Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

mục lục:
Phần i: mở đầu

3

i. lý do chọn đề tài

4

ii. mục đích nghiên cứu

5

iii. đối tượng nghiên cứu

5

iv.Nhiệm vụ nghiên cứu

5

v. phương pháp nghiên cứu

5


12

Đ1. phương pháp nghịch đảo

12

1.1 Phương pháp nghịch đảo

12

1.2 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo
1.3 Công thức nghịch đảo

12

14

Đ2. chuyển pha trong mô hình hubbard 1 chiều liên kết mạnh bằng phương
pháp nghịch đảo

16

Đ3. kết quả tính số

22

Phần iii: kết luận

25


2


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu, các số liệu trình bày trong khoá luận là trung thực và không
trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, Tháng 5 Năm 2007
Sinh viên

Nguyễn Thị Loan

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

3


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp


SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

4


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

tử đặc biệt. Với trường hợp mà các trường bổ trợ được đưa vào bởi biến đổi
Hubbard Stratonovich, các quy tắc có thể áp dụng được, nhưng chúng có thể
gặp những trường hợp mà ở đó các công thức của biến đổi legendre không tồn
tại. khi đó phương pháp nghịch đảo là một trong số các phương pháp nhằm
giải quyết khó khăn này.
Vì những lí do trên mà tôi chọn đề tài : Nghiên cứu chuyển pha sắt từ
trong mô hình hubbard một chiều, liên kết mạnh chiều bằng phương pháp
nghịch đảo
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha sắt từ trong mô hình hubbard 1 chiều bằng
phương pháp nghịch đảo, từ đó tìm được nhiệt độ chuyển pha chính là nhiệt độ
curie Tc.
3. Đối tượng nghiên cứu
Chất sắt từ trong mô hình hubbard.
4.Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha của sắt từ , để xách định nhiệt độ Currie của
chất sắt từ trong mô hình Hubbard 1 chiều liên kết mạnh.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu có liên quan

tinh. Vật rắn vô định hình khi nung nóng chuyển sang trạng thái lỏng một
cách liên tục, nghĩa là khi nhiệt độ tăng thì mềm dần và không có bước nhảy
vọt ( tức biến chuyển đột ngột ) sang trạng thái rắn . Vì vậy vật rắn vô định
hình không được coi là pha rắn của vật chất. Chẳng hạn thủy tinh ở trạng thái
rắn và trạng thái lỏng thì không được coi là những pha khác nhau.
2. Sự chuyển pha
Khi làm thay đổi nhiệt độ hoặc áp suất của một pha vật chất thì có thể
gây ra sự biến đổi pha. Ví dụ khi nung nóng nước đá ở áp suất 1 atm tới một
nhiệt độ xác định (tức 00C) thì nước đá đột ngột biến sang nước với những tính
chất hoàn toàn khác với nước đá.
Cũng như quan niệm về pha, sự biến đổi về pha không phải là sự biến
đổi từ vật chất này sang trạng thái vật chất khác ( rắn lỏng , lỏng
hơi, hơi rắn ), mà có thể là sự biến đổi pha của cùng một trạng thái. Ví

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

6


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

dụ: từ kim cương biến đổi thành than chì và ngược lại. Sự biến đổi pha luôn
xảy ra ở một nhệt độ xác định ứng với một áp suất xác định, chẳng hạn nước
đá nóng chảy thành nước ở 00C ứng với áp suất là áp suất khí quyển ( 760
mmHg ). Trong quá trình này nước đá và nước đồng thời tồn tại và tiếp xúc
với nhau. Nhiệt độ của hai pha được giữ không đổi ( 00 C ) cho đến khi toàn bộ


SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

7


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Đ2.các loại chuyển pha

Nghiên cứu chuyển pha có từ khi có nhiệt động lực học, lý thuyết đầu
tiên của Gibbs. Năm 1993 Erhenfist định nghĩa chuyển pha:
Chuyển pha là bậc n nếu các thế nhiệt động là liên tục ở nhiệt độ
chuyển pha Tc, và đạo hàm hạng n theo nhiệt độ liên tục tại điểm này, còn đạo
hàm bậc n + 1 gián đoạn. Thực tế chỉ có chuyển pha bậc 1 và bậc 2.
Năm 1937 Landau đưa ra sự phân loại khác nhau: Chuyển pha thường
gắn với sự thay đổi tính chất đối xứng của hệ vật lý. Khi hệ chuyển từ pha này
sang pha khác thì tính chất đối xứng của hệ thay đổi, tức là chuyển pha gắn
với tính đối xứng . Landau đưa ra tham số trật tự: tham số trật tự phải đặc
trưng cho hệ vật lý, khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối
xứng khác thì tham số trật tự có giá trị khác.
Theo ông có hai loại chuyển pha là
loại 1

chuyển pha loại 1 và chuyển pha loại 2.
- Chuyển pha loại 1 là chuyển pha


truyền nhiệt. Đó là sự biến đổi vật chất như nóng chảy, hoá hơi, v.v.. hoặc sự
chuyển từ biến thể tinh thể này sang biến thể tinh thể khác. Chẳng hạn từ sắt
( - Fe ) sang sắt ( - Fe).
Chuyển pha loại 2 là loại biến đổi pha không kèm theo sự nhận hoặc
truyền nhiệt. Biến đổi pha loại 2 chỉ xảy ra đối với chất rắn trừ trường hợp
ngoại lệ duy nhất là sự biến đổi pha của Heli lỏng.

Đ3. trạng thái sắt từ trong vật rắn

Từ trước khi chúng ta cho rằng tương tác giữa các mô men từ của các
ion khác nhau là rất nhỏ có thể bỏ qua. Bây giờ ta nghiên cứa một loại vật rắn
mà tương tác này không thể bỏ qua được. Đầu tiên, ta xét trường hợp mà tất cả
các ion trong mạng tinh thể đều có mô men từ giống nhau. Trong từ trường
B mô men từ của tất cả các ion có cùng một giá trị trung bình < > song song

và cùng chiều với B (Hình 1.3)
Ta xét một nút S nào đó, vì dưới tác
dụng của từ trường B Tất cả các ion ở nút
khác S đều có một mô men từ trung bình < >

Hình 1.3

hướng theo từ trường B , cho nên các ion này lại gây ra ở điểm S một từ trường
bổ sung tỉ lệ với < > gọi là từ trường Weiss,
Bw = . N. < > .

(1.1)

Từ trường Bw cộng thêm vào từ trường ngoài B và cũng tác dụng lên


(1. 4)

< > =

Giải phương trình này để tính ( ) ta được:
ur
uuur
Nm20 B
N < m> =
.
3K B T ư l mo2
=

Đặt

(1.5)

N .. 02
,
3.K B

( 1. 6)

Khi đó biểu thức (1.5) có dạng :
m = N. < > =

N . 02 .
3.K B .(T )


. n)

n s

s

(n e

.

( B . N .
K B .T

( 1. 9)

n)

n s

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

10


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp





( 1.11 )



1
N . .th
m( 0) .
2
2k B T


(1.12 )

Ngoài nghiệm m(0) = 0 thì phương trình (1.12) còn có nghiệm m(0) khác 0
khi T nhỏ hơn một giá trị Tc nào đó.
Khi T > 0 thì với mọi m(0) ạ 0 ta luôn có:


m(0) = 1,
2.k b T


Lim th
.Vậy khi

T= 0 thì m(0) =



Hình 1.4

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

Tc

T

11


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Chương ii. chuyển pha trong mô hình hubbard
một chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo
Đ1. phương pháp nghịch đảo

1.1 Phương pháp nghịch đảo
Chúng ta xét trường hợp mà tính đối xứng của Hamintonian không còn
tồn tại với trạng thái ở một số vùng của nhiệt độ, áp suất, mật độ hoặc một vài
thông số khác. Trong bài toán hệ nhiều hạt mối quan tâm chính là nghiên cứu
sự chuyển giữa các pha đối xứng khác nhau. Vai trò của năng lượng tự do
hoặc thế hiệu dụng ở nhiệt độ 0 được xác định qua phép biến đổi Legendre
được xem là công cụ cơ bản để nghiên cứu về các đặc trưng phá vỡ đối xứng.

Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

m=

Khoá luận tốt nghiệp

GH , g
.
H

(2.3)

Năng lượng tự do Helmholtz được định nghĩa như là phép bién đổi
legendre của G[H,g]
F[m,g] = GH m, g , g mH m, g ,

(2.4)

với H[m,g] thu được bằng cách nghịch đảo( 2.3), từ đó ta tìm được năng lượng
tự do Helmholtz. Năng lượng này có thể tìm được bằng các lời giải không tầm
thường của hệ nghịch đảo:
H=-

F m, g
,
m

(2.5)


Khoá luận tốt nghiệp

F m, g
= 0.
m

(2.6)

1.3 Công thức nghịch đảo
à của hệ
Xét trường hợp tĩnh, chúng ta khảo sát toán tử Hamintonian H

chứa một vài thông số g, để thuận tiện ta giả thiết rằng nó có thể tách ra làm 2
phần: Phần tự do và phần tương tác:
à= H
à + gH
à,
H
0
1

(2.7)

với g là hằng số liên kết.
Để nghiên cứu các đặc trưng của pha phá vỡ đối xứng thì các thông số
trật tự phải được xác định. Nhiệt độ bằng không là không quan trọng với hệ.
Nếu giá trị trung bình của một vài toán tử kí hiệu là $f được chọn làm tham số
trật tự, nó bị triệt tiêu với mọi bậc của chuỗi nhiễu loạn theo g, chúng ta bổ
à vào H

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

14


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp



J = h g n h .

(2.10)

n0

trong đó J được xác định bởi hệ thức:
J J , g .

(2.11)

Trong khi chỉ một số hữu hạn các hàm hệ số f l J của chuỗi nghịch
đảo, ví dụ như l n có thể thực sự tìm được thì ta có thể thu được hl của
chuỗi nghịch đảo cho l n.
Hơn nữa, thế (2.10) vào (2.9) và khai triển vế phải theo chuỗi luỹ thừa
của g, sau đó đồng nhất chúng thì ta được:



ộf [J ]ự
h1 [F ]= ư ờờ 1, ỳ
,
ỳ
f
J
[
]
ởờ 0 ỳ
ỷJ= h 0 [f ]

ộ1 ,,
ự
ờ f0 [J ]h 21 [F ]+ f1, [J ]h1 [F ]+ f2, [J ]ỳ
ỳ
h 2 [F ]= ư ờờ2
.
ỳ
,
f
J
[
]
ờ
ỳ
0
ờở
ỳ
ỷJ= h 0[f ]

trong từ trường đồng nhất có dạng:
H = ư t ồ a tis a is +
(i,j)s

ồ
i

ộu niư ni + H (n iư ư n i ) ư m(n iư + n i )ự ,
ở
ỷ

(2.16)

Trong đó a it , a i lần lượt là toán tử sinh và huỷ electron có spin ở nút
mạng thứ i và thứ j, ni là toán tử số hạt có Spin ở nút mạng thứ i. Các hằng
số t đặc trưng cho chuyển động nhảy của electron (hopping) còn u là số hạng
đặc trưng cho tương tác Coulomb.
Trong trường hợp liên kết mạnh thì u có giá trị lớn, khi đó mô hình
Hubbard không thể giải thích một cách đúng đắn bằng cách sử dụng khai triển
mở rộng của liên kết yếu. Trừ khi trong tính toán ta phải khai triển vô hạn các
số hạng của biểu thức. Trong phần này phương pháp nghịch đảo được áp dụng
cho bài toán 1/u thay vì u được coi như là tham số biểu thức của mỗi chuỗi
nghịch đảo.
Trong bài toán này ta không thể tính toán chính xác với chuỗi cơ sở
(2.9). Để tính toán chính xác bài toán trong trường liên kết mạnh chúng ta
dùng cách sau đây: mỗi số hạng f n J được mở rộng trong số mũ của tham số
thay đổi t và trong các số hạng trên là lấy với t2.

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý


J=
u
1
u

1
u

= ( g 0 ,0 g1 ,0) t 2 g 0, ,0 g1, ,0 ...




(2.18)

ở đây t2 được coi như một tham số nghịch đảo.
Để thuận tiện ta viết (2.16) dưới dạng:
H = H1 + H0

(2.19)

H 1 = t a i aạ

trong đó:
H0 =

u

ni ni



N
1 G
2 x 2 e u 2 x
,

2 u
N 0 N 0 x e 2 x 1

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

(2.23)

17


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

ở đây 0 n 2. Giải phương trình (2.23) ta tìm được nghiệm của x:
x=

1 n (1 n) 2 e u (2 n)n
e u (n 2)

.


x e

u

(2.26)

2 x sinh H
2 x cosh H 1

(2.27)

Khi H đ 0 thì m đ 0,và tự cảm khi không đổi là:
c =

ảm
x
= 2 b 2 ư bu
đ 1 n 1 .
ảH
x e + 2x + 1 u đ Ơ

(2.28)

Những kết quả này là đặc điểm cơ bản của chất thuận từ.
Với bậc tiếp theo.Chúng ta tiến hành nhiễu loạn biểu thức với e H

0 H1





. (2.29)

0

Về mặt hình thức hàm sóng ni , ni' mà có x ni' H 1 ni

không trở về

không khi đó phương trình (2.6) trở thành:
2 e N 0 w e N 0 w1

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

18


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2





x 2 e u1 2 x cosh H 1 1

N0

***

Khoá luận tốt nghiệp

3
(x2 eư u1 + 2x + 1)
1 10 H 1 2t1211 H 1 .



(2.33)

Do đó mật độ electron khi H = 0 là:
n


N
1 ,
N0
1

2x 2 eư u + 2x
+
ị n= 2 ư u
x e + 2x + 1

(ư x e

5 ư 2u

+ 2t12

+ 2x 4 eư u ư 2x 2 + x)+ u1ư 1 (1 ư eư u )(ư 4x 4 eư u + 4x 2 )



(2.35)

Khi n > 1 biểu thức trên vẫn đúng nếu thay x bằng x được định nghĩa
như sau:
x'

e u1
,
x

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

(2.36)

19


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

khi đó n 1 có dạng giống nhau cho cả x và x. Chúng ta có thể viết lại chúng
sử dụng hàm số đơn trị , T như sau:
X = x(n,T ) khi n < 1
X = x(n,T ) khi n > 1

(2.37)

1

logx e
2

x x e cosh H 2u x 1 e
2 x cosh H 1 2t
x e 2 x cosh H 1
x x' e cosh H 2u x' 1 e
2 x' cosh H 1 2t
x' e 2 x' cosh H 1
3

u1

2
1

1

u1

1
1

1

2

u1


u1

2

2

u1

1

1 log2 cosh H 1 1 n 1 log 2 e u 2t12
1

cosh H 1 2u11 2
.
2 cosh H 1 12

(2.40)

Độ từ hoá được viết lại là:





1 2
1
2 sinh H 1
M

trên.
1 1 H 1 m
10 H 10 m 2t1211 H 10 m H 10 m .m

(2.42)

1 H 10 m H 10 m .m

ở đây H10(m) là hàm được định nghĩa bằng biểu thức thấp nhất của
chuỗi nghịch đảo:
m = - 10(1) H10(m)
từ (2.41) ta thu được m

2 sinh H 10 (m)
,
2 cosh H 10 (m) 1

(2.43)

ở đây chỉ số trên (1) có nghĩa là chúng ta đạo hàm bậc 1. Trường hợp
này người ta có thể tính được H10(m) bằng cách giải phương trình (2.43)
m m 2 4 2 (m 2 1)
.
H 10 (m) log
2 (m 1)



Đặt



Từ (2.45) ta thấy rằng tham số bậc 0 bị triệt tiêu khi H = 0 là có thể tìm
được bằng cách giải phương trình H = 0. Mặt khác
H

từ (2.44) ta thấy rằng


m

1 1
,

.
m m

0, nên chúng ta chỉ cần giải phương trình

1
=


0.
Từ (2.45) ta có:
1
102 ( ) 2t12 111 ( ) ,


(2.47)



.

(2.49)

Đ3. kết quả tính số

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

22


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Để thuận tiện trong các tính toán về sau, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự
nhiên, trong đó các hằng số Planck rút gọn và vận tốc ánh sáng trong chân
không được cho bằng 1 ( c 1 ). Ngoài ra, hằng số Boltzoman kB và
manhêton Bo cũng được chọn bằng đơn vị (kB = 1, B = 1).
Các hằng số của mô hình Hubbard được chọn ở các giá trị:
t 1
0,7
u 1.

Để tìm độ từ hoá ta sử dụng công thức:
m



Do

x = x ( n ,T) với n > 1.
Mặt khác x e , x'
1

e u1
x

nên x và x đều dương và là số thực x(n,T )

cũng phải dương và là số thực.

SV: Nguyễn Thị Loan K29D Lý

23


Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

***

Khoá luận tốt nghiệp

Để tìm j (n,T ) ta sử dụng phương trình :
g 1 g 2 ,

với g1 còn
g 2 2t12

0

D

-2
0

1

2

3

j

4

5

6

Hình 3.1. Đồ thị g1() và g2().

Dựa vào đồ thị này ta thấy rằng giá trị của thu được bằng cách giải phương
trình g 1 g 2 không trở về không khi nhiệt độ của hệ thấp hơn nhiệt độ
tới hạn Tc. Khi nhiệt độ T < Tc thì g 2 cắt g 1 tại điểm = 0.
Dựa vào đồ thị ta thấy Tc thuộc khoảng nhiệt độ 0,72 < Tc < 0,8.. Khi
thay các giá trị khác nhau của và tương ứng và từ đó ta tìm được tập hợp
các giá trị của m tương ứng. Biểu diễn sự phụ thuộc của m vào T ta thu được


B

0.15

0.10

A

0.05

0.00
0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

T

Hình 3.2. Độ từ hoá m theo nhiệt độ T.

Dựa vào đồ thị hình (3.2) ta biết được nhiệt độ Tc : 0,72 < Tc < 0,8. Khi số
chiều của không gian tăng lên 3 chiều tức là mỗi nút mạng sẽ có 6 nút gần
nhất, còn các thông số khác vẫn giữ nguyên thì ta thấy rằng ở cùng một nhiệt
độ T độ từ hoá m trong không gian 3 chiều lớn hơn độ từ hoá trong không
gian 1 chiều, và nhiệt độ chuyển pha sắt từ của nó cũng cao hơn. Cụ thể trong