BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA VẬT LÝ


VŨ THỊ LAN ANH
ĐỀ TÀI:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NIÊN KHÓA: 2008 – 2012

TP. HỒ CHÍ MINH-2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA VẬT LÝ


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

GVHD: ThS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM
SVTH: VŨ THỊ LAN ANH

NIÊN KHÓA: 2008 – 2012

TP. HỒ CHÍ MINH-2012




2.2.1. Exciton Mott-Wannier .................................................................... 25
2.2.2. Exciton Frenkel............................................................................... 26
2.3.

Hàm sóng và năng lượng của exciton trung hòa ................................. 27

2.3.1. Exciton Mott-Wannier .................................................................... 27


2.3.2. Exciton Frenkel............................................................................... 30
2.4.

Kết luận ............................................................................................... 32

2.5.

Phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa trong từ trường...... 32

CHƯƠNG 3: EXCITON ÂM ........................................................................... 37
3.1.

Định nghĩa ........................................................................................... 37

3.2.

Phương trình Schrödinger cho exciton âm ......................................... 38

3.3.




MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, các nhà vật lý và hóa học ngày càng quan tâm
hơn đến các vật liệu thấp chiều, những lợi ích có được từ chúng cũng đang tăng
đáng kể và dự định sẽ còn hơn thế trong tương lai, đơn cử một lý do sau: chỉ xét
riêng nhu cầu trong ngành điện tử, độ phức tạp của bộ vi xử lý và bộ nhớ của các
con chip ngày càng tăng thể hiện ở chỗ cứ mỗi hai năm mật độ chip lại tăng gấp đôi.
Điều này dẫn đến các thành phần điện tử riêng biệt phải có kích thước cỡ 100 nm
trở xuống, làm một số chiều trong không gian tinh thể bị hạn chế.
Trong các tinh thể thông thường, các phân tử sẽ tương tác với nhau trong
không gian ba chiều (3D – 3 Dimensional). Nhưng nếu một, hai hoặc cả ba chiều bị
hạn chế - hệ quả của việc thu hẹp kích thước vật liệu – thì các hiệu ứng lượng tử bắt
đầu xuất hiện và đóng vai trò quan trọng, nói cách khác, vật liệu hệ thấp chiều thể
hiện những tính chất mà không thấy được trong các tinh thể thông thường, ví dụ
như việc trong phổ hấp thụ xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ, không phải là của các
hạt hoặc các hệ hạt đã biết; vật liệu hệ thấp chiều “hành xử” như thể bên trong
chúng không chỉ chứa các electron rời rạc mà là chứa các “giả hạt” là trạng thái liên
kết của các electron đó. Dựa vào số chiều không bị giới hạn, vật liệu thấp chiều
được chia thành các loại không chiều (0D), một chiều (1D), hai chiều (2D). Các vật
liệu 0D được tìm thấy trong hầu hết các tinh thể nano bán dẫn (chấm lượng tử Quantum Dot) và họ fullerene. Các vật liệu 1D tồn tại ở các hình thức khác nhau có
cấu trúc dạng chuỗi, ví dụ ống nano, dây nano, vòng nano, vành nano. Chất liệu cấu
thành chúng có thể là cacbon, phân tử hữu cơ (để tạo thành polyme), kim loại, chất
bán dẫn, hoặc oxit kim loại. Ống nano cacbon là một trong những vật liệu một chiều
được nghiên cứu nhiều nhất. Quá trình nghiên cứu vật liệu 2D bắt đầu với giếng
lượng tử, nhưng giờ đây việc nghiên cứu đã chuyển sang vật liệu có cấu trúc nhiều
lớp với kích thước bề dày cỡ nguyên tử trong đó graphene và cấu trúc bán dẫn siêu


mạng (supperlattice) là những khám phá nổi bật trong lĩnh vực đang phát triển

toán sẽ gần với thực tế hơn khi xét đến sự tồn tại của trường ngoài. Nghiên cứu cho
thấy có rất nhiều hiệu ứng quang – điện xảy ra đặc biệt khi exciton tồn tại trong bán
dẫn mà trường ngoài xuất hiện như hiệu ứng Stark, sự thay đổi tính dẫn điện, hiện
tượng quang phi tuyến trong pha kết hợp, sự phụ thuộc năng lượng liên kết exciton
vào điện trường và từ trường, hiệu ứng tách vạch Zeeman trong từ trường [23], …
Nhưng không chỉ dừng lại ở đó, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật
và công nghệ, thế giới đã chế tạo thành công những lớp vật liệu mỏng kích cỡ
nanomet bằng các phương pháp như MBE (Molecular Beam Epitaxy, tạm dịch “cấy
chùm phân tử”), MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, tạm dịch
“kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ”) [6], [17], [20]. Các lớp vật liệu này được ghép
với nhau thành cấu trúc nhiều lớp thấp chiều, trở thành một “môi trường” rất tốt để
nghiên cứu các tính chất và hiệu ứng lượng tử của exciton, đơn cử là giếng lượng tử
GaAs/Al x Ga 1-x As, (với 𝑥 ≤ 0.45) là một loại vật liệu có cấu trúc tinh thể nhiều lớp

được sử dụng trong hầu hết những nghiên cứu gần đây về exciton bởi những điều
kiện rất thuận lợi mà nó mang lại như việc có thể kiểm soát chặt chẽ nồng độ của

từng loại hạt tải điện bằng cách thay đổi nồng độ Al khi cấy ghép giếng lượng tử.
Cũng chính nhờ loại vật liệu bán dẫn đặc biệt này mà năm 1993 Kheng et al. [10],
[11] đã phát hiện exciton mang điện trong giếng lượng tử CdTe/CdZnTe và sau đó
là trong GaAs/AlGaAs năm 1996 bởi G. Finkelstein et al. [15], A.J. Shields et al.
năm 1997 [8], M. Hayne et al. năm 1999 [18]; và cho đến nay việc nghiên cứu về
exciton mang điện vẫn còn thu hút sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều nhóm các nhà
khoa học khi cả thực nghiệm và lý thuyết đều cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng
liên kết exciton và sự biến đổi trạng thái spin khi vật liệu thấp chiều được đặt trong
từ trường [12], [18], [20].
Thực tiễn trên đã làm tác giả phát sinh nhu cầu tìm hiểu các vấn đề cơ bản
sau: bản chất của exciton là gì? Có những loại exciton nào? Phương trình
Schrödinger mô tả trạng thái của các loại exciton có dạng như thế nào? Tình hình



 Phân loại, thiết lập phương trình Schrödinger cho các loại exciton
trung hòa cho hai trường hợp không có từ trường và có từ trường
ngoài đều, các tính chất của exciton trung hòa.
 Thiết lập phương trình Schrödinger cho exciton âm 2D cho hai trường
hợp không có từ trường và có từ trường ngoài đều.
 Tìm hiểu tình hình giải các bài toán exciton.
Phương pháp: tìm kiếm tài liệu, đọc, đánh giá nội dung, phân tích, tổng
hợp, trình bày lại theo một bố cục hợp lý, logic.
Bố cục luận văn: dựa vào mục tiêu và các nội dung trên, trừ phần mở đầu và
phần kết luận, luận văn này được chia thành ba chương, cụ thể như sau:
•

Chương I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT. Chương này trình bày các

kiến thức về cấu trúc vùng năng lượng trong chất rắn nhằm dẫn đến sự
hình thành các vùng năng lượng, sau đó là sự xuất hiện của giả hạt “lỗ
trống” khi electron hóa trị bị kích thích lên vùng dẫn và sự xuất hiện
trạng thái liên kết giữa chúng khi khoảng cách giữ chúng bị thu nhỏ lại
bởi sự giam giữ của các hệ thấp chiều – đặc biệt là mô hình cấu trúc
giếng lượng tử 2D – dẫn đến sự hình thành exciton.
•

Chương II: EXCITON TRUNG HÒA. Giới thiệu những nét cơ

bản về exciton trung hòa: định nghĩa, phân loại, tính chất, phương trình
Schrödinger trong hai trường hợp không có từ trường và có từ trường
ngoài đều, và tình hình giải các bài toán này.
•


1.1.1. Hoàn cảnh lịch sử
Mẫu electron tự do của kim loại giúp ta hiểu rõ được bản chất của nhiệt
dung, độ dẫn nhiệt, độ dẫn điện, độ cảm từ và điện động lực học các kim loại. Tuy
nhiên mẫu này tỏ ra còn hạn chế khi không giải thích được một số hiện tượng quan
trọng sau [2]:




Theo mẫu electron tự do, độ dẫn điện của chất rắn tỉ lệ với mật

độ electron, nhưng thực tế có một số kim loại có hóa trị II (như Be, Cd,
Zn, …) hay thậm chí kim loại hóa trị III (như Al, In, …) lại có độ dẫn
điện kém hơn những kim loại hóa trị I (như Ag), mặc dù chúng có mật độ
electron cao hơn.


Thực tế một số kim loại có hằng số Hall dương, trong khi đó

theo mẫu electron tự do thì hằng số Hall luôn âm.


Đo đạc thực nghiệm cho thấy mặt Fermi thường không có dạng

hình cầu, điều này trái ngược với mẫu electron tự do, mẫu này khẳng định
mặt Fermi có dạng hình cầu.


Mẫu electron tự do không giải thích được sự liên hệ giữa các


electron nào, gọi là vùng cấm. Điều này cũng được suy ra khi biện luận nghiệm
phương trình Schrödinger của electron trong trường thế của tinh thể [2].
1.1.3. Phương trình Schrödinger cho chuyển động của electron trong
trường thế tuần hoàn của tinh thể
Để mô tả tính chất của electron trong tinh thể cần phải xét một hệ gồm rất
nhiều hạt tương tác với nhau: các electron, các hạt nhân nguyên tử.
Phương trình Schrödinger cho electron trong tinh thể có dạng

� = − ∑𝑖
với 𝐻
Trong đó:

ℏ2

2𝑚

∇2𝑖 − ∑2

ℏ2

2𝑀

1

� 𝛹 = 𝐸𝛹,
𝐻

∇22 + ∑𝑖 ∑𝑗
2


trường thế 𝑉(𝑟⃗). Do tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể nên 𝑉(𝑟⃗) là hàm tuần
hoàn trong không gian với chu kì là một vector mạng

𝑉�𝑟⃗ + 𝑅�⃗ � = 𝑉 (𝑟⃗),

với 𝑟⃗ là vector vị trí, 𝑅�⃗ là vector mạng.

R

𝑉 (𝑟⃗)

Hình 1.1: Thế tuần hoàn do các ion nút mạng gây ra trong tinh thể chất rắn.


Như vậy, qua hai phép gần đúng ta thu được một hệ phương trình độc lập,
mỗi phương trình mô tả chuyển động của một electron, có dạng

với:

�−

ℏ2

𝛻2
2𝑚 𝑖

+ 𝑉𝑖 (�𝑟⃗𝚤 )� 𝛹𝑖 (�𝑟⃗𝚤 ) = 𝐸𝑖 𝛹𝑖 (�𝑟⃗𝚤 ),

(1.2)



Giải (1.3) cho hai trường hợp bên trong và bên ngoài giếng, ta có nghiệm
𝛹1 (𝑥) = 𝐴. 𝑒 𝑖𝑘1 𝑥 + 𝐵. 𝑒 −𝑖𝑘1 𝑥 với 𝑘12 =

2𝑚𝐸
ℏ2

,

(1.3)


𝛹2 (𝑥) = 𝐶. 𝑒 𝑘2𝑥 + 𝐷. 𝑒 −𝑘2𝑥 với 𝑘22 =

2𝑚(𝑉0 −𝐸)
ℏ2

.

Khi sử dụng các điều kiện biên để tìm các hệ số A, B, C, D, ta thu được:
1
𝑖𝑘
� 𝑖𝑘1𝑎
𝑒 1
𝑖𝑘1 𝑒 𝑖𝑘1 𝑎

1
−𝑖𝑘1

𝑒 −𝑖𝑘1 𝑎


𝑘22 − 𝑘12
𝑘2
𝑘22 𝑎𝑏 1
. 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑘2 𝑏) ≈
𝑘 𝑏=
.
.
2 𝑘1 𝑎
2𝑘1 𝑘2
2𝑘1 2

𝑘22 𝑎𝑏
2

(1.6)

(1.7)

, từ (1.6) và (1.7), ta có
𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑎) + 𝑃.

𝑠𝑖𝑛(𝑘1 𝑎)
= 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎).
𝑘1 𝑎

Ta tìm nghiệm phương trình (1.8) bằng phương pháp đồ thị, với 𝑢 = 𝑘1 𝑎.

(1.8)


vùng hóa trị không bị electron chiếm gọi là lỗ trống.


1.1.4.2.






Tính chất của lỗ trống trong mạng tinh thể

Vector sóng: 𝑘�⃗ℎ = −𝑘�⃗𝑒 .
Điện tích: 𝑞ℎ = −𝑞𝑒 .

Năng lượng: 𝐸ℎ �𝑘�⃗ℎ � = −𝐸𝑒 �𝑘�⃗𝑒 �.

Khối lượng hiệu dụng của lỗ trống: 𝑚ℎ∗ = −𝑚𝑒∗ .

�⃗ℎ �,
Mật độ dòng điện do lỗ trống sinh ra khi chuyển động: 𝚥⃗ℎ = 𝑒𝑣⃗ℎ �𝑘

với 𝑣⃗ℎ là vận tốc của lỗ trống.

1.2. Bán dẫn hệ thấp chiều và sự hình thành exciton
Sự xuất hiện của lỗ trống ở vùng hóa trị khi electron bị kích thích lên vùng
dẫn gây ra lực hút tĩnh điện giữa electron và lỗ trống. Tương tác này trở nên mạnh
dần khi khoảng cách giữa electron và lỗ trống bị thu hẹp, đến lúc thắng được tương
tác đẩy gây bởi các electron tự do trong tinh thể - tức là năng lượng liên kết của
electron và lỗ trống đủ lớn - thì exciton được hình thành. Các exciton được quan sát

Esaki và Tsu là những người đã đề xuất và chế tạo thành công cấu trúc mạng
tuần hoàn – là cấu trúc gồm nhiều lớp xen kẽ nhau của hai loại bán dẫn khác loại
nhưng có hằng số mạng gần bằng nhau độ dày cỡ nm, thường được gọi là siêu mạng
(SL – superlattice) – với hai loại bán dẫn GaAs và AlGaAs [20]. Điều đặc biệt là
các công trình nghiên cứu đều cho cấu trúc siêu mạng GaAs/AlGaAs có những tính
chất khác biệt so với hai loại bán dẫn riêng biệt GaAs và AlGaAs, nổi bật nhất là sự
so sánh về phổ photoluminescence (PL) [17], [20]. Sau đó là sự ra đời của một loạt
các siêu mạng của các loại bán dẫn khác như CdTe/CdZnTe, GaInAs/AlInAs,
InAs/GaSb/AlSb, … với sự tiến bộ song song của các kĩ thuật cấy ghép tinh vi như
(Molecular Beam Epitaxy, tạm dịch “cấy chùm phân tử”), MOCVD (Metal Organic
Chemical Vapor Deposition, tạm dịch “kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ”) có thể
kiểm soát được mật độ hạt tải trong vật liệu để phục vụ các mục đích nghiên cứu
khác nhau như là tạo môi trường vật liệu có mật độ electron cao, hoặc mật độ lỗ


trống cao, và cả việc kiểm soát kích thước hạn chế của một chiều nào đó trong chất
bán dẫn [19], [20], [24]….
Lưu ý rằng điều kiện tiên quyết để tạo nên một bán dẫn nhiều lớp hữu dụng
là hai hoặc ba chất bán dẫn thành phần đó phải có hằng số mạng gần bằng nhau. Sự
phù hợp về hằng số mạng rất quan trọng vì bất cứ một sự chênh lệch nào cũng có
thể dẫn đến sự “trật khớp” khi cho các bán dẫn tiếp xúc nhau, và nhiều nghiên cứu
cho thấy các hạt tải – cụ thể là electron – có thể bị tán xạ hoặc xuất hiện các hiệu
ứng ngoài mong muốn gây nhiễu cho kết quả đo đạc [24].
1.2.3. Cấu trúc giếng lượng tử 2D
1.2.3.1.

Cấu trúc vùng tại bề mặt tiếp xúc của hai bán dẫn

Ta đã biết, các vật liệu khác nhau có các cấu trúc khe vùng khác nhau. Gọi
𝐸𝑐 và 𝐸𝑣 lần lượt là mức năng lượng tại đáy vùng dẫn và đỉnh vùng hóa trị, bề rộng



Ta thấy vì bề rộng vùng cấm của hai bán dẫn khác nhau nên đáy của vùng
dẫn cao hơn sẽ có thêm một phần năng lượng bù vào gọi là phần bù vùng dẫn ∆𝐸𝑐

(conduction band offset). Khi hai bán dẫn A và B tiếp xúc với nhau thì phần bù
vùng dẫn sẽ ngăn không cho electron ở gần đáy vùng dẫn của A nhảy sang B, nghĩa
là phần bù vùng dẫn đóng vai trò là một hàng rào thế. Tính chất của hàng rào thế
này khác nhau phụ thuộc vào sự tiếp xúc của hai vùng cấm 𝐸𝑔𝐴 và 𝐸𝑔𝐵 . Nếu bề rộng

vùng cấm của chất bán dẫn này nằm lọt trong bề rộng vùng cấm của chất bán dẫn

kia thì ta có tiếp xúc loại I, như hình (1.4), đó là trường hợp tiếp xúc của loại bán
dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs. Ngược lại, nếu bề rộng vùng cấm của chất bán dẫn
này không chứa hoàn toàn bề rộng của chất bán dẫn kia, ta có tiếp xúc loại II, như
hình (1.5), đây là trường hợp tiếp xúc của loại bán dẫn nhiều lớp InAs/GaSb/AlSb
(tại vùng tiếp xúc InAs/GaSb và AlSb/InAs).

Vùng
dẫn

∆𝐸𝑐 =

0.88

0.50

𝐸𝑔 =0.73
Vùng
hóa trị

1.2.3.2.

Bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs

Bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs – là cách viết tắt của GaAs/Al x Ga 1-x As –
được tạo nên từ việc ghép các lớp GaAs và AlGaAs xen kẽ nhau trên một mảng
tuần hoàn. Hằng số mạng của GaAs và AlGaAs khác nhau không quá 0,14% nên
người ta thường dùng GaAs/AlGaAs để nghiên cứu. Hơn nữa việc thay đổi thành
phần x trong bán dẫn GaAs/Al x Ga 1-x As cho phép ta điều chỉnh được cấu trúc vùng
năng lượng phù hợp mục đích nghiên cứu cũng là một trong những yếu tố rất thuận
lợi cho việc khảo sát chúng, và thường thì 𝑥 ≤0.45 để đảm bảo vẫn là loại bán dẫn
trực tiếp [17]. Cho tới nay, GaAs/AlGaAs vẫn được sử dụng nhiều trong các công
trình nghiên cứu về khí electron trong cấu trúc tinh thể 2D, trong đó vùng GaAs
hoạt động như là hố thế năng còn vùng AlGaAs đóng vai trò là bức tường thế.
AlGaAs

GaAs

d1

d2

Hình 1.6: Cấu trúc siêu mạng GaAs/AlGaAs.

1.2.3.3.

Giếng lượng tử GaAs/AlGaAs 2D

Trong phần trên, ta đã phân tích cấu trúc vùng năng lượng tại những vị trí
tiếp giáp giữa hai lớp bán dẫn khác loại. Quan sát năng lượng và cấu trúc phần bù

lượng liên kết giữa electron và lỗ trống cũng tăng. Điều này lý giải tại sao các hiệu
ứng lượng tử nói chung cũng như bằng chứng về sự tồn tại và tính chất của exciton
(đặc biệt là exciton mang điện) bắt đầu xuất hiện rõ ràng hơn khi vật liệu 3D tiến
dần về giới hạn 2D. Điều này một lần nữa khẳng định tầm quan trọng của vật liệu
thấp chiều trong việc nghiên cứu các hệ hạt lượng tử, mà gần nhất là hệ 2D.
1.2.4. Sự hình thành exciton
Xét chất bán dẫn, electron chịu ảnh hưởng thế tương tác từ rất nhiều “đối
tượng” khác nhau như hạt nhân, lỗ trống, các electron khác. Trong hệ 3D, tương tác
hút giữa electron và lỗ trống không đủ mạnh để thắng được tương tác đẩy giữa các
electron với nhau. Kết quả là năng lượng liên kết giữa chúng rất yếu. Muốn chúng
hút nhau mạnh hơn thì phải làm cách nào đưa electron và lỗ trống “lại gần” nhau
hơn. Ý tưởng nảy ra là tìm cách giam electron trong các giếng thế, nhưng nếu giếng
không đủ sâu thì xác suất để các electron xuyên hầm là rất lớn, việc giam hãm cũng
không hiệu quả. Vậy ta cần chế tạo các giếng thế đủ sâu, hay đơn giản hơn là giếng
có bề rộng đủ hẹp để có thể xem là giếng sâu vô hạn Khi đó electron sẽ bị nhốt
giam trong giếng đó với xác suất xuyên hầm gần như bằng không.
Giếng thế có bề rộng rất hẹp chính là một ý tưởng giúp biến vật liệu 3D về
dạng giả 2D, một giải pháp hữu hiệu của hệ thấp chiều cho việc nghiên cứu exciton.
Lực tương tác tĩnh điện giữa electron ở đáy vùng dẫn và lỗ trống ở đỉnh vùng hóa trị


trở nên lớn hơn khi chúng được giam trong các hệ thấp chiều. Khi đó, electron và lỗ
trống không biểu hiện như chúng là các hạt mang điện tự do nữa mà “hành xử” như
thể electron và lỗ trống là một cặp không thể tách rời, người ta gọi trạng thái liên
kết giữa electron và lỗ trống là giả hạt exciton. Giả hạt này được tiên đoán bởi
Frenkel từ thập niên 30 - thế kỉ XX, nhưng phải đến hai thập niên sau đó, chúng
mới được thực nghiệm công nhận sự tồn tại [1], [9].