Chủ đề : Một số dạng toán sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử
I . Một số kiếân thức liên quan
A. Khái niệm về phân tích đa thức thành nhân tử
Đa thức f(x) có bậc n được viết dưới dạng tích của các đa thức có bậc nhỏ hơn n .
f(x) = q
1
(x).q
2
(x)…..q
k
(x) trong đó các đa thức q
i
(x) ( i= 1,2,3….k) là các đa thức có bậc nhỏ hơn n
và tổng các bậc của các đa thức đó bằng n .
B. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1. Đặt nhân tử chung : AB + AC – AD = A(B + C – D)
2. Hằng đẳng thức :
a. A
2
± 2AB + B
2

= (A ± B)
2
b. A
3
± 3A
2
B + 3AB
2
± B

+ C
2
+ 2AB +2AC + 2BC = (A + B + C)
2

g. A
n
– B
n
= (A – B)(A
n-1
+A
n-2
B + A
n-3
B
2
….. + AB
n-2
+ B
n-1
)
h. A
2n+1
+ B
2n+1
= (A + B)(A
2n
– A
2n-1

thức về dạng dể nhận biết hơn .
Ví dụ : Phân tích đa thức (x
2
+ x + 2)
2
– 3(x
2
+ x + 2)(x
2
– x +3) + 2(x
2
– x + 3)
2
Ta đặt a = x
2
+ x + 2 ; b = x
2
- x + 3 thì được a
2
– 3ab + 2b
2
= (a-b)(a – 2b)
Thay a, b vào ta được (x
2
+ x + 2 - x
2
+ x – 3)( x
2
+ x + 2 - 2x
2

+ 73
2
– 27
2
– 13
2

c. 1000
2
+ 1003
2
+ 1005
2
+1006
2
– 1001
2
– 1002
2
– 1004
2
- 1007
2
d.
22
22
75125.150125
220780
++
−

2
– y
2
–2y – 1 với x = 93 và y = 6
b.
7549xvới
16
1
x
2
1
x
2
,
=++
c. a
3
–3a
2
b + 3ab
2
–b
3
với a = 2998 , b = 3003
Lời giải
a. x
2
–(y+1)
2
= (x – y –1)(x+y+1) . Thay x = 93 , y = 6 vào ta được

79
– 79x
78
… - 79x
2
+ 79x – 80 với x = 78
Giải
a. x
17
–13(x
16
+ x
15
+ x
14
…. + x
2
+ x + 1) + 6 vì x = 14 nên 13 = x –1 thay vào ta có
x
17
- (x –1)( (x
16
+ x
15
+ x
14
…. + x
2
+ x + 1) + 6 = x
17

cao .
Bài 1 : Tìm x biết
a. x
3
– 0,25x = 0 b. (2x – 1)
2
– (x + 3)
2
= 0 c. 3x
2
– 5(x
2
– 2x +1) = 3
Giải
a. x(x
2
– 0,25) = x(x – 0,5)(x + 0,5) = 0 ⇒ x = 0 ; 0,5 ; -0,5
b. [(2x –1) – (x +3)].[(2x –1) + (x +3)] = (x –4)(3x + 2) = 0 ⇒ x = 4 ; -2/3
c. 3x
2
– 5(x
2
– 2x +1) –3 = 0
3(x –1)(x + 1) – 5(x –1)
2
= (x –1)(3x + 3 –5x + 5) = (x –1)(-2x + 8) = 0 ⇒ x = 1 ; 4
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau
a. 2x
3
– 3x

2
– 2x) + (3x – 6)]
= (x –1)[x(x –2) + 3(x – 2)] = (x –1)(x –2)(x + 3) = 0
⇒ x = 1 ; 2 ; -3
Vậy nghiệm của đa thức x
3
– 7x + 6 là {1 ; 2 ; -3 }
c. Cho đa thức x
4
– 6x
3
+ 54x – 81 = 0 . Phân tích vế trái
x
4
– 6x
3
+ 54x – 81 = (x
4
– 81) – (6x
3
– 54x) = (x
2
– 9)(x
2
+ 9) – 6x(x
2
–9)
= (x –3)(x +3)(x
2
–6x + 9) = (x + 3)(x – 3)

2
+ 8x + 12) = (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6) = 0
Cho nên x = -2 ; -6
Xét x
2
+ 8x + 10 = (x + 4)
2
– 6 = (x + 4)
2
-
2
6)(
))(( 64x64x
++−+=
= 0
Nên x =
6464
−−+−
;
Vậy x ∈ { -2 ; -6 ;
6464
−−+−
;
}
b. Đặt y = x
2
+ x + 3 . ta biến đỗi vế trái y(y + 2x) – 3x
2

2
= (a + b)
2
– c
2
= (a + b + c)(a + b – c)
Do vậy a
2
+2ab + b
2
– c
2
 (a + b + c)
Bài 2 : Chứng minh rằng Với 3 số dương a ,b,c đôi một khác nhau thì đa thức a
3
+ b
3
+ c
3
–3abc chia
hết cho đa thức a + b + c .
Lời giải
Phân tích đa thức a
3
+ b
3
+ c
3
–3abc = (a + b)
3

3
+ b
3
+ c
3
–3abc  ( a + b + c)
Bài 3 : Chứng minh đa thức (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c – a)
3
chia hết cho đa thức (a –b)(b –c)(c –a) với a ,b,c
đôi một khác nhau .
Lời giải : Nhận xét b –c = -[(a –b) + (c –a)]
(a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c – a)
3
= (a –b)
3
– [(a –b) + (c –a)]
3
+ (c –a)
3
= (a –b)
3
–(a –b)

– c
3
= [(a + b + c)
3
– a
3
] – (b
3
+ c
3
)
= [(a + b + c) – a] [(a + b + c)
2
+ (a +b +c)a + a
2
] – (b + c)(b
2
– bc + c
2
)
= ( b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2ac + 2bc +a
2
+ab + ac + a
2

3
– a
4
– a
3
– a
2
+ a
2
+ a +1
= a
3
(a
2
+ a + 1) – a
2
(a
2
+ a + 1) + (a
2
+ a + 1)
= (a
2
+ a + 1)(a
3
– a
2
+ 1)
Vậy a
5

93
+ ….+ x
64
) + (x
63
+ x
62
+ x
61
+ ….+ x
32
) + +
(x
31
+ x
30
+ x
29
+ ….+ x
2
+ x + 1 )
= x
64
(x
31
+ x
30
+ …+ x + 1) + x
32
(x

D . Loại xét dấu của biểu thức
Bài 1 : Tìm các giá trò của x để đa thức (2x –1)
2
– 16 < 0
Lời giải
Phân tích đa thức (2x – 1)
2
– 16 = (2x – 1 –4)(2x – 1 + 4) = (2x – 5)(2x + 3)
Để (2x –1)
2
– 16 < 0 khi (2x –5)(2x + 3) < 0 . Mà tích hai thức số nhận giá trò âm khi hai biểu thức
2x – 5 và 2x + 3 nhận giá trò trái dấu . Vậy
Nếu



<+
>−
03x2
05x2
⇒







−<
>

x
⇒
2
5
x
2
3
<<−
Vậy
2
5
x
2
3
<<−
thì (2x –1)
2
– 16 < 0
Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi giá trò của x thì đa thức x
12
– x
7
– x
5
+ 1 luôn không âm .
Lời giải
x
12
– x
7

+ 1 ≥ 0 với mọi x ∈ R
Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ Z thì biểu thức 6n
2
– 7n + 2 > 0
Lời giải
Phân tích đa thức 6n
2
– 7n + 2 = 6n
2
– 4n - 3n + 2 = 2n(3n – 2) – (3n –2)
= (3n –2)(2n – 1)
Nếu n ≤ 0 thì 3n –2 < 0 và 2n – 1< 0 cho nên 6n
2
– 7n + 2 > 0
Vì n ∈ Z nên với n ≥ 1 thì 3n – 2 ≥ 1 , 2n –1 ≥ 1 cho nên 6n
2
– 7n + 2 > 0
Vậy với mọi n ∈ Z thì 6n
2
– 7n + 2 > 0
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi x , y ∈ R thì đa thức (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
luôn
không âm .
Lời giải
Biến đổi (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4y
4
= [(x +y)(x + 4y)][(x + 2y)(x + 3y)] + y
4


hay (x
2
+ 5xy + 4y
2
+ y
2
)
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2
)
2
≥ 0 với mọi x,y ∈ R
Bài 5 : Chứng minh rằng với a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì
2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
– a
4

+ b
4
+ c
4
+ 2a
2
b
2
- 2a
2
c
2
- 2b
2
c
2
)
= (2ab)
2
– (a
2
+ b
2
– c
2
)
2
= (2ab + a
2
+ b

2
c
2
– a
4
–b
4
– c
4
> 0
E . Loại tính giá trò của biểu thức có điều kiện
Bài 1 : Cho 3 số a , b ,c thoả mãn a + b + c = 1
(1)
; a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
(2)
; a
3
+ b
3
+ c
3
= 1
(3)
.

Vậy giá trò của biểu thức T = a + b
2
+ c
3
= 1
Bài 2 : Cho 3 số a,b,c thoả mãn a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc và a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0
Hãy tính giá trò của biểu thức M =






+






+




3
+ c
3
– 3abc = ½(a + b + c)[(a – b)
2
+ (b –c)
2
+ (c – a)
2
] = 0
Nếu (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c –a)
2
= 0 ⇒ a = b = c
M =






+






c
1
c
b
1
b
a
1
−=
−−−
=






+






+






= 10ab và b > a > 0 . Tính giá trò của biểu thức P =
b3a
b2a
+
−
Lời giải
Từ 3a
2
+ 3b
2
= 10ab ⇒ 3a
2
+ 3b
2
– 10ab = 0
Phân tích 3a
2
+ 3b
2
– 10ab = 3a
2
– 9ab – ab + 3b
2
= 3a(a – 3b) – b(a – 3b) = (a – 3b)(3a – b) = 0
Nếu a – 3b = 0 ⇒ a = 3b , điều này không xảy ra vì a < b
Vậy 3a – b = 0 ⇒ b = 3a . Thay vào biểu thức P ta được