TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA TOÁN
LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29
=====0=====
Đề tài:
SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Sinh viên thực hiện:
1. Phan Duy Luân
2. Lê Thị Lư
3. Nguyễn Thị Ly
4. Lê Nguyễn Hoàng Lý
5. Nguyễn Trọng Minh
6. Nguyễn Thị Nga
7. Hồ Văn Nguyên.
Gv hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ
Quy Nhơn: 11/2009

LỜI NÓI ĐẦU
Như chúng ta đã biết trong thực tế khi giải phương trình
học sinh được giới thiệu rất nhiều phương pháp, trong đó
phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương
trình được dùng một cách ẩn tàng ( như phép giải các
phương trình hệ quả và phép thử nghiệm). Một khái niệm
được hình thành luôn tiềm tàng đã nhân rộng cách giải
phương trình lên đáng kể. Ở đây chúng tôi quyết định làm
sáng tỏ thêm khái niệm đó để xét được các ứng dụng đẹp
(nhất là trong các bài toán có chứa tham số) của nó trong
phạm vi cho phép.
Ở đây chúng tôi chỉ trình bày một số bài toán điển hình

Chương III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU
KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH
CHẤT THAM SỐ
Dạng. Phương trình nghiệm đúng với giá trị xác định
của tham số
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

CHƯƠNG I:
SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI
TOÁN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM.

Dạng . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình
f(x, m) =0 (1) có nghiệm duy nhất.
I. PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức trong (1) có nghĩa.
Bước 2: Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm là x =
0
x
, khi đó:
a. Dựa trên tính chất đối xứng của các biểu thức giải tích trong
(1), ta đi khẳng định khi đó x =
φ
(
0
x
) cũng là nghiệm của (1).
b. Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất cần có:


Kết hợp ba bước giải trên ta tìm được đáp số.

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Trước tiên chúng ta minh họa các ví dụ sử dụng tính chất hàm chẵn
để xác định điều kiện cần, tức là xuất phát từ nhận xét:
• Giả sử phương trình có nghiệm
0
x
khẳng định rằng nó cũng
nhận
0
x−
nghiệm
• Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

0 0
x x= −
0
x 0⇔ =
.
 Ví dụ 1:[1] Tìm m để phương trình:

4 2
mx 2(m 1)x m 1 0.
− − + − =
(1)
Có nghiệm duy nhất.
Giải
Điều kiện cần: Giải sử (1) có nghiệm
0

pháp đặt ẩn phụ, cụ thể:
Đặt
2
t x ,t 0
= ≥
. Phương trình có dạng:
f(t) =
2
mt 2(m 1)t m 1 0.
− − + − =
(2)

Trường hợp 1. Với m = 0

2
1 1 1
(2) 2t 1 0 t x x .
2 2
2
⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2. Với
m 0.≠
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
(2)⇔
có nghiệm
1 2
2(m 1)
0
S 0

được thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
0
x
, suy ra
0
x−
cũng là nghiệm của phương
trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:

0 0
x x
− =
0
x 0.
⇔ =
Khi đó:
(1) c 0.⇔ =
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại với c=0.
 Ví dụ 2: [1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

3
2 2
1 x 2 1 x m.
− + − =
(1)
1 x 1
1 x 2 1 x 3.
1 x 1

− ≤

⇒ − + − ≤

− ≤


Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
3
2
1 x 1
x 0.
1 x 1

− =

⇔ =

− =


Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=3.
 Ví dụ 3:[1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

4 3 2

0
1
x
cũng là nghiệm của phương trình.
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:0 0
0
1
x x 1.
x
= ⇔ =±
• Với
0
x 1=
, ta được:
(1)
1
1 m 2m m 1 0 m .
2
⇔ + + + + = ⇔ = −
• Với
0
x 1= −
, ta được:
(1)
1 m 2m m 1 0
⇔ − + − + =
, vô nghiệm.

Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
x 0≠
, ta được:

2
2
2
2
1 1
x mx 2m m. 0
x x
1 1
x m. x 2m 0
x x
+ + + + =
   
⇔ + + + + =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
t x
x
= +
, điều kiện
t 2.
≥
2 2

thực hiện theo các bước:
Bước 1: Nhận xét rằng x=0 không phải là nghiệm của phương trình.
Bước 2:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm
0
x
, suy ra
0
1
x
cũng là nghiệm của
phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
0
0
1
x
x
=
0
x 1
⇔ =± ⇒
Giá trị tham số.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bước 3: Điều kiện đủ:
Thực hiện việc thử lại.
 Ví dụ 4:[1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

4 4
x 2 x x 2 x m.


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được:

x 2 x 2
+ − ≤
và
4 4
x 2 x 2
+ − ≤
Do đó:
4 4
x 2 x 2
(2)
x 2 x 2
x 1

+ − =

⇔

+ − =


⇔ =
 Ví dụ 4: Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x a x b c.
− + − =
(1)
Giải

.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:
Giả sử c =
a b−
, khi đó (1) có dạng:

( ) ( )
x a x b a b
x a x b (x a) (x b)
x a x b 0
− + − = −
⇔ − + − = − − −
⇔ − − ≤
(2)
• Nếu
a b
≠
( ta giả sử khi đó a< b), khi đó :
(2)
a x b
⇔ ≤ ≤
, tức là (2) không có nghiệm duy nhất.
• Nếu a=b, khi đó:

( ) ( )
2
2 x a 0⇔ − ≤

⇔

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
-
0 0 0
x 4 x x 2.
− = ⇔ = −
Khi đó :
(1)
( ) ( )
4 4
2 1 2 3 2m m 1.
⇔ − + + − + = ⇔ =
Điều kiện đủ:
Với m=1, ta có: (1)
( ) ( )
4 4
x 1 x 3 2.
⇔ + + + =
(2)
Đặt
1 3
t x x 2,
2
+
= + = +
suy ra:
x 1 t 1
x 3 t 1
+ = −



0
x
, suy ra
0
x a b− − −
cũng là nghiệm của
phương trình. Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất điều kiện là:
0 0 0
a b
x a b x x
2
+
− − − = ⇔ = − ⇒
Giá trị tham số.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.
2.Yêu cầu trên có thể thực hiện được bằng phương pháp đặt ẩn
phụ, cụ thể:
Đặt
1 3
t x x 2
2
+
= + = +
, suy ra:
x 1 t 1
x 3 t 1
+ = −


+ = +


x 2 x m.
+ − =
(1)
Giải
Điều kiện
0 x 2.
≤ ≤
Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm
0
x
.Khi đó:
( )
( )
0 0 0 0
0 0
x 2 x m 2 2 x 2 x m
2 x 2 2 x m
+ − = ⇔ − − + − =
⇔ − + − − =
Tức là
0
2 x
−
cũng là nghiệm của (1).

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi
0 0 0
2 x x x 1
− = ⇔ =

0 0
0 0
x a b x c
b x a b a x a b c
a x a b b x a b c
+ + − =
⇔ − − − + + + − − + =
⇔ + − − + + − − − + =
Tức là
0
x a b
− − +
cũng là nghiệm của phương trình. Vậy để
phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là:
0 0 0
b a
x a b x x
2
−
− − + = ⇔ = ⇒
Giá trị của tham số.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện việc thử lại.
2. Yêu cầu trên hoàn toàn có thể thực hiện được bằng phương
pháp như: đặt ẩn phụ, pp hàm số, pp lượng giác hóa.
3. Mở rộng cho phương trình

m m
a f (x) b f (x) c.
− + + =
BÀI TẬP THAM KHẢO CHƯƠNG I.


Với yêu cầu: “Tìm điều kiện của tham số (giả sử m) để
phương trình: f(x, m) = 0 có nghiệm thỏa mãn tính chất “K”, ta
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm thỏa
mãn tính chất K, khi đó ta có:
 Hệ thức Viet giữa các nghiệm (I)
 Biểu diễn điều kiện thông qua (I)
 Suy ra điều kiện cho tham số.
Bước 2: Điều kiện đủ: Thực hiện phép thử lại.
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
 VD1: [2] Xác định m để phương trình:
(m + 1)x
2
– 2(m – 1)x + m – 2 = 0
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn 4(x
1
+ x
1
) = 7x
1
x
2
(*)
Giải: Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x

thỏa mãn (*)

 VD2:[2] Phương trình: ax
2
+ bx + c = 0
Có hai nghiệm x
1
, x
2
. Chứng minh hệ thức: b
3
+ a
2
c + ac
2
=
3abc là điều kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng
bình phương nghiệm còn lại.
Giải: Theo giả thuyết ta được:
S = x
1
+ x
2
=
b
-
a
P = x
1
x

Vậy, nếu: b
3
+ a
2
c + ac
2
= 3abc
thì một trong hai thừa số của P bằng 0 và ngược lại (Đpcm).
 VD3: [3] Giải phương trình : ax
2
+ bx + c = 0
Có hai nghiệm x
1
, x
2
. Chứng minh hệ thức:
(k + 1)
2
ac – kb
2
= 0 (k ≠ 0) là điều kiện cần và đủ để phương
trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại.
Giải: Theo giả thiết ta được:
x
1
+ x
2
=
b
-

1
+ x
2
)
2
– x
1
x
2
] + k
2
x
1
x
2
=
2 2 2
2
2 2
c b c c (k +1) ac - kb
- k - 2 + k =
a a a
a a
 
 
 
 
Vậy, nếu (k + 1)
2
ac – kb

1
+ x
2
+ x
3
= 3m
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= -3
x
1
x
2
x
3
= -3m – 2
Khi đó:
15 <
2 2 2
1 2 3

2
– (3m – 1)x – 3m – 2] = 0
x = 1
g(x) = x
2
– (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 (2)
ta chứng minh vớim >1 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt khác,
tức là chứng minh:
∆g > 0 9m
2
+ 6m + 9 = 0
⇔
luôn đúng với m >1
⇔

g(1) ≠ 0 m ≠ 0
Vậy với m >1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
 Chú ý: Bài toán trên cũng có thể được trình bày như sau:
Viết lại phương trình về dạng:
(x – 1) [x
2
– (3m – 1)x – 3m – 2] = 0
x = 1
g(x) = x
2
– (3m – 1)x – 3m – 2 = 0 (2)
Trước hết (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔ (2) có nghiệm phân biệt ≠ 1 ⇔
9m
2

1
x
2
x
3
= -3m – 2
Khi đó:
15 <
2 2 2
1 2 3
x + x + x
= (x
1
+ x
2
+ x
3
)
2
– 2(x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x

x
1
+ x
2
+ x
3
= 3 ⇔ 3x
2
= 3 ⇔ x
2
= 1
Với x
2
= +1 thay vào (1) ta được:
11 – m = 0 ⇔ m = 11
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số
cộng.
Điều kiện đủ: Với m = 11, ta được:
x
3
– 3x
2
– 9x + 11 = 0 ⇔ (x – 1) (x
2
– 2x – 11) = 0
x
1
= 1 –
12
⇔ x

⇔ (1) có 3 nghiệm x
0
– d, x
0
, x
0
+ d (d ≠ 0)

Khi đó: x
3
– 3x
2
– 9x + m = [x – (x
0
– d)] (x – x
0
) [x – (x
0
+ d)]
= (x – x
0
) [(x – x
0
)
2
– d
2
]
= x
3

±2 3
m = -
3
0
x
+ d
2
x
0
m = 11
Vậy với m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
3. Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, với a ≠ 0 (1)
Có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
lập thành cấp số cộng, bằng phương
pháp điều kiện cần và đủ ta thực hiện thao các bước:
Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử pt có 3 nghiệm phân biệt lập
thành cấp số cộng, khi đó:
x
1
+ x

a + b - + c + d = 0
3a 3a 3a
     
 ÷  ÷  ÷
     
⇔ 2b
3
– 9abc + 27a
2
d = 0 (2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số
cộng.
Bước 2: Điều kiện đủ - Thực hiện phép thử lại.
 Lưu ý: Với các em học sinh đã tiếp xúc với kiến thức về đồ
thị của học sinh bậc ba có thể sử dụng điều kiện cần là
“Điểm uốn thuộc trục hoành”, cụ thể:

Điều kiện cần: Để pt có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ lập
thành cấp số cộng thì điểm uốn U của đồ thị hàm số y = x
3
– 3x
2
–
9x + m thuộc trục hoành.
⇔ y
0
= 0 ⇔ y
(1)
= 0 ⇔ -11 + m = 0 ⇔ m = 11
Điều kiện đủ:

2
∈ [0, 2π) sao cho x
1
+ x
2
=
2π
3
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có nghiệm x = α ∈
2π
0,
3
 
 
 
, khi đó:
3'
sin α + m cos α = 1
Mặt khác, vì x
1
+ x
2
=
2π
3
nên x =
2π
3

cos 1 3sin
-1 3 3 1
cosα + sin α = 1 - 3 cos α + sin α
2 2 2 2

= −

⇔
   

 ÷  ÷

 ÷  ÷
   

m
m
α α
⇒
cos α 1 - 3'sin α
=
-cos α + 3'sin α 2 - 3cos α - 3sin α
⇔(2 – 3 cos α -
3
sin α) cos α = (-cos α +
3
sin α) (1 –
3
sin α)
⇔ 3 cos 2α +

= α +
π
6
+ 2kπ
π
α = + 2kπ
3
2α -
π
6
= -α -
π
6
+ 2kπ
2kπ
α =
3
3
0
2
3
π

α=


⇔ α=


π

sin x + cos x = 1
3 1 1
sin x + cos x =
2 2 2
⇔
⇔ sin x . cos
π
6
+ cos x . sin
π
6
=
1
2
⇔
π π
sin x + = sin
6 6
 
 ÷
 
⇔ x +
π
6
=
π
6
+ 2kπ x = 2kπ
x +
π

=
2π
3
, do đó m = 1 thỏa mãn.
 Với m = -1 thay vào phưong trình, giải ra nghiệm.
Dạng 2:
Giải bài toán về tập nghiệm
I. PHƯƠNG PHÁP:
⇔

Với yêu cầu: “Tìm giá trị của tham số m để phương trình
nghiệm đúng với mọi x thuộc Dx”, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có
nghĩa.
Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử nghiệm đúng với ∀x ∈ Dx suy
ra nghiệm đúng với x
0
∈ Dx.
 Giải bài toán với x = x
0
⇒ Giá trị của tham số m
0
.
Bước 3: Điều kiện đủ: Thực hiện phép kiểm tra với x = x
0
.
 Chú ý: Việc chỉ ra giá trị x
0
∈ Dx được gọi là phương pháp
sử dụng điểm thuận lợi trong việc tìm điều kiện cần và:

 Với m = -4, ta có: x + 4 = x + 4 đúng với x ≥ -2
Vậy, với m = -4 pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2
 Chú ý: Bài toán trên còn có thể phát biểu dưới dạng:
“Tìm m để phương trình x - m= x + 4
tương đương với bất phương trình f(x)
≥
0 (hoặc f(x)
≤
0)”(2)
Trong đó nghiệm của BPT (2) là x ≥ -2
 VD2: [3]Tìm m để pt sau nghiệm đúng ∀x ≥ -2
lg(x – m)
2
= 2(x + 4) (1)
Giải:
Điều kiện x ≠ m
Trước hết để pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2, ta phải có m < -2
Biến đổi phương trình về dạng:
2lg x – m = 2(x + 4) ⇔ x – m = x + 4 (2)
Điều kiện cần: pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2
⇒ x = -2 là nghiệm của (2), tức là:
m = 0
m = -4
Đó chính là điều kiện cần để pt nghiệm đúng với ∀x ≥ -2
Điều kiện đủ: Với m = -4, ta có:
x ≥ -2
x + 4 = x + 4 ⇔ x + 4 = x + 4 luôn đúng.
Vậy, với m = -4 pt nghiệm đúng ∀x ≥ -2
 VD3:[3] Tìm a, b để pt sau nghiệm đúng ∀x:
m + 2 = 2 ⇔