BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN XUÂN HÙY
TẬP HÚT TOÀN CỤC
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TOÁN TỬ HILLE-YOSIDA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN XUÂN HÙY
TẬP HÚT TOÀN CỤC
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TOÁN TỬ HILLE-YOSIDA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Đình Kế
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy TS. Trần
Đình Kế, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác
giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm
túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Trần Đình Kế trong suốt quá trình
tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết
tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn
các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu,
Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ
kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học

Nghiên cứu lý thuyết ổn định đối với phương trình vi phân là một chủ
đề có tính thời sự, được khởi xướng từ những năm đầu của thế kỷ 20 và
đã đạt được nhiều thành tựu quan trọng. Trong vài thập kỷ trở lại, lý
thuyết ổn định được tiếp tục phát triển cho phương trình đạo hàm riêng
với các khái niệm mới. Một trong những khái niệm quan trọng được xây
dựng là khái niệm tập hút toàn cục cho hệ động lực sinh bởi các phương
trình nói trên. Nó cho phép nghiên cứu dáng điệu nghiệm khi thời gian
ra vô cùng. Luận văn tập trung nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục
cho hệ động lực sinh bởi một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính
chứa trễ với toán tử Hille-Yosida:
u

(t) ∈ Au(t) + F (u(t), u
t
), t ≥ 0;
u
0
= ϕ ∈ C,
với C = C([−h, 0]; X) là không gian các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0]
lấy giá trị trên không gian Banach X. Trong bài báo [33] kết quả về sự
tồn tại tập hút toàn cục được thiết lập cho trường hợp A sinh ra nửa
nhóm tích phân S(·) sao cho S

(·) là nửa nhóm compact, đồng thời hàm
phi tuyến F thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Trong luận văn này tôi sẽ
trình bày một kết quả mở rộng khi không có tính compact của nửa nhóm
S

(·) cũng như không có tính Lipschitz của F . Đề tài của luận văn được
chọn là: "Tập hút toàn cục cho phương trình vi phân hàm nửa tuyến

là hàm trễ, tức là u
t
(s) = u(t+s)
với s ∈ [−h, 0],
F là một hàm đa trị xác định trên một tập con của X × C([−h, 0], X).
Trong mô hình này của chúng ta, A : D(A) ⊂ X → X là một toán tử
tuyến tính thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, tức là tồn tại các hằng số
M ≥ 1, ω ∈ R sao cho (ω, +∞) ⊂ ρ(A) (giải thức của A) mà
(λI − A)
−n

L(X)
≤
M
(λ − ω)
n
, λ > ω,
trong đó  · 
L(X)
là chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Như
đã đề cập trong [29], trong rất nhiều bài toán phương trình vi phân nửa
tuyến tính, thành phần tuyến tính có thể nhận giá trị nằm ngoài D(A)
và ta phải nghiên cứu bài toán này trong một không gian lớn hơn. Điều
này dẫn tới việc ta phải xét các mô hình mà A xác định không trù mật.
Ta có thể tìm thấy trong [16] một số mô hình mà toán tử xác định không
trù mật.
Với giả thiết A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, có rất nhiều nghiên
cứu đề cập tới tính giải được và ổn định của các bài toán có dạng (1)-(2).
Ngoài ra, các kết quả cho trường hợp hàm F đơn trị có thể tìm thấy ở
[1, 2, 4, 18, 29]. Trong trường hợp bao hàm thức, chúng ta có kết quả của

có thể xem ở ví dụ trong chương cuối). Cũng cần nhấn mạnh rằng, bài
toán này được xét dưới dạng bao hàm thức vi phân, nó không chỉ là một
sự mở rộng tổng quát của mô hình phương trình, mà ta còn có thể coi
nó như một bài toán điều khiển mà ở đó, hàm điều khiển được cho dưới
dạng phản hồi.
Về cách tiếp cận, như chúng ta đã biết, để nghiên cứu dáng điệu của
hệ động lực đa trị sinh bởi phương trình vi phân không duy nhất nghiệm
hoặc bao hàm thức vi phân, có hai phương pháp thường được sử dụng
nhất, đó là phương pháp Nửa dòng tổng quát (được đưa ra bởi Ball
trong [7, 8]) và phương pháp Nửa dòng đa trị (được đưa ra bởi Melnik
5
và Valero trong [25]). Những đánh giá, so sánh về hai phương pháp này
được nêu trong [15]. Chúng ta cũng đề cập tới lí thuyết hút quỹ đạo được
phát triển bởi Chepyzov và Vishik ở [14], đây cũng là một công cụ rất
tốt để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các hệ đạo hàm riêng mà tính
duy nhất nghiệm không được bảo toàn. Trong tất cả các lược đồ này, có
một bước rất quan trọng trong việc chứng minh tồn tại tập hút đó là chỉ
ra tính compact tiệm cận của nửa dòng. Thông thường, tính chất này
thỏa mãn nếu nửa dòng sinh bởi thành phần chính (ví dụ, trong bài này
là S

(·)) là compact. Tuy nhiên, với các hệ đạo hàm riêng trong miền
không bị chặn thì yêu cầu như trên là không thực tế. Để khắc phục khó
khăn này, ta sử dụng cách tiếp cận bằng các ước lượng cho độ đo không
compact. Gọi G(t, ·) là nửa dòng đa trị sinh bởi (1)-(2), nghĩa là
G(t, ϕ) = {u
t
: u(·, ϕ) là một nghiệm tích phân của (1) − (2)},
và G
T

S(t) − S(s)
L(X)
≤ L|t − s|, với mọi t, s ∈ [0, τ].
Định nghĩa 1.1.3. Toán tử A được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm
tích phân {S(t)}
t≥0
trên X nếu tồn tại ω ∈ R sao cho (ω; +∞) ⊂ ρ(A)
và
R(λ, A)v = (λI − A)
−1
v = λ

+∞
0
e
−λt
S(t)vdt
với mọi λ > ω và mọi v ∈ X.
Bổ đề 1.1.4. [24] Các Mệnh đề sau tương đương:
(i) A là toán tử sinh của một nửa nhóm tích phân không suy biến,
liên tục Lipschitz địa phương;
6
7
(ii) A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, tức là, tồn tại M ≥ 1 và
ω ∈ R sao cho (ω; +∞) ⊂ ρ(A) và
sup{(λ − ω)
n
(λI − A)
−n


. (1.2)
trong đó f ∈ L
1
(J, X) và u
0
∈ D(A) cho trước. Từ đây về sau, ta kí
hiệu L
1
(J; X) là không gian các hàm khả tích theo nghĩa Bochner.
Hàm u : J → D(A) được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán
(1.1)-(1.2) nếu u ∈ C(J; X), u(0) = u
0
và
u(t) = S

(t)u(0) + lim
λ→+∞

t
0
S

(t − s)λ(λ − A)
−1
f(s)ds, t ∈ J.
Định lí 1.1.5. Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm tích phân thì
tồn tại duy nhất một nghiệm tích phân u = u(·, u
0
, f ) của bài toán
(1.1)-(1.2) với mỗi f ∈ L

Nếu Ω ⊂ L
1
(J; X) thỏa mãn điều kiện: với mọi f ∈ Ω, f (t) ≤ ν(t)
hầu khắp t ∈ J, với ν ∈ L
1
(J) := L
1
(J; R), thì ta nói rằng Ω là một tập
khả tích bị chặn.
Mệnh đề 1.1.7. [22] Nếu {w
n
} ⊂ L
1
(J; X) là khả tích bị chặn, thì ta
có
χ({

t
0
w
n
(s)ds}) ≤ 2

t
0
χ({w
n
(s)})ds
với t ∈ J.
Áp dụng Mệnh đề 1.1.6 và Mệnh đề 1.1.7, ta có kết quả sau.

Chứng minh. Với  > 0, tồn tại một dãy ξ
n
∈ D sao cho
χ


t
0
D(s)ds

≤ 2χ

{

t
0
ξ
n
(s)ds}

+ ,
nhờ Mệnh đề 1.1.6. Áp dụng Mệnh đề 1.1.7 cho biểu thức trên, ta có
χ


t
0
D(s)ds

≤ 4

tương ứng là hình cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị trong
X. Ta cũng có kết quả
T 
χ
≤ T 
L(X)
,
mà T 
L(X)
được hiểu là chuẩn toán tử trong L(X). Hiển nhiên, T là
toán tử compact nếu và chỉ nếu T 
χ
= 0.
10
1.2. Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị
Ta nhắc lại một số khái niệm của giải tích đa trị. Giả thiết Y là một
không gian metric, và P(E) là họ tất cả các tập con khác rỗng của E.
Định nghĩa 1.2.1. Một ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F
−1
(V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅}
là một tập đóng trong Y với mỗi tập đóng V ⊂ E;
(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F
−1
(V ) là tập đóng trong Y với mọi
tập đóng yếu V ⊂ E;
(iii) đóng nếu đồ thị Γ
F
= {(y, z) : z ∈ F(y)} là môt tập đóng trong
Y × E;

cục (xem [25]). Giả sử Γ là một nửa nhóm không tầm thường của nửa
nhóm cộng tính các số thực R và Γ
+
= Γ ∩ [0, ∞).
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ G : Γ
+
× E → P(E) được gọi là một nửa
dòng đa trị nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
1. G(0, w) = {w}, với mọi w ∈ E,
2. G(t
1
+ t
2
, x) ⊂ G(t
1
, G(t
2
, x)), với mọi t
1
, t
2
∈ Γ
+
, x ∈ E,
trong đó G(t, B) = ∪
x∈B
G(t, x), B ⊂ E.
Nửa dòng đa trị được gọi là nửa dòng đa trị ngặt nếu G(t
1
+ t

⊂ E được gọi là một tập hấp
thụ của nửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại
τ = τ(B) ≥ 0 sao cho γ
+
τ(B)
(B) ⊂ B
1
.
Định nghĩa 1.2.6. Tập con A ⊂ E được gọi là tập hút toàn cục của
nửa dòng đa trị G nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. A hút mọi tập B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞,
với mọi tập bị chặn B ⊂ E, trong đó dist(·, ·) kí hiệu nửa khoảng cách
Hausdorff của hai tập con trong E;
2. A là nửa bất biến âm, tức là A ⊂ G(t, A), ∀t ∈ Γ
+
.
Định lí sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ để tồn tại tập hút toàn
cục của một nửa dòng đa trị G.
Định lí 1.2.7. [25] Giả sử nửa dòng đa trị G thỏa mãn các tính chất:
1. G(t, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị đóng với mỗi t ∈ Γ
+
;
12
2. G tán xạ điểm, tức là tồn tại K > 0 sao cho với w ∈ E, u(t) ∈
G(t, w), thì u(t)
E
≤ K với t ≥ t
0
(w
E

= {v : J → D(A), v ∈ C(J, X), v(0) = ϕ(0)}.
Với v ∈ C
ϕ
, ta kí hiệu v[ϕ] ∈ C([−h, T ], X) như sau
v[ϕ](t) =





v(t) nếu t ∈ [0, T ]
ϕ(t) nếu t ∈ [−h, 0].
Trong mục này, ta cần các giả thiết sau
(A) Toán tử A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida và C
0
-nửa nhóm {S

(t)}
t≥0
liên tục theo chuẩn, tức là t → S

(t) liên tục với t > 0 (theo tô pô
mạnh của L(X)).
Đối với thành phần phi tuyến của hệ (1)-(2), ta giả thiết
(F) Hàm đa trị F :
D(A) × C
h
→ P
c
(X) thỏa mãn:

Mệnh đề 2.1.1. Giả sử (F)(1) − (F)(2) thỏa mãn. Khi đó P
F
(u) = ∅
với mỗi u ∈ C
ϕ
. Hơn nữa, P
F
: C(J; X) → P(L
1
(J; X)) là nửa liên tục
trên yếu với giá trị compact yếu, lồi.
Chứng minh. Chứng minh của định lí tương tự như trong [9, Định lí
1]. 
Định nghĩa 2.1.2. Với mỗi ϕ ∈ C
h
cho trước, một hàm u : [−h, T ] → X
được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán (1)-(2) trên [−h, T ] với
điều kiện ban đầu ϕ nếu tồn tại f ∈ P
F
(u) sao cho
u(t) =







S


0
S

(t − s)λ(λI − A)
−1
f(s)ds, t ≥ 0. (2.1)
15
Dễ thấy rằng, v ∈ C
ϕ
là một điểm bất động của F khi và chỉ khi v[ϕ]
là một nghiệm tích phân của (1)-(2). Để chứng minh kết quả tồn tại
nghiệm của bài toán (1)-(2), ta sử dụng định lí điểm bất động sau đây.
Bổ đề 2.1.3. Giả sử E là một không gian Banach và D ⊂ E là một
tập con khác rỗng, compact, lồi. Nếu toán tử đa trị F : D → P(D) là
nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, thì F có điểm bất động.
Định lí điểm bất động trên là một trường hợp đặc biệt của kết quả
trong [19].
Định nghĩa 2.1.4. Một dãy {f
n
} ⊂ L
1
(J; X) được gọi là nửa compact
nếu nó là khả tích bị chặn và {f
n
(t)} ∈ K(t), hầu khắp t ∈ J, với
K(t) ⊂ X, t ∈ J, là một họ các tập compact.
Ta đã biết rằng {f
n
} là nửa compact trong L
1

λ(λI − A)
−1

L(X)
= 1,
nhờ tính chất lim
λ→+∞
λ(λI − A)
−1
v = v với mỗi v ∈ X. Bây giờ, ta chỉ ra
16
sự tồn tại của một tập lồi, đóng M
0
⊂ C
ϕ
thỏa mãn F(M
0
) ⊂ M
0
. Lấy
z ∈ F(u). Từ định nghĩa của toán tử nghiệm, ta có
z(t) ≤ S

(t)
L(X)
ϕ(0) +  lim
λ→+∞

t
0

t∈[0,T ]
S

(t).
Mặt khác, ta có
u
s

C
h
= sup
θ∈[−h,0]
u(s + θ) ≤ ϕ
C
h
+ sup
ρ∈[0,s]
u(ρ).
Từ đó thu được
z(t) ≤ Mϕ(0) + M

t
0
(au(s) + bϕ
C
h
+ b sup
ρ∈[0,s]
u(ρ) + c)ds
≤ Mϕ(0) + M T (bϕ


t
0
sup
ρ∈[0,s]
u(ρ)ds. (2.2)
Gọi
M
0
= {u ∈ C
ϕ
: sup
s∈[0,t]
u(s) ≤ ψ(t), t ∈ J},
với ψ là nghiệm duy nhất của phương trình
ψ(t) = M
1
+ M(a + b)

t
0
ψ(s)ds.
17
Rõ ràng, M
0
là một tập con đóng, lồi trong C
ϕ
và đánh giá (2.2) đảm
bảo rằng F(M
0

F
(M
k
) là khả tích bị chặn do giả thiết (F)(2). Do đó,
Mệnh đề 2.1.5 cho ta tính liên tục đồng bậc của F(M
k
). Từ đó kéo theo
M
k+1
cũng là liên tục đồng bậc với mọi k ≥ 0. Do đó M là liên tục
đồng bậc.
Để áp dụng được định lí Arzel`a-Ascoli, ta còn phải chứng minh M(t) là
compact với mỗi t ≥ 0. Điều này tương đương với µ
k
(t) = χ(M
k
(t)) → 0
khi k → ∞, với χ là độ đo Hausdorff trên X.
Nếu {S

(t)} là compact thì dễ dàng kiểm tra được
µ
k+1
(t) = χ(M
k+1
(t)) ≤ lim
λ→∞
χ



= 0,
18
nhờ Mệnh đề 1.1.8. Ngược lại, nếu {S

(t)} là không compact, ta có
µ
k+1
(t) ≤ 4M

t
0
χ (P
F
(M
k
)(s)) ds
≤ 4M

t
0
[p χ(M
k
(s)) + q sup
τ∈[−h,0]
χ(M
k
[ϕ](s + τ ))]ds
≤ 4M

t

(τ)ds.
Đặt η
k
(t) = sup
τ∈[0,t]
µ
k
(τ), ta có
η
k+1
(t) ≤ 4M (p + q)

t
0
η
k
(s)ds.
Đặt η
∞
(t) = lim
k→∞
η
k
(t), thì
η
∞
(t) ≤ 4M (p + q)

t
0

.
Ta có
v
n
(t) ∈ S

(t)ϕ(0) + W ◦ P
F
(u
n
)(t).
19
Lấy f
n
∈ P
F
(u
n
) sao cho
v
n
(t) = S

(t)ϕ(0) + W(f
n
)(t). (2.3)
Từ tính nửa liên tục trên yếu của P
F
(nhờ Mệnh đề 2.1.1), ta xét Bổ
đề 1.2.3 khi f

qua giới hạn trong (2.3) để thu được v
∗
(t) = S

(t)ϕ(0) + W(f
∗
)(t) với
f
∗
∈ P
F
(u
∗
). Suy ra, v
∗
∈ F(u
∗
).
Định lí được chứng minh. 
Phần còn lại của chương này, ta chứng minh một số tính chất của tập
nghiệm, những tính chất quan trọng này sẽ được dùng để chứng minh
sự tồn tại tập hút.
Gọi π
T
, T > 0, là toán tử chặt trên đoạn [0, T ] tác động lên C([0, +∞); X),
tức là, với z ∈ C([0, +∞); X), π
T
(z) là hạn chế của z trên đoạn [0, T ].
Kí hiệu
Σ(ϕ) = {u ∈ C([0, +∞); X) : u[ϕ] là một nghiệm tích phân

(0) + W ◦ P
F
(v
n
)(t), t ∈ [0, T ].
Ta cần chỉ ra rằng {v
n
} là liên tục đồng bậc và {v
n
(t)} là compact tương
đối với mỗi t ∈ [0, T ]. Đánh giá tương tự như (2.2) cho ta
v
n
(t) ≤ M
1
+ M(a + b)

t
0
sup
ρ∈[0,s]
v
n
(ρ)ds, ∀t ∈ [0, T ], (2.4)
trong đó M = sup
t∈[0,T ]
S

(t)
L(X)

ρ∈[0,t]
v
n
(ρ). Áp dụng bất đẳng thức Gronwall-Belman, ta
thu được tính bị chặn của {w
n
}, từ đó kéo theo tính bị chặn của {v
n
}
trong C([0, T ]; X). Lấy f
n
∈ P
F
(v
n
) sao cho
v
n
(t) = S

(t)ϕ
n
(0) + W(f
n
)(t).
Sử dụng giả thiết (F)(2), ta thu được tính khả tích bị chặn của {f
n
},
nhờ tính bị chặn của {v
n