BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------------------NHAN QUỐC MINH

PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ
NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011


2

LỜI CẢM ƠN
B
0

Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đối với quý Thầy Cô trong khoa Toán - tin
trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Thầy Cô tổ đại số trường Đại
học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị
cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tản cho quá trình viết luận văn này.
Đặc biệt tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Mỵ Vinh
Quang người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã

T
0

T
0

LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................... 6
T
0

T
0

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN .................................................... 7
T
0

T
0

1.1.Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường ................................................................ 7
T
0

T
0

1.1.1.Định nghĩa: ...................................................................................................... 7
T
0

0

1.2.1.Định nghĩa ....................................................................................................... 9
T
0

T
0

1.2.2 Định lý: ........................................................................................................... 9
T
0

T
0

1.3.Bao đóng nguyên của một vành............................................................................. 10
T
0

T
0

1.3.1 Các khái niệm cơ bản..................................................................................... 10
T
0

T
0


1.5.2 Định thức của một phần tử ............................................................................. 13
T
0

T
0

1.5.3 Tính chất ....................................................................................................... 14
T
0

T
0

1.6.Miền Dedekind ..................................................................................................... 17
T
0

T
0

1.7.Hàm chuẩn và hàm Euler ...................................................................................... 22
T
0

T
0


4

2.4 Phân tích thành nhân tử trên trường vòng .............................................................. 41
T
0

T
0

KẾT LUẬN ................................................................................................. 50
T
0

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 52
T
0

T
0


5

BẢNG KÍ HIỆU
B
2

£ - tập số phức


M n ( ¢ ) - vành các ma trận vuông cấp n trên ¢
■ - kết thúc phép chứng minh


6

LỜI MỞ ĐẦU
B
3

Cho K là một trường mở rộng hữu hạn ¤ và O K là vành các số nguyên đại
R

R

số trong K. Ta biết rằng O K nói chung không phải là miền nhân tử hoá. Cụ thể trong
R

R

O K định lý cơ bản của số học có thể sẽ không còn đúng nữa, một số có thể phân tích
R

R

thành tích các số nguyên tố theo nhiều cách khác nhau. Bởi vậy số học trong O K là
R

R


Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
B
4

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về mở rộng
trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, và các tính chất của chúng. Chúng
ta đi chứng minh mỗi ideal trong vành các số nguyên đại số đều được phân tích
thành tích các ideal nguyên tố từ đó xây dựng số học trên vành các số nguyên đại
số.

1.1.Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường
B
8

1.1.1.Định nghĩa:
B
9
1

Cho F, E là các trường, nếu F là trường con của E thì E được gọi là mở rộng
của F.
Khi đó E là không gian vectơ trên F, dim F E = [ E : F ] bậc của mở rộng E
trên F.
• Nếu [ E : F ] = ∞ thì E là mở rộng vô hạn của F.
• Nếu [ E : F ] = n thì E là mở rộng hữu hạn (bậc n) của F.
Cho tháp mở rộng trường F ⊂ E ⊂ G . Ta có

[ G : F ] = [ G : E ] .[ E : F ]
Hơn nữa nếu { xi }i =1,n là cơ sở của E trên F và


 f (a)

F (a) =
f , g ∈ F [ x ] , g ≠ 0  và được gọi
X = {a} khi đó F ( X ) =

 g (a)

là mở rộng đơn.

• X
=
•

{a1 , a2 ,..., an } , n ≥ 2 khi đó

 f (a1 , a2 ,..., an )

F(X ) =
F (a1 , a2 ,..., an ) =
f , g ∈ F [ x1 , x2 ,..., xn ] , g ≠ 0 


 g (a1 , a2 ,..., an )
và được gọi là mở rộng lặp.

1.1.3 Phần tử đại số
B
1
2

Cho E là mở rộng của F, E là mở rộng chuẩn tắc của F nếu đa thức

p ( x) ∈ F [ x ] bất khả quy trong F [ x ] , có nghiệm α ∈ E thì p ( x) được phân tích
thành tích các đa thức bậc nhất trong E [ x ] (E chứa tất cả các nghiệm của p ( x) ).
Từ khái niệm trên ta được kết quả sau ∀α ∈ E , irr (α , F ) phân rã được trên E.


9

• Mở rộng tách được.
 p ( x) ∈ F [ x ] tách được trên F nếu nó không có nghiệm bội trên F.
 F ⊂ E , α ∈ E gọi là tách được trên F nếu irr (α , F ) tách được.
 F ⊂ E , E là mở rộng tách được nếu ∀α ∈ E , α đều tách được trên
F.
 Nếu charF = 0 thì mọi đa thức bất khả quy trong F [ x ] đều tách
được. Suy ra mọi mở rộng E của F đều tách được.
b Định lý về phần tử nguyên thuỷ
Định lý F ⊂ E , E là mở rộng hữu hạn và tách được của F thì E là mở rộng
đơn. Nghĩa là tồn tại α ∈ E sao cho F (α ) = E .
Phần chứng minh của định lý trên độc giả sẻ tìm thấy ở Saban Alaca and
Kenneth S. Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp. 102 – 104].

1.2.Phần tử nguyên
B
9

1.2.1.Định nghĩa
B
3
2

là A [b0 ,..., bn −1 ] _môđun hữu hạn sinh. Mặt khác b0 ,..., bn −1 ∈ B nên A [b0 ,..., bn −1 ] là
A_môđun hữu hạn sinh. Suy ra A [b0 ,..., bn−1 , c ] là A_môđun hữu hạn sinh.
■

Vậy C nguyên trên A.

1.3.Bao đóng nguyên của một vành
B
0
1

1.3.1 Các khái niệm cơ bản
B
5
2

• Cho A, B là các miền nguyên, A ⊂ B . AB = {b ∈B| b nguyên trên A}
P

PR

R

là vành con của B chứa A và được gọi là bao đóng nguyên của A trong B.
• Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A. Bao đóng nguyên
của A trong K gọi là bao đóng nguyên của A. Kí hiệu là AK.
P

P



u
trong đó u là số nguyên đại
a


11

Chứng minh
n
Giả sử α n + an−1α n−1 + ... + a1α + a0 a=
0, ai ∈ ¤ . Gọi a là mẫu số chung của

các ai ta có

( aα )

trên ¢ và do đó =
α

n

+ an−1a ( aα )

n −1

+ ... + a1a n−1 ( aα ) + a0 a n =
0 suy ra aα nguyên

aα u

trong đó
a

aα
∈ K '.
a

■

iii) OK là vành đóng nguyên ( OKK = OK )
Chứng minh
Với α ∈ OKK ta có α ∈ K và α nguyên trên OK nên OK [α ] nguyên trên OK ,
mà OK nguyên trên ¢ nên OK [α ] nguyên trên ¢ . Do đó α nguyên trên ¢ hay

α ∈ OK .

■

iv) Nếu α ∈ Ω thì mọi liên hợp với α trên ¤ cũng thuộc Ω . Do đó,
∀α ∈ K , α ∈ OK khi và chỉ khi irr (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] .

Chứng minh
Lấy α ∈ Ω ta có α là nghiệm của f ( x ) = x n + an −1 x n −1 + ...a1 x + a0 ∈ ¢ [ x ] .
Giả sử irr (α , ¤ , x) = p ( x) khi đó p ( x ) | f ( x ) . Do đó mọi nghiệm của p(x) đều là
nghiệm của f(x) nên chúng đều là số nguyên đại số.
Vậy mọi liên hợp với α trên ¤ đều thuộc Ω .
Tiếp theo ta chứng minh ∀α ∈ K , α ∈ OK khi và chỉ khi irr (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] .
Thật vậy do irr (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] nên α ∈ OK .
Ngược lại với α ∈ OK ta có irr (α , ¤ ) = x n + an −1 x n −1 + ...a1 x + a0 ∈ ¤ [ x ]


Chứng minh:
K là mở rộng hữu hạn bậc n của ¤ , K tách được trên ¤ (do char ¤ = 0).
Suy ra tồn tại θ ∈ K sao cho K = ¤ (θ ) . Do irr (θ , ¤ ) bậc n nên irr (θ , ¤ ) có n
nghiệm trong £ là θ1 = θ , θ 2 , ..., θ n .
Nếu

σ :K →£

là

đơn

cấu

trường

thì

σ ( r ) = r , ∀r ∈ ¤ .

Ta

có

0 điếu đó cho ta biết σ (θ ) là
θ n + ... + a1θ + a0 =
0 nên (σ (θ ) ) + ... + a1σ (θ ) + a0 =
n

nghiệm của irr (θ , ¤ ) , từ đó suy ra σ=


3) Nếu α ∈ OK thì Fl (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ]
1.4.4 Hệ quả α là phần tử sinh của K khi và chỉ khi σ 1 (α ) ,..., σ n (α ) đôi
một khác nhau.
Chứng minh của các định lý và hệ quả trên độc giả tìm thấy ở Saban Alaca and
Kenneth S. Williams [3, pp. 118 – 122].

1.5.Các ideal trong O K
B
2
1

R

1.5.1 Định thức của một hệ phần tử
B
7
2

Cho K là trường con của £ , [ K : ¤ ] = n và O K vành các số nguyên đại số
R

R

của K. Xét n số α1 , ..., α n ∈ K . Ta định nghĩa

D (α1 , ..., α n ) =

α1



1
=
D (α )

α

L

1 σ 2 (α ) L
M

M

L

1 σ n (α ) ...

2

α n−1

(σ (α ) )

n −1

=
M
2


β=
cn1α1 + ... + cnnα n
n

, cij ∈ ¤

( )

Khi đó D ( β1 , ..., β n ) = ( det C ) D (α1 , ..., α n ) trong đó C = cij
2

nxn

1.5.3 Tính chất
B
9
2

i) Nếu α1 , α 2 , ..., α n ∈ K thì D (α1 , ..., α n ) ∈ ¤
ii) Nếu α1 , α 2 , ..., α n ∈ OK thì D (α1 , ..., α n ) ∈ ¢
iii) α1 , α 2 , ..., α n độc lập tuyến tính trên ¤ khi và chỉ khi D (α1 , ..., α n ) ≠ 0 .
Độc giả sẻ tìm thấy chứng minh của tính chất trên ở Saban Alaca and
Kenneth S. Williams [3, pp. 127 – 128]
1.5.4 Bổ đề Cho I < Ok , I ≠ 0 khi đó tồn tại c ≠ 0 thuộc vào I ∩ ¢ .
Chứng minh
Do

I ≠ 0 nên tồn tại α ∈ I

sao cho α ≠ 0 và do α ∈ OK

β ∈ Ω và theo bổ đề 1.5.4 tồn tại b ≠ 0 và b ∈ I ∩ ¢ . Đặt α

=
¤ (α ) ¤=
( abθ ) ¤ (θ ) . Từ đó suy ra D (α ) ≠ 0 nên

D
=
( b, bα ,..., bα n−1 ) b2n D (1, α ,..., α n−1 ) ≠ 0
i −1
Đặt
=
α i bα
=
, i 1, n thì ta có D (α1 ,..., α n ) ≠ 0 .

■


15

1.5.6 Định lý Cho I < Ok , I ≠ 0 , khi đó tồn tại α1 ,..., α n ∈ I sao cho x ∈ I
thì x được viết duy nhất dươi dạng x= c1α1 + c2α 2 + ... + cnα n , ci ∈ ¢ .
Chứng minh

{

}

Kí hiệu S =( x1 ,..., xn ) xi ∈ I , D ( x1 ,..., xn ) > 0 . Theo bổ đề 1.5.5 thì

α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn =

σ2 ( y)
σ 2 (α1 ) x1 + σ 2 (α 2 ) x2 + ... + σ 2 (α n ) xn =

 L
σ (α ) x + σ (α ) x + ... + σ (α ) x =
σn ( y)
2
2
n
n
n
n
 n 1 1
Vì D (α1 ,..., α n ) ≠ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất là ( c1 − k , c2 ..., cn ) . Từ đó ta có

( c1 − k )

2

D ( y, α 2 ,..., α n )
=
suy ra D ( y, α 2 ,..., α n=
)
D (α1 , α 2 ,..., α n )

( c1 − k )

2

và

là

2

cơ

sở

của

I

và

β1 ,..., β n ∈ I

I

thì

sao

cho

D (α1 ,..., α n ) = D ( β1 ,..., β n )

α1 ,..., α n



Mặt khác vì α1 ,..., α n là cơ sở của I nên=
ta có β j

=
D ( β1 ,..., β n )

∑c α , c
i =1

det C ) D (α1 ,..., α n ) ( det B ) ( det C )
(=

( det B ) ( det C )
2

n

2

2

2

= 1 cho nên (=
det B )

det C )
(=



D (α1 ,..., α n ) = D ( β1 ,..., β n )

C −1 ∈ M n ( ¢ ) .

Ta

lại

có

i

∈ ¢ do đó D ( β1 ,..., β n ) = ( det C ) D (α1 ,..., α n )
2

ij

nên

det C = ±1

ta

[α1 ,K ,α1 ] = C −1 [ β1 ,K , β1 ] hay α1 ,..., α n

có

hay


phần tử tối đại. Gọi P 1 là phần tử tối đại của S. Vì P 1 ∈ S nên P1 không là ideal tối
R

R

R

R

R

R

đại trong OK , do đó tồn tại P2 là ideal tối đại của OK sao cho P1 ⊂ P2 ⊂ OK . Suy ra
R

R

tồn tại α ∈ P2 \ P1 mà α ∈ OK nên ∃bk −1 ,..., b0 ∈ ¢ để α k + bk −1α k −1 + ... + b0 = 0 ∈ P1 .
Gọi l là số tự nhiên bé nhất có tính chất : ∃cl −1 ,..., c0 ∈ ¢ để

α l + cl −1α l −1 + ... + c0 ∈ P1
Vì α ∈ P2 nên c0 ∈ P2 suy ra c0 ∈ P2 ∩ ¢ . Ta lại có 0 ≠ ( P1 ∩ ¢ ) ⊂ ( P2 ∩ ¢ ) ⊂ ¢ và

P1 ∩ ¢ , P2 ∩ ¢ là các ideal nguyên tố của ¢ nên cũng là ideal tối đại của ¢ , do đó
P1 ∩ ¢ = P2 ∩ ¢ .

Từ

đó

Ví dụ
• Miền các ideal chính là miền Dedekind.
•

D = OK là miền Dedekind.

1.6.2 Định lý Trong miền Noether D, mọi ideal khác 0 đều chứa tích của một
hoặc nhiều ideal nguyên tố.
Chứng minh
Giả sử tồn tại ideal khác 0, không chứa tích của một hoặc nhiều ideal nguyên
tố. Kí hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, S ≠ ∅ . Suy ra S có phần tử tối đại là A.
Do A không là ideal nguyên tố của D nên tồn tại các ideal B, C của D sao cho BC là
con của A nhưng B, C không là con của A. Vì A ⊂ A + B nên A + B ∉ S suy ra

PP
1 2 ...Pk ⊂ A + B ( k ≥ 1) trong đó ∀i , Pi là ideal nguyên tố. Tương tự ta có
Q1Q2 ...Ql ⊂ A + C (l ≥ 1) trong đó ∀j , Q j là ideal nguyên tố. Từ đó ta suy ra

PP
1 2 ...Pk .Q1Q2 ...Ql ⊂ ( A + B )( A + C ) ⊂ A (!).

■


18

1.6.3 Định nghĩa Cho D là miền nguyên, K là trường các thương của D. Tập
con khác rông I của K được gọi là ideal phân của D nếu:
i) ∀α , β ∈ I , α + β ∈ I .
ii) ∀α ∈ I , ∀β ∈ D, αβ ∈ I .

° \ D.
Ta chứng minh ∃θ ∈ P
Lấy β ∈ P \ {0} khi đó 0 ≠ β ⊂ P và theo 1.6.2 ta có β ⊃ P1...Pk (k ≥ 1) (*) ,
trong đó P1 , ..., Pk là các ideal nguyên tố. Không mất tính tổng quát, giả sử k là số
dương bé nhất có tính chất (*). Vì P1...Pk ⊂ β ⊂ P nên tồn tại Pi ⊂ P . Do Pi
nguyên tố nên Pi tối đại suy ra Pi = P , giả sử P1 = P .
Ta xét 2 trường hợp sau
i) k = 1
Khi k = 1 thì P=
P=
1
Nếu θ ⊂ D thì

1

β

° \ D.
Suy ra θ ∈ P
ii) k > 1

β . Với θ =

1

β

ta có =
θP


δ
°.
⊂ D suy ra θ ∈ P
∈ K ta cos θ P = P1 = P1 ⊂ 1 k ⊂
β
β
β
β
β

Giả sử θ ∈ D khi đó

δ
β (trái với cách chọn δ ).
∈ D suy ra δ ∈ β D =
β

°\ D.
Suy ra θ ∈ P

° ≠ D.
Vây từ chứng minh trên ta có P
° = D.
Tiếp theo ta chứng minh PP
° ≠ D suy ra PP
° = P . Khi đó ta chứng minh P
° là một miền nguyên.
Giả sử PP

° ta có

nguyên tố nên tồn tại Pi sao cho Pi ⊂ P , giả sử P1 ⊂ P suy ra P1 = P .
Nếu k = 1 thì P1 = P ⊃ A ⊃ P1 do đó A = P1 (trái với cách chọn A).
Vậy k ≥ 2 . Gọi k là số bé nhất thoả mãn (*).

° nên A ⊆ P
° A . Nếu A = P
° A thì A =
° A ⊃ PP
° ...P =
Vì 1 ∈ P
P
P2 ...Pk (trái với cách
1
1
1
1
1 1
k

° A . Ta lại có P= P ⊃ A nên P
° A ⊂ PP
° =
° A là ideal
chọn k) suy ra A ⊂ P
D hay P
1
1
1
1
1

P1 ⊃ P=
Q1...Ql ⇒ ∃Qi : Qi ⊂ P1 ⇒
=
Qi P1
1...Pk
Không mất tính tổng quát ta có Q1 = P1 suy ra P2 ...Pk = Q2 ...Ql . Lập luận tương tự
như trên ta suy ra=
Q2 P=
P3 ,... . Nếu k < l, sau k lần ta có D = Qk +1...Ql (!) .
2 , Q3
Vậy k = l và=
1, k .
Pi Q=
i, i

■

1.6.6 Hệ quả Cho A là ideal phân của D khác 0 và khác D. Khi đó ta có

=
A P1k1 ...Pmkm , km ∈ ¢ * , Pi là các ideal nguyên tố đôi một khác nhau.
1.6.7 Định nghĩa
• Cho A là ideal (ideal phân) của D, P là ideal nguyên tố. Chỉ số của P trong
A được kí hiệu là ord P ( A ) , ord P ( A ) là số mũ của P trong sự phân tích của A.
• Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D. Ta nói B là ước của A được kí
hiệu là B|A nếu tồn tại ideal C sao cho A = BC.
Nhận xét Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D. Khi đó

B A ⇔ A ⊂ B ⇔ ord P ( A ) ≥ ord P ( B ) , ∀P nguyên tố.
1.6.8 Tính chất


min {ord P ( B ) , ord P ( B )} ≤ ord P ( A + B ) (2)
min {ord P ( A ) , ord P ( B )} .
Từ (1) và (2) suy ra ord P ( A + B ) =

■

1.6.9 Định nghĩa Cho D là miền Dedekind, K là trường các thương của D.
Cho α ∈ K , α ≠ 0 , ta định nghĩa ord P (α ) = ord P ( α

) cho mỗi ideal nguyên tố P

của D.
1.6.10 Tính chất
i) ord=
ord P (α ) + ord P ( β )
P (αβ )
ii) ord P (α + β ) ≥ min {ord P (α ) , ord P ( β )}

min {ord P (α ) , ord P ( β )}
iii) Nếu ord P (α ) ≠ ord P ( β ) thì ord P (α + β ) =
Chứng minh

ord P ( αβ
i) ord P (αβ ) =

) =ord ( α ) + ord (
P

P

P ( α ) , ord P ( β )
nên ord P (α + β ) ≥ min {ord P (α ) , ord P ( β )} .
iii) Giả sử ord P (α ) < ord P ( β ) khi đó min {ord P (α ) , ord P ( β )} = ord P (α )
theo (ii) ord P (α + β ) ≥ ord P (α ) . Ta lại có

ord P =
β )} ord P (α + β )
(α ) ord P (α + β − β ) ≥ min {ord P (α + β ) , ord P (=

β ) ord P =
Vậy ord P (α +=
(α ) min {ord P (α ) , ord P ( β )} .

■

1.6.11 Định lý Cho D là miền Dedekind, P1 ,... , Pm là các ideal nguyên tố đôi
một khác nhau, ai ∈ ¢ , i =
1, n . Khi đó tồn tại α ∈ K để

ord Pi (α ) = ai , ord P (α ) ≥ 0, ∀P ≠ Pi .


22

1.7.Hàm chuẩn và hàm Euler
B
4
1

1.7.1 Định nghĩa Cho I < Ok , I ≠ 0 . N ( I ) =

=
D ( β1 , ..., β n )

2

det C

Mặt khác C = T1DT2 (2) trong đó T1 , T2 ∈ M n ( ¢ ) , det ( ti ) =
±1, i =
1, 2 và

 d1
0
=
D 
M

0

0L 0 
d 2 L 0 
, di ∈ ¢
M O 0

0 L dn 

Từ (1) và (2) ta có [α1 ,..., α n ] = [ β1 ,..., β n ]T1DT2 nên [α1 ,..., α n ]T2−1 = [ β1 ,..., β n ]T1D
hay α1' ,..., α n'  =  β1' ,..., β n'  D suy ra α i' = di β i' với α1' ,..., α n'  = [α1 ,..., α n ]T2−1;
'
'


n

'
n

}

+ A xi ∈ ¢ ,0 ≤ di − 1 . Ta sẽ chứng minh S là tập đại
n

n

diện đầy đủ của D . Thật vậy,=
x
xi β i + A=
, y ∑ yi β i + A ∈ S , ta có
A =∑
i 1 =i 1


23
n

n

x=
y ⇔ ∑ ( xi − yi ) βi' + A =
0 ⇔ ∑ ( xi − yi ) βi' ∈ A


A

⇒ x=

n

∑ xi βi + A=

n

∑rβ

=i 1 =i 1

i

i

+ A ∈ S ( xi= di qi + ri , 0 ≤ ri < di )

det C= N ( A ) .
Vậy D = S= d1 d 2 ... d=
n
A

■

1.7.3 Định lý Cho A, B là hai ideal của D khi đó N ( AB ) = N ( A ) N ( B ) .
Để chứng minh định lý trên ta chứng minh bổ đề sau
Bổ đề Cho A là ideal nguyên (phân) của D, B là ideal của D. Khi đó ∃α ∈ A


min ord Pi (α ) , ord Pi ( AB )
=
ord Pi ( α + AB ) min ord
=
Pi ( α ) , ord Pi ( AB )
=

Pi

Pi

Pi

( A)

Với P ≠ Pi vì ord P ( A ) = 0 và ord P ( AB ) = 0 nên

{

}

=
ord P ( α + AB ) min ord
=
0
P ( α ) , ord P ( AB )
Tiếp theo ta sẽ chứng chứng minh định lý

1.


= xi + α yi + AB, i =1, k , j =1, l .

{

}

Các phần tử xi + α y j + AB, i = 1, k , j = 1, l đôi một khác nhau. Thật vậy, giả sử

(

)

xi + α y j + AB =xr + α ys + AB . Khi đó xi − xr + α y j − ys ∈ AB . Do α ∈ A nên ta

(

)

có xi − xr ∈ A từ đó suy ra xi = xr và α y j − ys ∈ AB . Khi đó ∀P ta có

(

)

ord P α ( y j − ys ) ≥ ord P ( AB ) nên ord P ( y j − ys ) + ord P (α ) ≥ ord P ( A ) + ord P ( B ) .
Có hai khả năng xãy ra

(



khi đó tồn tại i sao cho x − xi ∈ A khi đó x − xi ∈ α + AB suy

ra x − xi + αβ ∈ AB . Mặt khác β ∈ D tồn tại j để β − y j ∈ B nên β =y j + b, b ∈ B .

(

)

Do đó x − xi − α y j + b ∈ AB suy ra x + AB =xi + α y j + AB . Cho nên

D

AB

{

= xi + α yi + AB, i =1, k , j =1, l

Vậy N ( AB ) = N ( A ) N ( B ) .
1.7.4 Chuẩn và vết của phần tử

}
■

Cho tháp mở rộng trường ¤ ⊆ K ⊆ £ , [ K ; ¤ ] =
n . Khi đó có đúng n đơn cấu
trường σ i : K → £ , i =
1, n , trong đó σ 1 là phép nhúng
a) Định nghĩa

n

( −1) a0m .
n

= N (α ) .

α

Độc giả tìm thấy chứng minh của các tính chất trên tại Saban Alaca and
Kenneth S. Williams [3, pp. 223 – 228].

( )

*

Cho A < D , ký hiệu D A là tập các phần tử khà nghịch của vành D A . Thế

( )

*

thì D A là nhóm với phép nhân.
Ký hiệu ℑ là tập tất cả các iđêan của vành D. Ta định nghiã hàm Euler
1.7.5 Định nghĩa Ta định nghĩa

ϕ :ℑ→ ¥

( A)