chiều cao của hình hộp. Đặt g = a ∧ b

S
Hình 7

thì theo định nghĩa tích có hướng, ta có g = S .
Vectơ g vuông góc với mặt đáy tạo nên bởi hai vectơ a và b . Ba vectơ
a, b, g tạo thành một tam diện thuận. Hai vectơ c và g có chung gốc và
nằm về một phía đối với mặt phẳng đáy và gọi ϕ = ( g , c) s

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2


KẾT LUẬN: Tích hỗn hợp của ba vectơ a, b, c không đồng phẳng là một số,
có trị tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên ba vectơ a, b, c tạo nên một
tam diện thuận, âm nếu ba vectơ ấy tạo nên một tam diện nghịch.
3.3. Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong V En
Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc, cho ba vectơ không đồng phẳng:

a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) , c = ( c1 , c 2 , c3 ) .
Gọi V là thể tích của hình hộp dựng trên các vectơ a, b, c thì

(

)

±V = a, b, c .

(a, b, c ) = (a ∧ b).c = ab

2

2

Vậy

a3
a
c1 + 3
b3
b3

a1

a2
c3
b2

} của không gian Euclide n chiều trong E

n

được gọi là mục tiêu trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ đề các vuông góc)
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

{

Khoa Toán

}

nếu cơ sở e1 , e2 ,..., en của không gian vectơ Euclide E n là cơ sở trực chuẩn
nghĩa là:

0 khi i ≠ j

ei .e j = δ

ii

Khoa Toán

Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ
V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K. Không
gian vectơ liên kết V còn được kí hiệu là A’, được gọi là nền của không gian
afin A.
Nếu V là không gian vectơ thực nghĩa là K = R ta nói A là một không gian
afin thực, nếu V là không gian vectơ phức nghĩa là K = C ta nói A là một
không gian afin phức. Trong giáo trình này chủ yếu ta nói về không gian afin
thực.
Không gian afin A gọi là n chiều nếu dimV = n và được kí hiệu dimA = n
hay An (liên kết với không gian vectơ Vn).
2. Các ví dụ:
a) Không gian Euclide hai chiều E 2 và ba chiều E3 đã học ở trường trung
học phổ thông trung học là những không gian afin theo thứ tự liên kết với các
không gian vectơ (tự do) hai chiều V2 và ba chiều V3 với định nghĩa vectơ,
phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số thực đã được trình bày trong
sách giáo khoa phổ thông trung học. Khi đó rõ ràng ánh xạ f thỏa mãn hai tiêu
đề i) và ii) nói trên.
b) Cho V là một không gian vectơ. Ta dùng V làm tập hợp A. Khi đó các
vectơ của V được gọi là các điểm của A. Với hai vectơ a , b thuộc V ta có ánh
xạ f: V × V → V cho bởi : f( a , b ) = b - a thuộc V (vectơ b - a được hoàn
toàn xác định).
Rõ ràng ánh xạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nên
V trở thành không gian afin liên kết với V.
c) Cho tập hợp Rn trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ tự
mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ V n mà mỗi vectơ x của nó sẽ
tương ứng với một bộ số thực (x 1,x2,…,xn) với xi ∈ R. Ánh xạ f được xác định
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2


vectơ a =( a1,a2,…,an) và b =(b1,b2,…,bn) là số thực a1b1+a2b2 + …+ anbn thì

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

mô hình đó trở thành không gian vectơ Euclide n chiều. khi đó không gian
afin liên kết với không gian vectơ Euclide V En đó là không gian En.
3. Nếu En là không gian Euclide liên kết với không gian vectơ Euclide E n
thì mỗi cái phẳng α của nó cũng là 1 không gian Euclide liên kết với không
gian vectơ Euclide α E mà tích vô hướng trong α E được cảm sinh bởi tích vô
hướng của E n .
4. Xét không gian con n-chiều của Rn+1.
n
* Đặt R 0 = {( a1 , a 2 ,..., a n ,0) / ai ∈ R, i = 1, n} .
n
n
n
Xét ánh xạ f : R 0 × R 0 → R 0
n

( x , y )  f( x , y ) = x . y = ∑a i bi
i =1

n


n

n

∑ a (b + c ) = ∑ a b + ∑ a c
i

i =1

i

i

i =1

n

n

i =1

i =1

i i

i =1

i i



⇒ R 0n là 1 không gian vectơ Euclide n – chiều.

* Đặt R 1n = {( a1 , a 2 ,..., a n ,1) / ai ∈ R, i = 1, n}
n

R 1n liên kết với R 0 qua ánh xạ:

ϕ :

n
R 1n × R 1n → R 0

( a1,a2,…,an,1),(b1,b2,…,bn,1)  ( b1-a1,b2-a2,…,bn-an,0)
Chứng minh:
R 1n cùng với ϕ là một không gian Euclide n chiều.
n
1) ∀ M = (a1,a2,…,an,1) ∈ R1n , x = (x1,x2,…,xn,0) ∈ R0 thì ∃ N( x1+a1,x2+a2,…,

( )

xn+an,1 ) ∈ R1n sao cho ϕ MN = ( x1 , x2 ,..., xn ) = x .
2) Lấy M = (a1,a2,…,an,1) ∈ R1n , N = (b1,b2,…,bn,1) ∈ R1n , P = (c1,c2,…, cn,1)

∈ R1n .
Tacó : ϕ ( MN ) + ϕ ( NP ) = (b1 − a1 , b2 − a2 ,..., bn − a n ,0) + (c1 − b1 , c2 − b2 ,..., cn − bn ,0)
= (c1 − a1 , c2 − a 2 ,..., cn − a n ,0) = ϕ ( MP)
⇒ ϕ là ánh xạ afin ⇒ R1n cùng với ϕ là 1 không gian afin n chiều.

CHÚ Ý. Theo định nghĩa, không gian Euclide cũng là 1 không gian afin nên

m-phẳng.
2.Ví dụ:
0- phẳng là 1 điểm.
1-phẳng (phẳng 1 chiều) còn gọi là đường thẳng.
2-phẳng (phẳng 2 chiều) còn gọi là mặt phẳng.
(n - 1)-phẳng (phẳng n-1 chiều) còn gọi là siêu phẳng.
1. Không gian Afin.
1.1. Định nghĩa:

Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là
một không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f: A × A → V được kí
hiệu là f(M,N) = MN với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN thuộc V.
Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiêu đề sau đây được thỏa
mãn:
i)Với mọi điểm M thuộc A và mọi vecto u thuộc V có duy nhất điểm N
thuộc A sao cho MN = u .
ii) Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có
MN + NP = MP .

Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian
vectơ V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường

nên V trở thành không gian afin liên kết với V trở thành không gian afin
liên kết với V.
c) Cho tập hợp Rn trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ
tự mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ V n mà mỗi vectơ x
của nó sẽ tương ứng với một bộ số thực (x 1,x2,…,xn) với xi ∈ R. Ánh xạ f
được xác định như sau: với hai điểm A = (a 1,a2,…,an) và B(b1,b2,…,bn) của
Rn ta cho đặt tương ứng với một vectơ (b 1 – a1, b2 – a2,…, bn – an) của Vn
thì ta dễ dàng chứng minh được Rn là một không gian afin n – chiều.
2. Không gian Euclide:
2.1. Định nghĩa:
Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ
Euclide hữu hạn chiều. Không gian Euclide thường được ký hiệu là E.
. Không gian vectơ liên kết với nó thường được ký hiệu là VE hoặc là E .
. Không gian Euclide được gọi là n chiều kí hiệu là E n nếu không gian
vectơ
Euclide liên kết với nó có số chiều bằng n.
2.2. Các ví dụ:
1. Không gian Euclide ba chiều thông thường được học trong chương
trình toán ở phổ thông được ký hiệu là E 3. Trong không gian này, mặt
Nguyễn Thị Hoài Thương – 08CTT2

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

phẳng Euclide là không gian Euclide 2 chiều được ký hiệu là E 2. Các
không gian E 3 và E 2 là các không gian vecto tự do ba chiều và hai


Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
n

n
( x , y )  f( x , y ) = x . y = ∑ai bi ; x =(a1,a2,…,an,0) ∈ R 0 ,
i =1

n
y =(b1,b2,…,bn,0)∈ R 0 .

n

Chứng minh: R 0 là 1 không gian vectơ Euclide n – chiều.
∀

•

x = (a1 , a 2 ,..., a n ,0), y = (b1 , b2 ,..., bn ,0), z = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ R0n
f( x + x ' , y ) = (a1 + a1’) b1 + (a2 + a2’)b2 + … +(an + an’) bn = a1b1 +

a1’b1 + a2b2 + a2’b2 + … + anbn + anbn’ = (a1b1 + a2b2 + … + anbn) + (a1’b1 +
a2’b2 +… +an’bn) = f( x , y ) + f( x ' , y ).
•



Trang 25