BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Quốc Tuấn
NGHIÊN CỨU VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Quốc Tuấn
NGHIÊN CỨU VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số
: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ............................................................5
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ..............................................9
3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ..................................................11
CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.................................................................. 12
1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 11 ...........................................................12
1.1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 11 ..................... 12
1.1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 11 .................. 13
1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 12 ...........................................................18
1.2.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 12 ..................... 18
1.2.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa toán lớp 12 .................. 19
1.3. Phân tích các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng từ năm 2003 đến 2013 ............28
1.3.1. Nhóm 1: Nhóm các câu hỏi sử dụng đạo hàm “ngay từ ban đầu”. ...................... 29
1.3.2. Nhóm 2: Nhóm các câu hỏi không sử dụng đạo hàm. ......................................... 29
1.3.3 Nhóm 3: Nhóm các câu hỏi biến đổi biểu thức về hàm số một biến, sau đó sử
dụng đạo hàm để tìm đáp án. .......................................................................................... 31
CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN
VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ............... 37
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM............................................................ 60
3.1. Thực nghiệm đối với giáo viên ..................................................................................60
3.1.1. Mục đích xây dựng thực nghiệm .......................................................................... 60
3.1.2. Bộ câu hỏi thực nghiệm giáo viên ........................................................................ 60
3.1.3. Phân tích các câu trả lời của giáo viên ................................................................. 61
3.2. Thực nghiệm đối với học sinh ...................................................................................65
3.2.1. Các bài toán thực nghiệm ..................................................................................... 66
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................................... 66
3.2.3. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................... 77
4
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Ghi nhận và nhóm câu hỏi thứ nhất
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là loại bài toán có rất nhiều ứng dụng
trong đời sống thực tế, chẳng hạn: làm thế nào để quản lý một công ty sao cho chi phí, tài
nguyên, nguồn lực tiết kiệm nhất mà mang lại hiểu quả cao nhất hay làm thế nào để sản xuất
một loại thùng inox dạng hình trụ tròn xoay có thể tích cố định mà sao cho chiều cao và bán
kính đáy của thùng là tiết kiệm vật liệu nhất,.…
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có mặt đủ ở các cấp học, từ cấp tiểu
học, trung học cơ sở đến trung học phổ thông và cao hơn nữa. Đặc biệt, trong các kì thi tốt
nghiệp, các kì thi vào Đại học, Cao đẳng hàng năm gần đây, các bài toán liên quan đến việc
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường xuyên xuất hiện trong các đề thi.
Thực tế giảng dạy cho thấy, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được giải
bằng nhiều kỹ thuật khác nhau từ sơ cấp đến cao cấp và với nhiều trình độ khác nhau. Trong
chương trình toán trung học phổ thông, dạng bài toán này đã xuất hiện ngay ở khối lớp 10,
khối lớp 11 và ở khối lớp 12. Mặc dù giá trí lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chưa được định
nghĩa chính thức trong sách giáo khoa 10 và 11 nhưng dạng bài toán này đã xuất hiện và để
giải chúng thì công cụ chủ yếu là sử dụng kỹ thuật “bất đẳng thức”. Cho đến khối lớp 12,
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mới được định nghĩa và đưa vào giảng dạy một cách
chính thức trong chương trình và việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chủ
yếu là dùng kỹ thuật “đạo hàm”, sử dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Đặt trọng tâm vào khối lớp 12, chúng tôi nhận thấy việc sử dụng đạo hàm như là một
kỹ thuật chủ yếu để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chúng tôi tiến hành một khảo
sát nhỏ trên 71 học sinh ở 2 lớp 12 của trường THPT Phú Quốc nhằm tìm kiếm những ứng
xử của học sinh đối với dạng bài toán này như thế nào thông qua 2 bài tập như sau:
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
HS
Tỉ lệ
HS
Tỉ lệ
1
71
100%
0
0%
0
0%
2
64
90%
2
𝑦′ =
5𝑥 2 + 2𝑥 − 5
(𝑥 2 + 1)2
6
⎡𝑥 = −1 + √26
5
𝑦 ′ = 0 ⟺ 5𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 0 ⟺ ⎢⎢
⎢𝑥 = −1 − √26
⎣
5
𝑙𝑖𝑚 𝑦 = 3
𝑥→±∞
Bảng biến thiên:
x
−1 − √26
5
-∞
y’
+
𝑥∈𝑅
𝑚𝑖𝑛 𝑦 = 𝑦(
𝑥∈𝑅
y(
−1 −
5
−1 +
5
√26
√26
)
)
Học sinh này cũng như hầu hết các học sinh khác đều không thể tính được hai giá trị
−1−√26
5
) và y(
đã lựa chọn những kỹ thuật nào để giải ? Sự lựa chọn của chương trình, sách giáo khoa đã
ảnh hưởng như thế nào đến thực tế dạy và học ? Liệu giáo viên có quan tâm đến việc đa
dạng hóa các kỹ thuật để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không?
Ghi nhận và nhóm câu hỏi thứ hai
Từ những ghi nhận ban đầu trên, cho thấy rằng đa số học sinh lớp 12 tập trung vào kỹ
thuật “đạo hàm” để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, điều đó làm cho
chúng tôi tự hỏi rằng: Liệu học sinh có thật sự làm chủ được kỹ thuật đạo hàm trong việc
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay không ? Từ đó, chúng tôi đề xuất một
bài toán sau đây:
3 ; 3)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 trên khoảng (Chúng tôi dự đoán học sinh có thể đưa ra cách giải như sau:
Giải
Ta có
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 3 ;
𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = ±1 .
Sau đây là bảng biến thiên của f trên khoảng (-3;3)
x
f’(x)
-3
-1
+
8
Sau khi phân tích những ghi nhân trên và đưa ra các câu hỏi cần giải đáp, chúng tôi
quyết định chọn đề tài “Nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở Trung học
phổ thông” làm chủ đề cho luận văn của mình. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên chúng
tôi chỉ tập trung nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ở khối lớp 12.
Đồng thời để thấy được tiến trình hình thành khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở
khối lớp 12, cũng như sự xuất hiện kỹ thuật “tập giá trị” nên chúng tôi quyết định phân tích
một cách tổng quát các vấn đề liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở khối lớp
11.
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu và tìm lời giải cho phép trả lời các
câu hỏi mà chúng tôi đã nêu trên. Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ vận dụng các công cụ
của lý thuyết didactic toán, cụ thể là thuyết nhân học với các khái niệm quan hệ cá nhân,
quan hệ thể chế, tổ chức toán học, tổ chức didactic và khái niệm hợp đồng didactic để phục
vụ cho quá trình nghiên cứu của mình.
Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân
Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động
qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra
sao, có vai trò gì,…trong thể chế I.
Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác
động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O,
có thể thao tác O ra sao?
Việc học tập của các nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay
điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I
mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn
nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O).
Tổ chức toán học
: là người ở vị trí giáo viên hay học sinh.
Thể chế I
: là thể chế dạy học theo chương trình giải tích 12 hiện hành.
Các thuật ngữ quan hệ R(I,O), quan hệ R(X,O) gắn liền với nhóm câu hỏi liên quan
đến sự lựa chọn của chương trình và sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào lên hoạt động
dạy của giáo viên và học của học sinh về O. Đồng thời, việc phân tích tổ chức toán học liên
quan đến O sẽ cho phép làm rõ R(I,O) và đây cũng chính là một công cụ đắc lực để phân
tích thực tế dạy và học.
Liên quan đến việc giáo viên có quan tâm đến việc đa dạng kỹ thuật tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất hay không? Những kiểu nhiệm vụ nào mà giáo viên muốn học sinh
biết,... Chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức Didactic để nghiên cứu thực hành giảng dạy
10
của giáo viên, phân tích các hoạt động của giáo viên trong lớp học. Ngoài ra, khái niệm hợp
đồng didactic cho phép chúng tôi giải thích cách ứng xử của giáo viên và học sinh, cho phép
giải thích một số sự kiện trong lớp học cũng như một số sai lầm mà học sinh mắc phải.
Từ việc dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn và những phân tích ban đầu,
chúng tôi đề ra những câu hỏi nghiên cứu sau đây:
CH1: Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn? Những kỹ thuật nào
được thể chế ưu tiên? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó?
CH2: Trong thực tế dạy học, giáo viên thiết lập các tổ chức didactic nào để tiến hành giảng
dạy các tổ chức toán học liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số? Có sự
khác biệt nào giữa tổ chức toán học được dạy với tổ chức toán học cần dạy ?
CH3: Cách trình bày của sách giáo khoa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có ảnh hưởng
CH1: Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12, đối tượng giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn? Những kỹ thuật
nào được thể chế ưu tiên? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó?
1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở lớp 11
1.1.1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán lớp 11
Chương trình Đại số và Giải tích 11 nâng cao gồm 5 chương:
Chương I.
Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương II.
Tổ hợp và xác suất
Chương III.
Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Chương IV.
Giới hạn
Chương V.
Đạo hàm.
Trong 5 chương này, các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu được
đề cập ở chương I với các bài học sau:
Bài 1. Các hàm số lượng giác
vài nhận xét mà sách giáo khoa đã trình bày:
“Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1]. Ta nói tập giá
trị của hàm số y = sinx là đoạn [-1 ; 1].”
“Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1 ; 1]. Ta nói tập giá
trị của hàm số y = sinx là đoạn [-1 ; 1].”
Sách giáo khoa có đề cập đến khái niệm tập giá trị của hàm số y = sinx,
y = cosx một cách đơn giản bằng cách nêu lên nhận xét. Từ đó chúng tôi nhận thấy, có
sự ngầm ẩn về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx và y = cosx thông qua
khái niệm tập giá trị. Chẳng hạn:
𝜋
Hàm số y = sinx có giá trị lớn nhất là 1 khi 𝑥 = + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) và giá trị nhỏ
2
𝜋
nhất là -1 khi 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛)
2
Hàm số y = cosx có giá trị lớn nhất là 1 khi 𝑥 = 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛) và giá trị nhỏ nhất
là -1 khi 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 (𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛)
13
Với những nhận xét trên, chúng tôi cho đây chính là công nghệ để giải thích cho kỹ
thuật giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
lượng giác.
Các tổ chức toán học gắn với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
b) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 2 ) đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi 𝑥 2 = + 𝑘2𝜋, k nguyên không âm),
2
𝜋
đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi 𝑥 2 = − + 𝑘2𝜋, k nguyên dương) nên hàm số 𝑦 =
2
�1 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 2 ) − 1 đạt giá trị lớn nhất là √2 − 1 và giá trị nhỏ nhất là -1.
𝜋
c) Do 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛�√𝑥� đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi √𝑥 = + 𝑘2𝜋, k nguyên không âm),
2
𝜋
đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi √𝑥 = − + 𝑘2𝜋, k nguyên dương) nên hàm số 𝑦 =
2
4𝑠𝑖𝑛√𝑥 đạt giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là -4.”
Kỹ thuật τlg1:
𝜋
- Hàm số y = sinu có giá trị lớn nhất là 1 khi 𝑢 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 và giá trị nhỏ
2
𝜋
nhất là -1 khi 𝑢 = − + 𝑘2𝜋, 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 (hoặc hàm số y = cosu có giá trị lớn nhất là 1 khi
. Viết đẳng thức đó thành
𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥+3
(𝑦 − 1)𝑠𝑖𝑛𝑥 − (𝑦 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 = −3𝑦 − 1, để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên
lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện
(𝑦 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 ≥ (3𝑦 + 1)2
Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.
c)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 =
Hướng dẫn:
𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥+3
2𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+4
a) Ta có 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑎) nên dễ thấy hàm số y nhận mọi giá
trị tùy ý thuộc đoạn �−√𝑎2 + 𝑏2 ; √𝑎2 + 𝑏2 �.
b) Do |𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥| ≤ √2 nên sinx – cosx + 3 ≠ 0 với mọi x.
Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn 𝑦 =
𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥−1
𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥+3
khi và chỉ khi:
(y – 1)sinx – (y + 1)cosx = – (3y +1).
Để ý rằng |2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 | ≤ √5, nên 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4 ≠ 0 với mọi x. Vậy (x, y) thỏa
mãn đẳng thức trên khi và khi (𝑦 + 2)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (1 − 2𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4𝑦 − 3. Lập luận
tương tự như câu b), hàm số y lấy mọi giá trị sao cho
(4𝑦 − 3)2 ≤ (𝑦 + 2)2 + (1 − 2𝑦)2
Bất đẳng thức tương đương với 11𝑦 2 − 24𝑦 + 4 ≤ 0 tức là
2
11
≤𝑦≤2
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và
Kỹ thuật τlg2: “Tập giá trị”
- Biến đổi hàm số 𝑦
=
𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐
𝑎′𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑏′𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐′
2
11
”
hoặc
Để tìm điểm x ∈ D sao cho y(x) = M, ta giải phương trình
(𝑀𝑏′ − 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝑥 + (𝑀𝑎′ − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 − 𝑀𝑐′
(2)
Do các phương trình (1) và (2) đều có nghiệm (do thỏa mãn điều kiện (*)) nên ta có đủ
điều kiện để kết luận giá trị lớn nhất của hàm số là M và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m.
Từ đó, cho phép chúng tôi phát biểu qui tắc hợp đồng: Khi sử dụng kỹ thuật tập giá trị để
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, sau khi tìm được hai giá trị m và M sao
cho 𝑚 ≤ 𝑦 ≤ 𝑀, học sinh không quan tâm đến việc chỉ ra sự tồn tại của x ∈ D sao cho y(x)
= M (hoặc y(x) = m) mà kết luận rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số tương
ứng là M và m.
Cụ thể, đối với bài tập 1.31c) sau khi tìm được giá trị y thỏa
ta cần phải tìm giá trị x sao cho y = 2 và 𝑦 =
4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 5
2
11
2
11
Kiểu nhiệm vụ Tlg1: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa sinu
(hoặc cosu) với u là hàm số theo biến x”
Kiểu nhiệm vụ Tlg2: “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=
acosx+bsinx+c
a′cosx+b′sinx+c′
có tập xác định là R”
Trong hai kiểu nhiệm vụ liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất,
chúng tôi quan tâm đến kiểu nhiệm vụ Tlg2 bởi vì để giải chúng sách giáo khoa 11 sử dụng
kỹ thuật “tập giá trị” là chủ yếu, nhưng do sự xuất hiện rất ít kiểu nhiệm vụ này nên chúng
tôi dự đoán sau này học sinh ít sử dụng kỹ thuật này nữa, nhất là đối với học sinh ở khối lớp
12, chủ yếu sẽ sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Theo dự đoán
của chúng tôi, đối với bài tập 1.31c) hầu hết học sinh ở khối lớp 12 sẽ giải như sau:
cosx + 2sinx + 3
2cosx − sinx + 4
y=
Tập xác định: D = R (vì 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4 ≠ 0 với mọi x)
y′ =
2sinx + 11cosx + 5
Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chủ yếu nằm trong chương I
của chương trình với mục tiêu của chương là:
18
“Kiến thức
Giúp học sinh nắm vững
- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;
- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;
- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm giá trị đó;
- Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận của đồ thị;
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Kĩ năng
Giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính
đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước, viết phương trình các
đường tiệm cận của đồ thị và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm
số đơn giản”. [18, tr.18]
Đến thời điểm này, thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mới được chính
thức đưa vào giảng dạy và được trình bày trong một bài học cụ thể, bài 3: “Giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số”. Đồng thời, theo sự quan sát của chúng tôi, để tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì sách giáo viên có lưu ý cho học sinh việc vận
dụng bảng biến thiên để tìm đáp án bởi “Trong giảng dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh
lập bảng biến thiên của hàm số, giúp các em hiểu ý nghĩa của bảng biến thiên và sử dụng
nó để xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Việc lập các bảng biến thiên sẽ giúp các em nắm được vấn đề tốt hơn, giải được bài tập
nhanh hơn và ít mắc nhầm lẫn trong thực hành.” [18, tr.19-20]
Do trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi là tìm hiểu các kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất, sự ảnh hưởng của kỹ thuật đạo hàm lên bài toán này nên chúng tôi tiếp tục
phân tích sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao để làm rõ vấn đề.
thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D,
kí hiệu là 𝑚 = 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥).” [17, tr.18]
Từ định nghĩa này, sách giáo khoa có lưu ý đến điều kiện tồn tại của giá trị lớn nhất
hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số như sau:
“Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ
nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ:
a) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑚 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷.
b) Tồn tại ít nhất một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m).”
[17, tr.18]
Lưu ý này cũng được nhắn mạnh lại trong sách giáo viên:
“Điều kiện b) là quan trọng, không được bỏ qua. Một số học sinh đã không chú ý đến
nó, do đó đã mắc sai lầm.”
Sau đó, sách giáo viên đưa ra một ví dụ minh họa cho việc không tuân thủ điều kiện b)
“Tìm GTLN và GTNN của hàm số 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥.
20
Có học sinh lập luận như sau:
Vì 𝑓(𝑥) ≥ 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑚𝑖𝑛𝑥∈ℝ 𝑓 (𝑥) = 0
Vì 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 ≤ 1 và 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 ≤ 1 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên
𝑓 (𝑥) ≤ 1 + 1 = 2 với mọi 𝑥 ∈ ℝ . Do đó 𝑚𝑎𝑥𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 2.
1
lời giải của sách giáo khoa, sách giáo viên và sách bài tập.”
Do trọng tâm nghiên cứu của chúng tôi là kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số, các điều kiện và ràng buộc khi sử dụng kỹ thuật “đạo hàm” do đó chúng
tôi sẽ phân tích các tổ chức toán học để làm rõ vấn đề này.
Các tổ chức toán học gắn với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trong chương trình và sách giáo khoa toán lớp 12 chủ yếu đề cập đến các kiểu nhiệm
vụ sau:
21
Kiểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên
miền D”, gồm hai kiểu nhiệm vụ con:
Kiểu nhiệm vụ Tk:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên
khoảng (a ; b)”.
Kiểu nhiệm vụ Tđ:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn
[a ; b]”.
Kiểu nhiệm vụ Tpatu:“Tìm phương án tối ưu cho bài toán có nội dung thực tế”.
Kiểu nhiệm vụ T:“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f(x) trên miền D”
Ví dụ: Ví dụ 1 [17, tr.18]
“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑓 (𝑥) = √4 − 𝑥 2 .
Giải
Tập xác định của hàm số là [-2 ; 2]. Hiển nhiên 0 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 2 với mọi 𝑥 ∈ [−2; 2];
𝑓 (𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = ±2 và 𝑓 (𝑥) = 2 ⟺ 𝑥 = 0
2
+
15
5
8
f(x)
-15
1
Từ bảng biến thiên, ta được
𝑚𝑎𝑥𝑥∈�−3;3� 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (−1) = 5; 𝑚𝑖𝑛𝑥∈�−3;3� 𝑓 (𝑥) = 𝑓(−3) = −15.”
2
2
Ví dụ: Hoạt động 1 [17, tr.19] với hướng dẫn trong [18, tr.41]
“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 +
Giải
1
𝑥−1
f’(x)
3
Từ bảng biến thiên, ta có 𝑚𝑖𝑛𝑥∈(1;+∞) 𝑓(𝑥) = 𝑓 (2) = 3
Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (1; +∞).”
Kỹ thuật τbbt: “Bảng biến thiên”
- Tìm các điểm x1, x2, ..., xm thuộc D tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm;
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D;
- Dựa vào bảng biến thiên để tìm đáp án.
23
Copyright: Tài liệu đại học ©