Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng
trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp” tôi đã nhận được rất
nhiều sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn bè.
Trước hết, với lòng kính trọng và biết ơn chân thành, em xin gửi
lời cảm ơn tới ThS. Phạm Lương Bằng đã tận tình quan tâm giúp đỡ,
hướng dẫn, chỉ bảo em trong suôt quá trình nghiên cứu đề tài.
Em xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo trường Đại hoc Sư Phạm Hà
Nội 2, đặc biệt là tập thể giảng viên khoa toán, đã hết sức quan tâm giúp
đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Tôi cũng xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên tôi, tạo
điều kiện cho tôi có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài này mặc dù đã rất cố gắng,
nhưng không tránh khỏi được những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được
sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đinh Thị Minh

Đinh Thị Minh

K35G –Sp Toán


1.2. Bất phương trình bậc hai. ................................................................ 5
1.3 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. ......................................... 7
1.4. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền ........................................ 16
1.5. Định lý Vi - ét. .............................................................................. 20
1.6. Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức. ............................................ 23
1.7.Ứng dụng tìm GTLN-GTNN của hàm số ....................................... 26
CHƯƠNG 2 . PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH
QUY VỀ BẬC HAI ............................................................................ 31
2.1. Phương trình bậc 3. ....................................................................... 31
2.2. Phương trình bậc 4. ....................................................................... 34
2.3. Phương trình - bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối............. 44
2.4. Phương trình - bất phương trình vô tỷ. ........................................... 47
2.6. Phương trình - bất phương trình lượng giác. .................................. 54
CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI ............................................................................... 57
3.1. Hệ phương trình bậc hai. ............................................................... 57
3.2. Một số hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc hai ................ 61
CHƯƠNG 4: SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP ..................... 76
KẾT LUẬN ......................................................................................... 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 93

Đinh Thị Minh

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
MỞ ĐẦU

1

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
CHƯƠNG 1

TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1.1. Kiến thức cơ bản
1.1.1. Phương trình bậc hai thực sự:
ax 2  bx  c  0  a  0, a, b, c 

  b 2  4ac







  0:

(  '  b '2  ac , b ' 

(1)



af  x   0 , x 



Nếu   0 thì

f  x  có 2 nghiệm x1 và x2

+ af  x   0 ,

x   x1 , x2 

+ af  x   0 ,

x   x1 , x2 

 a  0

b
2a

 x1  x2 

B. Ý nghĩa hình học.


0

Đinh Thị Minh

a0

a0

 x  x2
+ f  x  0  
 x  x1

+ f  x   0  x1  x  x2

+ f  x   0  x1  x  x2

 x  x2
+ f  x  0  
 x  x1



0

y

y

x0

O
O

x0


K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

C. Thí dụ minh họa
Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau:
a) f  x   2 x 2  5 x  7 b) g  x   9 x 2  12 x  4 c) h  x   2 x 2  x  1
Giải
a) f  x  là tam thức bậc hai của x có a  2  0 và   81  0
vậy f  x  >0 khi 1  x 

7
2

7

x

f  x 
 
  0

f  x   0 x 

a  0
 
  0



E. Bài tập.
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f  x   x 2  5 x  7

Đinh Thị Minh

b) f  x    x 2  2  a  1 x  3

4

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

Bài 2. Tìm m để biểu thức sau luôn dương với mọi x
f  x    m  1 x 2   2m  1 x  m  1

f  x  0 .

1.2.3. Thí dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho bất phương trình: mx 2   m  1 x  2  0
a) Giải bất phương trình với m = 1
b) Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Giải
a) với m=1  BPT trở thành: x 2  2 x  2  0

Đinh Thị Minh

5

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

Đặt f  x   x 2  2 x  2 , có  ' f  1  0 , a  1
 f  x   0 , x 

Vậy BPT có nghiệm x
2

b) Có    m  1  8m  m 2  4m  1
Để BPT có nghiệm x 

khi và chỉ khi


 x  x1
 BPT có nghiệm là : 
 x  x2

+) Nếu 1  m  2 thì BPT có nghiệm

x 

 m  1
+) Nếu 
thì BPT có nghiệm là x  x1 và
m

2


x  x2

1.2.4. Bài tập
Bài 1: Cho bất phương trình:

 m  5 x 2  4mx  m  2  0

Tìm m để: a) BPT vô nghiệm.

Đinh Thị Minh

6


 3  m  1

Vậy 

 

10
 m  1.
3

10
 m  1 là giá trị cần tìm.
3

Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau:
a)  m  1 x 2  2mx  2m  0

c)  m  2  x 2  2  m  1 x  1  0

b)  x 2  4 x  m  0

d)  m 2  1 x 2  4mx  3  0 .

1.3 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.
1.3.1. Định lý
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c

 a  0

Nếu có số  sao cho af    0 thì tam thức có 2 nghiệm x1 , x2

 2 2a

1.3.2. Các ứng dụng.
1.3.2a. So sánh 2 nghiệm của phương trình bậc hai với 1 số thực 
cho trước.
a) Phương Pháp
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c ,  a  0  , số thực  ,
f  x  có 2 nghiệm thỏa mãn:

1) x1    x2  af    0

3)   x1  x2

2)


  0

  af     0
S
 
2

4) x1    x2

 f    0

 S
 
2



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng


  0

7)   x1  x2  af    0
S
 
2

b) Thí dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:

 m  2  x 2  2  m  1 x  m  5  0

(1)

có nghiệm nhỏ hơn 1 .
Giải
TH 1: Với m  2 , ta được:
(1)  6 x  3  0  x  

1
 1 ( loại m  2 )
2


m  1


m  2
m  2


 
 
5
5
  m  4
  m  4


 2m  1  0
1  m  2
 m  2
 2

Đinh Thị Minh

9

 1 m 

5
4

K35G –Sp Toán

Vậy 1  m  2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình :
f  x  =x 2  6mx  9m 2  2m  2  0

(1)

Tìm m để (1) : a) có 2 nghiệm thỏa mãn x1  4  x2 .
b) có 2 nghiệm đều lớn hơn 1.
Giải
a) (1) có 2 nghiệm thỏa mãn:
x1  4  x2  af  4   0
 9m 2  26m  18  0



13  17
13  17
m
9
9

b) (1) có 2 nghiệm đều lớn hơn 1, tức là

1  x1  x2


 '  0
 2m  2  0





Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

  0

af    0
1)   x1  x2    af     0

  S  

2

 f    0
8) x1      x2  
 f     0


  0

2) x1  x2      af    0
S
 
2


 f    0


5)     x1  x2  af     0
S
 
2


 f    0

12)   x1    x2  af    0
S
 
2

af    0
6)   x1    x2  
af     0

 f    0
13) x1      x2  
af    0

 f    0
7) x1      x2  
af     0

b) Thí dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định a để phương trình:

Đinh Thị Minh


i 

af  0   0
6a  a  1  0
1  a  0
 
 
 
1  a  0
af 1  0
 a  a  1  0
 1  a  0 .

af  0   0
6a  a  1  0



af 1  0
 a  a  1  0



 ii  



  0



2a


Vậy a  0 , phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thuộc (0,1).
Ví dụ 2: Cho phương trình :

x 2  mx  2m  2  0

(1)

Xác định m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x  2 .
Giải
Xét phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc  2;2  hoặc vô nghiệm.
+) (1) vô nghiệm khi và chỉ khi
  m 2  4  2 m  2   m 2  8m  8  0

Đinh Thị Minh

12

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng
(*)

 42 2 m42 2




1
  m42 2
2

(**)

1
Kết hợp (*) và (**) ta được :   m  4  2 2
2

Vậy để (1) có nghiệm thỏa mãn: x  2 khi m  4  2 2 hoặc
1
m .
2

1.3.2c. Tổng kết
f  x   ax 2  bx  c có nghiệm x  D ( D là một khoảng, một đoạn,

nửa khoảng, nửa đoạn)
1)

  x1  x2
f  x   0 có nghiệm x     x1    x2
 x1    x2

2)

 x1  x2  

 x1    x2  
f  x   0 có nghiệm x   ,      x1    x2
  x1  x2  
  x1  x2  
  x1    x2  
  x1    x2

6)

f  x   0 có nghiệm x   ,  

7)

 x1    x2
f  x   0 có đúng 1 nghiệm x    
  x1  x2

8)

 x    x2
f  x   0 có đúng 1 nghiệm x     1
 x1  x2  

9)

 x 1    x2  
f  x   0 có đúng 1 nghiệm x   ,      x 1    x2
  x1  x2  

 x1      x2

Đinh Thị Minh

14

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

x  
Xét bài toán ngược: f  x   0 không có nghiệm thỏa mãn 
x  
x  
(hoặc 
)
x



 f  x  vô nghiêm
 
 f  x  có nghiệm thỏa mãn   x1  x2  

(Lưu ý: nếu f  x  có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a  0 ).
1.3.2d. Bài tập
Bài 1: Cho phương trình:

 m  2  x 2  2  m  8 x  5m  10  0


S
3m  3
2
2
m3

Ta có bảng sau:
m





af  2 

'

+

3
+

+
0
-

1

S


+

8
 2
29

Phương trình có 2 nghiệm: 2  x1  x2
Phương trình có nghiệm kép

0
-

x1  2  x2

+

1
x    2
6

Phương trình vô nghiệm



1.4. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền
1.4.1. Cho tam thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c , a  0
a)

b)

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

 a  0

  0
2) f  x   0 x    
 a  0

   x1  x2

3) f  x   0 x   ,  

 a  0

      x1  x2
   x1  x2    
 
     0

 a  0
  x1      x2


4) f  x   0 x   ,  

 a  0

   x1  x2    
      x1  x2
  



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

+) Nếu m  2 thì (1) trở thành: f  x   12 x  3  0  x 

1
4

 f  x   0 , x   1,0 

Vậy m=2 thỏa mãn.
+) Nếu m  2
  x1  1  0  x2
1

m

2


 m  2
 
 2
   9  m  6  2  4  m  2  m  1  0
 f  x   0 x   1,0   
 m  2
 3

(2)  
2
13m  112m  316  0

( vô nghiệm)


 '  0

(3)  af  1  0 
S
  1
2

Đinh Thị Minh



2
13m  112m  316  0

 m  2  3m  21  0 

 3  m  6   1
 2  m  2 

18

 2m7


2

1  m  2

m  6
m  2


 1  m  2 .

Vậy 1  m  7 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho tam thức: f  x   mx 2  2  m  2  x  m  3 . Tìm m để
f  x   0 x .

Giải
3
+) Nếu m  0 thì f  x   4 x  3  0  x  .
4

 m  0 (loại).

+) Nếu m  0
m  0
a  0

 f  x   0 x  
2
 '  0
 m  2   m  m  3  0
m  0

b) BPT có đúng 1 nghiệm   '  0  m  0 .
c) Để BPT có nghiệm là 1 đoạn có độ dài bằng 1 thì tam thức ở
VT của BPT phải có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 và thỏa mãn x1  x2  1 .
 '  0
m  0

m  0
'
 
 
 
 m  1 .
m  1
  m  1
 a 1


Bài 3: Tìm m để bất phương trình:

x 2  2  m  1 x  m 2  2m  0

nghiệm đúng x   0,1 .
1.5. Định lý Vi- ét.
1.5.1. Định lý
Nếu phương trình: f  x   ax 2  bx  c  0

 a  0  (1),

b


x1 , x2 là nghiệm của phương trình: X 2  SX  P  0 .

1.5.3. Thí dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho phương trinh:

Đinh Thị Minh

 m  1 x 2  2  m  1 x  m  2  0

20

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng

Xác định m để pt có nghiệm x1; x2 thỏa mãn 4  x1  x2   7 x1 x2
Giải
Để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 khi và chỉ khi:
m  1  0
m  1




2
3  m  0
 '   m  1   m  1 m  2   0


( x1  x2 )  mx1 x2  2m  1

(I)

a) Hãy lập phương trình bậc hai đó.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trài dấu nhau.
Giải
S   P
S  P  0
a) Ta có: (I)  
 
 S  mP  2m  1
 P  m  1  2m  1
S   P
+) Nếu m  1 thì (I)  
(vô nghiệm)
0  3

Đinh Thị Minh

21

K35G –Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng


 S 2  4P  0  
1
m


 
4

m  1

Khi đó, phương trình bậc 2 cần tìm là:
X2 

2m  1
2m  1
X
0
1 m
m 1

b) Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, khi và chỉ khi
ac  0 

2m  1
1
 0    m  1.
m 1
2

1.5.4. Bài tập