BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Sinh

BẢNG BIẾN THIÊN TRONG DẠY HỌC
HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Sinh

BẢNG BIẾN THIÊN TRONG DẠY HỌC
HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU


Lời cảm ơn
Mục lục
Bảng danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU.............................................................................................................................. 1
Chương 1 PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM VÀ VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN...... 5
1.1. Lý do tồn tại của BBT và những chướng ngại liên quan : .............................5
1.1.1. Về khái niệm hàm số.............................................................................6
1.1.2. Về khái niệm đồ thị ...............................................................................8
1.2. Vai trò của BBT trong dạy học hàm số : ......................................................22
* Kết luận ............................................................................................................. 24
Chương 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI BẢNG BIẾN THIÊN ............................... 27
2.1. Bảng biến thiên trong chương trình toán lớp 10 ..........................................28
2.1.1. Thời điểm xuất hiện và ý nghĩa của BBT : ............................................ 28
* Kết luận ............................................................................................................. 35
2.1.2. Các tổ chức toán học xung quanh khái niệm BBT : ............................. 36
* Kết luận: ............................................................................................................ 44
2.2. Bảng biến thiên trong chương trình toán lớp 12 ..........................................45
2.2.1.Ứng dụng của bảng biến thiên : ............................................................... 45
2.2.2.Các tổ chức toán học liên quan đến bảng biến thiên : ........................... 58
* Kết luận ..................................................................................................................... 70
Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...................................................................... 74
3.1. Mục tiêu của thực nghiệm ............................................................................74
3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm : .........................................................74
3.3. Phân tích tiên nghiệm (a priori) : .................................................................75
3.3.1. Các bài toán thực nghiệm ......................................................................... 75
3.3.2. Phân tích chi tiết các bài toán .................................................................. 77


3.3.2.1. Các bài toán dành cho học sinh lớp 12 – Ban KHTN ............77

GK NC12

: Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

BT NC10

: Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 10 hiện hành

BT NC12

: Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

GV NC10

: Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 10 hiện hành

GV NC12

: Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 12 hiện hành

BBT

: Bảng biến thiên

KSHS

: Khảo sát hàm số

GTLN


x3
sau : f ( x ) = − m 2 x + 5 ”. Hầu hết học sinh không xét hết các trường hợp của
3
tham số m. Sau đây là bài giải của một học sinh lớp 12 :
“Giải.
Tập xác định : D = 
Ta có :

f ' ( x=
) x2 − m2

Từ đó :

f '( x ) =
0⇔ x=
−m hoặc x = m

Bảng biến thiên :

x
−∞
f '( x )
f ( x)

−∞

+

−m
0

không ít khó khăn cho học sinh. Hệ quả là học sinh thường cho đáp án sai hoặc
không xét đầy đủ các trường hợp của tham số trong một số bài toán có liên quan
đến việc sử dụng BBT.
Trong bài giải trên, học sinh đã cho rằng m > − m với mọi m . Tuy nhiên
điều này chỉ đúng khi m > 0 . Có thể nhận thấy em học sinh này đã không xét đầy
đủ các trường hợp của tham số m. Cụ thể là cần xét thêm m < 0 và m = 0 .
Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này ? Còn những sai lầm nào khác ở học
sinh khi sử dụng BBT trong giải toán không ? Những sai lầm đó có nguồn gốc từ
đâu ?
Từ những ghi nhận ban đầu này, chúng tôi đã quyết định lựa chọn chủ đề :
“Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT” làm đề tài luận văn thạc sĩ của
mình.
Mục tiêu của luận văn là làm rõ những vấn đề sau đây :
-

Khái niệm BBT được đưa vào như thế nào ở chương trình THPT ? Nhằm

mục đích gì ? Có được định nghĩa rõ ràng không ? Những khái niệm toán học nào
có mối liên hệ với BBT ?
-

Những dạng toán nào liên quan đến sử dụng BBT ? Chúng được phát triển ra

sao qua các cấp lớp, bậc học ? Những sai lầm nào thường gặp ở học sinh khi giải
quyết các bài toán gắn liền với khái niệm này ? Những sai lầm này là do đâu ?

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


-

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q 1 , Q 2 , Q 3 và Q 4 được nêu ra ở mục 2,
chúng tôi đã lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp và xác định những nhiệm
vụ cần thực hiện sau :
Trước tiên chúng tôi tham khảo một số giáo trình đại học và các luận văn
Didactic Toán, sách giáo khoa toán phổ thông và một số tài liệu tham khảo để tìm
hiểu cụ thể khái niệm BBT là gì ? Mục đích đưa vào khái niệm này để làm gì ? Có
những chướng ngại gì trong việc lĩnh hội và sử dụng khái niệm này. Việc nghiên
cứu này sẽ giúp chúng tôi hiểu được nguồn gốc của những chướng ngại khoa học
luận gắn liền với BBT. Từ đó, chúng tôi dự đoán được những sai lầm chủ yếu mà
học sinh thường phạm phải liên quan đến việc học khái niệm này. Những kết quả
thu được cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q 1 và được trình bày trong chương 1:
“PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM VÀ VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN”
Để có được câu trả lời cho câu hỏi Q 2 và Q 3 , chúng tôi sẽ nghiên cứu mối
quan hệ thể chế I với BBT, vạch rõ cuộc sống của BBT trong thể chế. Nghĩa là,
chúng tôi sẽ chỉ ra sự tiến triển của BBT trong toàn bộ chương trình toán THPT,
những mong đợi của thể chế, những quy tắc hợp đồng và những sai lầm chủ yếu của
học sinh liên quan đến BBT. Tất cả phần này chúng tôi sẽ trình bày trong
chương 2 : “MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI BẢNG BIẾN THIÊN”. Từ đó,
chúng tôi sẽ đưa ra những giả thuyết nghiên cứu và hợp đồng didactic liên quan đến
khái niệm BBT.
Để kiểm chứng cho những giả thuyết nghiên cứu của mình, chúng tôi sẽ tiến
hành hai thực nghiệm, một trên lớp 10 và một trên lớp 12. Chúng tôi sẽ trình bày
phần này trong chương 3 : “NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM”
Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt lại các kết quả đã nghiên cứu được và
nêu ra một số hướng có thể nghiên cứu tiếp từ luận văn này.

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT





5. Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong
qua phương trình của nó, Luận văn Thạc Sĩ. [22]
6. Margaret L.Lial (Fourth Edition, 1992), Finite Mathematics and Calculus
with Applications, Harper Collins College Publishers. [25]
7. Finney Thomas (Second Edition, 1994), Calculus, Addison Wesley
Publishing Company, New York. [26]
8. BLOCH, I. (2000) Un milieu graphique pour I’apprentissage de la notion
de fonction au lycée, Petit x, no 58, 25-46. [27]
9. COMIN, E. (2005). Variables et fonctions, du collège au lycée : méprise
dedactique ou quiproquo interinstitutionnel, Petit x, no 67, 33-61.
[28]
10. [29]
1.1.1. Về khái niệm hàm số
Khái niệm hàm số đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Đặc biệt nó là
một trong những đối tượng nền tảng trong lĩnh vực nghiên cứu, phân tích toán học.
Sự tiến triển lịch sử của khái niệm này thì phức tạp và đã được phân tích trong
nhiều nghiên cứu. Vì vậy, chúng tôi sẽ không trở lại vấn đề này, nhưng ở đây chúng
tôi sẽ đưa ra dẫn chứng một số tài liệu liên quan đến khái niệm hàm số và quan
niệm về nó để xác định rõ hơn mục tiêu nghiên cứu của mình.
Khái niệm hàm số được nêu trong Từ điển Bách khoa phổ thông toán học,
[17-tr.324], như sau :
“Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ
thuộc của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên
khác.
Từ “đại lượng” trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất
rộng. Đó có thể là danh số, là số trừu tượng, là một vài số (tức là điểm trong
không gian) và - nói chung - là phần tử của một tập hợp bất kì”.
Như vậy, chính sự phụ thuộc giữa các đại lượng biến thiên đã xây dựng nên

1
, n ∈  . Chúng là những
n

hàm không liên tục. Trong đó, f ( n ) = n 2 và f ( n ) = n3 là những hàm tăng trên  ,

f (n) =

1
là hàm giảm trên  . Như vậy, dù chưa có khái niệm về hàm số ở thời kỳ
n

này nhưng khái niệm này đã tồn tại một cách không chính thức dưới dạng các bảng,
và với góc nhìn của toán học hiện đại thì chúng là các bảng giá trị của hàm. Phạm vi
của biến số được xác định rõ là tập hợp các số tự nhiên. Trường hợp mở rộng
n ∈  , các bảng giá trị trên chỉ cung cấp một số giá trị hữu hạn, rời rạc và chưa thể

hiện được sự biến đổi liên tục giữa các đại lượng trong hàm.

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


Lý do nêu ra vấn đề trên là do chúng tôi tìm thấy đoạn trích dẫn liên quan
đến bảng giá trị của hàm trong [17-tr.326] như sau : “Trong phương pháp cho hàm
bằng bảng số, mỗi trị của đối số được xếp tương ứng với trị của hàm. Phương pháp
cho hàm này thường dùng trong các trường hợp mà miền xác định gồm một số hữu
hạn trị số (bảng giá các mặt hàng, bảng kết quả xổ số, v.v.)”. Như vậy, đối với một
hàm, một bảng giá trị đưa ra một mẫu các cặp giá trị được tạo thành bởi một giá trị
của biến số với giá trị hàm tương ứng. Vì vậy, nó biểu hiện một phần (trừ trường
hợp rất đặc biệt của một hàm chỉ gồm một tập hợp hữu hạn các cặp giá trị) của

y = f ( x ) nằm cao hơn đồ thị y = g ( x ) , chính là nghiệm của bất đẳng thức

f ( x ) > g ( x ) ; trên h.14, đó là các khoảng ( x1 , x2 ) và ( x3 ; +∞ ) .”. Tuy rằng chúng ta
chỉ giải được gần đúng các phương trình và bất phương trình khi sử dụng đồ thị của
các hàm số nhưng dẫu sao những kết quả có được cũng khá quan trọng. Hơn nữa đồ
thị phản ánh trực quan dáng điệu định tính của hàm, và vì vậy nó được xem là
phương tiện quan trọng để nghiên cứu hàm.
Để vẽ đồ thị của hàm số, [8-tr.161] đưa ra quy trình sau :
“Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự sau đây :
1. Tìm tập xác định của f
2. Xét chiều biến thiên : tìm khoảng tăng, giảm của hàm số
3. Tìm cực trị (nếu có)
4. Xét khoảng lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có)
5. Tìm tiệm cận (nếu có)
6. Lập bảng biến thiên
7. Vẽ đồ thị
Trong nhiều trường hợp, để việc khảo sát được đơn giản, người ta còn chú ý
phát hiện các đặc điểm của hàm số như tính chẵn lẻ, tuần hoàn.”
Như vậy, để vẽ đồ thị của hàm số cần thực hiện các bước theo trình tự trên.
Từ quy trình này, chúng tôi đặt ra những câu hỏi sau : BBT là gì ? Có được định
nghĩa trước khi đưa ra quy trình khảo sát hàm số không ? Nó có vai trò gì trong quy
trình này ?

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


Xem xét toàn bộ nội dung giáo trình [8], chúng tôi không tìm thấy một dấu
hiệu nào về việc định nghĩa BBT cả. Đặc biệt hơn, việc lập BBT như thế nào và có
ý nghĩa gì trong quy trình trên cũng không được đề cập. Điều này càng khiến chúng
tôi băn khoăn hơn về vai trò của BBT trong việc dựng đồ thị của hàm số.

Nhằm xác định rõ hơn về chức năng và lý do tồn tại của BBT, chúng tôi xem
xét ví dụ minh họa sau trong [8-tr.163] :
“Để minh họa cho các bước khảo sát, ta xét hàm số :

=
f ( x)

x3
x−a

( a > 0)

…
Từ các kết quả trên ta có bảng biến thiên sau đây :

”
Qua quan sát, chúng tôi nhận thấy hầu hết những tính chất của hàm số khảo
sát ở các bước trước đó được tóm tắt và thể hiện trong BBT. Cụ thể dòng thứ nhất là
đặt thứ tự các điểm tới hạn (các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không
xác định) tăng dần từ trái sang phải trên trục số , dòng thứ hai và thứ ba lần lượt thể
hiện dấu của đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai của hàm số trên các khoảng chia
bởi các điểm tới hạn. Dòng cuối cùng thể hiện hàm số đồng biến (tương ứng

f ' ( x ) > 0 ) trên một khoảng bằng một mũi tên đi lên từ trái sang phải và ngược lại,
hàm số nghịch biến (tương ứng f ' ( x ) < 0 ) trên một khoảng bằng một mũi tên đi
xuống từ trái sang phải, giới hạn của hàm số ở vô cực hoặc tại các điểm tới hạn, giá
trị cực trị của hàm số. Như vậy, BBT là bảng tóm tắt một số tính chất của hàm số.
Để hiểu rõ hơn chức năng của BBT, chúng tôi lược dịch luận án của Bloch
(2000) về BBT như sau : “Bảng biến thiên chỉ có chức năng là một chuyển tiếp giữa
hàm và trình bày đồ thị của nó. Theo truyền thống, đó là một công cụ để tóm tắt

Việc dựng đồ thị theo cách trên chính là sử dụng bảng giá trị của hàm số để
vẽ đồ thị. Nếu đi từ một bảng giá trị, với bản chất là hữu hạn, sẽ có một số lượng vô

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


hạn hàm số có thể đáp ứng nó. Trong bối cảnh đồ thị, điều này cho phép có nhiều
chọn lựa khác nhau để nối nhiều điểm được cho từ một bảng giá trị. Về mặt lý
thuyết, nếu sự biến đổi là vô hạn, trong thực hành, vẽ đồ thị theo cách này chỉ có thể
chính xác ở một số hữu hạn điểm đã cho, nhưng sẽ không thể hiện chính xác đồ thị,
thậm chí là sai lệch hoàn toàn về sự biến thiên của hàm số. Bởi hàm số xác định,
liên tục trong một khoảng nào đó thì biến thiên liên tục trên khoảng đó. Do đó, ta
không thể kiểm soát hàm số tăng hay giảm như thế nào trong một khoảng giữa hai
điểm được. Chẳng hạn, xét hàm số : y =

11x + 2
, có bảng giá trị là :
2 x3 − 1

x

-3

-2

-1

0

1


So với bảng giá trị, việc dựa vào BBT để xây dựng đường cong biểu diễn
cho đồ thị của hàm số sẽ thể hiện chính xác sự đơn điệu của nó trên các khoảng.
Tuy nhiên, việc thực hành vẽ một đường cong biểu diễn một số điểm cho trong
bảng giá trị là phổ biến trong nhiều lĩnh vực mà chương trình dạy toán rất khó gạt

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


bỏ. Thực tế, ở cấp trung học cơ sở học sinh đã quá quen thuộc với bảng giá trị xuất
hiện trong toán học cũng như trong các ngành khác hoặc những tình huống thường
nhật bên ngoài trường học. Học sinh thường được yêu cầu vẽ đồ thị từ dữ liệu của
một bảng giá trị, bằng cách chấm các điểm được cho trên hệ trục tọa độ Descartes
rồi nối các điểm này theo thứ tự từ trái sang phải, thường bằng những dòng phân
đoạn. Chẳng hạn, chương trình vậy lý lớp 9 hiện hành, trong bài 1 “Sự phụ thuộc
của cường độ dòng điện vào hiệu điện thế giữa hai đầu dây dẫn”, học sinh được
yêu cầu dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của I vào U và từ đồ thị đó suy ra một
số giá trị. Đồ thị này biểu diễn sự phụ thuộc tuyến tính của hai đại lượng I và U nên
nó là một đường thẳng.
Như vậy, ở đầu lớp 10 bảng giá trị chưa có vấn đề gì đối với học sinh trong
việc dựng đồ thị. Mối liên kết giữa bảng giá trị với đường cong đã được thực hiện,
nhưng không nhất thiết phải liên kết với ý tưởng về hàm, còn chưa rõ ràng trong
đầu học sinh. Những kinh nghiệm khác nhau về bảng giá trị chắc chắn đã định dạng
việc trình bày đồ thị. Do đó, việc trình bày đồ thị của hàm số dựa vào BBT, trong
khi mà nó vẫn xuất hiện cùng với một số cặp giá trị, học sinh có thể thực hiện theo
quy tắc là nối các điểm bởi những đường phân đoạn. Theo luận văn thạc sỹ Bùi
Anh Tuấn (2007) thì tồn tại hai quy tắc hợp đồng trong việc dựng đồ thị hàm số :
“Quy tắc 1 : “Đối với học sinh lớp 11, dựng đồ thị là vẽ những điểm đặc biệt
rồi nối chúng lại với nhau”;
Quy tắc 2 : “Đối với học sinh lớp 12, dựng đồ thị phải dựa trên bảng biến

ràng hơn, chúng tôi đưa ra hai trích dẫn sau :
“Định lí :
Cho f khả vi cấp hai trên a, b . Khi ấy f ( x ) lõm (lồi) trên a, b
khi và chỉ khi f " ( x ) ≥ 0 ( f " ( x ) ≤ 0 ) , ∀x ∈ a, b ” [8-tr.159,160]
hoặc :

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


“Đồ thị của hàm khả vi y = f ( x ) có phần lõm hướng lên trên khoảng y '
tăng và có phần lõm hướng xuống trên khoảng y ' giảm” [26-tr.219]
Do đó, nếu chỉ dựa vào sự biến thiên của hàm số được thể hiện trong một
BBT mà không quan tâm đến tính lồi lõm sẽ làm giảm tính chính xác của đường
cong biểu diễn cho đồ thị của nó. Nói cách khác, dấu đạo hàm cấp hai của hàm số
được ghép chung trong BBT sẽ cho ta hình dung chính xác hơn hình dáng đồ thị của
hàm số.
Ngoài ra, theo các trích dẫn trên khi dựng đồ thị của hàm số cũng cần lưu ý
đến tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn của hàm số. Vậy, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn của
hàm số có ý nghĩa gì với việc dựng đồ thị ?
Tự điển bách khoa phổ thông toán học 1, có đoạn viết :
“Miền xác định của hàm chẵn luôn đối xứng qua điểm x = 0 . Đồ thị hàm
chẵn đối xứng qua trục tung.” [17-tr.374]
Và :
“ Miền xác định của hàm lẻ đối xứng qua điểm x = 0 . Đồ thị hàm lẻ đối xứng
qua gốc tọa độ.” [17-378]
Đoạn trích cho thấy việc xác định tính chẳn lẻ của hàm số sẽ giúp cho việc
dựng đồ thị của hàm số được dễ dàng hơn. Hơn nữa, do tính đối xứng của đồ thị
hàm số chẵn và hàm số lẽ nên có thể chỉ cần khảo sát, lập BBT và vẽ đồ thị của hàm
số trên khoảng ( 0;+∞ ) hoặc khoảng ( −∞;0 ) rồi suy ra khoảng còn lại.
Để tìm hiểu mối liên hệ giữa tính tuần hoàn với quy trình dựng đồ thị của

Ở đây r là hàm số tuần hoàn với chu kì

2π
, vì thế ta chỉ cần khảo sát nó
3

 π π
trong khoảng  − ,  . Hơn nữa r là hàm lẻ nên ta cũng chỉ cần khảo sát trong
 3 3
 π
0, 3 
[…]

LVThS. Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT


”
Rõ ràng, nếu dựa vào tính tuần hoàn và tính chẵn lẽ có thể giúp cho việc
khảo sát được thu hẹp trên khoảng nhỏ nhất nhưng đủ để dựng được đồ thị của một
hàm số. Vấn đề là làm thế nào để xác định được hàm số có tuần hoàn và cách xác
định chu kỳ của nó ra sao cần được hướng dẫn rõ hơn trong thực hành. Ở đây,
chúng tôi không thấy đề cập đến vấn đề này. Phải chăng việc xác định những vấn đề
này đã được biết từ phổ thông ?
Đối với một BBT, chúng tôi có một số câu hỏi sau : Những kí hiệu nào có
thể xuất hiện trong một BBT ? Chúng có ý nghĩa gì ? Có những chướng ngại nào
liên quan đến việc hiểu các kí hiệu này ? Chúng có ảnh hưởng gì đến việc sử dụng
BBT để giải toán ?
Đầu tiên, chúng tôi tìm hiểu về dấu hai gạch. Qua BBT của hàm số

f ( x) =