Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

Lời cảm ơn
Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “sử dụng phương pháp số phức để giải
bài toán dòng điện xoay chiều” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và
với sự tận tình, chu đáo của thầy giáo Nguyễn Tuấn Thanh cùng các thầy cô
trong tổ vật lý Đại Cương khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó, đồng thời em xin
chân thành cảm ơn thư viện trường ĐHSPHN 2 đã tạo điều kiện tốt nhất cho
em hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình nghiên cứu, bản thân là một sinh viên bước đầu làm
quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót.
Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các
bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Tăng Thị La

1


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung tôi đã trình bày trong khoá luận này

phương pháp này, chỉ cần những kiến thức rất kiến thức rất sơ đẳng về số
phức mà học sinh hoàn toàn nắm bắt được, em tin rằng nếu đưa phương pháp
này giảng dạy cho học sinh trong những năm tới là rất phù hợp .Với những
suy nghĩ như vậy và được sự động viên, hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn
Tuấn Thanh, em mạnh dạn chọn đề tài “Sử dụng phương pháp số phức để giải
bài toán dòng điện xoay chiều”.
Với đề tài này em rất mong muốn phương pháp này sẽ trở thành phương
pháp chính được thầy cô và học sinh sử dụng để giải quyết các bài toán về
dòng điện xoay chiều.

3


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

2. Mục đích nghiên cứu
+ Có những kiến thức sơ đẳng về số phức.
+ Thấy được ứng dụng của phương pháp số phức trong việc giải bài toán
dòng điện xoay chiều.
3. Đối tượng nghiên cứu
+ Dòng điện xoay chiều, các dạng mạch điện, các dạng bài tập.
+ Phương pháp giải bài tập.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Tra cứu tài liệu.
+ Phân dạng mạch điện, phân loại bài tập.
+ Giải bài tập.
+ Nhận xét, kết luận.
5. Phạm vi nghiên cứu

còn gọi là trục thực.
 Số phức dạng z   0 , y  nghĩa là số phức có phần thực bằng 0, ứng
với một điểm nào đó nằm trên trục tung được gọi là trục ảo.
 Hai số phức z1   x , y  và z2   x ,  y



ứng với hai điểm đối xứng

nhau đối với trục thực được gọi là hai số phức liên hợp.
Kí hiệu:  x,  y    x, y 
Chú ý: Hai số phức liên hợp bằng nhau khi chúng đều là số thực.

5


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

1.1.2. Xác định các phép tính trên tập hợp số phức
 Phép cộng: Tổng của hai số phức: z1   x1 , y1  và z2   x2 , y2  được xác
định bằng đẳng thức sau: z1  z2  ( x1, y1 )  ( x2 , y2 )  ( x1  x2 ; y1  y2 )
Phép cộng hai số phức thực chất là phép cộng hai vectơ trên mặt phẳng
xOy.
 Phép nhân: Tích của hai số phức z1   x1 , y1  và z2   x2 , y2  được xác
định bằng đẳng thức sau: z1 z2   x1 , y1 . x2 , y2    x1 x2  y1 y2 ; x1 y2  x2 y1  .
Như vậy, với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như trên, tập hợp
các số phức  lập thành một trường.
1.1.3. Dạng đại số của số phức

Để thấy rõ hơn bản chất hình học của số phức ta sẽ có cách biểu diễn

hình học của nó (hình 1). Gọi độ dài của Oz là y

r ta có r  x 2  y 2 .
z

Đại lượng r được gọi là môđun của số y
phức z là một số thực không âm. Ta cũng thấy
ngay số phức z   0,0  trùng với gốc của trục
toạ độ, là số duy nhất có môđun bằng 0.

Hướng của Oz được xác định bởi góc  .

O

r
z

x

x

Hình
1

Góc này được tạo thành bởi chiều dương của trục Ox và Oz  z  0 . Góc 
gọi là acgumen của số phức z .
Về hình học, một số phức z được xác định hoàn toàn bởi hai đại lượng
là r và  . Chúng được gọi là toạ độ cực của số phức z .

x

 z  x  jy  r cos  jr sin   r  cos  j sin  
Đây là dạng lượng giác của số phức.
áp dụng công thức ơle:  cos   j sin    e j .
Số phức z còn được viết dưới dạng: z  r.e j .
1.2. Các phương pháp biểu diễn dao động điều hoà
1.2.1. Phương pháp lượng giác
Dao động điều hoà (dđđh) được biểu diễn dưới dạng:

x1  A1 sin 1t  1 
x2  A2 sin 2t   2 
Tổng hai dđđh cùng phương:

x  x1  x2  A1 sin 1t  1   A2 sin 2t   2 
Nếu hai dao động cùng biên độ
A1  A2  A

   2   1  2 1   2  .
   2
 x  2 A sin  1
t 1
t
 cos 

2
2
2
2 



đồng hồ) với vận tốc bằng  . Khi đó điểm đầu mút vectơ A trên trục x sẽ
biểu diễn một dđđh quanh điểm O theo phương trình x  A cos t    .
Nếu xét trên trục vuông góc với x, chuyển

động đầu mút vectơ A trên trục đó biểu diễn

x  A sin t    là một dđđh.

y

ở điện học, trong phương pháp này các đại
lượng vô hướng như cường độ dòng điện, hiệu

O


A


y
x

điện thế,...được biểu diễn bằng các vectơ . Các vectơ này có độ lớn bằng biên
độ I 0 , U 0 … của các đại lượng biến thiên I, U tương ứng. Các vectơ
 
I 0 , U 0 …đó vẽ chung một góc và lệch pha nhau một góc bằng  bằng hiệu số
pha giữa chúng và chúng quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc tương
ứng. Các giá trị tức thời của dòng điện và hiệu điện thế tại mỗi thời điểm sẽ


đại lượng biến thiên điều hoà theo thời gian a  Asin t    có thể biểu
diễn bằng một số phức kí hiệu a 

a  a  Ae

j t  

Bởi vì trong bài toán mạch điện xoay chiều, tần số góc  có trị số xác định
nên để thuận tiện trong tính toán ta quy ước:
a  a  Ae j  A  cos   j sin    a1  ja2

Với a1  A cos là phần số thực, a2  Asin  là phần ảo của số phức a , 
chính là pha ban đầu hoặc độ lệch pha (so với dao động khác) của một đại
lượng biến thiên điều hoà mà ta xét.
Như vậy, nếu hiệu điện thế có biểu thức u  100 2 sin100 t (v) thì nó
được biểu diễn bằng số phức u *  100 2 (v) vì   0 .



Nếu cường độ dòng điện có dạng: i  5 2 sin 100 t   (A)
4



thì nó được biểu diễn bằng số phức : I  5 2e
10

j




Nếu mạch gồm nhiều đoạn ghép nối tiếp thì:

Z   Z1  Z2  ... , U   U1  U 2  ...
với Zi , Ui là tổng trở và hiệu điện thế của đoạn mạch thứ i .
c. Còn nếu mạch gồm nhiều đoạn mạch ghép song song thì tổng trở của toàn
mạch và dòng điện chính trong mạch là:

1
1
1


 ;
Z * Z1* Z 2*

U * U
I  I  I  ... với I   , I 2   ,
Z1
Z2
*

*
1

*
2

*
1


Z1*Z 2*
Z1*  Z 2*  Z3*


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

Phần 2: Vận dụng phương pháp số phức trong việc giải bài toán
dòng điện xoay chiều
Chương 1. Mạch RLC mắc song song
1.1. Lập biểu thức của cường độ dòng điện tức thời, hiệu điện thế tức thời
Bài 1.1.1. Cho mạch điện như hình vẽ:

u AB  120 2 sin100 t V  ,
R  30, L 

0,6



104

H  , C 



 F  viết


 100  60   

1
1
 4  100  60   
C 10



Z  r  j  Z L  Z C   0  j  60  100   40 j   
*
2

Theo định luật Ôm ta có:
13


Khoá luận tốt nghiệp

I 2* 

Tăng Thị La - K29A Lý


*
j
U AB
120 2 3 2
2



j

37
180

37 

 i  5 2 sin 100 t 
  A
180 


1
1 1
R.Z 2*
*
Với : *   *  Z AB 
Z AB R Z 2
R  Z 2*
*
 Z AB


*
I AB


tg 
 iAB

37
 
, I0  5 2
4
180
37 

 5 2 sin 100 t 

180 


 A

Cách 2: Phương pháp dùng giản đồ vectơ
+ Nhánh chứa R:

i1  I 01 sin 100 t   A 
U 0 120 2

 4 2  A
R
30
 i1  4 2 sin 100 t   A 
I 01 

+ Nhánh L, C:

i2  I 02 sin 100 t  2  ( A)




 i2  3 2 sin 100 t    A
2

tg2 

+ Biểu thức dòng điện qua mạch điện chính

i  i1  i2  I 2 sin 100 t   
  

Vẽ giản đồ vectơ chọn trục u làm trục chuẩn I  I1  I 2
- Theo giản đồ ta có:

I  I12  I 22  42  32  5  A 
I
3
37
tg  2 
 
 rad  O
I1
4
180
37 

 i  5 2 sin 100 t 
  A
180


R  50    , RA  0, L 

1



(H ) C 

2.104



( F ) . C ' có điện dung thay đổi

được. u AB  100 2 sin 100 t  V  .
a. Tìm biểu thức của các cường độ dòng điện i1, i2 , i của các mạch nhánh và
mạch chính khi C’ = C.
b. Thay đổi điện dung của tụ điện C’ cho đến khi số chỉ của ampe kế A là cực
đại. Tìm giá trị của điện dung C’ và biểu thức của cường độ dòng điện trên
mạch chính khi đó.
Lời giải
Cách 1: Theo Phương pháp số phức

Z L  L 
ZC 

1



j
100 2 2 2

 j2 2  2 2 e 2
 j 50
j



 i1  2 2 sin 100 t    A
2

+ Nhánh chứa R, L, C’ khi C’=C:
Z 2*  R  j  Z L  Z C   50  j 100  50   50  j 50

16


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý


*
j
U AB
100 2
2 2 2 2 1  j 
I  * 


Ta có: Z 2*  R  j  Z L  ZC' 
Để ampe kế đạt giá trị cực đại thì i2' cùng pha với u hay cộng hưởng
'
dòng. Nên i2' có dạng i2'  I 02
sin100 t hay I 2*'  I 02'

Mặt khác ta có:
*
*
U AB
U AB
100 2
'*
I  '*  Z 2  '* 
 R  j  Z L  ZC' 
'
Z2
I2
I 02
'*
2

Vậy thành phần ảo phải bằng 0  Z L  Z C'  Z C'  Z L  100 

1
C

1
104
C  ' 

4

Cách 2: Phương pháp lượng giác
a. Tổng trở của nhánh R, L, C
Z 2  R 2   Z L  Z C   502  100  50   50 2 ()
2

2

+ Biểu thức cường độ dòng điện ở nhánh C:
i1  I 01 sin 100 t  1  ( A)

Cường độ dòng điện qua tụ điện nhanh pha hơn hiệu điện thế tức thời hai
đầu mạch



nên 1   (rad )
2
2
 I 01 

U 0 U 0 100 2


 2 2 ( A)
Z1 ZC
50






i  i1  i2  2 2 sin 100    2sin 100  
2
4


 i  I 0 sin 100 t   

18


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

Với I 0  I 012  I 022  2I 01I 02 cos 1  2 





2 2



  
 22  2  2 2  2cos    
 2 4

2

2 2  2

  



4

(rad )



Do đó: i  2sin  100 t   ( A)
4

b. Cường độ hiệu dụng I 2 

U
U

2
Z2
R 2   Z L  ZC' 

I 2 cực đại khi ZC'  Z L  100()
 ZC' 

1

Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

+ Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch chính



i  i1  i2  2 2 sin 100 t    2 2 sin100 t
2

 


 2 2 sin 100 t    sin100 t 
2
 




 

 4 2 sin 100 t   .cos    4sin 100 t   ( A)
4
4

4

Nhận xét: Phương pháp lượng giác dài hơn, phức tạp hơn, chỉ thuận tiện

100
4

+ Nhóm chứa R, L

u AB  100 2 sin100 t  U AB
 100 2(V )

20


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

Z 2  R  jZ L  40  j 40


j
U AB
100 2
2,5 2 2,5 2
I   


1  j   2,5e 4
Z2
40  j 40 1  j
2


2,5 2
 1,76( A)
2

b) Biểu thức dòng điện trong mạch chính:
Cách 1:

1
1 1
1
   

Z AB R Z 2 Z 3
Z






AB

R  Z 2  Z3
  
Z 2  Z3  RZ 2  RZ3

40  40  j 40  40  j 40 
 40  j 40 40  j 40  40  40  j 40  40  40  j 40 
40  40  40 1  j 2 


 I1  I 2  I 3  2,5 2 

2,5 2
2,5 2
1  j  
1  j   5 2 ( A)
2
2

21


Khoá luận tốt nghiệp

Tăng Thị La - K29A Lý

 iAB  5 2 sin100 t ( A)

1.2. Xác định các đại lượng trong mạch
Bài 1.2.1
Cho mạch điện như hình vẽ.
u AB  U 2 sin100 t (V ), R  100, C  31,8(  F ) 

100



( F )

a) Xác định L để dòng điện trong mạch

*
jx  R  jZC 

Z L*  Z 2*
Z 2  R  jZC
*

Z


 *
AB
Z L*  Z 2* jx  R  jZC

Z L  jL  jx

ZC 

1
1

 100 ()
C 100  106  100



22


Khoá luận tốt nghiệp




U 2
U 2
 x  j  x  200  
 jx  100  j100  x  j100  100 
200 x
200 x 

Muốn iAB cung pha với u AB thì thành phần ảo phải bằng 0
 x  200  0  x  200  L  200
200 200 2
L

 (H )
 100 

b) Ta có:

I AB


U 2
U 2
1
 x  j  x  200  
200 x
200 
U 2

tg1 

 ZC

 1  1  
R
4

23


Khoá luận tốt nghiệp

Do i1 sớm pha

Tăng Thị La - K29A Lý



so với u AB , i2 qua cuộn cảm trễ pha
so với u AB còn
4
2

i mạch chính cùng pha u AB , ta vẽ giản đồ
  
vectơ biểu diễn phương trình I  I1  I 2

trục u AB làm gốc.


ZL





200 2
 (H )
100 

b) Theo câu a) ta có giản đồ vectơ sau.
áp dụng định lý hàm số sin ta có:
I
I
sin 
 1  I  I1 
sin  sin 
sin 

Mà I1 

U
200

 2( A)  const
Z1 100 2
2
 
 sin   cos  1   cos   
 const

hình vẽ) có hiệu điện thế :
u AB  120 2 sin100 t (V ) ,

R  60 , bỏ qua điện trở ampe kế và của dây nối. Dòng điện qua cuộn cảm



là iL  2 2 sin 100 t   ( A)
3

a) Tính L, r và tìm số chỉ cho Ampe kế?
b) Thay R bằng tụ điện C thì cường độ dòng điện mạch chính i cùng pha với
hiệu điện thế u . Tính C và số chỉ cho bởi Ampe kế A?
Lời giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp số phức
*
u AB  120 2 sin100 t (V )  U AB
 120 2 (V )



i L  2 2sin(100 t  )
3

j



 i L*  2 2e 3  2 2  cos  j sin   2  j 6
3

2

Z 2* 

120 2
8





2  j 6  15 2  2  j15 12  30  j30 3

25