Tr-êng §HSP Hµ Néi 2

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán sơ cấp,tam thức bậc hai là xương sống, là phần
quan trọng của chương trình. Khi giải toán lựa chọn được phương pháp giải là
một trong những bước cần phải làm. Lời giải của bài toán hay khi lựa chọn
được phương pháp giải thích hợp. Tam thức bậc hai là phương pháp giải hay,
ứng dụng nhiều trong giải toán sơ cấp.
Với những lý do trên cùng với lòng say mê tìm tòi nghiên cứu và được sự
giúp đỡ tận tình của ThS. Phạm Lương Bằng tôi đã chọn đề tài:“Ứng dụng
tam thức bậc hai trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp”, để làm đề
tài khóa luận tốt nghiệp. Với mong muốn góp phần giúp học sinh có cái nhìn
toàn diện hơn về các phương pháp giải cho từng bài toán.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và thấy được vị trí
tầm quan trọng của tam thức bậc hai trong chương trình toán sơ cấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Ứng dụng tam thức bậc hai trong giải toán sơ cấp và sáng tạo các bài toán
sơ cấp
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu
- Phương trình bậc 2, phương trình bậc cao, phương trình mũ, phương
trình logarit, phương trình lượng giác.
- Bất phương trình bậc 2, bất phương trình mũ…
- Hệ phương trình, hệ bất phương trình…
* Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán trong chương trình toán sơ cấp
5. Phƣơng pháp nghiên cứu


(1) Có 2 nghiệm x1,2

-∆=0

(1) Có nghiệm kép

b
2a

x

b
2a

1.1.2. Dấu của tam thức bậc 2
1.1.2.1. Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
∆ = b2 - 4ac
- Nếu ∆ < 0 thì a.f(x) > 0
x R
b
- Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0
x R/
2a
- Nếu ∆ > 0

thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2)
a.f(x) > 0
x (-∞, x1)
(x2, +∞)

y
y

b
2a

x

b
2a

x

a 0

a 0

f ( x) 0 với

x R\

b
2a

f ( x) 0 với

b
2a

x R\


x

x2

f ( x) 0

x

x2

x1

x

x2

x

x1

x

x2

1.1.2.3. Thí dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) = 2x2 - x + 1
b) f(x) = -x2 + 5x - 6
Giải


f(x) < 0

x

(-∞, 2)

(3, +∞)

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi số thực
y

(m 1) x 2

2(m 1) x 2m 2

Giải
Hàm số xác định với mọi x

R khi f(x) > 0

x

R

- Nếu m = 1

thì f(x) = 4x + 4 ≥ 0

- Nếu m = 1

m
1

Vậy m

m 3

3,

1.1.2.4. Chú ý
Xét dấu f(x) trên trục số

NguyÔn Thanh Hßa

4

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

f(x) > 0

x

R

a 0

1) Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) = 4x2 - 12x + 9
b) f(x) = x2 + 2(a+5)x + 3a
2) Tìm m để với mọi số thực x
a) 3x2 + 2(m-1)x + m + 4 > 0

3x 2 mx 5
6
b) 1
2 x2 x 1
1.2. Bất phƣơng trình bậc 2
1.2.1. Định nghĩa
Bất phương trình bậc 2 là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c > 0 hoặc
ax2 + bx + c < 0 hoặc ax2 + bx + c ≥ 0 hoặc ax2 + bx + c ≤ 0. Trong đó a, b, c
là hằng số cho trước, a ≠ 0, x là ẩn số.
1.2.2. Cách giải
- Xét dấu f(x) = ax2 + bx + c
- Lựa chọn x để f(x) > 0 hoặc f(x) < 0 hoặc f(x) ≥ 0 hoặc f(x) ≤ 0
1.2.3. Thí dụ minh họa
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) x 2

( x 1) 2

15
(1)
x2 x 1

NguyÔn Thanh Hßa



x 1) 1

x2

2

x 1 (x

(1) trở thành 2t 1
Vì t 4 nên

1 2
)
2

15
t

3
4

3
4
5
t 3
2

2t 2 t 15 0


' 4 (m 1)(m 2)

' 0

m2

x

3
4

m 6

2 m 3
a m 1 0
' 0

Với m 3

Tập nghiệm của (2) là T=R
Với m

2

a m 1 0
' 0

NguyÔn Thanh Hßa

6

x2 Vậy tập hợp nghiệm của (2) là T= (-∞, x1)

Với 2 m

(x2, +∞)

a m 1 0
' 0

1

Tập nghiệm của (2) là T= (x1, x2) (với x1> x2)

1 thì tập nghiệm của (2) là T

Vậy Với m

(

,

3
)
4

Với m 3 thì tập nghiệm của (2) là T=IR
Với m

2 thì tập nghiệm của (2) là T


2(m

b) (m 2) x 2

1 m)x m 1 m

0

2(m 1) x 5(m 3) 0

c) mx 2 (m 5) x 3m 0

NguyÔn Thanh Hßa

7

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

d) x2 5x 5m 0
e) (m2 1) x 2 6mx 7 0
1.3. Ứng dụng định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh
bất đẳng thức
1.3.1. Phương pháp
Để chứng minh A>B thì ta chứng minh A – B >0 (3) với A – B là một tam
thức bậc hai của biến số nào đó


a 3 0
' 4( y 2) 2

VT(1) ≥ 0

3(5 y 2

x,y

2 y 9)

IR

11( y 1) 2

0 với

y

Đpcm

' 0
Dấu “=” chỉ xảy ra khi
2( y 2)
x
3

y 1
x


Gọi VT(b) là tam thức bậc hai của x
Hệ số của x2 là b2 > 0
' (b 2

c2

a 2 )2

4b 2c 2

Mà (b 2

c2

a 2 )2

2bc cos A nên

4b 2c 2 cos 2 A 4b 2c 2

4b 2c 2 (cos 2 A 1) 0

Đpcm

0 ≤ cos2A
3

0

Đặt b c t
(1) thành t

2

at

a3
3

3bc 0 (2)

Coi VT(2) là tam thức bậc 2 đối với t
Hệ số của t2 là 1 > 0
a

2

Mà a3

a3
4(
3

36


d 2 ) 8(bd

ac) đúng với mọi a

trong đó b>c>d

NguyÔn Thanh Hßa

9

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c, d theo thứ tự nào đó tạo thành một cấp số
cộng, số m được chọn sao cho thỏa mãn

ad bc

2m

Thì bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x
( x a)( x b)( x c)( x d ) m 2

d) Chứng minh rằng với

x, y , z


e2

a (a b c d

e)

với a, b, c, d , e R
1.4. Ứng dụng định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai để tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
1.4.1.Phương pháp miền giá trị
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
Nếu y là một giá trị của hàm số thì phương trình f(x) = y có nghiệm x D
Vậy y là miền giá trị của hàm số
1.4.2. Thí dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số
x 2 3x
x 1

y

Giải
Hàm số xác định trên D R \

1

Giả sử y là một giá trị của hàm số khi đó phương trình:
x 2 3x
x 1


4y 0

1 không là nghiệm của (2))
y 2 10 y 9 0

0

y
y

1
9

Vậy miền giá trị của hàm số là E

(

, 9] [ 1,

)

Ví dụ 2: Tìm max, min của hàm số
x2 8x 7
x2 1

y

Giải

x R nên hàm số xác định trên R


' 0
16 ( y 1)( y 7) 0
y2

8y 9 0

1 y 9

y
Vậy

[ 1,9]

max y 9 tại x

NguyÔn Thanh Hßa

4
y 1

1
2

11

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2

x2

y

x 1 M thay vào (1)

2( x 1 M ) x 7( M 1) 2( x 1 M ) 2 10 0
x2

2(1 M ) x 2(1 M ) 2

7M

3 0 (2)

Vì x R nên phương trình (2) phải có nghiệm x R

' 0
(1 M ) 2

2(1 M ) 2

7M

3 0

M 2 5M 4 0
4 M
Vậy



4 x2 y 2

Tìm max, min của S

x2

x2

y2

0

y2

d) Tìm miền giá trị của hàm số
y

2x 1
x x 4

y

2

NguyÔn Thanh Hßa

12

3x 5

1.5. Định lý Viet
1.5.1.Định lý Viet tổng quát
Cho phương trình

an x n

an 1 x n 1 an 2 x n

2

... a2 x 2

ax ao

0

( x1 , x2 , x3 ,..., xn là nghiệm, kể cả nghiệm bội)

x1

x2

x1 x2

( 1) n

Đảo lại: Cho n số bất kỳ
S1

1


...

n 1

n

3

,

n

. 2 . 3...

,

1

...

ik

i2

ao
an

3


(1 i1 i2

ik )

là nghiệm của phương trình

S1 x n 1 S2 x n

2

... ( 1)n Sn

0

1.5.2. Thí dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình: (m 3) x 2

(m 3) x (m 1) 0 (1)

Tìm m để các nghiệm x1, x2 (1) thỏa mãn điều kiện

4( x12

x22 ) 25 x1 x2 1 0 (2)
Giải

NguyÔn Thanh Hßa

13


0

5m 2 2 m 3 0

m

3
(*)
5

m 1
Theo định lý Viet:
(2)

(**)

4[( x12

x22 ) 2 x1 x2 ] 25 x1 x2 1 0

4( x12

x22 ) 33x1 x2 1 0

Thay (**) vào (2)
Vậy với m

36(m2

1 hoặc m

(1)

-Khi m

S 2P 0
mS P 3m 4

1
thì
2

1

NguyÔn Thanh Hßa

S 2P 0
2mS 2 P 6m 8

P

1
S
2
(2m 1) S
P

2(3m 4)

1
S

1

Vậy phương trình bậc hai có dạng:
2(3m 4)
3m 4
X
0
2m 1
2m 1
f ( X ) (2m 1) X 2 2(3m 4) X

X2

b) (2) có 2 nghiệm trái dấu X1 0

(3m 4) 0 (2)

X2
4
3
1
2

m
(2m 1). f (0) 0

-(2m+1)(3m+4)
2

Tìm a sao cho xy đạt giá trị lớn nhất

NguyÔn Thanh Hßa

15

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

CHƢƠNG 2: HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Hệ bất phƣơng trình bậc hai
2.1.1. Định nghĩa
Hệ bất phương trình bậc hai là hệ bất phương trình bậc hai có một ẩn số
2.1.2. Cách giải
- Giải từng bất phương trình của hệ
- Tìm T là giao của các tập nghiệm
- Suy ra T là nghiệm của hệ bất phương trình
2.1.3. Chú ý
a) Hệ có nghiệm khi các bất phương trình của hệ có nghiệm và giao của các
tập nghiệm
b) Hệ vô nghiệm khi một trong các bất phương trình của hệ vô nghiệm hoặc
các bất phương trình của hệ có nghiệm nhưng giao của các tập nghiệm
c) Hệ có nghiệm duy nhất khi các tập nghiệm của các bất phương trình của hệ
có điểm chung duy nhất


x2

+∞

x3
- Với bài toán (2a): x2

x4

x4 < x1
x2 < x3
- Với bài toán (2b) có 4 trường hợp sau
1) x1 ≤ x3 < x4 ≤ x2

x1

2) x3 ≤ x1 < x2 ≤x4

x3

x1

x2

x4

3) x3 < x1 < x4 < x2

x3

x1

x4

x2


- Với bài toán (2a)
x1 < x3 < x4 < x2

-∞

x1

x3

x4

x2

+∞

- Với bài toán (2b) có 5 trường hợp sau
1) x3 < x4 ≤ x1 < x2

-∞

2) x1 < x2 ≤ x3 < x4

-∞

NguyÔn Thanh Hßa

x3

x4


5) x3 ≤ x1 < x2 ≤ x4

-∞

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp
x3

x1

x1

x3

x4

x3

x2

+∞

x2

x1

x4

x2

x4


x2

(2m 1) x m2

Gọi

f ( x)

(2m 1) 2 8m (2m 1) 2

g ( x)

(m 1) 2

Khi đó

(m2

m
m

f(x) có 2 nghiệm : x 2m hoặc x 1
m hoặc x m 2

2m x 1 (khi 2m 1)
1 x 2m (khi 1 2m )

Hoặc (1)
(2)


NguyÔn Thanh Hßa

19

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2
Mà 1

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

1 5
,
2 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 1

1
thỏa mãn bài toán
2

Vậy m
b) Khi m

1
2

(1)

m

Hệ có nghiệm duy nhất

1
2
2m 1
m

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m

NguyÔn Thanh Hßa

1
và nghiệm duy nhất x 1
2

20

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

2.3.2. Hệ vô nghiệm, hệ có nghiệm
Ví dụ 1: Cho hệ bất phương trình
x2



x3

x

x4

Trong đó x3
g ( x)

x2

(2 3m2 ) x 6m 2

x4 là các nghiệm của

x2

(2m 5) x m 2

5m 6

Miền nghiệm của hai bất phương trình được cho bởi hình vẽ
x1

x2
x3

-∞



2 (3m2
2

3m2 thì x1

NguyÔn Thanh Hßa

(2 3m2 ) 2

x2 với

m
m

3m2
2

2)

m

21

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2
(1)



m
x

(2)

3m2

0

x3

x
x3

x4

m+2

m+3

Hệ vô nghiệm thì x1 , x2
Muốn vậy thì x1 , x2

, x3
x3 , x4

x4 ,

x3


x1

x

x2

(2)

x '1

x

x '2

NguyÔn Thanh Hßa

22

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2
Trong đó

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp
x2

x1



'g ( x )

4 3m 0

0

m 2
m

3
4

* Tìm m để cả 2 bất phương trình đều có nghiệm nhưng giao của 2 tập
nghiệm là tập rỗng
Cả 2 bất phương trình đều có nghiệm
' f ( x)

0

'g ( x )

0

2 m 0
4m 3 0

m 2
3
m


Trong đó

x1

3

x '1

2

2 m
4m 3

x2

3

x '2

2

2

m

4m 3

Xét các trường hợp



2
3

5
2

x

5
2

3

x

2

3
hệ đã cho có nghiệm
4

Vậy khi m 2 và m
+ Khi

3

x

3


(1’)

x1

x2

x’1

x’2

x1

x '2

x2

x '1

2 m
2

(1’)

3

4m 3

2



2 m 4m 3 2 (2 m)(4m 3) 1
3
4

m 2

24

K33C – S- ph¹m To¸n


Tr-êng §HSP Hµ Néi 2
2 (2 m)(4m 3)

3
4

2 3m

(vô lý)

3
4

Vậy

Kho¸ LuËn tèt nghiÖp

m 2


x2

2mx 0

x m 1

2m 0

2m

2.4.2.Tìm giá trị của tham số để hệ bất phương trình có nghiệm,vô nghiệm
a) Cho hệ bất phương trình (I)
Tìm m :

x2

2x m 0

x2

4 x 6m 0

(1)
(2)

a) Hệ (I) có nghiệm
b) Hệ (I) vô nghiệm

b) Tìm m để hệ sau có nghiệm