TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 
KHOA: TOÁN 
 
  
PHẠM THỊ DIẾN 

 
 

 
MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ 
RIESZ VỀ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA 
PHIẾM HÀM 
                                      
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 
                                    Chuyên ngành: Giải tích 
 
 
                                                                         Người hướng dẫn khoa học 
                                                                         TIẾN SĨ BÙI KIÊN CƯỜNG
 
 
 
 
 

Hà Nội, 2012 

  


  
 


LỜI CAM ĐOAN
Dưới  sự  hướng  dẫn  của  Tiến  sĩ  Bùi  Kiên  Cường  khóa  luận  tốt  nghiệp 
Đại học chuyên ngành Toán Giải tích của tôi với đề tài “Một số mở rộng của 
định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm”  được  trình  bày  hoàn  toàn 
dưới sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác. 
Trong  quá  trình  nghiên  cứu  thực  hiện  khóa  luận,  tác  giả  đã  kế  thừa 
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. 
Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này. 
 
                                                                  Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012 
 
                                                                               Phạm Thị Diến
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

LỜI MỞ ĐẦU
Giải  tích  hàm  là  một  ngành  của  giải  tích  toán  học  nghiên  cứu  về  các 
không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến 
tính liên tục giữa chúng. Ra đời từ đầu thế kỉ 20 đến nay Giải tích hàm đã đạt 
được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên 
cứu  và  trình  bày  các  kiến  thức  toán  học.  Giải  tích  hàm  đã  được  đưa  vào 
chương trình Đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có 
hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó 
nội  dung  của  Giải  tích  hàm  rất  phong  phú  như:  không  gian  vectơ  lồi  địa 
phương (không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach,…), 
các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,… 
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc về 
Giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng 
tổng quát của phiếm hàm”. Khóa luận này nghiên cứu về những mở rộng của 
định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của  phiếm  hàm,  cụ  thể  là  định  lý  LaxMilgram và định lý về toán tử ẩn. 
Nội dung khóa luận bao gồm: 
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. 
Chương  này  đưa  ra  các  kiến  thức  cơ  bản  về  không  gian  định  chuẩn,  không 
gian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục, không gian tuyến 
tính liên tục, không gian đối ngẫu. 
Chương  2:  Một  số  mở  rộng  của  định  lý  Riesz  về  dạng  tổng  quát  của 
phiếm hàm. 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán

 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 5 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

BẢNG KÍ HIỆU
đường thẳng thực 

 
n

 

không gian Euclid  n  – chiều 

f :Y 

ánh xạ từ X vào Y 

.V 

chuẩn trong không gian V 

inf f  


 
 
 
 
 
 
 
 
 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 6 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

BẢNG CHỮ HY LẠP PHIÊN ÂM RA TIẾNG VIỆT

 

an pha 

 

bê ta 

 ,  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 7 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
  Chương  này,  ta  trình  bày  một  số  kiến  thức  cơ  bản  về:  không  gian  định 
chuẩn,  không  gian  Hilbert,  không  gian  Banach,  toán  tử  tuyến  tính  liên  tục, 
phiếm hàm tuyến tính liên tục, không gian đối ngẫu sẽ được sử dụng trong các 
phần sau. 



Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Không  gian  định  chuẩn     gọi  là  không  gian  Banach,  nếu  mọi  dãy  cơ 
bản trong    đều hội tụ. 
Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) 
Cho không gian Banach  V , một ánh xạ co T đi từ  V  vào chính nó, nghĩa
là tồn tại một hằng số,  0  M  1  thỏa mãn: 
Tv1  Tv2  M v1  v2 , v1 , v2 V  

Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc V  sao cho u  Tu . 
Định nghĩa 1.1.4
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số thực 

. Ánh xạ A 

từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn 
các điều kiện: 
1)  x, x '      x  x '  x  x ' ; 
2)  x     

   x   x . 

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ 
thỏa  mãn  điều kiện  1) thì  toán tử A gọi  là  cộng  tính, còn  khi  toán  tử  A chỉ 
thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi  Y 

 thì toán tử 


 x  sup  x . 
x 1

Định lý 1.1.3 (Tính liên tục của toán tử ngược) 
Toán tử tuyến tính  A  ánh xạ không gian định chuẩn  X  lên không gian
định chuẩn  Y  có toán tử ngược   1   liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số

  0  sao cho: 
x   x  x    . 

khi đó   1 

1



.   

Định nghĩa 1.1.7  
Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu   , Y   là tập hợp tất 
cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y. 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 10 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm



Hệ quả 1.1.1
              Cho Y là không gian tuyến tính con của không gian định chuẩn    và 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 11 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

x0    là một phần tử thỏa mãn điều kiện:  

d  x0 , Y   inf x0  y  d  0 . 
yY

Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục  f  xác định trên không gian    
sao cho: 
1) f  y   0,  y  Y   ; 
2)

f 

1
; 
d

3) f  x0   1 . 
Định nghĩa 1.1.8 

gian   . Với mỗi  x    ta xét họ   x  tất cả các tập con của không gian    có 
dạng: 





Vx  V  x; f1 , f 2 ,..., f n   y   f j  y   f j  x    , j  1, 2,..., n ,

trong  đó  n  là  số  nguyên  dương  tùy  ý,  f1 , f 2 ,..., f n   là  n   phần  tử  tùy  ý  của 
không gian  * ,    là số dương tùy ý. 
Dễ dàng kiểm tra họ   x  có các tính chất: 
1)  x       x  , Vx   x  x Vx ;   
2)   V1   x ,V2  V1  V2   x ;  
3) V1   x , V2   x  V1  V2   x ;  
4) Vx   x  Wx   x  sao cho   y Wx Vx   y .  
Do đó, tồn tại một tôpô duy nhất trên không gian    sao cho tồn tại mỗi 
điểm  x  X  họ   x  là một cơ sở lân cận của điểm  x . Tôpô này gọi là tôpô yếu 
trên không gian   . Kí hiệu tôpô đó là   , *  . 
Định nghĩa 1.1.11
Tương tự, ta có khái niệm của tôpô yếu* trên không gian  * , kí hiệu là 

    ,   . 
Định nghĩa 1.1.12
Cho không gian định chuẩn   . Dãy   xn   X  gọi là hội tụ yếu tới phần 
tử  x   , nếu với mọi lân cận  yếu U của  x , tìm  được số nguyên dương  n0  
sao cho với mọi  n  n0  thì  xn  U,  kí hiệu: 
yeá
u
xn 


, kí hiệu 

,  , thỏa mãn các tiên đề: 
1)  x, y    y, x    x, y  ; 
2)    x, y, z    x  y, z    x, z    y, z  ; 
3)    x, y     

 x, y     x, y  ; 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 14 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

4)  x     x, x   0 , nếu  x    (   là kí hiệu phần tử không)  

 x, x   0 , nếu  x   . 
Các phần tử  x, y, z , gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số   x, y   gọi 
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiền đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên 
đề tích vô hướng. 
Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz) 
Đối với mỗi  x    ta đặt:             
x 

 x, x  . 




Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

1)   là không gian tiền Hilbert; 
2)   là không gian Banach với chuẩn  x 

 x, x  , x .  

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert    là 
không gian Hilbert con của không gian   . 
Định nghĩa 1.2.4 (Hàm song tuyến tính)
Một hàm    được gọi là hàm song tuyến tính trên không gian phức E, với 

  cho bởi   : E  E 

 thỏa mãn hai điều kiện sau:  

(a)     x1   x 2 , y     x1 , y     x 2 , y  ; 
(b)      x ,  y1   y 2     x , y1     x , y 2  , 
với tỉ lệ    và    bất kì và  x, x1 , x2 , y, y1 , y2  E . 
Các hàm đa tuyến tính thường được gọi là dạng Sesquilinear. Chú ý rằng 
hàm song tuyến tính thì đối xứng với biến số đầu và phản đối xứng với biến 
số thứ hai. Rõ ràng, tất cả các hàm song tuyến tính trên tập E lập thành một 
không gian vector. 
Ví dụ 1.2.1. Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính. 
Ví dụ 1.2.2. Đặt A và B là các toán tử trên một không gian tích vô hướng 
E. Khi đó: 

1  x, y     Ax, y ;     2  x, y     x,By  và  3  x, y     Ax,By  

tuyến tính được định nghĩa bị chặn. Chú ý rằng  một hàm song tuyến tính bị 
chặn    trên E ta có: 

  x, y    x y ,   x, y  E.  
Định nghĩa 1.2.6 (Dạng toàn phương) 
Với    là một hàm song tuyến tính trên một không gian vector E. Hàm        
:E 

  định  nghĩa  bởi:    x     x, x    được  gọi  là  dạng toàn phương

tương ứng với   . Một dạng toàn phương    trên một không gian định chuẩn 
E được gọi là bị chặn nếu ở đó tồn tại một hằng số  K  0 sao cho: 

 x  K x

2

x  E  

      Chuẩn của một dạng toàn phương bị chặn được định nghĩa bởi:  
  sup   x   
x 1

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 17 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm


- 18 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

 Ax,  y    x,  Ay  ,

x, y  H.  

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử tự đối xứng. 
Định lý 1.2.5
Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó, 
thì: 
  su p   x , x  . 
x 1

Định nghĩa 1.2.9
Cho  không  gian  Hilbert  H.  Tập  K  H   gọi  là  tập  compact  yếu  trong 
không  gian  H,  nếu  mọi  dãy  vô  hạn   xn   K   đều  chứa  dãy  con  hội  tụ  yếu 
trong không gian H. 
Định lý 1.2.6
Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K là tập compact yếu
trong không gian H. 
Định lý 1.2.7 
Cho  H  là không gian Hilbert,  K  là tập con, lồi, đóng khác rỗng của 
H, a(·,·) :  H  H 

  là một dạng song tuyến tính sao cho tồn tại hằng số


            f  x   x, a

, x  H                                            (2.1) 

trong đó, phần tử  a  H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm  f  và:
                       f  a .

(2.2)

Chứng minh:
Giả sử  a là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H. Nhờ các tính chất 
của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức: 
f  x   x, a

,xH 

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H. 
Bây giờ giả sử  f  là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H. Kí hiệu:  
 0   x   : f  x   0 . 
Ta  thấy  H 0   là  không  gian  tuyến  tính  con  của  không  gian  H,  vì 
x, y  H 0 , a, b  P  ta có: 

f ( ax  by )  af  x   bf  y   0  ax  by  H 0 .  

Đồng thời H0 là một tập con đóng trong H. Thật vậy, nếu dãy điểm   xn    0  
hội tụ tới điểm  x  H, thì nhờ tính liên tục của phiếm hàm  f  ta có: 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 


x0  x, a ,  trong đó  a 
x0  H.  
x0 , x0
x0 , x0

Do đó phiếm hàm  f  có dạng (2.1). 
Giả sử phiếm hàm  f  có hai cách biểu diễn:  
f  x   x, a  x, a '
 x, a  a '  0

, xH 

 x  H   a  a ',  nghĩa là phần tử  a  trong biểu diễn (2.1) 

được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm   f . 
Cuối cùng ta chứng minh  hệ thức (2.2). Nhờ bất đẳng thức Schwarz ta 
có:  

f  x   x, a  x a , x    f  a . 
Mặt khác, 
f  a   a, a  a  a  f  a . 
Vì vậy,  f  a . 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 21 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

  x  y     x     x, y     y , x     y  , 

                           x  y     x     x, y     y, x     y  , 
                         i  x  iy   i  x     x, y     y, x   i  y  , 
                      i  x  iy   i  x     x, y     y, x   i  y  . 
Bổ sung tương tự ta được (2.1) 
Hệ quả 2.2.

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 22 -                 Khóa luận tốt nghiệp 


Một số mở rộng của định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm

Với  1  và  2  là các hàm song tuyến tính trên E. Nếu  

1  x, x    2  x, x  x  E mà  1   2  
thì  1  x, y   2  x, y  ,  x, y  E.  
Tương tự, nếu A và B là các toán tử trên E mà  x, x  x, x , x  E , thì 
A  B.  

Chứng minh:
  Nếu  1  x, x    2  x, x  ,  x  E thì các dạng toàn phương  1  và   2  tương 
ứng với  1  và  2 , theo tứ tự đó, bằng nhau, và do đó từ (2.1), các hàm  1  và 

2   là  bằng  nhau.  Chứng  minh  cho  các  toán  tử  ta  nhận  được: 
1  x, y   x, y  và   2  x, y   x, y . 
Định lý 2.2.2

x 1

x 1

x  y 1

nếu   bị chặn thì    bị chặn và bất đẳng thức đầu được chứng minh. 
Bây giờ ta giả sử rằng    bị chặn, thấy rằng từ (2.1), ta có: 

  x, y  


1
  x  y     x  y   i  x  iy   i  x  iy   
4
1

4

 x y

2

2

2

 x  y  x  iy  x  iy

2


2

 2

 . 

Do đó, nếu    bị chặn thì   bị chặn và bất đẳng thức thứ hai của (2.2) được 
chứng minh. 
Định lý 2.2.4
Với    là một hàm song tuyến tính trên không gian định chuẩn E và với
  là dạng toàn phương tương ứng. Nếu    đối xứng và bị chặn thì     . 

Phạm Thị Diến K34D SP Toán
 

- 24 -                 Khóa luận tốt nghiệp