BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ LỆ KHUYÊN
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư
viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật
Lý, gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành
khoá luận này.

Sơn La, Tháng 4 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Lệ Khuyên

MC LC

PHN I: M U 1
I. Lý do chn ti 1
II. C s nghiờn cu 1
II.1. C s lý lun 1
II.2. C s thc tin 2
III. Mc ớch ca ti 3
IV. Nhim v ca ti 3
V. i tng nghiờn cu v khỏch th nghiờn cu 3
V.1. i tng nghiờn cu 3
V.2. Khỏch th nghiờn cu 3
VI. Phng phỏp nghiờn cu 3
VI.1. Phng phỏp nghiờn cu lý thuyt 3
VI.2. Phõn loi bi tp, vn dng lý thuyt vo gii cỏc bi toỏn c th ca
mch in xoay chiu 3
VII. Phm vi nghiờn cu 3
VIII. Gi thuyt khoa hc 4
IX. Cu trỳc ca ti 4

12
III.4. Biu din cỏc nh lut kirchhoff di dng s phc 12
III.4.1. nh lut kirchhoff 1 12
III.4.2. nh lut kirchhoff 2 13
III.5. Cỏch thnh lp s phc 13
III.6. Mt s phng phỏp phõn tớch mch in 14
III.6.1. Phng phỏp dũng in nhỏnh 14
III.6.2. Phng phỏp dũng in vũng 14
III.6.3. Phng phỏp in ỏp hai nỳt 15
III.6.4. Phng phỏp tớnh mch cú ngun chu kỡ khụng sin 15
CHNG 2: P DNG PHNG PHP S PHC GII MT S BI
TON MCH IN XOAY CHIU 16
Dng 1: i vi mch khụng phõn nhỏnh 16
I. Bi tp mu 16
II. Bi tp t gii 31
III. ỏp s 32
Dng 2: i vi mch phõn nhỏnh 33
I. Bi tp mu 33
II. Bài tập tự giải 57
III. Đáp số 59
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 60
III.1. Kết luận 60
III.2. Kiến nghị 60
TÀI KIỆU THAM KHẢO 61

1
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập, việc giải bài tập là một khâu quan trọng không thể
thiếu. Tuy nhiên, đứng trước mỗi bài tập đều có nhiều phương pháp để giải,

2
* Các bước chung để giải một bài tập Vật lý
Bài tập Vật lý rất đa dạng cho nên phương pháp giải rất phong phú, tuy
nhiên có thể vạch ra một dàn ý chung gồm các bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài
- Đọc, ghi ngắn gọn các dữ kiện xuất phát và cái cần tìm. Có thể minh họa
bằng hình vẽ.
Bước 2: Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái cần tìm
- Đối chiếu các dữ liệu xuất phát và cái cần tìm xem xét bản chất Vật lý của
những tình huống đã cho để xác định các kiến thức, các định luật, các công thức
liên quan.
- Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái cần tìm.
- Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ cần thiết, tối thiểu sao cho thấy được
mối liên hệ giữa cái cần tìm với các dữ liệu xuất phát từ đó rút ra cái cần tìm.
Bước 3: Rút ra cái cần tìm
- Từ mối liên hệ cần thiết đã xác lập tiếp tục luận giải để rút ra kết luận cần
thiết.
Bước 4: Kiểm tra đánh giá
Các phương pháp đánh giá:
- Kiểm tra tính toán đã đúng chưa.
- Kiểm tra thứ nguyên có phù hợp không.
- Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem có phù hợp không.
- Giải bài toán theo cách khác xem có trùng kết quả không.
Đó là các bước chung nhất trong quá trình giải một bài tập Vật lý.
Tuy nhiên trong mỗi bài toán cụ thể không nhất thiết phải tuân theo tất cả
các bước mà có thể kết hợp các bước sao cho phù hợp.
II.2. Cơ sở thực tiễn
Phương pháp lượng giác và phương pháp đồ thị được ứng dụng rộng rãi khi
nghiên cứu mạch điện hình sin. Nó giúp biểu diễn rõ ràng trị số hiệu dụng, góc
pha, góc lệch pha, rất thuận tiện khi minh họa, so sánh và giải các mạch điện

VI.2. Phân loại bài tập, vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán cụ thể
của mạch điện xoay chiều
VII. Phạm vi nghiên cứu
Trong phạm vi của khóa luận cho phép tôi chọn kiến thức mạch điện xoay
chiều phân nhánh và mạch điện xoay chiều không phân nhánh: Cho các thông số
của mạch điện R, L, C, e ,cường độ dòng điện hoặc hiệu điện thế trong mạch

4
chính và sơ đồ mạch điện để từ đó tính cường độ dòng điện hiệu dụng, viết biểu
thức cường dộ dòng điện, hiệu điện thế hiệu dụng, biểu thức hiệu điện thế, công
suất.
VIII. Giả thuyết khoa học
Đối với việc giải bài tập Vật lý, đặc biệt là bài toán về mạch điện xoay
chiều phức tạp nếu lựa chọn được phương pháp giải thích hợp thì việc giải bài
toán sẽ trở nên đơn giản và hiệu quả hơn.
IX. Cấu trúc của đề tài
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Áp dụng phương pháp số phức giải một số bài toán mạch điện
xoay chiều
Phần III: Kết luận và đề nghị
X. Kế hoạch thực hiện đề tài
+ Từ 09/2012 → 11/2012: Đọc, sưu tầm tài liệu và viết đề cương
+ Từ 11/2012 → 12/2012: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở lý thuyết
+ Từ 12/2012 → 02/2013: Phân loại và chia ra phương pháp giải cụ thể cho
một số dạng bài tập
+ Từ 02/2013 → 04/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo
+ Từ 04/2013 → 05/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa luận
+ Từ 05/2013 → 06/2013: Bảo vệ khóa luận


1 1 1
z = x , y
và

2 2 2
z = x , y
đ-ợc coi là bằng nhau
12
12
x = x
y = y





Số phức dạng

z = x, 0
nghĩa là số phức có thành phần ảo bằng 0 đ-ợc
coi nh- trùng với số thực
x
và điểm t-ơng ứng của nó trên mặt phẳng xOy nằm
trên trục hoành. Trên cơ sở đó trục hoành của mặt phẳng Đềcac xOy còn gọi là
trục thực.
Số phức dạng

z = 0, y
nghĩa là số phức có phần thực bằng 0, ứng với

x
x
O

z
r
Hỡnh 1
Dựa vào kí hiệu này ta có thể đ-a ra một dạng khác của số phức gọi là dạng
đại số.
Nh- ta đã biết

x,0 = x
với
x
. Dựa vào định nghĩa của phép nhân ta có

2
j = 0,1 . 1,0 = -1,0 = -1 1

Tính chất đặc biệt của tập hợp số phức: bình ph-ơng của một số thuần ảo
lại là một số thực.
Tính chất khác nữa: mọi số thuần ảo đều có thể coi nh- tích của đơn vị ảo
với một số thực có giá trị bằng phần ảo


0,y = 0,1 y,0 = jy

Dựa vào (1) và (2) ta có thể viết số phức bất kì

z = x,y

Ozz0
. Góc

gọi là acgumen của số phức z.
Về hình học, một số phức z đ-ợc xác định hoàn toàn bởi hai đại l-ợng là
r

và

. Chúng đ-ợc gọi là toạ độ cực của số phức z.
Kí hiệu:
r = z
= Argz




Chú ý: Môđun của số phức đ-ợc xác định duy nhất còn acgumen đ-ợc xác
định sai khác một bội của
2
.

7
Theo hình 1 ta có:
x = rcos
y = rsin


cos + jsin = e
.
Số phức z còn đ-ợc viết d-ới dạng:
j
z = r.e
.
I.4. Cỏc phộp tớnh trờn tp hp s phc
I.4.1. Phộp cng, phộp tr
Khi thc hin phộp cng hoc phộp tr cỏc s phc ta nờn a s phc v
dng i s ri cng (tr) phn thc vi phn thc, phn o vi phn o.
Xột 2 s phc: z
1
= x
1
+ jy
1
v z
2
= x
2
+ jy
2
ta cú:
z
1
+ z
2
= (x
1
+ jy

) = (x
1
- x
2
) + j(y
1
- y
2
)
I.4.2. Phộp nhõn, phộp chia
Khi thc hin phộp nhõn hoc phộp chia s phc ta nờn a s phc v
dng s m ri nhõn (chia) mụum cho nhau, cũn acgumen thỡ cng hoc tr vi
nhau.
Xột 2 s phc: z
1
= A
1
j
e
v z
2
= B.
2
j
e
ta cú:
z
1
.z
2

Xét 2 số phức: z
1
= x
1
+ jy
1
và z
2
= x
2
+ jy
2
ta có:
+ Phép nhân: z
1
.z
2
= = (x
1
+ jy
1
).(

x
2
+ jy
2
) = (x
1
.x


Giả sử có số phức:
±jφ
z=A.e
Ta có:
±jφ
z=A.e
.
±jα
e
=
±j(φ ± α)
A.e

Tức là khi nhân một số phức với
jα
e
ta quay véc tơ biểu diễn số phức ấy đi
một góc
α
ngược chiều quy kim đồng hồ.
Khi nhân số phức với
-jα
e
ta quay véc tơ biểu diễn số phức ấy đi một góc
α

cùng chiều kim đồng hồ.
I.4.4 Nhân số phức với
±j

x = A cos ω t + α

 
1 2 2 2
x = A cos ω t + α

Tæng hai d®®h cïng ph-¬ng:
   
1 2 1 1 1 2 2 2
x = x + x = A cos ω t + α + A cos ω t + α

NÕu hai dao ®éng cïng biªn ®é : A
1
= A
2
= A

9
1 2 1 2 1 2 1 2
+ + - -
x = 2Acos t + .cos t +
2 2 2 2




Đặc biệt khi hai dao động cùng tần số
12
= =
thì

trình

x = Asin t +
.
ở điện học, trong ph-ơng pháp này các đại
l-ợng vô h-ớng nh- c-ờng độ dòng điện, hiệu điện thế, đ-ợc biểu diễn bằng
các vectơ . Các vectơ này có độ lớn bằng biên độ
0
I
,
0
U
của các đại l-ợng biến
thiên I, U t-ơng ứng. Các vectơ
0
I
,
0
U
đó vẽ chung một góc và lệch pha nhau
một góc bằng

bằng hiệu số pha giữa chúng và chúng quay ng-ợc chiều kim
đồng hồ với vận tốc t-ơng ứng. Các giá trị tức thời của dòng điện và hiệu điện
thế tại mỗi thời điểm sẽ tìm đ-ợc nhờ chiếu vectơ
0
I
và
0
U

hoặc

j t +
a = Ae-
hay cũng có thể viết d-ới
dạng:

a = Aexp j t+
hoặc a = Aexp -j t+

Khi hai dđđh đ-ợc biểu diễn bằng những phần thực của hai số phức a và b
và gọi số phức c là tổng của a và b thì phần thực của c biểu diễn tổng hợp của hai
dai động nói trên. Số
-j
a = Ae
là liên hợp phức của
-j
a = Ae
ta có:
j -j 2
aa = Ae . Ae = A .

III. Phng phỏp dựng s phc gii bi toỏn mch in xoay chiu
III.1. Biu din cỏc i lng U,I di dng s phc
a. Đối chiếu công thức ơle với ph-ơng trình của dao động điện từ ta thấy
một đại l-ợng biến thiên điều hoà theo thời gian


biến thiên điều hoà mà ta xét.
Nh- vậy, nếu hiệu điện thế có biểu thức
u = 100 2sin100t
(V) thì nó
đ-ợc biểu diễn bằng số phức
U=100 2
(V) vì
= 0
.
Nếu c-ờng độ dòng điện có dạng:

i = 5 2sin 100t +
4



(A)
thì nó đ-ợc biểu diễn bằng số phức :


j
4
I = 5 2e = 5 + j5 A

Và ng-ợc lại, nếu có
U=100 2
(V) thì ta có thể viết biểu thức


u = 100 2 sin100t = 100 2cos 100t - V

X
gắn với
L
u
,
C
X
gắn với
C
u
nên tổng trở
Z
của mạch RLC ghép nối tiếp cũng đ-ợc biểu diễn bằng một số phức:
LC
Z Z=R + j(X -X )

b. Khi đó định luật Ôm cho đoạn mạch RLC ghép nối tiếp đ-ợc viết d-ới dạng.
U
I=
Z
hay
U=I.Z

Nếu mạch gồm nhiều đoạn ghép nối tiếp thì:
12
Z=Z +Z +
,
12
U=U +U +


trong các bài toán mạch điện không đổi. Chẳng hạn:
Bin i t hỡnh tam giỏc sang hỡnh sao:
12 31
1
12 23 31
ZZ
Z=
Z +Z +Z
;
12 23
2
12 23 31
ZZ
Z=
Z +Z +Z
;
23 31
3
12 23 31
ZZ
Z=
Z +Z +Z

Bin i t hỡnh sao sang hỡnh tam giỏc:
12
12 1 2
3
Z .Z
Z = Z + Z +
Z

di
dt
j


III.3. Biu din tớch phõn
idt


Nu
i= 2.Isint
c biu din bng dũng in phc thỡ tớch phõn
t
0
I 2 I 2
idt= .cost = .sin(t - )
2

.
Vy tớch phõn
idt

c biu din di dng s phc:
(-j)
=
j
II

III.4. Biu din cỏc nh lut kirchhoff di dng s phc
III.4.1. nh lut kirchhoff 1

dạng:
ZI = E


Tổng trở phức
Z
có phần thực là điện trở R và phận ảo là điện kháng
Biểu thức nghịch đảo của tổng trở phức được gọi là tổng dẫn phức và kí
hiệu bằng
Y
:
1
Y=
Z

Các tổng trở phức
Z
và tổng dẫn phức
Y
thường có thêm dấu gạch ở trên
để phân biệt với môđun của chúng là Z và Y. Nhờ cách biểu diễn các đại lượng
sin bằng số phức ta đã chuyển được các phương trình vi, tích phân dưới dạng tức
thời thành phương trình đại số với các số phức. Nhờ đó có thể xây dựng các
phương trình tổng quát để tính toán các mạch điện phức tạp ở chế độ xác lập sin
một cách thuận tiện.
III.5. Cách thành lập sơ đồ phức
Trong trường hợp sơ đồ mạch đã cho dạng tức thời phải tìm sơ đồ phức
tương đương (đại số hóa sơ đồ mạch) ta thực hiện như sau:
- Điện trở R khi chuyển sang sơ đồ phức được giữ nguyên.
- Điện cảm L khi chuyển sang sơ đồ phức được thay bằng

hình sin). Có thể tiếp tục tìm điện áp hay công tùy thuộc vào yêu cầu bài toán.
III.6.2. Phương pháp dòng điện vòng
Gọi m là số nhánh, n là số nút do đó số vòng độc lập cần phải chọn là m - n
+ 1
Các bước giải theo phương pháp dòng điện vòng:
Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh và dòng điện vòng.
Bước 2: Lập m - n + 1 phương trình dòng điện vòng.
Bước 3: Giải hệ m - n + 1 phương trình tìm dòng điện vòng.
Bước 4: Từ các dòng điện vòng tìm được, suy ra các dòng điện nhánh.
Bước 5: Biện luận nếu giá trị tìm được của dòng điện ở một thời điểm nào
đó lớn hơn 0 thì chiều ta chọn là đúng, ngược lại nếu giá trị tìm được của dòng
điện là nhỏ hơn 0 thì chiều của dòng điện ngược với chiều ta đã chọn.
Chú ý:
+ Khi lập hệ phương trình dòng điện vòng ta cần vận dụng định luật
kirchhoff 2 cho một vòng như sau: Tổng đại số điện áp rơi trên các tổng trở của
vòng do các dòng điện vòng gây ra bằng tổng đại số các sức điện động của
vòng. Trong đó các dòng điện vòng, các sức điện động có chiều trùng với chiều
đi của vòng lấy dấu dương, ngược lại lấy dấu âm.
+ Sau khi tính được các dòng điện vòng thì dòng điện trong các nhánh
được tính như sau: Dòng điện của một nhánh bằng tổng đại số các dòng điện

15
vòng qua nhánh ấy, trong đó dòng điện vòng nào có chiều trùng với chiều dòng
điện nhánh lấy dấu dương, ngược lại lấy dấu âm.
III.6.3. Phương pháp điện áp hai nút
Phương pháp này áp dụng cho nhiều nhánh nối song song vào hai nút.
Các bước giải theo phương pháp điện áp hai nút:
Bước 1: Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh và điện áp hai nút, chọn một
nút tiện nhất làm chuẩn và coi là có điện thế bằng số 0.
Bước 2: Tìm điện áp hai nút theo công thức:



Khai triển biểu thức trên và lấy tích phân ta được:
2 2 2 2
0 1 2 k
I= I +I +I + +I
16
CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
Dạng 1: Đối với mạch không phân nhánh
I. Bài tập mẫu
Bài 1: Cho mạch điện xoay chiều gồm 3 phần tử mắc nối tiếp với nhau,
điện trở thuần
R=8(Ω)
. Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm
1
L = (H)
80π
, một tụ
điện có điện dung
-4
10
C = (F)
8π


Tổng trở phức của đoạn mạch:
o
AB L C
-j61
Z = R + j(X - X ) = 8 + j(25 - 40)
= 8 + j25 - j40 = 8 - j15 = 17.e

Dòng điện hiệu dụng phức trong mạch:
o
o
o
j0
j61
AB
AB
-j61
AB
U
34 34.e
I = = = = 2.e = 0,96 + j.1,75(A)
Z 8- j.15
17.e17
Từ biểu thức của
AB
I
ta có thể rút ra trị số hiệu dụng, góc ban đầu và trị số

62π
U = 16(V); φ = 61 = (rad)
180


Biểu thức tức thời:
o
R R R
u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 16 2.sin(2000πt + 61 )
62π
= 16 2.sin(2000πt + )(V)
180

+ Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu cuộn cảm:
o
-j28
L AB L
U = I .(jX ) = (0,96 + j.1,75).(j25) = -43,75 - j.24 = 50.e (V)

Từ biểu thức của
L
U
ta rút ra được:
o
LL
28,6π
U = 50(V); φ = -28 = - (rad)
180



u = U . 2.sin(t + ) = 80 2.sin(2000t - 28 )
28,6
= 80 2.sin(2000t - )(V)
180

Bi 2: Một mạch điện gồm điện trở thuần

R = 75
mắc nối tiếp với
cuộn cảm có độ tự cảm

5
L = H
4
và với một tụ điện có điện dung

-3
10
C = F
5
. Dòng điện xoay chiều chạy trong mạch có biểu thức

i = 2 2sin 100t A
.
1. Viết biểu thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu điện trở, giữa hai cuộn
cảm, giữa hai đầu tụ điện.
2. Viết biểu thức tức thời của hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch.
- Gii -

Theo bi ra ta cú:

R
U
ta rỳt ra c tr s hiu dng, pha ban u v tr s
tc thi ca hiu in th gia hai u in tr:

19
o
RR
U = 150(V) ; φ = 0


Biểu thức tức thời:
R R R
u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 150 2.sin(100πt)(V)

+ Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu cuộn cảm:
o
j90
LL
U = I.jX = 2.(j125) = j250(V) = 250.e (V)

Từ biểu thức của
L
U
ta rút ra được:
o
LL
π
U = 250(V) ; φ = 90 = (rad)
2

u = U . 2.sin(ωt + φ ) = 100 2.sin(100πt - 90 )
π
= 100 2.sin(100πt - )(V)
2

2. Ta có tổng trở phức của đoạn mạch:
o
j45
AB L C
Z = R + j(X - X ) = 75 + j(125 - 50) = 75 + j75 = 75 2.e (Ω)

Hiệu điện thế hiệu dụng phức giữa hai đầu đoạn mạch:
o
j45
AB AB
U = I.Z = 2.(75 + j75) = 150 + j150 = 150 2.e (V)

Từ biểu thức của
AB
U
ta rút ra được: