Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

LờI CảM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự quan tâm, tạo điều
kiện của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận tốt nghiệp của
em đến nay đã đ-ợc hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô
giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình chỉ bảo, h-ớng dẫn em trong
suốt thời gian làm khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáo
trong tổ Đại số nói riêng và khoa Toán tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2 nói
chung, sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho em trong quá
trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và trình độ bản thân còn
hạn chế nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong
nhận đ-ợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận đ-ợc
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Đào Thị Hoài Linh

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

1


Khóa luận tốt nghiệp


1.2. Nghiệm của đa thức một ẩn .................................................................

9

1.3. Phép chia với d- .................................................................................. 10
1.4. Công thức Viét .................................................................................... 10
1.5. Đạo hàm của đa thức ........................................................................... 12
1.6. Đa thức đồng d- .................................................................................. 12
1.7. Đa thức nhiều ẩn .................................................................................. 14
1.8. Một số tính chất cơ bản của Số học ..................................................... 14
CHƯƠNG II: sự tồn tại nghiệm của đa thức
2.1. Tính chất về sự tồn tại nghiệm của đa thức ......................................... 19
2.2. Sự tồn tại nghiệm bội của đa thức ....................................................... 20
CHƯƠNG III: nghiệm nguyên của đa thức nguyên
3.1. Định nghĩa đa thức nguyên, nghiệm nguyên của đa thức nguyên ...... 22
3.2. Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức nguyên ........... 23
3.2.1. Ph-ơng pháp sử dụng đa thức đồng d- ............................................ 23
3.2.2. Ph-ơng pháp sử dụng các tính chất của Số học ................................ 25
3.2.3. Ph-ơng pháp đánh giá ...................................................................... 37
3.2.4. Ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức ................................................ 41
3.2.5. Ph-ơng pháp xuống thang ................................................................ 44
3.2.6. Ph-ơng pháp xây dựng nghiệm ........................................................ 49
3.2.7. Ph-ơng pháp quy về hệ ph-ơng trình bậc nhất, bậc hai.................... 51

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

3


Khóa luận tốt nghiệp

giải của các bài toán đó, nhiều lý thuyết toán học mới đã đ-ợc sáng tạo ra với
những kết quả rất quan trọng. Quá trình tìm lời giải cho bài toán Fermat là
một ví dụ điển hình.
Đối với bậc THCS , THPT, các dạng toán về đa thức và nghiệm nguyên
của đa thức cũng đ-ợc đề cập đến, tuy nhiên vẫn ở mức độ sơ l-ợc, ch-a phân
loại đ-ợc các dạng toán cũng nh- ph-ơng pháp giải.
Hiện nay, ng-ời ta đã xây dựng đ-ợc nhiều ph-ơng pháp khác nhau để
giải các bài toán về nghiệm nguyên, bồi đắp cho nó trở thành một trong những
phần toán sơ cấp đẹp và lý thú.
Với lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và đ-ợc sự giúp đỡ tận
tình của cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga, em đã chọn đề tài Đa thức và
bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên làm khóa luận tốt nghiệp với
mong muốn góp phần nhỏ bé làm tăng vẻ đẹp của môn toán thông qua các bài
toán về nghiệm nguyên. Hy vọng khóa luận này sẽ có ích đối với những ai
quan tâm đến đa thức và nghiệm nguyên của đa thức nguyên.

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

5


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

2. Mục đích nghiên cứu
B-ớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về nghiệm nguyên của đa thức nguyên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tập trung phân loại, hệ thống các dạng toán về nghiệm nguyên của đa


f
trong đó ai

a0 , a1 , ..., an ,...

R , i = 1,2, và các ai = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i.

Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trong A nh- sau:
Giả sử

f

a0 , a1 ,..., an ,...

A

g

b0 , b1 ,..., bn ,...

A

f

g

Khi đó

f .g

Ta có f là đơn cấu. Do đó, đồng nhất mỗi r

R với f (r )

A và coi R

nh- vành con của A.
Kí hiệu x = (0, 1, 0, 0,, 0, )

A

Dễ thấy x2 = (0, 0, 1, 0,, 0, )
..

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

7


Khóa luận tốt nghiệp

xn

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

(0,0,...,0,1,0,...)
n

Thế thì với mọi a


a0

có bậc n và viết deg f ( x)

a1 x ... an x n với an

0. Khi đó, ta nói

f (x)

n.

Phần tử ai đ-ợc gọi là hệ tử thứ i của f (x) , an đ-ợc gọi là hệ tử cao
nhất.

ai x i đ-ợc gọi là hạng tử , a 0 gọi là hạng tử tự do.
Bậc của đa thức 0 đ-ợc quy -ớc bằng

.

1.2. nghiệm của đa thức một ẩn
1.2.1. Định nghĩa nghiệm của đa thức:
Cho K là một vành, A là vành con của K. Phần tử c K gọi là nghiệm
của đa thức f (x) A[x] nếu và chỉ nếu f (c) 0 .
* Định lý: Mọi đa thức f (x) có bậc n 1 trên tr-ờng K đều có không
quá n nghiệm.
1.2.2. Nghiệm bội:
Phần tử c K , K A đ-ợc gọi là nghiệm bội bậc k , k
k
k 1


g ( x). q( x) r ( x)

0 thì deg(r ( x)) deg( g ( x)).

Nếu r (x)

1.3.2. Định lý Bezout :
Cho f (x)

A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A. Khi đó

d- trong phép chia f (x) cho x c là f (c) .
* Hệ quả:
Cho f (x)

A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A. Khi đó:

f (x) chia hết cho (x - c) khi và chỉ khi c là nghiệm của f (x) .

1.4. công thức viét
1.4.1. Dạng tổng quát:
Cho đa thức f ( x)

a0 x n

Khi đó tồn tại tr-ờng E
là

1


Đồng nhất các hệ tử của f (x) , ta có công thức Viét:

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

9


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

1

1

2

2

a1
a0

...

n

3

...

ak
a0

...
1

2

...

( 1) n

n

an
a0

1.4.2. Các dạng th-ờng gặp của công thức Viét:
* Công thức Viét đối với đa thức bậc hai:
Nếu đa thức f ( x)

ax2

bx c (a

x2

b
a



x1
x1 x2

x2

x1 x3

x2 x3

x1 x2 x3

d
a

c
a

1.5. đạo hàm của đa thức

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

10


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

1.5.1. Định nghĩa đạo hàm của đa thức


Khóa luận tốt nghiệp
Cho

(x)

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

A[x] ,

(x)

0 . Khi đó:

a, Với mọi đa thức P(x) A[x] , ta có P( x)

P( x) mod( ( x)

b, Với ba đa thức P( x), Q( x), R( x) bất kì thuộc A[x]
Nếu P( x)

Q( x) mod ( x) và Q( x)
P( x)

R( x) mod ( x) thì

R( x) mod ( x)

c, Với ba đa thức bất kì P( x), Q( x), R( x) bất kì thuộc A[x]
Nếu P( x)

Nếu P( x)

Q( x) mod ( x) thì P' ( x)

Q' ( x) mod ( x)

g, Với các đa thức P( x), Q( x), F ( x) bất kì thuộc A[x] .
Nếu P( x)

Q( x) mod ( x) thì F P( x)

F Q( x) mod ( x)

1.7. đa thức nhiều ẩn

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

12


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

* Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn:
Xây dựng bằng ph-ơng pháp quy nạp:
Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Ta xây dựng đ-ợc vành đa thức một
biến R1 = R[x] là vành đa thức một biến x. Khi đó, R1 là vành giao hoán có
đơn vị. Xây dựng đ-ợc vành đa thức R2 = R1[x] .
Lặp lại quá trình trên n lần, ta đ-ợc vành đa thức n biến R[x1, x2, , xn]


0. Nếu có một số nguyên q sao cho

b.q thì ta nói rằng b chia hết a hay b là -ớc của a và kí hiệu là b | a.
Ta cũng nói a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu là a Mb.
* Tính chất:
+) Nếu a, b nguyên d-ơng và a Mb thì a
+) Nếu ai Mb (

b.

i = 1, n ) thì ( a1 + a2 + + an ) Mb.

+) Định lý về phép chia với d-:

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

13


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

Cho các số nguyên a và b, với b

0 . Khi đó luôn có các số nguyên q, r

duy nhất sao cho:
a = b.q + r , với 0

+) Với mọi số nguyên a, b luôn tồn tại các số nguyên x, y sao cho :
ax + by = (a, b)

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

14


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

+) Hai số a, b đ-ợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (a, b) = 1.
Cho a, b, c là ba số nguyên d-ơng sao cho ab Mc , nếu (a, c) =1 thì
b Mc.
+) Hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau.
+) Giả sử (a, b) Md , d

a b
,
d d

thì:

1
a, b
d

1.8.3. Thuật toán Ơclit ( Tìm Ước chung lớn nhất của hai số nguyên)
* Chú ý:



Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

Cho hai số nguyên a và b. Ta nói rằng a đồng d- b theo môđun m ( ở
đây m là số nguyên d-ơng) khi và chỉ khi (a b) Mm .
Kí hiệu: a

b (mod m).

* Tính chất:
+) Quan hệ đồng d- là một quan hệ t-ơng đ-ơng trong .
+) Nếu ai

bi ( mod m), i = 1, 2, , n thì ta có:

n

n

k .ai
i 1

+) Nếu ai

k .bi mod m

, với k =

b ( mod mi ),

i = 1, k thì a

b ( mod m).

1.8.5. Số nguyên tố:
* Định nghĩa 5:
Số tự nhiên p đ-ợc gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai -ớc tự nhiên là
1 và p.
* Định lý Ơclit: Tồn tại vô hạn số nguyên tố.
* Định lý cơ bản về mối liên hệ giữa tính chia hết và số nguyên tố:
Giả sử a và b là hai số nguyên d-ơng còn p là số nguyên tố sao cho

ab p . Khi đó a p hoặc b p .
1.8.6. Một số định lý của Số học:
* Định lý cơ bản của Số học

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

16


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

0, 1). Khi đó n luôn biểu diễn đ-ợc một cách

Cho n là số nguyên ( n

1 (mod m)

(m) là số các số nguyên d-ơng nhỏ hơn m và nguyên tố
(m) gọi là hàm Ơle của m ).

* Định lý Fermat:
Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên tùy ý thì a p
Nếu (a, p) = 1 thì a p 1

a p

1 mod p

* Định lý Wilson:
Số p là số nguyên tố thì ( p - 1)! + 1 chia hết cho p.
* Định lý Fermat - Ơle:
Nếu p = 4k + 1 thì tồn tại các số nguyên d-ơng a, b sao cho
p = a2 + b2

CHƯƠNG II: sự tồn tại nghiệm của đa thức

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

17


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán


, ...,

n

a0 x

1

x

A[x] với a0

... x

2

n

0

. Trong

là các nghiệm của đa thức trong tr-ờng mở rộng K của A.

* Định lý Bezout :
Cho f (x)

A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A. Khi đó

d- trong phép chia f (x) cho x

f ( x). f ( x) .

b1 x ... b2 n x 2 n , với bk

ai a j ,

k

0,2n

i j k

Vì

bk

ai a j

bk

i j k

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

18


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán


0 hay z là nghiệm của f ( x ) .

+ Nếu f (z )

0 thì z là nghiệm của f ( x ) .

Nh- vậy, hoặc z hoặc z là nghiệm của f ( x ) .
* Định lý Roll:
Nếu đa thức f (x)
tồn tại c

A[x] liên tục trên đoạn [a, b] và f (a). f (b) < 0 thì

( a, b ) để f (c)

0.

2.2. sự tồn tại nghiệm bội của đa thức
* Định lý 1 (Định lý cơ bản):
Mọi đa thức f ( x ) bậc n 1 trên tr-ờng số phức ( hay thực ) đều có
đúng n nghiệm phức ( kể cả bội ).
* Định lý 2:
Cho f ( x), g ( x)

K[x], K là tr-ờng, deg( g ( x))

m và g ( x) có đúng

m nghiệm trong K. Khi đó f ( x) Mg ( x) khi và chỉ khi f ( x)

k

x

x

k

.q( x)

.q( x).h( x)

là một nghiệm bội k của f ( x) (k '

k) .

Ng-ợc lại,
+ Nếu f ( x)

0 thì hiển nhiên f ( x) Mg ( x)

+ Nếu mọi nghiệm của g ( x) đều là nghiệm của f ( x ) và mọi nghiệm
bội bậc k của g ( x) đều là nghiệm bội bậc k ' của f ( x ) với k' k
Giả sử g ( x) có các nghiệm là

1

,

2

n

(a là hệ tử lớn nhất của g ( x) )
Từ (*) ta có:

f ( x)
Do ki'

ki

a x

k '1
1

i 1, m nên

x

k '2
2

... x

k 'm
n

.h( x)

f ( x) Mg ( x) .

a0 x n

a1 x n 1 ... an 1 x an

thỏa mãn f ( )

[x] với a0

0.

0 đ-ợc gọi là nghiệm nguyên của đa thức

nguyên f ( x).
* Một số kết quả:
1. Mọi nghiệm nguyên của đa thức với hệ số nguyên là -ớc của số hạng
tự do.
2. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao
nhất bằng 1 đều là nghiệm nguyên.
3. Nếu

1 là nghiệm nguyên của đa thức nguyên f ( x ) thì

f (1)
và
1

f ( 1)
đều nguyên.
1
4. Cho

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
x3

y3

z3

2003 4

Giải:
Với a

, ta có

a 0 mod 3 hoặc a 1 mod 3 hoặc a
1 mod 3 .
1 mod 9 ,
Suy ra a 3 0 mod 9 hoặc a 3 1 mod 9 hoặc a 3
với a
.
Nh- vậy với mọi x, y, z

x
hay

3

x3

y

Từ (1) và (2) , ta suy ra ph-ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ph-ơng trình

x15

y15

z15 192003 72003 92003

(1)

không có nghiệm nguyên.

Giải:
2003
Ta có: 19 1 mod 9 nên 19

1 (mod 9)

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

(2)

22


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

1(mod 9)

4 (mod9) , nên ta có:

7 2003

4 (mod 9)

(3)

Từ (2) và (3) suy ra:

192003 72003 92003

5 (mod 9)

(4)

Vì lập ph-ơng một số tự nhiên khi chia cho 9 chỉ có thể cho các số d- là
0, 1 hoặc -1 nên với mọi x, y, z nguyên ta có:

x15
15
Do đó, x

y15

y15

z15

a4

2k 1

4
Suy ra a

2k

a4

2k

4

16k 4

a4

0 (mod 16)

2k 1 .
4

16k 4

32k 3

8k (3k 1) 1



Mặt khác: 1599 15 (mod16) .
Do đó, ph-ơng trình (1) không có nghiệm nguyên.
* Bài tập áp dụng:
1. Giải ph-ơng trình sau trên tập số nguyên:

x14

x24 ... x74 1992

2. Chứng minh rằng ph-ơng trình sau không có nghiệm nguyên:

x2

y2

8z 6

Gợi ý: Xét d- 2 vế khi chia cho 8

3.2.2.Ph-ơng pháp sử dụng các tính chất của số học
* Ph-ơng pháp chung:
Sử dụng một số tính chất của số học để giải các bài toán nghiệm
nguyên:
3.2.2.1. Dùng tính chất chia hết

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:

7( x


2

x

y
y

thế thì ta có

y

(2)

Thay (3) vào (2) ta đ-ợc

u v
7
2

u v
2

3 u2

28u
Suy ra 28u

u v
3
2

(4)

k = 3m , m

Thay vào (4) , ta đ-ợc:
27m 2

28m

0

v2

m 27m 28

v2

0

28
27

m
m 0
m 1

Nếu m

0



Kết luận: Vậy ph-ơng trình đã cho có các nghiệm nguyên là

0,0 ; 4.5 ; 5,4

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình sau:

x

y

xy

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

(1)

25