BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Ly

NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN
TÍNH BẬC HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Ly

NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN
TÍNH BẬC HAI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:


Chí Minh tận tình chỉ bảo và truyền thụ kiến thức cho tôi trong quá trình học.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong ban giám hiệu, các thầy
cô phòng sau đại học trường ĐHSP Tp HCM đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện
thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học.
Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến gia đình,
người thân và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian tôi thực hiện luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !

Tp HCM, ngày 26 tháng 09 năm 2012
Tác giả
Trần Văn Ly


CÁC KÍ HIỆU
 là tập hợp các số tự nhiên.
 là tập hợp các số thực, =
+

x ∈  , [ x ]+ =

[0, +∞ ) ,  − = ( −∞,0] .

x− x
x +x
, [ x ]− =
.
2
2


b

với chuẩn p

L

= ∫ p ( s ) ds .
a

{

}

L ([ a, b ];  + ) = p ∈ L ([ a, b ];  ) : p ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] .
ab là tập hợp các hàm đo được f : [ a, b ] → [ a, b ] .
ab

là

tập

hợp

của

 : C ([ a, b ];  ) → L ([ a, b ];  ) .

các

toán

tính

bị

chặn

 : C ([ a, b ];  + ) → L ([ a, b ];  + ) .
MesA là độ đo Lebesgue của tập A

Toán tử  ∈ ab được gọi là toán tử t0 - Volterra, trong đó t0 ∈ [ a, b ] , nếu với
mỗi a1 ∈ [ a, t0 ] , b1 ∈ [t0 , b ] , a1 ≠ b1 , v ∈ C ([ a, b ];  ) thỏa mãn điều kiện:
v ( t ) = 0 , t ∈ [ a1 , b1 ]

thì
 ( v )( t ) = 0 , t ∈ [ a1 , b1 ]

Cho  ∈ ab là toán tử b – Volterra (tương ứng toán tử a – Volterra) và

ξ ∈ ( a, b ) . Kí hiệu  ξ b (tương ứng  aξ ) là thu hẹp của toán tử  trong không
gian C ([ξ , b ];  ) (tương ứng C ([ a, ξ ];  ) ).


MỞ ĐẦU
Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm dương cho phương trình vi phân hàm
có một vị trí quan trọng trong lí thuyết phương trình vi phân và có nhiều ứng
dụng, đặc biệt là trong các lĩnh vực vật lí, cơ học, kĩ thuật,… Trong những
năm gần đây vấn đề này đã thu hút được sự quan tâm sâu sắc của rất nhiều
nhà toán học trên thế giới như: A. Lomtatidze, P. Vodstrčil, R. P. Agrwal, D.
O. O’Regan, H. Wang,… cũng như nhiều nhà toán học của Việt Nam. Do đó,
vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm dương cho một lớp phương trình vi phân

Luận văn là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm nghiên cứu việc tồn
tại nghiệm dương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai và áp
dụng các kết quả đó để chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương cho phương trình vi
phân tuyến tính bậc hai đối số chậm và đối số lệch.


Chương 1: NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH BẬC HAI
1.1. Giới thiệu bài toán
Trên đoạn [ a, b ] , xét phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc hai
=
u′′ ( t )  ( u )( t ) + q ( t )

(1.1)

thỏa mãn các điều kiện biên
u (a) = 0 ,

u (b) = 0

(1.2)

u ( a ) = 0 , u′ ( b ) = 0

(1.3)

hoặc
trong đó,  ∈ ab , q ∈ L ([ a, b ];  − ) .
Nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) hoặc (1.1), (1.3) là hàm u ∈ C ′ ([ a, b ];  )
thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi trên đoạn [ a, b ] và thỏa mãn điều kiện biên (1.2)

(1.4)
(1.5)

Định nghĩa 1.3. Cho  ∈ ab , ta nói rằng toán tử  ∈V ′ ([ a, b ]) nếu với mỗi
hàm u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn (1.3) và
u′′ ( t ) ≥  ( u )( t ) , t ∈ [ a, b ]

thì

u (t ) ≤ 0 ,

t ∈ [ a, b ] .

(1.4)
(1.5)

Từ định lí 1.1 và các định nghĩa 1.2, 1.3 ta có nhận xét sau:
Nhận xét:
i) Nếu  ∈V ([ a, b ]) thì bài toán (1.1), (1.2) tồn tại và duy nhất nghiệm dương.
ii) Nếu  ∈V ′ ([ a, b ]) thì bài toán (1.1), (1.3) tồn tại và duy nhất nghiệm
dương.
Thật vậy, để chứng minh bài toán (1.1), (1.2) tồn tại và duy nhất nghiệm
dương trước hết ta cần chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có duy nhất nghiệm.
Điều đó tương đương với ta chứng minh bài toán thuần nhất (1.1 0 ), (1.2) chỉ
có nghiệm tầm thường.
Giả sử u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) là nghiệm của bài toán (1.1 0 ), (1.2) . Do đó, u cũng là
nghiệm của hệ


u′′ ( t ) ≥  ( u )( t )

u=
( t ) 0, t ∈ [ a, b]

Do đó, bài toán (1.1 0 ), (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường nên theo định lí 1.1 thì
bài toán (1.1), (1.2) có duy nhất nghiệm. Ta sẽ chứng minh nghiệm này là
dương.
Giả sử v ∈ C ′ ([ a, b ];  ) là nghiệm của (1.1) và thỏa mãn (1.2). Do

q ∈ L ([ a, b ];  − ) nên
v′′ ( t ) ≤  ( v )( t )

Từ đó suy ra
−v′′ ( t ) ≥  ( −v )( t )

Cùng với (1.2), giả thiết  ∈V ([ a, b ]) thì theo định nghĩa 1.2 ta có
−v ( t ) ≤ 0, t ∈ [ a, b ]


v ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ] .

Hay

Do đó, nghiệm duy nhất của bài toán (1.1), (1.2) là dương.
Tương tự, tính đúng đắn của ii) cũng được chứng minh.
Vậy để xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm dương của
các bài toán (1.1), (1.2) hoặc (1.1), (1.3) thì ta chỉ cần xây dựng điều kiện đủ
để  ∈V ([ a, b ]) hoặc  ∈V ′ ([ a, b ]) .
1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của các bài toán (1.1), (1.2) và
(1.1), (1.3)
Định lí 1.4


=
v ( a ) 0=
(v (b ) 0) .

Khi đó tồn tại một giới hạn hữu hạn hay vô hạn
lim+

t →a

v (t )
>0
t−a

v (t )


>
lim
0
 t →b−
.
b−t



(1.11)


Chứng minh

v′ ( t ) ≥ n , t ∈ ( a, tn )

Tích phân bất đẳng thức trên từ a tới t và do (1.11) ta có
v ( t ) ≥ n ( t − a ) , t ∈ [ a, tn ] , n ∈ 

Hay

v (t )
≥ n , t ∈ [ a, tn ] , n ∈ 
t−a

Do đó,
lim+

t →a

v (t )
= +∞
t−a

Nếu 0 < r < +∞ , khi đó với mỗi n ∈  , tồn tại tn ∈ ( a, b ) sao cho
v′ ( t ) − r ≤

Từ đó suy ra

1
n

∀t ∈ [ a, tn ] , n ∈ 


−r ≤
t−a
n

∀t ∈ [ a, tn ] ,

n∈
n∈

Do đó,
lim+

t →a

v (t )
=r
t−a

Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.
Bổ đề 1.6
′ ( ( a, b ) ;  ) thỏa mãn điều kiện ω ( t0 ) = 0 và
Giả sử t0 ∈ ( a, b ) và hàm ω ∈ Cloc

ω ( t ) ≥ 0, t ∈ [ a, b ]
ω ′′ ( t ) ≤ 0, t ∈ [ a, b ]
Khi đó ω ≡ 0 .
Chứng minh
Vì ω ( t0 ) = 0 nên hàm ω đạt cực tiểu tại t0 , do đó ta có

ω ′ ( t0 ) = 0

∫ ω′ ( s ) ds ≤ 0 ,

t0

ω (t ) ≤ 0 ,

Hay

t ∈ ( a, b )

Vậy nên cùng với bất đẳng thức đầu tiên trong (1.13) ta có

ω ≡/ 0
Bổ đề đã được chứng minh xong.
Chứng minh định lí 1.4
Điều kiện cần. Cho − ∈ ab , giả sử  ∈ V ([ a, b ]) , ta sẽ chứng minh tồn tại hàm
′ ( ( a, b ) ;  ) thỏa mãn các điều kiện (1.6), (1.7), (1.8).
γ ∈ Cloc

Lấy γ là nghiệm của bài toán

γ ′′ ( t ) =  ( γ )( t ) ;

γ (a) = 1,

γ (b) = 1

Khi đó ta có

γ ( a ) + γ ( b ) + mes {t ∈ [ a, b ] : γ ′′ ( t ) <  ( γ )( t )} =

và

u0 ( b ) =
1 − γ (b ) =
0

Từ giả thiết  ∈V ([ a, b ]) suy ra u0 ( t ) ≤ 0 ,

t ∈ [ a, b ]

Hay

γ ( t ) ≥ 1,

t ∈ [ a, b ]

Do đó (1.7) được thực hiện.
′ ( ( a, b ) ;  ) thỏa mãn các điều kiện
Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại hàm γ ∈ Cloc

(1.6), (1.7), (1.8). Ta chứng minh  ∈V ([ a, b ]) .
Giả sử u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn các điều kiện (1.2), (1.4), ta sẽ chứng minh
u (t ) ≤ 0 ,

Phản chứng, giả sử

t ∈ [ a, b ]

max {u ( t ) : t ∈ [ a, b ]} > 0


2 


a+b
a + b 
,b 
u′ ( t ) − u′ 
 + ∫  ( u )( s ) ds ≥ 0, t ∈ 
 2  a +b
 2

t

và

2

Do đó,
u′ ( t ) ≤ M ,
u′ ( t ) ≥ − M ,

 a + b
t ∈  a,
2 

a + b 
t∈
,b 
 2




(1.19)

Đặt
 u ( t )

=
λ sup 
: t ∈ ( a, b ) 
 γ ( t )


(1.20)

λ < +∞

Khi đó,
Thật vậy, ta có

u (t )
u (t ) (t − a )
(t − a )
=
lim+
lim+
.
≤ M lim+
t →a γ ( t )
t →a ( t − a ) γ ( t )


t →a

γ (t )
t−a

γ (t )
t−a

>0

= +∞ thì lim+
t →a

t−a
=0
γ (t )

Nên ta có
u (t )
u (t ) (t − a )
a)
(t −=
≤ M lim+
lim+ = lim+
.
0
t →a γ ( t )
t →a ( t − a ) γ ( t )
t →a

γ (t )

Từ (1.7), (1.19), (1.21) và bổ đề 1.5 ta sẽ có lim−
t →b

u (t )
< +∞ .
γ (t )

Mặt khác, theo (1.7), (1.15) ta có

λ >0

(1.22)

=
ω ( t ) λγ ( t ) − u ( t ) , t ∈ [ a, b ]

(1.23)

ω ( t ) ≥ 0 , t ∈ [ a, b ]

(1.24)

Đặt

Rõ ràng,

Từ (1.23), (1.4), (1.6) suy ra



Ta có
u (t )
u (t ) (t − a )
(t − a )
=
≤ M lim+
lim+ sup
lim+ sup
.
t →a
t →a
γ ( t ) t →a
γ (t )
(t − a ) γ (t )

(1.27)
(1.28)


u (t )
u (t ) (t − a )
(t − a )
Nếu γ ( a ) ≠ 0 thì lim+ sup
= lim+ sup
≤ M lim+ = 0
.
t →a
t →a
γ ( t ) t →a

t−a
=0
γ (t )

u (t )
(t − a ) =
≤ M lim+
0
t →a
γ (t )
γ (t )

Cùng với (1.22) thì (1.28) đúng.

γ (t )
Nếu lim+= r ,
t →a t − a

( 0 < r < +∞ ) , khi đó từ (1.2), (1.24), (1.26), (1.27) thì ω

thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 1.5 nên tồn tại
lim+

t →a

ω (t )
t−a

>0


≤λ− 0
 ( u )( t ) ≥ u C  (1)( t ) =
0 , t ∈ [ a, b ]


Khi đó từ (1.4) suy ra
u′′ ( t ) ≥ 0 ,

t ∈ [ a, b ]

(1.31)

Tích phân (1.31) với cận từ a tới t ta được
u′ ( t ) ≥ u′ ( a ) , t ∈ [ a, b ]

Nếu u′ ( a ) ≥ 0 thì

u′ ( t ) ≥ 0 , t ∈ [ a, b ]

Tích phân 2 vế bất đẳng thức trên từ t tới b và cùng với (1.2) ta được
u (t ) ≤ 0 ,

t ∈ [ a, b ]

Nếu u′ ( a ) < 0 , khi đó xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: nếu u′ ( t ) ≥ 0 , t ∈ [ a, b ] , dễ dàng suy ra
u (t ) ≤ 0 ,

Trường hợp 2: nếu

t ∈ [ a, b ]

−
a

1
s
ds
+
t
−
a
b
−
s

1
s
ds
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(


(1.35)

hay

ε − γ (t ) ≥ 0 ,

t ∈ [ a, b ]

Do − ∈ ab , (1.32) nên ta có
−ε  (1)( t ) +  ( γ )( t ) ≥ 0 ,

Vì ε ∈ ( 0,1) nên

 ( γ )( t ) >  (1)( t ) ,

t ∈ [ a, b ]
t ∈ [ a, b ]

Mặt khác, từ (1.33) suy ra

γ ′′ ( t ) = −  (1)( t ) ,
Do − ∈ ab nên
Hay

t ∈ [ a, b ]

γ ′′ ( t ) =  (1)( t ) ,

t ∈ [ a, b ]

a

t

( b − t ) ∫ ( s − a )  (1)( s ) ds + ( t − a ) ∫ ( b − s )  (1)( s ) ds ≤ b − a

(1.30’)

Ví dụ 1:
Xét

 ( v )( t ) = −

a+b
v

(b − a )  2 
8

2

Khi đó, rõ ràng (1.30’) đúng.
Mặt khác, hàm u=
(t )

4

(b − a )

2



v′ ( t ) ≥ 0 , t ∈ ( a, b ]

Tích phân bất đẳng thức vừa tìm được từ t tới b ta lại có
v ( t ) ≤ 0 , t ∈ ( a, b ]

Do v ≡/ 0 nên ta gặp mâu thuẫn với (1.9), do đó v ( b ) ≠ 0 .
Bổ đề đã được chứng minh.
Chứng minh định lí 1.8
Điều kiện cần. Cho − ∈ ab , giả sử  ∈V ′ ([ a, b ]) , ta sẽ chứng minh tồn tại
′ ( ( a, b ];  ) thỏa mãn các điều kiện (1.6), (1.7), (1.39), (1.40).
hàm γ ∈ Cloc

Lấy γ là nghiệm của bài toán

γ ′′ ( t ) =  ( γ )( t ) ;

γ (a) = 1,

γ ′(b) = 0 .

Khi đó (1.6), (1.39), (1.40) được thực hiện
Đặt
t ∈ ( a, b ]

u0 ( t ) = 1 − γ ( t ) ,

t ∈ [ a, b ]


γ ( t ) ≥ 1,

t ∈ [ a, b ]
t ∈ [ a, b ]

(1.42)


Do đó (1.7) được thực hiện.
′ ( ( a, b ];  ) thỏa mãn các điều kiện
Điều kiện đủ. Giả sử, tồn tại hàm γ ∈ Cloc

(1.6), (1.7), (1.39), (1.40), chứng minh  ∈V ′ ([ a, b ]) .
Giả sử u ∈ C ′ ([ a, b ];  ) thỏa mãn các điều kiện (1.3), (1.4). Ta sẽ chứng minh
u ( t ) ≤ 0, t ∈ [ a, b ]

Phản chứng, giả sử

max {u ( t ) : t ∈ [ a, b ]} > 0

(1.43)

a b
ta có (1.16). Tích phân 2 vế (1.16) từ
2

Tích phân (1.4) với cận từ t tới
a tới t và do (1.3) ta được (1.18).

Đặt

Do (1.24) và giả thiết − ∈ ab nên từ (1.25) thì (1.27) được thực hiện.
Hơn nữa, từ (1.3), (1.7), (1.18), (1.21), (1.22), (1.24), (1.26), (1.27) chứng
minh tương tự như trong định lí 1.4 ta sẽ có (1.28).