BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ
MINH

Đoàn Thị Ri A

BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
PHI TUYẾN HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ
MINH

Đoàn Thị Ri A

BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
PHI TUYẾN HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN


CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI
CHIỀU ..................................................................................................................................................... 18
2.1 Giới thiệu bài toán: ...................................................................................................................... 18
2.2 Các định lí về tính giải được của bài toán (2.1), (2.2): ................................................................ 22
2.3 Tính giải được của bài toán biên dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến
đối số lệch hai chiều:.......................................................................................................................... 52
2.4 Các ví dụ và phản ví dụ: ................................................................................................................ 58
KẾT LUẬN................................................................................................................................................ 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................................................. 70


=

( −∞, +∞ ) , =+ [0, +∞ ) ,

CÁC KÍ HIỆU
I = [ a, b ]

 n : là không gian vectơ n cột x = ( xi )i =1 với các thành phần xi ∈ 
n

1, 2,..., n )
(i =

n

và chuẩn x = ∑ xi ;
i =1

Nếu x = ( xi )i =1 thì sgn ( x ) = ( sgn xi )i =1

}

trang bị với=
chuẩn u C max u ( t ) : t ∈ [ a, b ] .

C ([ a, b ] ;  ) : tập những hàm liên tục tuyệt đối u : ,
→R.
[ a b] 
C loc ([ a, b ] ;  ) : tập những hàm u : ,
→ R sao cho u ∈ C ([ a, β ] ;  ) với mỗi
[ a b] 

β ∈ ( a, b ) .
C ([ a, b ] ;  n ) : là không gian của những vectơ hàm liên tục x : [ a, b ] 
→  n với

{

}

chuẩn: x C max x ( t ) : t ∈ [ a, b ] .
=

L ([ a, b ] ;  ) : Không gian Banach những hàm khả tích Lebesgue h : ,
→
[ a b] 
a

được trang bị chuẩn h


, ∀t ∈ [ a, b ]

K ([ a, b ] × A; B ) : với A ⊆  m  ( m ∈  ) và B ⊆  , là tập những hàm
f : [ a, b ] × A 
→ B thoả mãn điều kiện Caratheodory, tức là:

i)

f (., x ) : ,
→ B là hàm đo được ∀x ∈ A .
[ a b] 

ii)

f ( t ,.) : A 
→ B là hàm liên tục với mỗi t ∈ [ a, b ] .

iii)

Với mỗi r > 0 , tồn tại một hàm qr ∈ L ([ a, b ] ;  + ) sao cho:
f ( t , x ) ≤ qr ( t ) , với mỗi t ∈ [ a, b ] , ∀x ∈ A, x ≤ r .

=
[ x ]+

x +x
=
, [ x ]−
2


)

x2 ( a ) = ϕ2 ( x1 , x2 )

(

)

(

)

→ L [ a, b ];  là toán tử liên tục.
Với F1 , F2 : C [ a, b ];  × C [ a, b ];  
→  là phiếm hàm liên tục.
ϕ1 ,ϕ2 : C ([ a, b ];  ) × C ([ a, b ];  ) 
Nghiệm của bài toán trên là cặp ( x1 , x2 ) là hàm liên tục tuyệt đối trên [ a, b ]
thỏa mãn x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ; x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t ) hầu khắp nơi trên [ a, b ] và
thoả điều kiện biên x1 ( a ) = ϕ1 ( x1 , x2 ) ; x2 ( a ) = ϕ 2 ( x1 , x2 ) .


Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của hệ
phương trình vi phân hàm phi tuyến.
Trong chương 2, dựa trên các kết quả của chương 1, chúng ta xây dựng các
điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của “Bài toán dạng Cauchy cho hệ
phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều”.
Luận văn là tài liệu tham khảo cho những người quan tâm nghiên cứu về bài
toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai chiều. Những kết
quả chính có thể được ứng dụng cho trường hợp hệ được xét đến là hệ phương trình

}

≤ ρ < +∞

Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến:

dx ( t )
= f ( x )( t )
dt

(1.1)

h( x) = 0

(1.2)

Với điều kiện biên:

Nghiệm của phương trình (1.1), chúng ta hiểu là một vectơ hàm liên tục tuyệt
đối x : I 
→  n hầu khắp nơi trên I thỏa phương trình này, và nghiệm của bài toán
(1.1), (1.2) chúng ta hiểu là một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa (1.2).
Mục đích chính của phần này là xây dựng các điều kiện đủ cho sự tồn tại
nghiệm của bài toán trên.
Các kết quả chính của chương này được trích từ các kết quả của hai nhà toán
học
I. Kiguradze and B. Puza, trong tài liệu [15]. Ngoài ra, một số kết quả lấy từ tài liệu
[16] và [20].
Để làm thành kết quả chính của chương 1, ta cần những định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1:

)

)

→  n là tuyến tính.
và l ( x,.) : C I ;  n 
(ii)

(

)

Với mỗi x, y ∈ C I ;  n và ∀t ∈ I bất đẳng thức:

(

p ( x, y )( t ) ≤ α t , x

C

)

(

l ( x, y ) ≤ α 0 x

y C,

được thực hiện, với


dt

l ( x, y ) =
c0

(1.3)

thì y ( t ) thỏa đánh giá:

y

C

≤ β ( c0 + q

L

)

(1.4)

Định nghĩa 1.2 (xem tài liệu [20]):

(

) (

)

(


)

→  n là toán tử tuyến
và l0 : C I ;  n 

thuộc tập

ε pn ,l

nếu tồn tại một dãy


xk ∈ C ( I ;  n )

1, 2,...) sao cho
(k =

(

)

(

) (

với mỗi y ∈ C I ;  n

những điều kiện sau


→  n là
Giả sử p : C I ;  n × C I ;  n 
hai toán tử liên tục. Ta nói rằng cặp ( p, l ) thuộc lớp Opial

00n

nếu thỏa các điều

kiện sau:
(i)

(

)

(

)

(

→ L I ; n
Với mỗi x ∈ C I ;  n cố định, toán tử p ( x,.) : C I ;  n 

(

)

)



(1.5)


Định nghĩa 1.4:

(

)

(

)

→ L I ;  n được gọi là bị chặn mạnh nếu tồn
Toán tử tuyến tính p0 : C I ;  n 

(

)

→  + sao cho: với mọi y ∈ C I ;  n , bất đẳng thức
tại một hàm khả tích α : I 
p0 ( y )( t ) ≤ α ( t ) y

C

được thực hiện hầu khắp nơi trên I.

1.2 Tính giải được của bài toán (1.1), (1.2):

1

s

σ ( s ) = 2 −
ρ

0

,0 ≤ s ≤ ρ
, ρ < s < 2ρ
, s ≥ 2ρ

(1.9)


(

q ( x )( t ) = σ x

(

c0 ( x=
) σ x

C

C

)  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t ) ,

≤ sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x
≤ sup f ( x )( t ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x

}

}

x ∈ C ( I ;  n ) , ∀t ∈ I

(

=
σ x
c0 ( x )

C

) l ( x, x ) − h ( x )

≤ l ( x, x ) + h ( x )

{

≤ 2 ρα 0 ( 2 ρ ) + sup h ( x ) : x ∈ C ( I ;  n ) , x

C

}

(

}

)

Khi đó: γ ∈ L ( I ;  ) , γ 0 < +∞ và với mỗi x ∈ C I ;  n và ∀t ∈ I , các bất đẳng
thức sau thỏa mãn:
q ( x )( t ) ≤ γ ( t ) ,

c0 ( t ) ≤ γ 0

(1.11)


(

)

Với x tùy ý thuộc C I ;  n cố định, xét bài toán biên cho hệ phương trình tuyến
tính:

dy ( t )
= p ( x, y )( t ) + q ( x )( t ) ,
dt
l ( x, y ) = c0 ( x )

(1.12)

Do ( p, l ) là cặp nhất quán nên theo điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.1, tồn tại β > 0

(

Từ các điều kiện (i), (ii) của Định nghĩa 1.1 và bài toán (1.13) chỉ có nghiệm tầm
thường nên các giả thiết của Định lí 1 trong [16] thỏa mãn. Do đó theo Định lí 1
trong [16] suy ra bài toán (1.12) có nghiệm duy nhất.
Mặt khác, do điều kiện (i), (ii) từ Định nghĩa 1.1 và bất đẳng thức (1.11), nghiệm

y của bài toán (1.12) thỏa đánh giá:
y

(

C

β γ0 + γ
với ρ 0 =

≤ ρ0 ,

L

),

y′ ( t ) ≤ γ * ( t ) ,

∀t ∈ I

γ * (t ) =
α ( t , ρ0 ) ρ0 + γ ( t ) .

(1.14)


{

(

)

x ∈ C I ; n : x
Vậy toán tử u là ánh xạ liên tục từ quả cầu Cρ0 =

C

}

≤ ρ 0 vào tập

Compact của chính nó. Do đó, theo Định lí Schauder, tồn tại x ∈ Cρ0 sao cho:

u ( x )( t ) = x ( t ) , với t ∈ I . Vậy x là nghiệm của bài toán (1.12).
Từ đẳng thức (1.10) và bài toán (1.12), rõ ràng x là một nghiệm của bài toán (1.6),
(1.7), với λ = σ

(x )
C

Theo giả thiết của Định lí suy ra: x

(

C



Hệ quả 1.7:

(

)

(

)

→ L I ; n ,
Giả sử tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn mạnh p0 : C I ;  n 

(

)

→  n sao cho bài toán:
một toán tử tuyến tính bị chặn l0 : C I ;  n 
dy ( t )
= p=
l0 ( y ) 0
0 ( y )( t ) ,
dt

(1.5)

chỉ có nghiệm tầm thường và tồn tại số ρ > 0 sao cho với mỗi λ ∈ [ 0,1] , với mọi
nghiệm x ( t ) của bài toán:

Mặt khác, ( p0 , l0 ) ∈ ε p ,l (do p ( x, y ) và l ( x, y ) không phụ thuộc vào x ) và ( p0 , l0 )
n

thỏa điều kiện bài toán (1.5) chỉ có nghiệm tầm thường, suy ra ( p0 , l0 ) thỏa điều
kiện (iii’) của Định nghĩa 1.3.
Do đó ( p, l ) ∈ 00 . Từ đó theo Hệ quả 1.6 thì bài toán (1.1), (1.2) là giải được.
n




CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN HAI CHIỀU
2.1 Giới thiệu bài toán:
Trong chương 2 ta áp dụng các kết quả của chương 1 để nghiên cứu sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến hai
chiều. Trên đoạn [ a, b ] , xét bài toán:

x1′ ( t ) = F1 ( x1 , x2 )( t ) ;

x2′ ( t ) = F2 ( x1 , x2 )( t )

(2.1)

x2 ( a ) = ϕ 2 ( x1 , x2 )

(2.2)

Với điều kiện biên dạng Cauchy:



z ( t ) = 0 với t ∈ [ a, b0 ]
thì ta có:

l ( z )( t ) = 0 với mỗi t ∈ [ a, b0 ]
Ví dụ :
Toán tử l ∈ ab được định nghĩa như sau:
l ( z )( t ) = h ( t ) z (τ ( t ) ) với mỗi t ∈ [ a, b ] và ∀z ∈ C ([ a, b ] ;  )

với h ∈ L ([ a, b ] :  ) và τ : ,
→ [ a, b ] là hàm đo được.
[ a b] 
là một toán tử a – Volterra khi và chỉ khi h ( t ) (τ ( t ) − t ) ≤ 0 với mỗi t ∈ [ a, b ] .
Định nghĩa 2.3:

→ L ([ a, b0 ] ;  ) định
Giả sử l ∈ ab và b0 ∈ [ a, b ] . Toán tử l ab0 : C ([ a, b0 ] ;  ) 
nghĩa như sau:


l ab0 ( z )( t ) = l ( z )( t ) với mỗi t ∈ [ a, b0 ] , ∀z ∈ C ([ a, b0 ] ;  ) , với

t ∈ [ a b0 ]
 z ( t ) , ,
z ( t ) = 
t ∈ [b0 b ]
 z ( b0 ) , ,
gọi là sự thu hẹp của toán tử 𝑙 vào không gian C ([ a, b0 ] ;  ) .

(

Nếu ( l1 , l2 ) ∈ S
ab ( a ) thì ta nói rằng định lí yếu của bất đẳng thức vi phân thoả cho

l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ;
hệ x1′ ( t ) =

x2′ ( t ) =
l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t ) ,


với l1 , l2 : C ([ a, b ] ;  ) 
→ L ([ a, b ] ;  ) là toán tử tuyến tính bị chặn,
q1 , q2 ∈ L ([ a, b ] ;  ) , c1 , c2 ∈  .

Chú ý 2.6:
Xét bài toán tuyến tính:

x1′ ( t ) =
l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ,

x2′ ( t ) =
l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t )

(2.3)

x1 ( a ) = c1 ,

x2 ( a ) = c2

(2.4)

2 ∈ [ +∞ ] sao cho với c1* , c2* ∈  + tùy ý và q1* , ,
q2* ∈ L ([ a b ] ;  + ) , mỗi cặp hàm
x1 , ,
x2 ∈ C ([ a b ] ;  ) thỏa những điều kiện:


xi ( a ) ≤ ci* , với i = 1, 2

(2.5)

 x1′ ( t ) − p ( x2 )( t )  sgn  x1 ( t ) ≤ q1* ( t ) , với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.6)

 x2′ ( t ) − g ( x1 )( t )  sgn   
x2 ( t ) ≤ l ( x1 ) ( t ) + q2* ( t ) , với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.7)

Và

Khi đó x1 , x2 thỏa đánh giá:

x1

C

+ x2

C


sup Fi ( u1 , u2 )(.) : ,
u1 u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) ,  
u1 C + u2 C ≤ r ∈ L ([ a, b ] ;  + ) .

được thoả mãn với mỗi r > 0 và i = 1, 2 .

( H2 )

ϕ1 ,ϕ 2 : C ([ a, b ] ;  ) × C ([ a, b ] ;  ) 
→  là hàm liên tục sao cho:

{

sup ϕi ( u1 , u2 ) : ,
u1 u2 ∈ C ([ a, b ] ;  ) , 
u1

C

+ u2

C

}

≤ r < +∞

được thoả mãn với mỗi r > 0 và i = 1, 2 .
2.2 Các định lí về tính giải được của bài toán (2.1), (2.2):


+ u2

C

),

với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.10)

Và

 F3− k ( u1 , u2 )( t ) − g 0 ( uk ) ( t ) + g1 ( uk ) ( t )  .sgn  u3− k ( t ) ≤

(

≤ ω3−k t , u1

C

+ u2

C

)

với mỗi t ∈ [ a, b ]

(2.11)


∫ g (1)( s ) ds
i

, với i = 1, 2 .

(2.14)

a

Thì bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm.
Chú ý:
Hai bất đẳng thức trong (2.13) dấu “=” không thể xảy ra (xem phản Ví dụ 2.29 và
phản Ví dụ 2.30).
Để chứng minh định lí trên ta cần các bổ đề bổ trợ sau:
Bổ đề 2.9: (xem [15], Hệ quả 3)
Giả sử tồn tại những toán tử p, g ∈ ab và một số  > 0 sao cho bài toán thuần nhất:

x1′ ( t ) = p ( x2 )( t ) ;

x2′ ( t ) = g ( x1 )( t )

(2.15)


x1 ( a ) = 0;

x2 ( a ) = 0 

(2.16)

+ x2

C

≤

(2.20)

Khi đó bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh: Kết quả trên được suy trực tiếp từ Hệ quả 1.7, Chương 1, cụ thể
trong trường hợp hai chiều.



Bổ đề 2.10:
Giả sử các giả thiết ( H1 ) và ( H 2 ) được thỏa mãn và tồn tại một bộ ba

( p, g , l ) ∈ ab sao cho với u1 , u2 ∈ C ([ a, b];  ) bất kỳ, các bất đẳng thức sau được
thực hiện:

ϕi ( u1 , u2 ) sgn  ui ( a ) ≤ ηi ( u1 C + u2

(

C

) , với i = 1, 2

 F1 ( u1 , u2 )( t ) − p ( u2 )( t )  sgn u1 ( t ) ≤ ω1 t , u1


(2.22)


b

1
lim ηi ( r ) + ∫ ωi ( s, r ) ds  =
0 , với i = 1, 2
r →+∞ r
a



(2.12)

Thì bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh:
Do ( p, g , l ) ∈ ab và l ∈ ab nên bài toán thuần nhất (2.15), (2.16) chỉ có nghiệm
tầm thường.
Giả sử 1 , 2 là những số trong Định nghĩa 2.1,
b

1
Do lim ηi ( r ) + ∫ ωi ( s, r ) ds  =
0 , với i = 1, 2 tồn tại  > 0 sao cho:
r →+∞ r
a




x2′ ( t ) g ( x1 )( t ) + σ  F1 ( x1 , x2 )( t ) − g ( x1 )( t )  , với  ,

(2.18)

=
x1 ( a ) σϕ
=
σϕ2 ( x1 , x2 )
1 ( x1 , x2 ) ,  x2 ( a )

(2.19)

Khi đó, từ (2.9) ta có:

(

x=
xi ( a ) sgn x=
σϕi ( x1 , sgn
x2 )
xi ( a ) ≤ ηi x1
i (a)
i (a)

C

+ x2

C