BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
NGUYỄN XUÂN HOÀNG
VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
NGUYỄN XUÂN HOÀNG
VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: DIDACTIC TOÁN
Mã số: 60.14.10
Người hướng dẫn: PGS.TS LÊ VĂN TIẾN
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
Thời trung đại ....................................................................................... 13
1.2.3.
Thế kỷ 16 - 17 ...................................................................................... 14
1.2.4 Thế kỷ 18 .................................................................................................. 17
1.2.5
Nửa đầu thế kỷ 19 ............................................................................... 21
1.2.6
Nửa cuối thế kỷ 19 đến nay ................................................................. 23
1.3.
Kết luận chương 1 ....................................................................................... 25
Chương 2: PHÂN TÍCH QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ NHÌN
TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ ........................................................................ 28
2.1.
Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn từ lớp 1 đến lớp 6 ........ 28
2.2.
Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 7 đến lớp 9 ............ 32
3.7.2 Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm ..................................................... 55
3.8. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 56
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 59
PHỤ LỤC ................................................................................................................. 62
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Nhiều công trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học cho thấy “ trong
quá trình nảy sinh và tiến triển của mình, hầu hết các khái niệm của toán học đều
xuất hiện (trong lịch sử) trước hết như một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các vấn
đề nào đó, sau đó chúng mới là đối tượng nghiên cứu của toán học. Khi đã có vị trí
chính thức của một khái niệm toán học nó lại được sử dụng như một công cụ tường
minh để giải quyết các vấn đề khác” 1. Nói cách khác, chúng thường nảy sinh và
tiến triển theo tiến trình : Công cụ → Đối tượng → Công cụ.
Rõ ràng rằng sự xuất hiện theo tiến trình này của một khái niệm toán học cho
phép giải thích rõ “nghĩa” của khái niệm (lí do nảy sinh khái niệm, đặc trưng của
các tình huống gắn liền với sự nảy sinh đó,…).
Điều này có còn đúng với các khái niệm toán học được giảng dạy trong
chương trình toán phổ thông ?
Có sự tương đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận một khái niệm trong
chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử?
Làm thế nào xây dựng các tình huống giảng dạy cho phép một khái niệm toán
học xuất hiện trước hết với vai trò công cụ, trước khi định nghĩa và nghiên cứu về
nó?
Trên đây là một số câu hỏi lôi cuốn sự quan tâm đặc biệt của chúng tôi. Tuy
nhiên, trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, việc tìm câu trả lời đòi hỏi chúng tôi
phải hạn chế nghiên cứu của mình vào một khái niệm ở một cấp độ chương trình cụ
thể và một số mặt nghiên cứu xác định.
Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của
mình trong phạm vi của Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm
của Lý thuyết tình huống như: khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ án
didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình huống.
Sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học như: tổ chức toán học, quan
hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế
với khái niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ. Ngoài ra, khái niệm Hợp đồng
didactic được sử dụng để giải thích các ứng xử của học sinh trong tình huống thực
nghiệm.
Chúng tôi xem khái niệm hàm số trong một số giáo trình đại học hiện nay
như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học để tham chiếu.
Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
của mình như sau:
Q 1 : Từ những công trình nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm hàm số đã có,
khái niệm hàm số đã xuất hiện theo tiến trình nào ? Trong tiến trình đó, vai trò công
cụ của khái niệm hàm số thể hiện ra sao ? Những tình huống nào cho phép khái
niệm hàm số xuất hiện với vai trò công cụ ? Đặc trưng của những tình huống này ?
Q 2 : Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, khái niệm hàm số
được đưa vào giảng dạy có theo tiến trình nào? Trước và sau khi khái niệm hàm số
được giảng dạy, vai trò công cụ của khái niệm này thể hiện ra sao? Có sự tương
đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình
toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử ?
Q 3 : Làm thế nào xây dựng một đồ án didactic để giảng dạy khái niệm tỉ lệ thuận, tỉ
lệ nghịch bằng cách vận dụng vai trò công cụ (ngầm ẩn) của khái niệm hàm số
trước khi hàm số được định nghĩa và nghiên cứu trong chương trình toán phổ
thông?
Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp
nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:
xét vai trò công cụ của nó, và các tình huống dẫn đến khái niệm này.
+ Chương 2 là sự phân tích bộ SGK Toán của Việt Nam (từ lớp 1 đến lớp 12)
nhìn từ góc độ vai trò công cụ. Với mục đích phân tích: phân tích tiến trình tiếp cận
khái niệm hàm số trong sách giáo khoa ; xem xét vai trò công cụ (ngầm ẩn – tường
minh) của khái niệm này trước và sau khi sách giáo khoa đưa ra định nghĩa. Từ đó,
chúng tôi đối chiếu tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ
thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử.
+ Chương 3 xây dựng đồ án, phân tích apriori tình huống, thực nghiệm đồ án
và phân tích a posteriori các dữ kiện thu thập được, đối chiếu với phân tích a priori.
+ Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1,
2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận
văn.
Chương 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VAI TRÒ CÔNG
CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ
Mục tiêu của chương
Phần đầu của chương này chúng tôi trình bày cơ chế hoạt động của khái
niệm: cơ chế đối tượng, cơ chế công cụ 2. Từ đó, dựa trên một số tài liệu về lịch sử
toán học đã có chúng tôi tiến hành phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái
niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ của nó. Chúng tôi phân tích, xem xét
các tình huống, các bài toán dẫn đến khái niệm hàm số mà khái niệm hàm số được
vận dụng như một công cụ để giải quyết tình huống, bài toán.
1.1. Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm
R.Douady phân biệt ba cơ chế hoạt động khác nhau của khái niệm toán học: cơ
chế “Đối tượng”, cơ chế “Công cụ ngầm ẩn” và cơ chế “Công cụ tường minh”.
1.1.1. Cơ chế công cụ
Ta nói, một khái niệm hoạt động dưới dạng Công cụ khi nó được sử dụng một
chặt chẽ, hay theo kiểu quy ước, mô tả, kiến thiết,…)
Chú ý: Các cơ chế hoạt động và các hình thức thể hiện của một khái niệm chỉ
có tính chất tương đối. Việc phân biệt phải căn cứ vào cấp độ, nơi, thời gian, phạm
vi toán học,….
1.2. Phân tích khoa học luận khái niệm hàm số nhìn từ góc độ công cụ
1.2.1. Thời cổ đại
Trong thời cổ đại người Babylon đã lập và sử dụng bảng bình phương,
bảng căn bậc hai, bảng lập phương, bảng căn bậc ba, bảng bộ ba số
Pythagore. Người Hy Lạp thì có bảng Sin ….
Bảng bình phương của người Babylon
Rõ ràng trong các bảng này xác định sự tương ứng một - một: ứng với một số
tự nhiên có bình phương tương ứng của nó, theo chiều ngược lại ứng với một
số, có căn bậc hai (dương) của nó tương ứng. Theo toán học hiện đại những
bảng này xác định một hàm số từ đến . ET Bell đã viết năm 1945: “Sẽ
không nói quá khi cho rằng, người Babylon cổ đại, với thiên hướng về hàm số; một
hàm số được định nghĩa là một bảng hay một sự tương ứng”.
Tại hội thảo R.E.M 1995, Annie Bessot viết: “các khái niệm về hàm số không
có chỗ trong toán học Hy Lạp.” Còn J J O'Connor và E F Robertson khẳng định
“Chúng tôi phải từ chối các đề nghị cho rằng khái niệm hàm số có mặt trong toán
học Babylon ngay cả khi chúng ta thấy rằng họ đã nghiên cứu các hàm số cụ thể.”
Công cụ ngầm ẩn của khái niệm hàm số trong thời kì này thể hiện trong việc
sử dụng các bảng này. Ứng với một số tự nhiên có căn bậc hai, căn bậc ba tương
ứng của nó. Theo chiều ngược lại, ứng với một số tự nhiên có bình phương, lập
phương tương ứng của số đó.
1.2.2. Thời trung đại
Theo PGS. TS Lê Thị Hoài Châu:“Đây là thời kỳ mà người ta tìm cách định
A
Đường nằm ngang AB biểu diễn cho thời gian, đường thẳng đứng AC biểu diễn cho
vận tốc tức thời, F là trung điểm AC biểu diễn cho vận tốc chuyển động đều thì diện
tích tam giác ABC là quãng đường vật chuyển động nhanh dần đều đi được, diện
tích hình chữ nhật AFGH là quãng đường vật chuyển động đều đi được, và diện tích
hai hình này bằng nhau.
Nếu gọi a là gia tốc của vật thứ nhất, gốc thời gian tại A thì trục AC biểu diễn
vận tốc tức thời v = at . Hay trục AC là biểu diễn hình học của hàm vận tốc theo
thời gian t , tương ứng với thời gian t B ta có vận tốc v C tương ứng. Trong chứng
minh trên còn thể hiện ngầm ẩn công thức tính quãng đường vật chuyển động nhanh
dần đều đi được S (t ) =
1
1
1
AB. AC = AB × AF = t × at = at 2 , và hàm S(t) được
2
2
2
biểu diễm ngầm ẩn bằng diện tích tam giác ABC hay diện tích hình chữ nhật
ABGF.
Trong thời kỳ này hàm số vẫn chưa xuất hiện, chưa được định nghĩa, hàm số
xuất hiện ngầm ẩn, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng chỉ được mô tả bằng lời, bằng
hình học. Và hàm số được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn để giải thích hay
chứng minh một hiện tượng Vật lý và quy luật của các hiện tượng tự nhiên.
1.2.3. Thế kỷ 16 - 17
5
Nguồn : Lê Thị Hoài Châu – Tạp chí Toán Tin 2002 ĐHSP TP.HCM
đường y ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta
có vô hạn các điểm khác nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ đó ta mô tả được
đường cong mong muốn”. Trong mô tả trên tương ứng mỗi giá trị của “đường y” ta
có tương ứng giá trị của “đường x”, chính sự tương ứng đó mô tả một đường cong.
Vì vậy, có thể nói khái niệm hàm số đã xuất hiện ngầm ẩn bằng đường cong hình
học.
Newton (1642-1727) đã sử dụng khái niệm hàm số dưới dạng cơ học và hình
học. Trong tác phẩm “phép tính vi phân và các chuỗi vô hạn” Ông đã chọn thời gian
là một khái niệm phổ biến và giải thích những biến phụ thuộc như là những đại
lượng sinh ra từ đó theo một cách thức liên tục. Và cũng trong tác phẩm này
Newton đã cho thấy làm thế nào “hàm số” có thể được khai triển thành chuỗi vô
hạn, do đó cho phép sự can thiệp của các quá trình vô hạn trong tính toán. Ông đã
sử dụng thuật ngữ "fluent" để chỉ các biến độc lập, "relata quantitas" để chỉ ra các
biến phụ thuộc và "genita" để chỉ kết quả thu được từ bốn phép tính cơ bản của số
học.
Leibniz (1646-1716), là người đầu tiên đã sử dụng từ hàm số để mô tả những
vấn đề rất chung về sự phụ thuộc của các đại lượng hình học như tiếp tuyến và pháp
tuyến vào hình dạng của đường cong. , Leibniz viết vào tháng 8 năm 1673: “…
dạng khác của đường, mà theo hình đã cho biểu diễn một hàm số nào đó” . Ông
cũng đưa vào các thuật ngữ “ biến số”, “hằng số” , “tham số”, “tọa độ”.
Trong một bức thư của Johann Bernoulli (1667- 1727) gửi cho Leibniz ngày
02 tháng 9 năm 1694 Bernoulli đã diễn tả một hàm số như là “… một đại lượng
được hình thành từ biến số và hằng số theo một cách nào đó”. PGS.TS Lê Thị Hoài
Châu đã nhận xét về định nghĩa hàm số của Bernoulli như sau: “ Trong chiều sâu
của định nghĩa chưa thật hoàn chỉnh ấy là ý tưởng biểu diễn hàm số bằng một công
Nguồn : Nguyễn Cang – Lịch sử Toán học
Nguồn : Lê Thị Hoài Châu – Tạp chí Toán Tin 2002 ĐHSP TP.HCM
8
Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept
7
từng trường hợp cụ thể). Euler còn đưa ra định nghĩa hàm số liên tục là hàm “chỉ
bểu diễn bằng duy nhất một biểu thức giải tích” 9.
Một trong trong những bài toán nổi tiếng ở thế kỷ 17- 18 là bài toán Basel:
∞
1 1
1
1
Tính tổng của chuỗi 1 + 2 + 3 + ... + 2 + ... =
được Jakob Bernoulli giới
∑
2
2 3
n
n =1 n
thiệu từ năm 1689. Bài toán trên đã thu hút và đã làm tốn rất nhiều công sức của các
nhà Toán học đương đại. Euler đã vận dụng hàm số để giải bài toán Besel như sau:
sin x
sin x
x2 x4 x6
=−
π π 2π 2π 3π 3π 4π 4π
x 2
x 2
x 2
x2
= 1 − 2 1 − 2 1 − 2 1 −
... (2)
2
4
9
16
π
π
π
π
Hệ số chứa x2 của đẳng thức trên là (−1 −
1 1 1
1
− − ...) 2
4 9 16 π
(3)
Ông lập luận rằng hệ số chứa x2 ở (1) và (2) phải bằng nhau, do đó ta được:
đặt ra là xác định một hàm số mô tả hình dạng của chuỗi tại thời gian t.
l
0
Để hiểu được các cuộc tranh luận xung quanh vấn đề chuỗi dao động, đầu
tiên chúng ta phải đề cập đến “tín điều” (article of faith) của toán học ở thế kỷ 18:
“Nếu hai biểu thức giải tích đồng nhất trên một khoảng thì chúng đồng nhất trên
mọi khoảng” 10.
Năm 1747, d'Alembert đưa ra lời giải như sau: Ông cho rằng giao động của
2
d2y
2 d y
(*)( a là
dây rung được biểu diễn các phương trình vi phân từng phần 2 = a
∂t
∂x 2
hằng số). Phương trình (*) được gọi là wave equation, với các điều kiện biên
=
y (0, t ) 0;=
y (l , t ) 0
dy
( x) và
0
và điều kiện ban =
đầu: y ( x,0) f=
t =0
∂t
nhau vào phương trình y ( x, t ) =
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
ta được hình dạng của dây
2
rung, ngay cả khi hình dạng ban đầu của dây rung không được biểu diễn bằng một
đơn công thức giải tích (biểu thức đơn). Nhìn nhận theo quan điểm vật lý, Euler lập
luận rằng hình dạng ban đầu của chuỗi có thể được cho:(a) hoặc bởi nhiều công
thức khác nhau trên khoảng con của khoảng (0; l ) ; (b)hoặc bằng cung tùy ý được vẽ
(bằng tay). Nhưng cả hai loại hàm số (a) và (b) là không liên tục (theo quan điểm
toán học lúc đó), vì vậy giải pháp của d'Alembert's không tổng quát.
Năm 1753, Daniel Bernoulli đưa ra lời giải: Phương trình của chuỗi rung:
nπ x
nπ at
y ( x, t ) = ∑ bn sin
.cos
,0) f=
( x)
,vì vậy y ( x=
l
l
n =1
∞
∞
∑ b sin
n =1
n
đồng nhất trên (0; l ) nên nó phải đồng nhất trên mọi
nπ x
là hàm tuần hoàn lẻ, do đó kết luận f ( x) là hàm tùy ý là
l
Cuộc tranh luận kéo dài đến vài năm sau, có cả sự tham gia của Lagrange
nhưng không giải quyết được vấn đề. Nguyên nhân do quan niệm “hàm số” phải là
biểu thức giải tích. Như A Brief Survey đã viết “tuy rằng cuộc tranh luận không
có hồi kết, nhưng nó có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển mở rộng khái
niệm hàm số”11.
Tóm lại: Hàm số trong giai đoạn này được định nghĩa là biểu thức giải tích.
Trong giai đoạn này hàm số được sử dụng như một công cụ để tính tổng của chuỗi
vô hạn, để nghiên cứu các vấn đề của vật lý,…
1.2.5 Nửa đầu thế kỷ 19
Trong các tác phẩm của Euler và Lagrange, một hàm số được gọi là liên tục
nếu nó được biểu diễn bằng duy nhất một biểu thức giải tích (biểu thức giải tích
đơn), một hàm là không liên tục nếu nó được cho bằng hai hay nhiều biểu thức giải
tích (hàm hỗn hợp). Tuy nhiên Cauchy đã chỉ ra rằng định nghĩa trên là thiếu chính
xác và đưa ra phản ví dụ sau:=
y
x khi x ≥ 0
, theo định nghĩa liên tục
=
sử dụng như một công cụ để chứng minh phương trình bậc cao có nghiệm trong một
khoảng.
1.2.6 Nửa cuối thế kỷ 19 đến nay
Năm 1874 đánh dấu sự ra đời của lý thuyết tập hợp được khởi sướng
bởi Cantor (1845-1918). Chính sự ra đời của lý thuyết tập hợp này khái niệm
hàm số đòi hỏi phải được mở rộng để ứng dụng trong khoa học và thực tiễn,
người ta bắt đầu định nghĩa hàm số dựa trên ánh xạ của hai tập.
Năm 1917 Caratheodory đã định nghĩa hàm số “ là sự tương ứng giữa tập A
và tập số thực”.
Trong tập một của bộ “cơ sở giải tích và lý thuyết tập hợp” của Bourbaki
xuất bản năm 1939 khái niệm hàm số đã được định nghĩa như sau: “Cho E và F là
16
Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept
hai tập hợp phân biệt hoặc không. Quan hệ gữa phần tử x thuộc E với một phần tử
y thuộc F gọi là quan hệ hàm nếu với mỗi x thuộc E tồn tại một và chỉ một phần tử
y của F có quan hệ với x. Ta gán từ “hàm” cho thao tác kết hợp mỗi thao tác kết
hợp mỗi phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F có quan hệ với x. Ta nói y là giá
trị của hàm đối với phần tử x, và hàm được xác định bởi quan hệ hàm đã cho”.
Định nghĩa của Schwatz (Sinh ở Paris năm 1915):
“ Giả sử E và F là hai tập hợp, ta gọi là một ánh xạ từ E vào F hay một hàm
xác định trong E và lấy giá trị trong F khi tất cả các tương ứng f theo đó mỗi phần
tử x của E được đặt với một phần tử kí hiệu là f(x) của F.
f
→ F có nghĩa: f là ánh xạ từ E vào F. E gọi là tập nguồn và F
Kí hiệu E
công cụ cho việc nghiên cứu các hiện tượng và tình trạng của khoa học sinh học,
khoa học con người và xã hội, kinh doanh, truyền thông, kỹ thuật và công nghệ.
Toán học có chức năng mô tả, giải thích dự đoán và kiểm soát”.
1.3. Kết luận chương 1
Phần kết luận chương 1 chúng tôi tóm tắt trong bảng sau:
Giai
Cơ chế hoạt động của
Hình thức
Đặc trưng của
Phương tiện
đoạn
khái niệm
thể hiện của
khái niệm
biểu diễn
khái niệm
+ Công cụ ngầm ẩn thể
hiện trong việc thiết lập
Cổ đại
Copyright: Tài liệu đại học ©