CHỦ ĐỀ 2
MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC NỘI TIẾP
<I>.Mục tiêu:
-Củng cố các đònh nghóa góc ở tâm,góc nội tiếp,góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung,góc có đỉnh ở trong hay ngoài đường tròn .tứ giác nội tiếp.
-Rèn kó năng vận dụng các kiến thức trên để giải một số dạng toán về tứ giác nội tiếp.
-Bồi dưỡng tính cẩn thận,chính xác ,tư duy linh hoạt trong giải toán.
<II>.Thời lượng: 6 tiết.
<III>.Loại chủ đề: Bám sát
<IV>.Tài liệu tham khảo. SGK đại số 9 + SBT tốn 9 + nâng cao và phát tiển tốn 9
<V>.Nội dung
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT CƠ BẢN :
1.Các loại góc liên quan đến đường tròn.
HÌNH VẼ TÊN GÓC SỐ ĐO
m
B
A
O
Góc ở tâm
·
¼
®AmBAOB s=
m
O
B
A
E
Góc nội tiếp
·
¼
1

®AmD ®BnC
2
s s
AED
+
=
O
n
m
D
B
A
C
E
Góc có đỉnh ở bên ngoài
đường tròn
·
¼
¼
®BnD ®AmC
2
s s
BED
−
=
2.Tứ giác nội tiếp:

O

N

Tiết 1-2
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Ví dụ 1:.Cho AB,CD là hai dây không cắt nhau của đường tròn (O).Gọi I là điểm
chính giữa của cung AB.Hai dây IC,ID lần lượt cắt dây AB tại M và N.
Chứng minh rằng :Tứ giác MNDC nội tiếp được trong một đường tròn.
Hướng dẫn:
Vì I là điểm chính giữa của cung AB
º º
IA IB⇒ =

·
º
=
1
ã:MCD ®ID (§/l gãc néi tiÕp)
2
Tac s

·
º
»
º
»
º
= +
+
1
( ®AI ®BD) (Gãc cã ®Ønh bªn trong ® êng trßn)
2
1 1


B

A

OC
D
B
Q
A
O
P

O

F

K

C

B

A

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, vẽ các đường cao BK, CF cắt nhau tại O.Chứng minh
các tứ giác AFOK; BFKC nội tiếp đường tròn

»
AB BD
=

•
Ta có:

·
»
·
»
»
»
»
·
·
=
 
= + =
 ÷
 
⇒ =
1
PAQ ®AB (§/l gãc t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung)
2
ãc cã ®Ønh bªn
1 1 1
( ®BC ®DC) = ®BD ®AB
2 2 2 trong ® êng trßn
PAQ . Ëy tø gi¸c APQC néi tiÕp ® êng trßn


F

E

D

C

B

A

O'

OM

F

E

D

C

B


Bài tập làm ở nhà:
Bài 1:Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường kính AC cuae
đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E. Đường kính AD của đường tròn (O’)
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
và tứ giác OO’EF nội tiếp.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau
Cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông
b) Chứng minh
·
·
0
180ABC ABD+ =
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC
và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD (F thuộc AD) . Gọi M là trung điểm của
DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF ; CDFE nội tiếp.
b) CA là tia phân giác của góc BCF
c) Tứ giác BCMF nội tiếp.
Hướng dẫn:
a)
Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180
0
b)
Chứng minh
· ·
BCA FCA
=
BA

yxOEDCB


·
0 0
180 180 //DAB DFB CEB DFB CE DF+ = ⇒ + = ⇒

?2
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ một đường thẳng qua A
cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D.Vẽ dây CE của đường tròn (O) và dây
DF của đường tròn (O’) sao cho CE//DF. Chứng minh ba điểm E,B,F thẳng hang
Ví dụ 2: Cho (O;R) và dây BC< 2R cố định ; Điểm A chạy trên cung lớn BC. Gọi D
là hình chiếu của B trên AC; E là hình chiếu của C trên AB; đường thẳng xy là tiếp tuyến tại
A của đường tròn (O;R).
a)Chứng minh rằng :xy//ED và DE
⊥
AO
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE ,AH cắt BC tại F.
Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Hướng dẫn:
Xét tứ giác BEDC ta có:

·
·
0
90BEC BDC= =

⇒
E, D thuộc đường tròn đường kính BC
⇒
Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC
·
·

?3
Hãy chứng minh câu b) bằng cách điền vào chỗ trống (….)
Tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau
Tại H nên H là ……………… của tam giác ABC

d

K

I

O

F

D

E

C

B

A

x

y

AF BC

Mà
·
·
xAB ACB
=
( vì hai góc này cùng chắn một cung AB)

·
·
( )
. . (1)
⇒ =
⇒ ∆ ∆ −
⇒ =
⇒ =
:
FEB ACB
FEB FCD g g
FE FC
FB FD
FE FD FB FC
b)Tứ giác BIKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O)
·
·
0
180IBC IKC⇒ + =
( Theo tính chất của tứ giác nội tiếp)
Mà
·
·


2

1

1

1

I

H

O'

O

E

D

A

C

B

a) Chng minh rng t giỏc OIDH ni tip ng trũn v AH

DE

=
1 1
O C
(1)
T giỏc BCED ni tip ng trũn (O) nờn
ả ả
0
2 1
180C D+ =
. M
ả
à
0
2 1
180C C+ =
(k bự)
à
ả
1 1
C D =
(2)
T (1) v (2) suy ra:
à
ả
1 1
O D
=
. T giỏc OIDH cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc
trong ca nh i din (
à

ti C v ct (O) ti D. Tip tuyn ca (O) ti C v ca (O) ti D ct nhau ti I. Chng minh rng
ng trũn ngoi tip tam giỏc ICD luụn i qua mt im c nh
Bi 2:Cho tam giỏc ABC, cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc trong B v C gp nhau
ti S, cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc ngoi ti B v C gp nhau ti E.
a)Chng minh t giỏc BSCE l t giỏc ni tip.
b)Chứng minh ba điểm A,S,E thẳng hàng.
c)Gọi M là trung điểm của SE .Chứng minh tứ giác ABMC nội tiếp.
Bài 3:Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA và MB
với đường tròn . Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CD vuông góc AB, CE vuông góc AM,
CF vuông góc BM. Gọi I là giao điểm của BC và DF, K là giao điểm của BC và DF. Chứng
minh:
a) Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn.
b) Tứ giác BFCD nội tiếp đường tròn.
c)
2
.CD CE CF
=
d) Tứ giác DKCI nội tiếp
e) IK//AB
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R , M là điểm trên nửa đường
tròn , kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M , A và B cắt nhau tại C và D.
.a)Chứng minh
COD AMB∆ ∆:
b) Chứng minh tích AC.BD luôn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
c) Tính tỉ số
AMB
COD
S
S
∆