SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
PHẦN I
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc
cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày
một tốt đẹp hơn.
Toán học là một môn khoa học rất cần sự logic và phân tích giỏi, nó có
ứng dụng rất rộng rãi trong đời sống xã hội. Toán học giúp cho người học tính
toán nhanh, tư duy tốt, tính chính xác cao – lôgic hợp lí, tính khoa học. Dạy
toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông
cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,
năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ
để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải
tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn
đại số là "Số" và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình
môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của
môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương
ứng, phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về
hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi.
Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không
nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của
đối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất
lúng túng chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Một số dạng
toán về hàm số và đồ thị hàm số".

1

SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
- Phạm vi nghiên cứu: Đi sâu việc vận dụng kiến thức về hàm số để giải một
số dạng toán: tìm tập xác định, tìm giá trị của hàm số; xác định công thức của
hàm số;
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp quan sát sư phạm: quan sát học sinh khi cho các em làm bài
tập, khi xét khả năng thực lực của các em đến đâu, các em trao đổi như thế
nào? trao đổi những gì?
- Phương pháp dạy thực nghiệm: giảng dạy trực tiếp trên lớp để thấy được
những vướng mắc của học sinh khi giải một số dạng toán về hàm số.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Trực tiếp gặp gỡ và trò chuyện với các
giáo viên dạy trực tiếp hoặc các giáo viên có nhiều kinh nghiệm.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động của học sinh: Vở bài tập và
bài kiểm tra của học sinh.
- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục.

PHẦN II
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ BẢN
Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trước hết chúng ta và học
sinh cần nắm vững khái niệm hàm số.
I. Khái niệm hàm số:
Khái niệm hàm số được định nghĩa theo quan điểm hiện đại " Hàm số
là một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số"
Trước tiên ta làm quen với ánh xạ:
1. Ánh xạ:
a. Định nghĩa:

3

⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠
x
2
thì f(x
1
)
≠
f(x
2
)
Hoặc
⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠

⇔
phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y
∈
Y cho
trước
Ví dụ: f: R R
x
a
y = f(x) = 2x
Là một toàn ánh vì phương trình 2x = y luôn có nghiệm x =
2
y
với y xác định.
* Song ánh: Ánh xạ f: X Y
x
a
y = f(x)
Ánh xạ f là song ánh
⇔
f là đơn ánh và f là toàn ánh
2. Hàm số:

4
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm
tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
Trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái
niệm hàm số được trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (được nhắc lại trong
sách giáo khoa lớp 9) như sau:

b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)
+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x; f(x)) với x
∈
X
+ Chú ý:
- Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngược lại

5
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
- Điểm M(x
M
; y
M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
c. Cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho
bởi các cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số

là các hằng số (a
≠
0, x
∈
R)
b. Tính chất:

6
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
- Tập xác định: R
- Tính biến thiên:
a > 0: Hàm số đồng biến trong (
2a
b
−
; +
∞
) và nghịch biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
a < 0: Hàm số nghịch biến trong (
2a
b
−
; +

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức
f(x) có nghĩa
Vì vậy:
- Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x
∈
R
- Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: {x
∈
R/ mẫu
thức
≠
0}
- Nếu f(x) có dạng căn thức thì hàm số có tập xác định: {x
∈
R/ biểu
thức trong căn
≥
0}
2. Ví dụ:

7
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
x
x
2
2+
có TXĐ: {x

3-x
x
2
c. y =
xx −+− 24
2
DẠNG 2: TÌM TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tập giá trị của hàm số: f: X Y
x
a
y = f(x)
là tập giá trị y
∈
Y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x
∈
X
1. Cách giải:
+ Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá
trị của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập
xác định.
2. Ví dụ:
* Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
∈
[-1; 1]
Giải
Ta có x
≥
-1
⇔


8
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
xxxx −+−≥−+− 7676
=1 hay y
≥
1
Vậy miền giá trị của hàm số y =
xx −+− 76
với x
∈
R là y
∈
R, y
≥
1
* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
- 2x + 3 với x
∈
[2; 3]
Giải:
Hàm số y = x
2
+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x
≥
1
Vậy với x
∈

2
= y + 1
Phương trình có nghiệm khi y + 1
≥
0
⇔
y
≥
-1
3. Ứng dụng:
* Ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x – x
2
– 2
Giải:
Ta có y = 2x – x
2
- 4
= -(x
2
- 2x + 1) – 3
= -(x – 1)
2
- 3
≤
- 3 dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2xx
x

++
++ 6x
= y có
nghiệm
⇔
(y - 1)x
2
+ (y - 1)x + 2y – 6 = 0 (2) có nghiệm
+Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm
+Xét y
≠
1 phương trình (2) có nghiệm
⇔
∆
≥
0
⇔
(y -1)
2
- 4(y – 1)(2y - 6)
≥
0
⇔
(y - 1)(23 – 7y)
≥
0
⇔
1< y
≤


2
++
++ 6x
nhận giá trị nguyên
Biến đổi: y =1 +
2xx
4
2
++
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y
∈
Z
⇔
x
2
+ x + 2 nhận giá trị
là ước nguyên của 4.
Sai lầm trong lời giải ở chỗ x
∈
R nên x
2
+ x + 2 có thể nhận giá trị
không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán
+ Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y
≤

7
23
ta chỉ ra y
∈

x = 0; x = -1

10
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Vậy x
∈
{-2; -1; 0; 1} thì y
∈
Z
* Ứng dụng 2: Giải phương trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ
vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xác định D chung
của chúng:
Nếu



≥
≥
mxg
mxf
)(
)(
với
∀
x
∈
D thì f(x) = g(x)
⇔

≤
7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
VP =
1343221 −+−+−+− xxxx

≥
7
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2
≤
x
≤

4
13
+ Vậy phương trình (1)
⇔





=−+−+−+−
=−
71343221

72 x-6x
2
xxxx

⇔




−−
2
2
4
9
4
7
xx
≤
28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
4
9
Đặt
2−x
= t
≥
0
⇒
x = t
2
+ 2 ta có VP = 16(t
2
– t + 2)
= 16



x =
4
1
+2
⇔
x =
4
9
Vậy phương trình (3)
⇔




=
=
28
28VT
VP

⇔
x =
4
9
Kết luận nghiệm của phương trình là x =
4
9
4. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y = x
2

2
2
Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình



+=+
+=+
12
1ayx
222
ayx
Tìm a để x, y có giá trị lớn nhất
Bài 4: Giải phương trình
a.
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
b.
11642
2
+−=−+− xxxx
DẠNG 3: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC HÀM SỐ
1. Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tương ứng 1- 1 nên ta sẽ xác định
được công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tương ứng
a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d
có tính chất: Đi qua điểm A(x
1
;y
1

Ta có hệ phương trình



=+
=+
22
11
ax
ybax
yb
giải hệ phương trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua
điểm A(1;1) và điểm B(-1;2)
Giải:
Vì A(1;1)
∈
d nên a.1 + b = 1
B(-1;2)
∈
d nên a(-1) + b = 2
Ta có hệ phương trình:



=+−
=+
2
1a

1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1

⇒
b = y
1
– ax
1
Vì d song song với d' nên a = a
1

Kết luận hàm số cần tìm là y = a
1
x + y
1

SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và vuông góc với đường thẳng d'
có phương trình y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d' nên aa
1
= -1
⇒
a =

1
Giải:
Vì A(1; 1)
∈
d nên a + b = 1(*)
Vì d vuông góc với d' nên aa
1
= -1
⇒
a = 2 thay vào (*) ta có: b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
;y
1
) và tiếp xúc với Parabol (P): a'x
2
+ b'x + c' (a
≠
0)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y

+ 1 nên phương trình hoành độ giao
điểm: ax + b = x
2
+ 1 có nghiệm kép
⇔
x
2
– ax + 1 – b = 0 có nghiệm kép
⇔

∆
= a
2
- 4(1 – b) = 0 (2)
Ta có hệ phương trình:



=+
=+
44
2a-
2
ba
b
⇔



=++

+ bx + c có đồ thị là Parabol(P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
) , C(x
3
;y
3
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P)nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì B(x

2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi
qua 3 điểm phân biệt A(-1; 0), B(0; 3), C(1; 0)
Giải:
Vì A(-1;0)
∈
(P) nên a- b+ c = 0 (1)
Vì B(0;3)
∈
(P) nên c = 3 (2)
Vì C(1;0)
∈
(P) nên a+ b+ c = 0 (3)
Ta có hệ phương trình:





=++
=
=+−
0
3
0
cba
c
cba

⇔

toán THCS
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0
x=
-b
2a
(2)

0
y
∆
=

-
(3)
Ta có hệ phương trình
2
2
1
2
4
2
4
a b c
b
a
b ac
a


− + =

−

=



−
− = −




a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
- 2x – 1
c. (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và tiếp xúc với đường thẳng d: y = a'x + b'
Giải:
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0
x=
-b
2a
(1)

0
y
∆
=
-
4a
(2)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0

;
1
4
4
1
2
=
−
−⇒=
∆
a
acb
4a
-
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x –2 nên phương trình hoành
độ ax
2
+ bx + c = 2x – 2 có nghiệm kép
⇔
ax
2
+ (b – 2)x + c – 2 = 0 có nghiệm kép
⇔

∆
= (b - 2 )
2
– 4a(c - 2 ) = 0 (3)
Ta có hệ phương trình:

2
4 8 4 4 0
2 0
4 4 0
b ac a b
a b
b ac a

− − − + =

+ =


− + =

⇔
2
2 0
12 4 4 0
4 4 0
a b
a b
b ac a

+ =

+ − =


− + =

SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax
2
+ bx + 1 (a
≥
2
1
)
a. Xác định a, b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1
b. Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặt
phẳng toạ độ
4. Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm
Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
1
x
) = x
2
– 1 và f(0) = 0
Giải:

+Với x
≠
0 ta đặt 1+
x
1
= t rồi rút x theo t ta có: x =
1-t
1
Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (







=+






⇒






=




















=+






=






+
2
2
1
)(2
1




+
2
2
2
21
24
1
2)(
x
x
fxf
x
x
fxf
⇔
2
4
3
2
)(
x
x
xf
−
=

18

và f(1) = 0
b.






−1x
x
f
=
14 +− x
2
3x
8x-4
với x
≠
1 và f(1) = 0
c.






− x
x
f
2

−
=+++
x
x
x
g
x
x
f
xxgxf
12
2122)12(
b.
( )
( ) ( )



+=+++
=−+−
xxxgxxf
xxgxf
22
2321
316)13(
DẠNG 4: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a. Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
toạ độ có toạ độ (x; f(x) ) với x
∈




∆−
−
aa
b
4
;
2
+ Trục đối xứng: x =
2a
b
−
+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0
d. Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối (hình 1d) y
Chẳng hạn: y =
x
=



≤
≥
0 x víix-
0 x víix
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của góc vuông I và II (hình1d)
0 x
e. Đồ thị phần nguyên: y =

) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung
làm trục đối xứng. Vì vậy khi vẽ chỉ cần:
+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x
≥
0
+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung
*
y
=x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà
chỉ cần vẽ đường biểu diễn mối quan hệ.
2. Ví dụ:

20
-1 0 1 2 3 4 x
-1
3
2
1
-1 0 1 x
-1
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
– 4x +3
+ TXĐ: x
∈
R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2
Nghịch biến với x < 2

21
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
3. Ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Vì vậy khi tìm
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm
cao nhất (thấp nhất) của đồ thị.
*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
21 −+− xx
Giải:
Ta có y =





<+
≤≤
>−
1) x ( 32x-
2)x(1 1
2) (x 32x
Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x > 2)
y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1
≤
x
≤
2)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là Min y = 1 khi x = 1 hoặc x = 2

⇔
y
M
= f(x
M
)

22
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
+ Vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số
điểm chung của hai đồ thị.
Giả sử M(x
M
;y
M
) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)
⇒
M
∈
đồ thị hàm số y = f(x) và M
∈
đồ thị hàm số y = g(x).
⇒
y
M
= f(x
M
) và y
M

2)
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị hàm số là nghiệm của hệ



=
=
(2) g(x)y
(1) f(x)y
+ Phương trình hoành độ: f(x) = g(x) (3)
+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm
số y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
Hai đồ thị cắt nhau
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
Hai đồ thị tiếp xúc
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị không cắt nhau
⇔
phương trình (3) vô nghiệm
* Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của
phương trình (3)

23
SKKN: Một số dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số trong chương trình
toán THCS
* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3)

≠
a
1
+ Đặc biệt d vuông góc với d
1

⇔
aa
1
= -1
+ d trùng với d
1

⇔
a = a
1
; b = b
1
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = m(x + 2) và d
1
: y = (2m – 3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng
Giải:
+ d // d
1

⇔



điểm chung cho từng trường hợp.
Giải:
+ d vuông góc với d
1

⇔
m(2m – 3) = -1

⇔
2m
2
– 3m + 1 = 0

⇔
m = 1 hoặc m =
2
1
+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d
1
: y = -x + 2 vuông góc với nhau
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ



+=
+=
2-xy
2xy