PHẦN 1:MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
Để bắt kịp xu hướng phát triễn của xã hội trong bối cảnh bùng nổ công
nghệ thông tin thì ngành giáo dục phải đổi mới phương pháp dạy học một
cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ra những con người lao động có đầy đủ phẩm
chất của thời đại như năng động, sáng tạo, có hướng suy nghĩ tìm giải pháp
tối ưu khi giải quyết công việc. Mặt khác trước sự thay đổi hình thức thi Tốt
nghiệp THPT QG năm 2017 ở môn Toán đó là chuyển từ thi tự luận với thời
gian làm bài là 180 phút sang thi trắc nghiệm với thời gian làm bài là 90 phút.
Thời gian làm bài ít hơn mà số lượng câu hỏi phải giải quyết thì nhiều hơn rất
nhiều đòi hỏi học sinh phải có phương pháp giải nhanh các bài toán. Từ đó
việc đổi mới phương pháp dạy học với các bộ môn khác nói chung và môn
toán nói riêng là một vấn đề cấp thiết của ngành Giáo dục và đào tạo hiện nay.
Muốn đạt được những điều trên thì cần phải sử dụng các phương tiện hiện đại
hỗ trợ vào quá trình dạy học trong đó có máy tính cầm tay.
Việc giải phương trình lượng giác là một trở ngại không nhỏ đối với
nhiều em học sinh gây cho các em không ít sự bối rối khi giải các loại phương
trình này. Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THPT bản thân tôi lại trực tiếp
phụ trách giảng dạy học sinh khối lớp 11 và nhận nhiệm vụ bồi dưỡng học
sinh giỏi Toán 11 nên tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm
thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình lượng
giác? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình lượng giác các em
cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất?
Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “SỬ DỤNG
MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO 570VN PLUS GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC” trong khuôn khổ chương trình bậc THPT.
II. Mục đích của đề tài.
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học
sinh, tìm ra những phương pháp giải phương trình lượng giác một cách hiệu
quả nhất.


công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng và
công thức biến đổi tổng thành tích...

Trang 2


II – Phương trình lượng giác cơ bản.
Nắm được các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
sin x  a,cosx  a,tan x  a,cot x  a . Biết sử dụng MTCT để giải phương
trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác:

sin 3x  

1
2

Giải:
Để máy tính ở chế độ Rad: SHIFT MODE 4
Nhập SHIFT Sin



1
1
 
2 = thì trên máy tính xuất hiện 6


 k2


k
2

x

�
�
6
�
3
� 18
Vậy





6 2
cos 2x  250 
4
Ví dụ 2: Giải phương trình lượng giác:

Giải:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
6 2
4
= thì trên máy tính xuất hiện 75

Nhập SHIFT cos


k
180
�
Trang 3


Nhận xét: Đối với ví dụ này nếu không sử dụng MTCT thì rất khó để có thể
xác định được góc 750.





3
tan x 150 
3
Ví dụ 3: Giải phương trình lượng giác:

Giải:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
3
Nhập SHIFT tan 3 = thì trên máy tính xuất hiện 30.

Vậy






Giải:
3cot x  3  0 � cot x  3 � x 


 k  k�Z
6

Đối với bài toán này ta có thể giải bằng MTCT như sau:
Để máy tính ở chế độ Rad: SHIFT MODE 4
1
1

Nhập SHIFT tan 3 = thì trên máy tính xuất hiện 6

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x


 k  k�Z
6

Ví dụ 6: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
16sin xcosxcos2x 1 0
Giải

16sin xcosxcos2x  1 0 � 8sin2xcos2x  1 0
� 4sin4x  1 0 � sin4x  

1

�
3cos x  5cosx  2  0 �
 k�Z
2� �
0
�
cosx 
x
�
�
4811'22,87''
�
3 �
Ví dụ 8: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
3tan x  6cot x  2 3  3  0

Giải:
Điều kiện: sin x �0,cosx �0





3tan x  6cot x  2 3  3  0 � 3tan2 x  2 3  3 tan x  6  0
�
tan x  3
��
tan x  2
�
Đến đây ta sử dụng MTCT để giải tiếp như sau:

 k  k�Z
2
không phải là nghiệm của phương trình.

cosx �۹
0 �x


k  k Z
2





2sin2 x  5sin xcosx  cos2 x  2 � 2tan2 x  5tan x  1 2 1 tan2 x

tan x  1
�
� 4tan x  5tan x  1 0 � �
1
�
tan x 
�
4
2

Đến đây ta sử dụng MTCT để giải tiếp như sau:
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
Nhập SHIFT tan 1= thì trên máy tính xuất hiện 45

a
sin x 
2
2
a b
cos 
Đặt
sin x    

b
cosx 
2
2
a b

c
a2  b2

a
b
, sin 
a2  b2
a2  b2 thì phương trình trở thành:
c
a2  b2

Đây là phương trình lượng giác cơ bản nên việc giải nó rất dễ dàng.
Cách 2:
Xét
Xét

tan  t0.
2
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình:
Từ cách giải này ta suy ra các nghiệm của phương trình asin x  bcosx  c là

�a � a2  b2  c2 �
� k2  k�Z
x  2arctan�
�
b c
�
�
�
Ví dụ 10: Giải phương trình cosx  3sin x  2 .
Giải:
Cách 1:

1
2

cosx  3sin x  2 � cos x 

3
2
sin x 
2
2

Trang 8



A  A2  B2  C2
1

B C
Nhập 2 SHIFT tan
= thì trên máy tính xuất hiện 12

Vậy

x

7

 k2 �x   k2 ;k�Z
12
12

Nhận xét: Khi bài toán không yêu cầu trình bày bài toán một cách chi tiết
hoặc giải bài tập trắc nghiệm thì sử dụng MTCT là một phương pháp rất hữu
ích.
4/ Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
a sin x  cosx  bsinxcosx  c  0

Cách giải:
� �
t  sin x cosx 2sin�x  �; t � 2.
� 4�
Đặt



t

1,23

Bảng biến thiên:
t

�

f’(t)
f(t)

+�

-1.23
-

0

�

+
�

-18.25
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t)  0 có đúng hai nghiệm
Dùng chức năng SLOVE ta tìm được hai nghiệm gần đúng

t1 �0,44;t2 �1,88

nghiệm của phương trình trên đoạn

 0;50 .

Giải:
Điều kiện: sin x �0
sin3 x  1
2
2
2cos x  cot x 
� 2cos2 x  cot2 x  sin x  1 cot2 x
sin2 x

sin x  1
�
 k2
2
� 2sin x  sin x  1 0 � �
� x 
 k�Z
1
�
6
3
sin x 
�
2

 k2
0� 

2
2
cos4x  2cos 2x  1 2 2cos x  1  1 8cos4 x  8cos2 x  1





cos3x  4cos3 x  3cosx
3
2
Suy ra : cos4x  cos3x  21cos x  34cos x  6cosx  27  0
� 8cos4 x  25cos3 x  26cos2 x  3cosx  26  0

Đặt

t  cosx;t � 1;1

, ta được :





8t4  25t3  26t2  3t  26  0 �  t  2 8t3  9t2  8t  13  0
t 0,7075563476

0
0
Suy ra x ��44 57'48,82'' k360



3
Nhập SHIFT cos 2 = thì trên máy tính xuất hiện : 30

Nhập SHIFT cos



3
2 = thì trên máy tính xuất hiện : 150

Vậy các nghiệm của phương trình là :
x ��26033'54,18'' k3600; x  �300  k3600; x  �1500  k3600  k�Z

V – Một số bài tập trích trong đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay.
Ví dụ 15 : Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
2  3cos2 x  sin 2 x  4cos2 3 x

(Trích đề thi HSG MTCT Đăk Lăk năm 2013)
Giải:

2  3cos2 x  sin 2 x  4cos2 3 x � 2  3cos2 x  sin 2 x  2  1  cos6 x 
1
3
� sin2x  3cos2x  2cos6x � sin2x 
cosx  cos6x
2
2


k
360
x


37
30'

k
45
�
�
Ví dụ 16: Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
cos6 x  sin6 x  5cos3 x  6cosx  1 0

(Trích đề thi HSG MTCT Huế năm 2013)
Giải:
Trang 13


cos6 x  sin6 x  5cos3 x  6cosx  1 0
� 1 3sin2 xcos2 x  5cos3 x  6cosx  1 0
� 1 3cos4 x  3cos2 x  5cos3 x  6cosx  1 0
� 3cos4 x  5cos3 x  3cos2 x  6cosx  2  0

Đặt

t  cosx;t � 1;1

4

t  sin 2x  cos 2x  3�
t
�
2
�
� với sin4x  t2  1.
Suy ra
3

3

3

Phương trình trở thành:





2
1 3 3 t 1 t 4 2
t 
 t  1 � 3t3  8t2  9t  11 0
2
2
3





x �17010'40,91'' k1800; x �27010'19,09'' k1800;
x �4003'24,74'' k1800; x �8503'24'' k1800 k�Z





Ví dụ 18: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
sin 2 2 x  4(sin x  cos x)  3

(Trích đề thi HSG MTCT Huế năm 2008)
Giải:





�� sin2x  t2  1
t  sin x  cosx  2cos x  450 ;t ��

2;
2
�
�
Đặt
4
2
Phương trình trở thành: t  2t  4t  2  0

Dùng chức năng SOLVE , lấy giá trị đầu của X là  2; 2 ta được 2 nghiệm

�  2 5 �
T � ; ; ; �
�6 3 3 6
B.

�  7 4 �
T � ; ; ; �
�6 3 6 3
C.

 5 7 �
T �
; �
� ;
6
6
6
�
D.

Giải:
� 
x   k
�
3
2sin 2 x  3  0 � sin 2 x 
�� 6
 k �Z

2

 k2  k�Z
12
12

x

2
 k2  k�Z
3

3sin x  cosx  2 là:

B.
D.

x 
x

2
 k2  k�Z
3


 k2  k�Z
2

Giải:
Nhập vào màn hình máy tính

3 � A,1� B, 2 � C

vế của phương trình cho 2 rồi giải nó. Quá trình này tương đối dài dòng và
tốn thời gian.

1 cos2x sin2 x  1

2
cos4x  cot x 
sin2 x
Ví dụ 23: Cho phương trình
. Tổng tất
cả các nghiệm của phương trình trên đoạn
A. 660

B. 640

 1;64

là:

C. 600
Trang 18

D. 620


Giải:
Điều kiện: sin x �0
1 cos2x sin2 x  1

2


2700  x  4500 là:
0
A. 360

0
B. 320

0
C. 340

0
D. 270

Giải:
3sin2x  1 2cosx  cos2x
� 2 3sin xcosx  1 2cosx  1 2cos2 x



� 2cosx

cosx  0
�
3sin x  cosx  1  0 � �
� 3sin x  cosx  1



cosx  0 � x  900  k1800  k�Z


Chọn đáp án A
Nhận xét: Đối với ví dụ này nếu ta sử dụng chức năng CALC của máy tính thì
nhanh hơn rất nhiều.
Để máy tính ở chế độ Deg: SHIFT MODE 3
Nhập vào màn hình máy tính:

3sin 2X   1 2cos X   cos 2X 

0
0
Dùng chức năng CALC thì tại X  360 ; X  270 giá trị của hàm số này
bằng 0.

Loại đáp án C do 2700 không thõa màn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A.
2
Ví dụ 25: Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin x  3sin x  1  0 thõa

điều kiện

0 �x 


2 là :

Trang 20


A.

�
2
�
�
sin x  1

�
2sin 2 x  3sin x  1  0 � �
1 � �x  6  k 2  k �Z
�
sin x 
�
2
�
5
�
x
 k 2
�
6

Chọn đáp án C
Nhận xét: Đối với bài toán này ta có thể sử dụng chức năng CALC của máy
tính để tìm nghiệm của nó.
3
3
Ví dụ 26: Các nghiệm của phương trình cos x  sin x  sin x  cosx là:

A.
C.


Giải:





cos3 x  sin3 x  sin x  cosx �  cosx  sin x cos2 x  sin2 x  sin xcosx  1  0
�1
�
�  cosx  sin x � sin2x  2� 0 � cosx  sinx � x    k  k�Z
�2
�
4

Chọn đáp án A
Nhận xét: Đối với bài toán này ta có thể sử dụng chức năng CALC của máy
tính để tìm nghiệm của nó mà không cần phải giải phương trình.

PHẦN 3: KẾT LUẬN
I – Kết quả nghiên cứu:
Để đánh giá hiệu quả của biện pháp này tôi cho khảo sát bằng đề kiểm tra 45
phút phần phương trình lượng giác cho lớp 11A10.

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
Quy ước: k�Z
Trang 21


Câu 1: Phương trình

x  �  k
6
C.


x  �  k 2
6
D.

Câu 3: Phương trình :
A.

x

5
 k 2
6

sin x 

B.

x

1


�x �
2 là :
2 có nghiệm thõa 2


2
Câu 5: Nghiệm của phương trình lượng giác : sin x  2sin x  0 có nghiệm
là :

A. x  k 2
C.

x


 k
2

B. x  k
D.

x


 k 2
2

Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x + 3 = 0

2
B. 2cos x  cos x  1  0

C. tan x + 3 = 0

2

D.

x

�
� 1
� 4 � với  �x �3 là :

sin �
�x 

C. 2

Trang 22

D. 3

5
6


Câu 9: Các nghiệm thuộc khoảng

 0;2 

của phương trình:

sin 4 X  cos4 x  5


5
x  �  k 4
6
C.

5
x  �  k 4
3
D.

cos x  3 sin x
0
1
sin x 
2
Câu 11: Phương trình lượng giác
có các nghiệm là :
A.
C.

x


 k2
6

x



A.
C.

x


 k
3

x


 k
6

B.
D.


2

�
� 1
� 3 � với 0 �x �2 là :

2 cos �
�x 

B. 2



x


3

 k

C. vô nghiệm

B.
D.


x  �  k
3

x


3

 k

Câu 16: Nghiệm của phương trình :






x  �  k 2
6
D.

là :

Câu 17: Một nghiệm của phương trình lượng giác
sin2 x  sin22x  sin23x  2 là:


A. 3


C. 6


B. 12


D. 8

2
2
Câu 18: Phương trình 2cos x  3 3 sin 2 x  4sin x  4 có các nghiệm là:
� 
x   k
�
2
�




A. 6


B. 4


C. 3

2
D. 3

4
6
Câu 20: Phương trình cos x  cos2x  2sin x  0 có các nghiệm là:
x    k
x  k 
2
4
2
A.
B.
C. x  k
D. x  k 2

Trang 24


sin 2 2x  2cos2 x  3  0

A.

�
x     k2
�
6
�
�
x    k2
�
2
�

C.

�
x     k2
�
3
�
� 5
x   k2
�
6
�

B.

�
x    k2

�
� 4 � 4 có các nghiệm
Câu 23: Phương trình
là:
x  k 
x  k 
8
4
4
2
A.
B.
x    k
2
C.
D. x   k2

�
�
�
cos �
�2x  � cos �2x  � 4sin x  2  2  1  sin x 
4�
4�
�
�
Câu 24: Phương trình
có
các nghiệm là:



�
x    k2
�
6
�
� 5
x   k2
�
6
�

D.

�
x    k2
�
4
�
� 3
x   k2
�
4
�

Trang 25