SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG
TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG
CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10
MỤC LỤC
Trang

Mục lục 1
Mở đầu 2
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn 4
1.1.Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 4
1.2.Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 4
1.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ 5
Chương 2. Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán
về phương trình chứa tham số 6
2.1. Một số kiến thức liên quan 6
2.1.1. Bất đẳng thức tam giác 6
2.1.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số >

, >


10. Vì vậy, việc đưa ra những phương pháp cụ thể để giải các dạng toán ở nội dung
này là hết sức cần thiết. Có khá nhiều tài liệu nghiên cứu về nội dung này song chỉ
trình bày tổng hợp nhiều phương pháp nên mức độ của mỗi phương pháp thực sự
chưa được làm sâu.
Phương pháp điều kiện cần và đủ có lẽ đã quen thuộc đối với giáo viên, sinh
viên ngành toán song đối với nhiều học sinh cấp III đây còn là một vấn đề khá mới
mẻ. Tuy nhiên, phương pháp điều kiện cần và đủ lại tỏ ra khá hiệu quả đối với việc
giải các bài toán về phương trình chứa tham số. Bằng phương pháp này, học sinh
có thể vận dụng vào giải các bài toán về phương trình chứa tham số một cách đơn
giản và dễ hiểu, nhất là đối với một số phương trình đặc biệt sẽ được đề cập đến
trong phần sau. Xuất phát từ vị trí và tính hiệu quả của phương pháp điều kiện cần
và đủ đối với kỹ năng giải toán của học sinh, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Vận
dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương
trình chứa tham số trong chương trình đại số 10” với mong muốn cung cấp cho
học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu trong học toán và giải toán, đồng thời
góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân.
Hy vọng đề tài này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo
trong việc ôn luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng cũng như bồi dưỡng học
sinh giỏi.

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu để làm rõ nội dung của phương pháp điều kiện cần và đủ, trên cơ
sở đó vận dụng vào việc giải các bài toán về phương trình chứa tham số trong
phạm vi chương trình đại số 10.
- Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình chứa tham số ở lớp 10.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tổng hợp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương trình phục vụ cho đề tài.

Trong các nội dung đó, có một số nội dung có lẽ không gây khó khăn đối với học
sinh lớp 10. Để đáp ứng được phạm vi nghiên cứu và yêu cầu của đề tài những nội
dung này sẽ không được đề cập đến. Vì vậy, trong đề tài này tôi xin được trình bày
các bài toán về phương trình chứa tham số của các nội dung sau:
-Phương trình bậc hai một ẩn.
-Phương trình qui về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Ngoài ra, trong đề tài này tôi cũng xin trình bày một số bài toán về phương trình
chứa tham số nhưng không nằm trong nội dung sách giáo khoa nhằm phục vụ cho
việc bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh khối lớp 10.
1.2. Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10
Trong một phương trình ngoài ẩn số ra còn có chữ khác mà chữ này được xem
như là hằng số thì phương trình đó được gọi là phương trình chứa tham số, chữ cái
khác ở trên được gọi là tham số.
Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 chủ yếu được phân
theo 2 dạng:
Dạng 1: Giải và biện luận phương trình theo giá trị của tham số.
Dạng 2: Xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. Các bài toán được đề cập đến trong đề tài này tập trung vào dạng thứ 2, tức là xác
định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó, chẳng hạn như,
xác định tham số để phương trình có nghiệm, có duy nhất nghiệm, hoặc nghiệm
đúng với mọi x thuộc một khoảng nào đó
1.3. Phương pháp điều kiện cần và đủ
Cho phương trình chứa tham số N

2, 

= 0 (I) với 2 ∈ 


thì ứng với 

, (I) không có tính chất P. Nghĩa là
những giá trị  cần tìm chỉ chứa trong tập 

này. Trong tập 

có thể có những
giá trị  không làm cho bài toán thỏa mãn tính chất P nên để loại những giá trị đó
ta cần đến bước thứ 2, bước: điều kiện đủ.
Bước 2 (Điều kiện đủ): Giả sử ∈ 

. Ta cần tìm xem trong những giá trị đó giá
trị nào của  làm cho (I) thỏa mãn tính chất P. Khi đó ta có điều kiện đủ để (I)
thỏa mãn tính chất P.
Nếu 

là tập hữu hạn các giá trị  thì ta lần lượt thay từng giá trị , rồi giải bài
toán để xem nó có thỏa mãn tính chất P hay không, nếu thỏa mãn thì nhận còn
không thì loại. Nếu 

là một khoảng hay một đoạn giá trị thì ta dựa vào đặc trưng
của bài toán và một số kiến thức liên quan về lí thuyết phương trình để giải chúng.
Kết quả của phép giải sẽ loại đi những giá trị không thích hợp của .

Chương 2
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

và ú

, ú

ta có:


>

ú

+ >

ú



≤

>


+ >



ú


+ ú


. Thế 2

vào phương trình đầu để tìm tham số. Sau đó thế ngược những tham số
tìm được vào phương trình đầu để giải. Nếu ứng với tham số nào mà phương trình
không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm thì ta sẽ loại giá trị tham số đó. Những giá
trị tham số còn lại chính là kết quả cần tìm của bài toán. Một số bài toán sau đây được giải bằng phương pháp trên:
Bài toán 1: Tìm  để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√
4 − 2 +
√
2 + 5 =  (1)
Giải:
Tập xác định của (1) là =

− 5; 4

.
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 = 2

.
Vì 2 = 2

là nghiệm nên ta có


= −


.
Thay 2 = 2

= −


vào (1) ta được = 3
√
2.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử = 3
√
2. Lúc đó (1) trở thành

√
4 − 2 +
√
5 + 2 = 3
√
2
Theo bất đẳng thức Bunhiscopski ta có:


√
4 − 2 +
√
2 + 5



.
Tóm lại, = 3
√
2 là điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất.
Nhận xét:
Trong lời giải này, điểm khó nhất có lẽ là việc nhận ra 2 = − 1 − 2

cũng là
nghiệm của phương trình đã cho, thực sự công việc này cũng không hề đơn giản,
cái cơ bản là phải tiếp xúc với nhiều bài tập dạng này mới hình thành được kỹ năng
đó.
Bài toán 2: Tìm >, ú,  sao cho phương trình sau đây có nghiệm duy nhất

|
2 − >
|
+
|
2 − ú
|
=  (2)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (2) có nghiệm duy nhất 2 = 2

.
Vì 2


Do đó 2 = > + ú − 2

cũng là nghiệm của (2).
Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra 2

= > + ú − 2

2

=


.
Thay 2 = 2

=


vào (2) ta được
|
> − ú
|
= .
Vậy
|
> − ú
|
=  chính là điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử


2 − >

|
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

|

2 − ú

−

2 − >

|
=
|

2 − ú

+

> − 2

|
≤
|

tính duy nhất nghiệm.
*Nếu > = ú thì bất phương trình trở thành

2 − >


≤ 0 2 = >. Do đó phương
trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 = >. Từ > = ú suy ra =
|
> − ú
|
= 0.
Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là > = ú,= 0.
Bài toán 3: Tìm  để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√
3 + 2 +
√
6 − 2 −


3 + 2

6 − 2

=  (3)
Giải:
Tập xác định của (3) là =

− 3; 6


3 − 2


+

6 −

3 − 2


−


3 +

3 − 2


6 −

3 − 2


= 
Suy ra 2 = 3 − 2

cũng là nghiệm của (3).
Do tính duy nhất nghiệm nên ta phải có 2


√
1

, lúc đó (3) trở thành

√
3 + 2 +
√
6 − 2 −


3 + 2

6 − 2

=

√
1

(3.1)
Đặt =
√
3 + 2 +
√
6 − 2

≥ 0

thì 




− 2+ 6
√
2 − 18 = 0 = 3
√
2 hoặc = 2 − 3
√
2
(nghiệm = 2 − 3
√
2 < 0 nên bị loại)
Với = 3
√
2, ta có:
√
3 + 2 +
√
6 − 2 = 3
√
2 9 + 2


3 + 2

6 − 2

= 18



là nghiệm duy nhất của phương trình (3.1).
Tóm lại,  =

√
1

là điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy
nhất.
Nhận xét:
Với bài toán này, nếu sử dụng bằng phương pháp tam thức bậc hai để giải thì có
thể không giải được, hoặc nếu được thì công việc đó không hề đơn giản đặc biệt là
đối với học sinh lớp 10. Song với phương pháp điều kiện cần và đủ như trình bày ở trên thì lời giải khá gọn gàng và dễ hiểu. Điều này cho thấy, trong một số bài toán
phương pháp điều kiện cần và đủ tỏ rõ được thế mạnh của mình.
Bài toán 4: Tìm >, ú để phương trình sau có nghiệm duy nhất
2

+ >
|
2
|
+ ú = 0 (4)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử (4) có nghiệm duy nhất 2 = 2

.

2
|
+ >

= 0
Nếu > ≥ 0 thì (4) có nghiệm duy nhất 2 = 0.
Nếu > < 0 thì (4) luôn có 3 nghiệm đó là 2 = 0 và 2 = ± >.
Do đó điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là > ≥ 0 và
ú = 0.
Bài toán 5: Tìm  để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√
2

+ 1 =
|
2
|
+  (5)
Giải: 1. Điều kiện cần:
Giả sử (5) có nghiệm duy nhất 2 = 2

.
Nhận thấy rằng 2

là nghiệm của phương trình (5) thì − 2




2

+ 1 = 2

+ 2
|
2
|
+ 1
2
|
2
|
= 0 2 = 0
Suy ra 2 = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (5).
Vậy = 1 là điều kiện cần và đủ để phương trình (5) có nghiệm duy nhất.
Nhận xét:.
Các phương trình chứa tham số được đưa ra trong phần này đều có một đặc
điểm chung đó là nếu 2

là nghiệm của phương trình đã cho thì − 2

cũng là
nghiệm của nó. Chính vì lợi dụng điểm này cùng với yêu cầu duy nhất nghiệm của
bài toán ta mới tìm được giá trị của tham số.
Khi dạy học phần này cho học sinh lớp 10, giáo viên có thể thực hiện theo trình
tự sau:
-Giới thiệu phương pháp cho học sinh.

trình được thỏa mãn với mọi giá trị của biến số thuộc một miền cho trước  nào
đó.
Với những loại bài toán này, phương pháp giải chúng như sau:
Vì phương trình đã cho đúng ∀2 ∈ , nên khi thế một vài giá trị cụ thể nào đó của
tập , ta sẽ được các giá trị của tham số mà trong đó chắc chắn chứa các giá trị
tham số cần tìm. Từ những giá trị tham số tìm được ở bước trên ta thế lại vào
phương trình ban đầu xem có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không, từ đó để loại
những giá trị tham số không thỏa mãn. Tất nhiên cái khó ở đây là nên chọn từ tập
 những giá trị nào để thay vào phương trình ban đầu? Câu trả lời là không có qui
tắc nào để chọn cả, tuy nhiên những giá trị được chọn phải làm sao cho thuận lợi
đến việc giải bài toán nhất. Việc chọn những giá trị này thường dựa trên trực giác
và kinh nghiệm tích lũy được, những trực giác và kinh nghiệm này đương nhiên
không tự dưng mà có, mà phải được rèn luyện đúc rút ra thông qua việc giải toán.
Mong rằng qua các bài toán được trình bày trong phần này có thể giúp học sinh
vận dụng tốt phương pháp này vào việc học toán của mình. Sau đây là một số bài toán được giải bằng phương pháp vừa nêu trên:
Bài toán 6: Tìm > sao cho phương trình sau có tập nghiệm là

− 1; + ∞
|
2 − >
|
−
|
2 + 1

|
−
|
2 + 1
|
= 2 (6.1)
Nhận thấy rằng 2 = 0 không thỏa mãn (6.1) nên không là nghiệm của (6.1), do đó
tập nghiệm của (6.1) không phải là

− 1; + ∞

. Suy ra > = 1 không thỏa mãn điều
kiện bài toán.
* Với > = − 3, phương trình đã cho trở thành

|
2 + 3
|
−
|
2 + 1
|
= 2 (6.2)
Nếu 2 < − 3 thì (6.2)⇔

− 2 − 3

−

− 2 − 1

√
2

+ 1 −
√
2

+ ú2 + 1 = 0 (7)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (7) đúng ∀2 ∈ ℝ. Khi đó (7) nói chung phải đúng khi 2 = 0
và 2 = 1.
Thay 2 = 0 và 2 = 1 vào phương trình (7) ta có hệ


> − 1 = 0
>
√
2 −
√
ú + 2 = 0


> = 1
√
ú + 2 = >
√
2 =
√
2

, điều này cho phép ta suy ra
2 = 0 cũng là nghiệm của (8).
Thay 2 = 0 vào phương trình (8) ta được
√
1 − = 0 = 1. Đây chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Với = 1 thì dễ nhận thấy phương trình (8) thỏa mãn ∀2 mà căn bậc hai có
nghĩa, tức là thỏa mãn ∀2 ∈

0; 2

.
Vậy  = 1 chính là điều kiện cần và đủ để phương trình (8) nghiệm đúng
∀2 ∈

0; 2

.
Bài toán 9: Tìm  để phương trình sau nghiệm đúng ∀2 ≥ 1

√
2

− 22 + 

− 3+ 3 = 2− 1 (9)
Giải:

√
2

− 22 + 1 = 2 − 1



2 − 1


= 2 − 1

|
2 − 1
|
= 2 − 1
(9.1)
Rõ ràng
1
x
" ³
thì (9.1) đều thỏa mãn.
Do đó khi
1
m
=
thì phương trình (9.1) nghiệm đúng
1
x
" ³

Ở 2 phần trước chúng ta đã làm quen với 2 dạng toán đầu. Ở phần 3 này các bài
tập chủ yếu tập trung vào dạng thứ 3. Nhìn chung các bài tập ở phần này có phần
phức tạp hơn các phần trước vì sau khi tìm được điều kiện cần thường không đi
ngay đến điều kiện đủ mà muốn tìm ra đáp số của bài toán ta cần thắt chặt các “đầu
nút” của điều kiện cần (ở 2 phần trước phần lớn các bài toán đưa ra sau khi tìm
được điều kiện cần ta thường có ngay kết quả của bài toán).
Đối với các bài toán đưa ra trong phần này thì nói chung không có một phương
pháp giải cụ thể nào cả, tất cả chỉ dựa trên những kiến thức đã học về phương trình và khả năng suy luận để giải. Bởi thế công việc giải các bài toán này sẽ đòi hỏi tính
tư duy ở người học rất cao.
Sau đây là một số bài toán minh họa cho ý đã nói ở trên:
Bài toán 10: Tìm  để phương trình sau có nghiệm và các nghiệm đều không âm
2

− 2 −  = 0 (10)
Giải:
1. Điều kiện cần:
Để phương trình (10) có nghiệm và các nghiệm đều không âm thì một điều kiện
cần đó là (10) phải có nghiệm, tức là:
Δ ≥ 0 1 + 4≥ 0 ≥ −


.
Đây chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử ≥ −



√


≥ 0.
Như vậy trong trường hợp này các nghiệm của (10) đều không âm. Tóm lại, với ∈ −


; 0 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Bài toán 11: Tìm các giá trị của > sao cho phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt


> − 1

2

− >2

+ >

− 1 = 0 (11)
Giải:
1. Điều kiện cần:
* Nếu > = 1 thì (11) là phương trình bậc hai nên không thể có 3 nghiệm phân biệt,
do đó 1 điều kiện cần là > ≠ 1.
* Nếu > ≠ 1 thì (11) là phương trình trùng phương nên để (11) có 3 nghiệm phân
biệt thì (11) phải có nghiệm 2 = 0.

√
2

− 22 + 3 − = 0 (12)
Với giá trị nào của  thì phương trình có nghiệm?
Giải: Đặt =
√
2

− 22 + 3, ta có =


2 − 1


+ 2 ≥
√
2. Lúc này phương trình (12)
trở thành 2

+ − − 6 = 0 (12.1)
Bài toán đã cho tương đương với bài toán sau: Tìm  để phương trình (12.1) có
nghiệm thuộc

√
2; + ∞


√
2
Do vậy từ (12.2) ta suy ra + 6 ≥ 4 +
√
2 ≥
√
2 − 2.
Đây chính là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ:
Giả sử ≥
√
2 − 2.
Xét phương trình (12.1) ta có Δ = 1 + 8

+ 6

= 8+ 49 > 0 (do  ≥
√
2 −
2).
Nên (12.1) có 2 nghiệm 

=

√
1

và 

=

√


=
√
2.
Do đó phương trình (12.1) có nghiệm 

≥
√
2. Tóm lại, với những giá trị ≥
√
2 − 2 thì phương trình đã cho ban đầu có
nghiệm.
Nhận xét:
Nhìn chung các bài toán được trình bày trong phần 3 này có phần hơi phức tạp
bởi vì không có một phương pháp cụ thể nào để tìm điều kiện cần, hơn nữa khi tìm
được điều kiện cần, thì những giá trị tham số tìm được thường không phải là kết
quả của bài toán mà chúng ta cần phải thắt chặt các “đầu nút” mới đi đến được kết
quả cuối cùng. Công việc này đòi hỏi tính kỹ thuật rất cao, tuy rằng nếu vận dụng
tốt có thể rèn luyện tính tư duy cao nhưng khi tiếp nhận nó học sinh cũng sẽ gặp
không ít những khó khăn. Vì thế, khi dạy học phương pháp điều kiện cần và đủ cho
học sinh, giáo viên có thể đưa hoặc không đưa nội dung này vào, tùy theo từng đối
tượng học sinh của mình.

chìa khóa vàng” để mở cửa mọi bài toán mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một
số dạng bài toán nhất định cho nên chỉ nên xem phương pháp này như là một
phương pháp bổ trợ mà thôi. Tôi tin tưởng rằng nếu người học vận dụng tốt
phương pháp này thì việc giải toán phương trình chứa tham số sẽ thuận lợi hơn rất
nhiều. Với những kết quả đã làm được trong đề tài, tôi hy vọng rằng đề tài sẽ là
một tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và
luyện thi môn toán vào các trường Đại học, Cao đẳng.
2. Một số hạn chế
- Số lượng các bài toán được trình bày trong đề tài là khá ít, một số bài toán trình
bày còn hơi rườm rà.
- Phương pháp trình bày trong đề tài chỉ phù hợp vói một số dạng toán nhất định,
không phải là phương pháp tổng quát. Cụ thể là nó chỉ phù hợp nhất với dạng toán
thứ nhất và thứ hai trong chương 2 của đề tài.
- Việc sử dụng phương pháp này chỉ đưa lại hiệu quả tốt đối với học sinh có học
lực khá trở lên nên không được áp dụng một cách rộng rãi.
3. Kiến nghị và đề xuất
- Phương pháp được trình bày trong đề tài này phù hợp với học sinh có mức học
lực từ khá trở lên do đó chỉ nên xem nó như là một tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào các trường Đại học,
Cao đẳng, không nên giảng dạy đại trà cho tất cả học sinh.
- Xuất phát từ tâm nguyện của một người giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho
học sinh thân yêu của mình, tôi mong muốn rằng nếu đề tài của tôi được đánh giá
thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu này được đến tay những giáo
viên và học sinh yêu thích môn toán.