GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

1
SKKN: NGUYỄN KHÁNH NAM
ĐƠN VỊ: THPT NGHÈN

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Chuyên đề phương trình và bất phương trình vô tỷ là một chuyên đề khó,
gây nhiều trở ngại cho học sinh trong các kì thi đại học và cao đẳng do tính đa
dạng và không có qui tắc trong mỗi bài toán, đồng thời đây cũng là dạng bài tập
rèn luyện được tính tinh hoạt, sáng tạo cho học sinh.
Ngày nay máy tính cầm tay là dụng cụ học tập không thể thiếu được của
mỗi học sinh phổ thông bởi tính tiện dụng và giúp học sinh rất nhiều trong công
việc tính toán. Trong toán học đó là giải các phương trình bậc hai, bậc ba, hệ
phương trình, đạo hàm, tích phân, số phức đặc biệt trong các bộ môn trắc
nghiệm như Vật lý, Hoá học.
Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tôi nhận thấy rằng công cụ máy tính
cầm tay hỗ trợ rất đắc lực trong việc giải các bài toán về phương trình và bất
phương trình vô tỷ, nếu học sinh được rèn luyện các kĩ năng dùng máy tính
thành thạo thì việc giải các bài toán thuộc dạng này trở nên rõ ràng hơn. Đó
cũng là lí do tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:

“SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC”
2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kĩ năng sử dụng máy
tính cầm tay trong việc xác định nghiệm, kết hợp với các phép biến đổi về


   


   
0g x
f x g x
f x g x


 






       
3
3
f x g x f x g x
  

Do khuôn khổ của chuyên đề, tôi không trình bày các chức năng cơ bản của
máy, phần này có thể xem ở tài liệu: “Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO
f
x
- 570ES ”.
1.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2

4 2 3 2 4 3 2
(2) 2 3 16 64 1 64 8 16 8 32 28 7 1 0
x x x x x x x x x x
             
.
Đến đây chúng ta cần có sự hỗ trợ của máy tính:
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên bằng cách bấm lần lượt các phím
8
4
x

32
3
x

28
2
x

7
x

1
ALPHA

0
.
B2: Bấm các phím
SHIFT
SOLVE

B

Nhập lại phương trình vào máy và bấm tiếp
SHIFT
SOLVE

Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =-0,5. Kết quả
0,280776406
X
 

Bấm
AC
, Bấm
ALPHA
SHIFT
STO
B

Nhận xét:
ALPHA
A

ALPHA
B
=
1,885132483

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN


8 32 28 7 1 0
x x x x
    
. Vậy phương trình đã cho tương đương với
  
2 2
5 21 3 17
2 3 1 4 10 1 0 ,
4 4
x x x x x x
 
        .
Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm là
5 21 3 17
,
4 4
x x
 
 
Như vậy với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, chúng ta đã giải quyết được bài
toán một cách rất tự nhiên.
Ví dụ 2: Giải phương trình
2
1 1
3 2 3
2 4
x x x x
 
   
 

  .
Nhận xét: Việc nhập các giá trị của biến X có thể
ngay từ đầu không cho kết quả như mong muốn nên ta phải thử một vài trường
hợp.
Ví dụ 3: Giải phương trình
23
2 2 2 6 3 0
x x x
     
.
Ta nhận thấy phương trình có chứa hai dấu căn, có thể giảm bậc của phương
trình bằng cách đặt
2
t x
 

Giải:
Điều kiện:
2
x

. Đặt 2
t x
 
với
0
t

ta có
2

2
2 2
x x
  
   
Nếu
3 129 53 3 129
2
4 8
x x
  
   
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

5
Nhận xét: Trong chuyên đề chỉ đề cập đến một số bài đưa về phương trình bậc
bốn nhưng phương pháp này vẫn áp dụng được cho các phương trình bậc cao
hơn, tuy nhiên việc phân tích cũng sẽ phức tạp hơn.
1.3 Một số bài toán tương tự:
Giải các phương trình sau
Bài 1:
2 2 2
4 3 3 4 1
x x x x x x
      

Bài 2:
 
2 2
2 5 2 3 1 1

4 1 1
x x x x
    

Bài 7:
2
3 2 1 2 3
x x x x
     
II. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP.
2.1 Kiến thức cơ bản:
Một số hằng đẳng thức hay dùng





2 2
x y x y x y
   






3 3 2 2

2 1 3 1 0
x x x
    

Dễ dàng nhẩm được một nghiệm của phương trình là x=1. Tuy nhiên ở đây tôi
xin trình bày lại phương pháp nhẩm nghiệm bằng máy tính Casio như sau:
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm lần lượt các phím:
2
ALPHA
X

1


ALPHA
X
2
x

3
ALPHA
X

1
ALPHA

0
.
B2: Bấm các phím
SHIFT

x
x
x x
x x
     


 

    


 

 


Phương trình (1) tương đương với
2
1 2 1 1 2 2 1
x x x x x
       

Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm
1, 2 2
x x  
.
Nhận xét: Bài trên có thể giải theo phương pháp bình phương đưa về phương
trình bậc bốn và tìm nghiệm.
Ví dụ 2: (Dự bị D 2006).

x
x x
        
        
      

  

 



  




Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn.
Ví dụ 3: (ĐH Khối B 2010)
Giải phương trình
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
      
.
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm tổ hợp phím:
3
ALPHA
X


cụ là máy tính.
Cách giải này trong đáp án của Bộ giáo dục.
Giải:
Điều kiện
1
6
3
x
  
.
Phương trình đã cho tương đương với:
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

7





2
3 1 4 1 6 3 14 5 0
3( 5) 5
( 5)(3 1) 0
3 1 4 6 1
x x x x
x x
x x
x x
        
 

Ví dụ 4: (Thi Thử Đại học Sư phạm Hà Nội 2013)
Giải phương trình
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4
x x x x x x x
         
.
Dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3. Từ đó có
cách giải như sau:
Giải:
Điều kiện:
2
5 37
6
x
x

 






. Phương trình đã cho tương đương với
 
2 2 2 2

9 20 2 3 10
x x x
   

Dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3. Từ đó có
cách giải như sau:
Giải: Điều kiện
10
3
x
 
. Phương trình đã cho tương đương với
 
  




2
2 3 10 1 3 10 1
9 18 2 3 10 2 3 6
3 10 1
x x
x x x x x
x
   
        
Với
3
x
 
thì
6
3
3 10 1x

 
và
6 3
x
 
nên phương trình vô nghiệm
Với
10
3
3
x
   
tương tự có
6
3
3 10 1x

 
và

 
nên -4 là hằng số cần thêm vào cho
2
12
x

và
2
0
5 3
x
 
nên -3 hằng số cần thêm vào cho
2
5
x

.
Giải:
Phương trình tương đương với




 
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2

nên từ phương trình (1) suy ra
5
5 3 2 0
3
x x x
     
.
Vậy
2 2 2 2
2 2 2 2
3 0
12 4 5 3 12 4 5 3
x x x x
x x x x
   
    
       
nên (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm là
2
x

.
Ví dụ 7: Giải phương trình
3 2 3 3
12 46 15 5 1 2( 1)
x x x x x
      

Ta dễ dàng nhẩm nghiệm x=2, sử dụng kĩ thuật tách ẩn và theo nghiệm dự đoán

2
3 2 3 3
8( 5 2) 5 2
0
2 1 3(2 1) 1 3
12 46 15 5 1
2 4 2 4
x x x x
x x
x x x x
   
 
 
   
       
   
   

Mà
2 2
2
3 2 3 3
8 1
0
2 1 3(2 1) 1 3
12 46 15 5 1
2 4 2 4
x x
x x x x
 


Thay x=1 vào
2
3
x x

kết quả bằng 2 nên tiếp tục dự đoán sẽ có nhân tử
2
3 2
x x x
 
.
Giải: Đk
2
3 0
x x
 

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

9
Phương trình tương đương với
 






 





Cách 2: Có thể áp dụng phương pháp đạo hàm
Phương trình tương đương với
 


3
3
2 2
2 2 3 3
x x x x x x
    

Xét
3 2
( ) '( ) 3 1 0
f x x x f x x
     
suy ra
2
0
2 3
1
x
x x x
x


3 1 0
x ax b
   
(*)nhận
0, 1
x x
 
làm
nghiệm. Thay
0, 1
x x
 
vào (*) ta có
1 1
2 0 1
b b
a b a
 
 

 
   
 
. Vậy
1
x
 
là
biểu thức cần thêm vào cho
3 1

x x x x
x x
x x x x
   
        
   
   
   
     

Nếu
2
0 0, 1
x x x x
    

Nếu
1 1
3 0
3 1 1 5 4 2x x x x
  
     
Vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm
0, 1
x x
 

Ví dụ 10: Giải bất phương trình
3 2

x x x
x
x x x x
x

   
 
 
       
 
 
 

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm
1
;4
2
S
 
 


 

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

10

Ví dụ 11: (Thi Thử Đại Học Vinh Khối A 2014)
Giải bất phương trình sau:

x
 
khi đó bất phương trình tương đương với




   
 
 
     
3 2
2
2
4 1 2 2 2 3 3 2 12
4 3 4 3
3 2 4
1 2 2 3 3
4 4
3 1 3 0 1
1 2 2 3 3
x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
        
 
     

x x
 
   
     
   

Do đó bất phương trình (1)
3 0 3
x x
    
. Vậy tập nghiệm là
1
3
x
x
 




.
Ví dụ 12: Giải phương trình
2 2
2
1 1
2
4 2
1
x x x
x

2
1 1
1
1
1
4
X X
X
 



nên -1 là hằng số cần thêm vào và
2
1
1 1
2
1X


nên
1
2

là hằng số thêm vào
cho
2
1
1
x

x
x x x
x
x x x x
x
 
 
 
     
 
 
 


 
 
  
      
 
    

 
 

 

Ví dụ 13: Giải phương trình
3 2
3 1 8 3
x x x

A
, tìm nghiệm
2
1,618033989
x 
bấm tiếp
SHIFT
STO
B
,
Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng
cách bấm
ALPHA

A

ALPHA

B
và
ALPHA

A
x
ALPHA

B

Ta có
1, 1

2
8 3
3 1 0 2
8 3
px q x
x x px q
x px q
  
      
  

 


2 2 2
3
2
3 2 8
3 1 0
8 3
p x pqx q
x p x q
x px q
   
      
  Đến đây, để xuất hiện nhân tử
2

4
1 1 0
8 3 2
x x x
x x
 
     
 
  
 

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

12

Xét
 
2
8 3 2
f x x x
   
ta có:
 
2
3
' 1
8 3
x
f x
x

3
f x

 
kết hợp với
2 6
3
x 

 
6 4 6
0
3
f x

  

 
2
4 4 2 6 4
1 1 1 0
3
6 4 6
8 3 2
3
x x
f x
x x
          


x x x x x
        

 
   
2
2
2
1 1 1
2 7 0
2 2 3
x x
x x
x x
 
   
 
   
 
  
 

1 7
1 7
x
x

 



A
gán x cho A
Nhập vào máy tính
2 1
A
 
, Kết quả
0,4142135662
, tức là
2 1

Lại có
2 1
x
  
, nên tiếp tục dự đoán sẽ có nhân tử
2 1 0
x x
  

GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

13

Ta có lời giải: Điều kiện
1
2
x
 



  
  





Ví dụ 16: Giải phương trình


3 2 2 2
6 18 8 4 3 6 4 2 7 0
x x x x x x x
        

Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng
SHIFT
SOLVE
:
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và thì tìm ra nghiệm của
phương trình là:
2,414213562
x

Ta dự đoán nghiệm của phương trình là
1 2
x  

Bấm tiếp

2 7 2 2 2 7 2 2 1 0
x x x x x x
 
         
 
 
Giải tiếp phương trình cơ bản.

2.3 Một số bài toán tương tự:
Bài 1:


3 2 2 2 6
x x x
    

Bài 2:
2

x
x x

   
Bài 6
2 2
2 16 18 1 2 4
x x x x
     
.
Bài 7
10 1 3 5 9 4 2 2
x x x x
      
.
Bài 8.
2
3
3 2 3 2 2 2 1
x x x x
    

Bai 9
2 2
5 2 1 2 1 1 3 3
x x x x x
       

Bài 10
2 2 2 2

      

Bài 15




2 2
3 1 1 4 12 4 28
x x x x x
      

Bài 16
3
3
1 2
1
3 9
x x
   

Bài 17


3 2 2
22 11 6 12 6 2 1
x x x x x x
     

Bài 18


C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Trong quá trình giảng dạy chính khoá, và dạy khối cho học sinh lớp 10
tôi tiến hành lồng ghép nội dung chuyên đề vào. Qua thực tế cho thấy
một số vấn đề sau:
1. Kỹ năng sử dụng máy tính:
Việc sử dụng máy tính cá nhân của học sinh vẫn chưa thật tốt, do đó
chuyên đề cũng nhằm giúp học sinh rèn luyện thêm kĩ năng sử dụng máy tính .
2. Tính phổ biến của phương pháp:
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

15

Rõ ràng việc sử dụng máy tính đã giải quyết được rất nhiều bài toán khó
thuộc chủ đề nghiên cứu, tuy nhiên không phải lúc nào cũng vận dụng được
phương pháp này bởi tính linh hoạt của từng bài toán, do đó chúng ta cũng
không nên quá lạm dụng phương pháp mà làm mất đi sự linh hoạt trong tư duy
của học sinh. Giáo viên có thể cho học sinh tìm thêm các lời giải khác bên cạnh
phương pháp sử dụng máy tính.
3. Kiểm tra tính khả thi chuyên đề
Sau khi đưa chuyên đề vào giảng dạy ở một số lớp, tôi đã tiến hành cho
học sinh làm một bài kiểm tra với thời gian 15 phút .
Lớp thực nghiệm: 10B2 Đã học chuyên đề.
Lớp đối chứng: 10B1 Chưa học chuyên đề
Trình độ của hai lớp là tương đương và đều có học lực khá.

Đề bài: Giải phương trình
2
3 1 5 4 3 3
x x x x


3 1 0
x ax b
   
,


5 4 0
x ax b
   

20 học sinh giải bằng các phương
pháp khác như đặt ẩn phụ, bình
phương … nhưng chỉ có 3 học
sinh đi đến kết quả
32 học sinh giải quyết chính xác bài toán,
6 học sinh biến đổi sai trong các bước sau.
D. KẾT LUẬN

1. Ý nghĩa đề tài:
Đề tài được nghiên cứu dựa trên kinh nghiệm giảng dạy, tìm hiểu của bản
thân, hoàn thành đề tài tôi thấy cá nhân tích luỹ thêm được nhiều kỹ năng tốt
phục vụ cho công tác giảng dạy, đây cũng là một nội dung để các đồng nghiệp
trong đơn vị công tác thảo luận bởi máy tính là một nội dung được dạy trong


MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU 1
B. NỘI DUNG 3
I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO THÀNH
NHÂN TỬ 3
1.1 Kiến thức cơ bản: 3
1.2 Các ví dụ: 3
GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN

17

1.3 Một số bài toán tương tự: 5
II. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP 5
2.1 Kiến thức cơ bản: 5
2.2 Các ví dụ: 5
2.3 Một số bài toán tương tự: 13
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 14
D. KẾT LUẬN 15