TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
¢
³"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û
yxD
0,
¢
£"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu yaxbxca
2
'(0)
=++¹
thì:
+
a
yxR
0
()
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu D = 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
a
2
=- )
+ Nếu D > 0 thì
gx
()
có hai nghiệm
x x
12
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
gx
()
khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
gx
()
cùng dấu với a.
· So sánh các nghiệm
x x
12
,
ï
<£Û>
í
ï
>
î
+ xxP
12
00
<<Û<
·
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)max()
£"ÎÛ£
;
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)min()
³"ÎÛ³
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số
yfx
()
=
đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
>
³"ÎÛ
í
£
î
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
<
£"ÎÛ
í
£
î
2. Tìm điều kiện để hàm số
yfxaxbxcxd
32
ab
.
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û³ (*)
thì f đồng biến trên
(;)
ab
Û
hmgx
(;)
()max()
³
ab
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 2
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û£ (**)
thì f đồng biến trên
(;)
ab
Û
()0,0
³"<
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
>
ï
ï
ì
>>
Ú
íí
£>
î
ï
³
ï
î
– Hàm số f đồng biến trên khoảng
a
î
b) Hàm số f nghịch biến trên
(;)
ab
Û
yx
0,(;)
¢
³"Î
ab
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc
(;)
ab
.
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
£Û³ (*)
thì f nghịch biến trên
(;)
ab
a
.
Khi đó ta có:
ygtatabtabc
22
()32(3)32
aaa
¢
==+++++
.
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
-¥
Û
gtt
()0,0
£"<
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
0
D
D
ì
<
ï
ï
ì
<>
Ú
íí
£<
î
ï
³
ï
î
3. Tìm điều kiện để hàm số
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng k cho trước.
· f đơn điệu trên khoảng
xx
12
(;)
Û
· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số
axbxc
yad
dxe
2
(2),(,0)
++
=¹
+
a) Đồng biến trên
(;)
a
-¥
.
b) Đồng biến trên
(;)
a
+¥
.
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 3
c) Đồng biến trên
(;)
ab
.
Tập xác định:
=¹
+
a) Nghịch biến trên
(;)
a
-¥
.
b) Nghịch biến trên
(;)
a
+¥
.
c) Nghịch biến trên
(;)
ab
.
Tập xác định:
e
DR
d
\
ìü
-
=
íý
îþ
,
( ) ( )
adxaexbedcfx
gt
()0
³
, với:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
aaa
=+++++-
a) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
a
-¥e
d
gxhmx()(),
a
a
ì
-
ï
³
Û
í
ï
³"<
î
ì
-
ï
³
Û
í
ï
³"<
îa
a
ii
S
P
0
00
()
00
0
ì
>
ï
ï
ì
>D>
ÛÚ
íí
D£>
hmgx
[;)
()min()
a
a
+¥
ì
-
£
ï
Û
í
£
ï
î
b) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
a
+¥e
d
gttiii
()0,0()
a
ì
-
ï
ï
î
c) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
ab( )
e
d
gxhmx
;
()(),(;)
ab
ab
ì
-
ï
Ï
Û
í
ï
³"Î
î( )
e
d
Trường hợp 1 Trường hợp 2
Nếu
fxgxhmi
()0()()()
£Û³
Nếu bpt:
fx
()0
³
không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt:
tx
a
=-
.
Khi đó bpt:
fx
()0
£
trở thành:
gt
()0
£
hmgx
(;]
()min()
a
a
-¥
ì
-
³
ï
Û
í
£
ï
î
a) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
a
-¥e
d
gttii
()0,0()
a
ì
-
ï
ï
î
b) (2) nghịch biến trên khoảng
(;)
a
+¥e
d
gxhmx()(),
a
a
ì
-
ï
£
Û
í
ï
³">
îe
d
hmgx
[;)
()min()
ï
£">
îa
a
iii
S
P
0
00
()
00
0
ì
<
ï
ï
ì
<D>
ÛÚ
íí
D£<
î
ï
³
ï
î
()min()
ab
ab
ì
-
Ï
ï
Û
í
£
ï
î
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 5
Cõu 1. Cho hm s
ymxmxmx
32
1
(1)(32)
3
=-++- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi
m
2
=
.
m
0
=
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong
(;0)
-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh: D = R.
yxxm
2
36
Â
=+-
. y
Â
cú
m
3(3)
D
Â
=+
.
+ Nu
m
3
Ê-
thỡ
ị
PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xxxx
1212
,()
< . Khi ú hm s
ng bin trờn cỏc khong xx
12
(;),(;)
-Ơ+Ơ
.
Do ú hm s ng bin trờn khong
(;0)
-Ơ
xx
12
0
Ê<
P
S
Vy:
m
3
Ê-
.
Cõu 3. Cho hm s
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1
=-++++
cú th (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong
(2;)
+Ơã
Tp xỏc nh: D = R. yxmxmm
2
'66(21)6(1)
=-+++
cú mmm
22
(21)4()10
D
=+-+=>
Cõu 4. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm ng bin trờn khong
K
(0;)
=+Ơ
.
ã
Hm ng bin trờn
(0;)
+Ơ
yxmxm
2
3(12)(22
)0
Â
+
=-+-
vi
x
0)
(
;
"ẻ
6(
1)1
1
2
()02
()
01;
2
41
Â
=
+-
+-==-=
=
+
Lp BBT ca hm
fx
()
trờn
(0;)
+Ơ
, t ú ta i n kt lun:
fmm
15
24
ổử
ỗữ
ốứ
m
(1)
ạ-
,
K
(1;)
=+Ơ
. S:
0
m
c)
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+ +-+
m
(1)
ạ-
,
K
(1;1)
=-
. S: m
1
2
.
t
tx
2
=
ta c: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410
Â
==-++-++-
Hm s (1) nghch bin trong khong
(;2)
-Ơ
gtt
()0,0
Ê"<
TH1:
a
0
0
ỡ
<
ớ
DÊ
ợ
m
ợ
m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1
ỡ
-<
ù
>
ù
ù
ớ
+-Ê
ù
ù
>
(2;)
=+Ơ
.
ã
Tp xỏc nh: D = R; ymxmx
22
(1)2(1)2
Â
=-+
.
t
tx
2
=
ta c: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410
Â
==-++-++-
Hm s (1) nghch bin trong khong
(2;)
+Ơ
gtt
()0,0
Ê">
TH1:
a
0
ỡ
<
ù
ù
D>
ớ
<
ù
ù
ợ
m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1
ỡ
-<
2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1.
ã
Ta cú
yxxm
2
'36
=++
cú
m
93
D
Â
=- .
+ Nu m 3 thỡ
yxR
0,
Â
"ẻ
ị
hm s ng bin trờn R
ị
m 3 khụng tho món.
+ Nu m < 3 thỡ
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
1
-=
xxxx
2
1212
()41
+-=
m
9
4
=
.
Cõu 8. Cho hm s yxmx
32
231
=-+-
(1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong
xx
12
(;)
vi xx
21
1
0
ạ
,
yxmkhim
0,(0;)0
Â
"ẻ>
hoc
yxmkhim
0,(;0)0
Â
"ẻ<
.
Vy hm s ng bin trong khong
xx
12
(;)
vi xx
21
1
-=
xxm
xxm
12
12
(;)(0;)
= +
(1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2).
ã
Ta cú
yxmxxxm
32
'444()
=-=-
+
m
0
Ê
, yx
0,(0;)
Â
"ẻ+Ơ
ị
m
0
Ê
tho món.
+
m
0
2
Ê
.
Cõu 10. Cho hm s
mx
y
xm
4
+
=
+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=-
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong
(;1)
-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh: D = R \ {m}.
m
y
xm
2
2
y
x
2
23
(2).
1
-+
=
-
Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(;1)
-Ơ-
.
ã
Tp xỏc nh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
-+-
9
Ê
.
Vy
m
9
Ê
thỡ hm s (2) ng bin trờn
(;1)
-Ơ-Cõu 12. Cho hm s
xxm
y
x
2
23
(2).
1
-+
=
-
Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(2;)
+Ơ
.
ã
Hm s (2) ng bin trờn
(2;)
+Ơ
yxmgx
[2;)
'0,(2;)min()
+Ơ
"ẻ+ƠÊ
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 8
Dựa vào BBT của hàm số
gxx
(),(;1]
"Î-¥-
ta suy ra
m
3
£
.
Vậy
m
3
£
thì hàm số (2) đồng biến trên
(2;)
+¥
.
-+-
== Ta có: fxmxx
2
()0243
³Û£-+
. Đặt gxxx
2
()243
=-+
gxx
'()44
Þ=-
Hàm số (2) đồng biến trên
(1;2)
yxmgx
[1;2]
'0,(1;2)min()
Û³"ÎÛ£
Dựa vào BBT của hàm số
gxx
(),(;1]
"Î-¥-
ta suy ra
m
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
-+-
==
Đặt
tx
1
=-
.
Khi đó bpt:
fx
()0
£
trở thành: gttmtmm
22
()2(12)410
= +-£
Hàm số (2) nghịch biến trên
(;1)
>
í
ê
ï
³
ê
î
ë
m
m
m
mm
2
0
0
420
410
é
=
ê
ì
¹
ê
Û
ï
->
í
ê
ï
-+
=
-
Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng
(1;)
+¥
.
·
Tập xác định:
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
-+-
==
Đặt
tx
1
=-
'0
()
0
0
é
D=
ê
ì
D>
ê
Û
ï
<
í
ê
ï
³
ê
î
ë
m
m
m
mm
2
0
0
420
410
Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3:
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
A. Kiến thức cơ bản
· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình
y
0
¢
=
có 2 nghiệm phân biệt.
· Hoành độ
xx
12
,
của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình
y
0
¢
=
.
· Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
– Phân tích
yfxqxhx
().()()
¢
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông
góc) với đường thẳng
dypxq
:
=+
.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
kp
=
(hoặc k
p
1
=-
).
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
dypxq
:
=+
một góc
a
.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
kp
kp
tan
.
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
– Giải điều kiện:
d
Id
D
ì
^
í
Î
î
.
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 10
– Giải điều kiện:
dAddBd
(,)(,)
=
.
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai
điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
'()32(3)32
aaa
==+++++ 9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả:
a)
xx
12
a
<<
b) xx
12
a
<<
c)
xx
12
a
<<yfxaxbxc
2
'()32
==++
a
-¥
fx
()0
Û=
có nghiệm trên
(;)
a
-¥
.
gt
()0
Û=
có nghiệm t < 0
P
S
P
0
'0
0
0
é
<
ê
ì
D³
ê
Û
ï
'0
0
0
é
<
ê
ì
D³
ê
Û
ï
>
í
ê
ï
³
ê
î
ëa) Hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả
xx
12
a
<<
có hai nghiệm
tt
12
,
thoả tt
12
0
<<
S
P
'0
0
0
ì
D>
ï
Û<
í
ï
>
î
c) Hàm số có hai cực trị x
1
, x
2
thoả
xx
12
a
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 11
Cõu 1. Cho hm s
yxmxmxmm
32232
33(1)=-++-+- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=
.
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).
ã
yxmxm
22
363(1)
Â
=-++- .
PT y
0
Â
=
cú
m
10,
D
=>"
ị
2
=-+
PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l
yxmm
2
2
=-+
.
Cõu 2. Cho hm s yxxmxm
32
32
=+++-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.
ã
PT honh giao im ca (C) v trc honh:
xxmxm
32
320(1)
+++-=
-=-ạ
ợ
m
3
<Cõu 3. Cho hm s yxmxmmx
322
(21)(32)4
=-++ +-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.
ã
yxmxmm
22
32(21)(32)
Â
=-++ +
.
(C
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.
ã
TX: D = R ; yxmxm
2
221
Â
=-+-
.
th (C
m
) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn
bit cựng du
mm
m
2
210
210
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng
yx
1
=-
.
ã
Ta cú:
yxxm
2
'36
=
.
Hm s cú C, CT yxxm
2
'360
= =
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
;mm
'9303
D
=+>>-
mmmm
xxyyxyyx
121122
22
22;22
333
))
3
((
ổửổử
-++-++
ỗữỗữ
ốứ
=
ố
=
ứ
==ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
mm
yx
2
22
33
( ) ( )
II
x
mm
xxxx
m
y
m
y
y
m
x
x
2
1212
121
2
2222
33
2
1
2.22
1
2
2
00
33
2
ổửổử
-+++=+-
ã
Ta cú:
yxmx
2
36
Â
=- ;
x
y
xm
0
0
2
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở
. hm s cú cc i v cc tiu thỡ m
ạ
0.
th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m
3
), B(2m; 0)
ị
ABmm
3
=
ù
ợ
m
2
2
=Cõu 7. Cho hm s yxmxm
32
331
=-+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
xy
8740
+-=
.
ã
yxmx
2
36
Â
Trung im I ca AB cú to : Immm
3
(;231) ng thng d:
xy
8740
+-=
cú mt VTCP u
(8;1)
=-
r
.
A v B i xng vi nhau qua d
Id
ABd
ỡ
ẻ
ớ
^
ợ
mmm
ABu
3
Cõu 8. Cho hm s
yxxmx
32
3=-+ (1).
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 13
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d:
xy
250
=
.
ã
Ta cú
yxxmxyxxm
322
3'36
=-+ị=-+
Hm s cú cc i, cc tiu
y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit mm
9303
D
cú h s gúc km
1
2
2
3
=-
.
d:
xy
250
=
yx
15
22
=-
ị
d cú h s gúc k
2
1
2
=
hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d
^
D
2
= .
ã
yxmx
2
'36(1)9
=-++
Hm s cú C, CT
m
2
'9(1)3.90
D
=+->
m
(;13)(13;)
ẻ-Ơ ẩ-++Ơ
Ta cú
m
yxymmxm
2
11
2(22)41
33
ổử
+
Â
=
ợ
Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l ymmxm
2
2(22)41
=-+-++
A, B i xng qua (d):
yx
1
2
=
ABd
Id
ỡ
^
ớ
ẻ
ợ
m
1
=
.
+ Hm s t cc i, cc tiu ti
xx
12
,
PT
y
'0
=
cú hai nghim phõn bit
xx
12
,
PT xmx
2
2(1)30
-++=
cú hai nghim phõn bit l
xx
12
,
.
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 14
mm
2
(1)431
Û+£Û-££
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là m
313
-£< và m
131.
-+<£Câu 11. Cho hàm số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
1
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
mmmm
m
22
5
'(12)3(2)450
4
1
D
é
>
ê
Û= = >Û
ê
<-
ë
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
mm
xxxx
1212
(12)2
;
3
2
3
+
>Ú<-Câu 12. Cho hàm số
yxmxmx
32
1
1
3
=-+-
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
1
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
8
-³
.
Û
m
m
0
1
é
<
ê
>
ë
(*). Khi đó:
xxmxxm
1212
2,
+==
.
xx
12
8
-³
Û
xx
2
12
()64
-³
Û
mm
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
2
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
21
+=
.
·
Ta có: yxmxm
2
2(1)3(2)
¢
= +-
Hàm số có cực đại và cực tiểu
Û
y
ỡ
+=-
ớ
=-
ợ
( )
xm
xxm
2
22
32
123(2)
ỡ
=-
ù
ớ
-=-
ù
ợmmm
2
434
81690
4
-
D
Â
=+>"
ị
hm s luụn cú 2 cc tr
xx
12
,
.
Khi ú:
m
xxxxxx
121212
1
4;;
64
ỡ
=-+=-=-
ớ
ợ
m
9
2
ị=
Cõu hi tng t:
a)
yxxmx
32
axaxa
2
2
12
22
21
29
2
29
++
+=
++
(2)
ã
yxaxa
2
23
Â
=
. Hm s cú C, CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
x x
Ta cú:
(
)
xaxaaxxaaa
22
1212
292124120
++=++=+>
Tng t: xaxaaa
22
21
294120
++=+>
Do ú: (2)
aaa
aaa
22
22
412
2
412
+
+=
+
aa
tha món:
CẹCT
xx
2
= .
ã
Ta cú:
yxmxmxmxm
2222
618126(32)
Â
=++=++
Hm s cú C v CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
D
=
m
2
> 0
mmmm
2
33
22
ổử
+
=
ỗữ
ốứ
m
2
=-
. Cõu 17. Cho hm s ymxxmx
32
(2)35
=+++-
, m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 16
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
2
D
D
ì
=+¹
ï
=-+>
ì
ì
= +>-<<
ï
ïïï
ÛÛ<Û<Û-<<-
=>
ííí
+
ïïï
+<<-
î
î
-
ï
=>
ï
+
îCâu 18. Cho hàm số
yxmxmx
22
030
¢
=Û-+-=
(2)
YCBT
Û
P
S
xx
22
12
0
0
0
5
2
D
ì
>
ï
>
ï
>
í
ï
+=
ï
î
·
yxmxmgx
2
32(12)2()
¢
=+-+-=
YCBT
Û
phương trình y
0
¢
=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
thỏa mãn: xx
12
1
<<
.
Û
mm
gm
Sm
2
450
3
=+-+-+
(Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x
1
, cực tiểu tại x
2
thỏa mãn xx
12
1
<<
.
· Ta có: ymxmxm
2
2(2)1
¢
=+-+-
;
y
0
¢
=Û
mxmxm
2
2(2)10
+-+-=
(1)
Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn xx
12
m
P
S
0
0
0
0
D
ỡ
>
ù
Â
ù
>
ớ
>
ù
<
ù
ợ
m
54
43
<<
.
Cõu 21. Cho hm s
32
(12)(2)2
yxmxmxm
(*) cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
v cú ớt nht 1
nghim thuc
(2;0)
-
xx
xx
xx
12
12
12
20(1)
20(2)
20(3)
ộ
-<<<
ờ
-<<Ê
ờ
Ê-<<
ờ
ở
Ta cú:
( )( )
mm
4
2
D
ỡ
>
ỡ ù
= >
-
ù
ù
-<<
+
ù ù
ùù
-<<
-<<-
ớớ
++>
ùù
++>
ùù
-
>
ù
ù
ợ
>
ù
ợ
2
220
40
33
D
ỡ
>
ỡ
ù
= >
ù
ù
=-Ê
ùù
-
>-
ớớ
+++>
ùù
-
ùù
-
++>
ợ
++>
ù
ợ
D
ỡ
>
ỡ
ù
= >
+
ù
ù
-=+Ê
ùù
-
-Ê<-
ớớ
<
+<
ùù
-
ùù
>
ợ
>
ù
ợ
Túm li cỏc giỏ tr m cn tỡm l:
)
m
5
;12;
AAAABBBB
gxyxygxyxy
(,)3240;(,)3260
= =-<= =>ị
2 im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca ng thng d:
yx
32
=-
.
Do ú MA + MB nh nht
3 im A, M, B thng hng
M l giao im ca d v AB.
Phng trỡnh ng thng AB:
yx
22
=-+
Ta im M l nghim ca h:
yx
xy
yx
42
32
;
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n gc ta O bng
2
ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.
ã
Ta cú yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
. Hm s (1) cú cc tr
PT y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xmxm
22
210
-+-=
cú 2 nhim phõn bit
m
10,
D
=>"
Khi ú: im cc i
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d:
yx
43
=-+
.
ã Ta cú:
yxxm
2
'36
=
. Hm s cú C, CT
y
'0
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,mm
'9303
D
=+>>-
(*)
122112
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++==== -
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
mm
yx
2
22
33
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứD
// d:
yx
43
=-+
1
(54)2
3
=-+-+
,
dxy
:8390
++=
S:
mm
0;5
==
.
Cõu 25. Cho hm s yxmxx
32
73
=+++
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 5.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr
vuụng gúc vi ng thng d:
yx
37
=-
.
12
;;;
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
m
yxymx
2
1127
'(21)3
3999
ổửổử
=++-+-
ỗữỗữ
ốứốứị
m
yyxmx
2
111
27
()(21)3
99
ổử
==-+-
ỗữ
D
^
d:
yx
43
=-+
m
m
2
21
2
(21).31
9
ỡ
>
ù
ớ
-=-
ù
ợ
m
310
2
=
'0
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
;mm
'9303
D
=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
mm
yxyx
112
22
33
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
t
m
k
2
2
3
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
. ng thng d:
xy
450
+-=
cú h s gúc bng
1
4
-
.
Ta cú:
k
k
mkk
=
ờ ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
+=-+=-
=-
-
ờ
ờ
ờ
ở ở
ở
o
Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l: m
1
2
=-
.
Cõu hi tng t:
a) yxmxmmxmm
322
3(1)(232)(1)
= +-+
, dyx
1
:5
4
D
i qua hai im cc tr
xy
220
+-=
.
(S) cú tõm
Imm
(,1)
+
v bỏn kớnh R=
5
.
D
tip xỳc vi (S)
mm212
5
5
++-
= m
315
-=
mm
4
2;
3
-
2
'33
= Hm s cú C, CT
PT
y
'0
=
cú hai nghim phõn bit
m
0
>
Vỡ yxymx
1
.22
3
Â
=-+
nờn ng thng
D
i qua cỏc im C, CT ca th hm s cú
phng trỡnh l:
ymx
22
=-+
Ta cú
( )
m
=Ê=
Nờn
IAB
S
D
t GTLN bng
1
2
khi
ã
AIB
sin1
=
hay
D
AIB vuụng cõn ti I
R
IH
1
22
==
m
m
m
2
21
123
2
2
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
mm
2
3
'430
2
D
=->>
hoc
m
3
2
-
<
(*)
Khi ú ta cú:
xm
yymxm
2
2
.(68)4
33
ổử
Â
=++
ỗữ
ộ
=
ờ
ờ
=
ờ
ở
m
1
=
.
Cõu 30. Cho hm s yxxmxm
32
3(6)2
=-+-+-
(1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im
A
(1;4)
-
n
ng thng i qua hai im cc tr bng
12
265
Â
=-+-+-
ỗữ
ốứị
PT ng thng qua 2 im cc tr
D
: ymxm
24
64
33
ổử
=-+-
ỗữ
ốứị
m
dA
mm
2
61812
(,)
265
472333
D
111
;
24
ổử
ỗữ
ốứ
n ng thng i qua hai im cc tr l ln nht.
ã
Ta cú:
yxxm
2
36
Â
=-+
. Hm s cú 2 im cc tr
PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
03
D
D
l A
1
;2
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
. AI
3
1;
4
ổử
=
ỗữ
ốứ
uur
.
Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn
D
.
Ta cú
dIIHIA
(,)
D
=Ê
. Du "=" xy ra
yxmxmmxmmC
3232
3(1)3(2)3()
=++++++ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Chng minh rng vi mi m, th (Cm) luụn cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2
im cc tr l khụng i.
ã
Ta cú: yxmxmm
2
36(1)6(2)
Â
=++++
;
xm
y
xm
2
0
ộ
=
Â
=
ờ
=-
ở
.
th (Cm) cú im cc i
Am
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
1
ạ
.
Khi ú cỏc im cc tr l
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+- .
AB
2
=
mmmm
223
(1)(331)2
-+ +=
mm
0;2
==
(tho iu kin).
ờ
=-ị=+
ởị
Amm
(1;3)
+-
,
Bmm
(1;1)
-+
ị
OAmm
(1;3)
=+-
uuur
, OBmm
(1;1)
=-+
uuur
.
D
OAB vuụng ti O
OAOB
m
1
=
.
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho tam giỏc ABC vuụng ti
C, vi
C
(4;0)
.
ã
Ta cú:
yxxm
6(1)()
Â
=
. Hm s cú C, CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
1
ạ
.
Cõu 36. Cho hm s
yxxm
32
3
=++
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
4
=-
.
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho
ã
AOB
0
120
= .
ã
Ta cú:
yxx
2
36
Â
=+;
xym
y
x ym
24
0
m
mm
mmmm
mm
mm
22
2
22
40
(4)1
4(4)2(4)
2
324440
4(4)
ỡ
-<<
+
=-++=-+
ớ
++=
ợ
++m
m
m
40
1223
1223
2
'03600;2
=-===
ị
Hm s luụn cú C, CT.
Cỏc im C, CT ca th l: Amm
2
(0;1)
-+
, Bmm
2
(2;3)
, AB
22
2(4)25
=+-=
Phng trỡnh ng thng AB:
xymm
2
01
24
+-
=
-
xymm
2
3
32,(1;1),18
=-+=. S:
m
2
=
.
Cõu 38. Cho hm s yxmxmxm
32
3(1)1234
=-++-+
(C)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr l A v B sao cho hai im ny cựng vi im
C
9
1;
2
ổử
ỗữ
ốứ
lp thnh tam giỏc nhn gc ta O lm trng tõm.
ã Ta cú
yxmxm
2
'33(1)12
=-++ . Hm s cú hai cc tr
9
412640
2
2
ỡ
+-=
ù
=-
ớ
-+++-=
ù
ợ
(tho (*)).
Cõu 39. Cho hm s
yfxxmxm
32
()23(3)113
==+-+- (
m
C
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m
m
C
()
cú hai im cc tr
MM
12
,
m
3
ạ
(*).
Chia
fx
()
cho
fx
()
Â
ta c:
m
fxfxxmxm
13
2
()()(3)113
36
ổử
-
Â
=+ +-
ỗữ
ốứị
phng trỡnh ng thng M
1
3
=-+-+ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi
m
2
=
.
2) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu v
CẹCT
yy
2
+>
.
ã
Ta cú: yxmxm
22
21
Â
=-+-
.
xm
y
xm
1
0
1
ộ
=+
Â
14
(1)(1)
33
=-+++
(1) (m l tham s thc).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m cỏc im cc i v cc tiu ca th (1) nm v 2 phớa (phớa trong v phớa
ngoi) ca ng trũn cú phng trỡnh (C): xyx
22
430
+-+=
.
ã
yxmx
2
2(1)
Â
=-+.
x
y
xm
0
0
2(1)
ộ
=
Â
=
IBm
2
4= .
A, B nm v hai phớa ca (C)
IARIBR
2222
()()0
<
mm
2
11
410
22
-<-<<
(2)
Kt hp (1), (2), ta suy ra: m
11
22
-<<
.
Cõu 42. Cho hm s
yxmxmxm
3223
33(1)
=-+
(C
=-
ở
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 24
im cc i
Mmm
(1;23)
chy trờn ng thng c nh:
xt
yt
1
23
ỡ
=-+
ớ
=-
ợ
im cc tiu
Nmm
(1;2)
+
chy trờn ng thng c nh:
xt
yt
1
23
cú
mm
2
10,
D
Â
=+>"
ị
hm s luụn cú hai im cc tr
xx
12
,
. Gi s cỏc im cc tr ca (Cm) l
AxyBxy
1122
(;),(;)
.
Ta cú: yxmymxm
2
122
().(1)1
333
Â
= +++ị
ymxm
2
3
. Du "=" xy ra
m
0
=
. Vy
AB
213
min
3
=
khi
m
0
=
.
Cõu 44. Cho hm s yxxmx
32
32(1)
= + .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2) Tỡm m hm s (1) cú 2 cc tr v ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s
to vi hai trc to mt tam giỏc cõn.
ã
ị
ng thng
D
i qua 2 im cc tr ca
th cú phng trỡnh:
mm
yx
2
22
33
ổử
= +-
ỗữ
ốứ
.
D
ct Ox, Oy ti
m
A
m
6
;0
2(3)
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
22
==-=-
.
i chiu iu kin ta cú m
3
2
=-
.
Cõu 45. Cho hm s : y =
xmxmmx
322
1
(1)1
3
-+-++
(1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc tr trong khong
(;1)
-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh D = R. yxmxmm
22
21
Â
=-+-+
.
Copyright: Tài liệu đại học ©