Phương pháp nghiên cứu khoa học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH
TỖ: TOÁN

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO-FX 570ES PLUS
TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Bắc bình,ngày 8 tháng 12 năm 2014

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
1


Phương pháp nghiên cứu khoa học

I.

•
•
•

•
•

Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng cao nhưng lại có ứng dụng
rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội. Đây là một môn học khó và khô

Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra được các phơng pháp, cách giải phương trình vô tỉ nhanh chóng, chính xác và dễ
áp dụng nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực là máy tính bỏ túi.
Qua các bài giải khái quát và cụ thể sẽ giúp học sinh tư duy tốt hơn, có tầm nhìn bao quát
và có trong tay nhiều cách giải khác nhau, từ đó có thể hoàn thành tốt các bài toán giải
phương trình vô tỷ và nhiều bài toán khác.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
2


Phương pháp nghiên cứu khoa học

III.

Phạm vi nghiên cứu.
Trong đề tài này chỉ nghiên cứu các dạng phương trình vô tỷ thường gặp ở các cấp bậc phổ
thông, trong các kì thi tốt nghiệp và đại học.

IV.

Định nghĩa phương trình vô tỷ.

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình vô tỷ không được đưa vào sách giáo khoa
một cách chính thức, tuy nhiên trong hầu hết các đề thi đại học- cao đẳng và thi Olympic toán thì
phương trình vô tỷ là một dạng toán thường xuất hiện. Trong sách giáo khoa toán không có định
nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, nhưng qua các bài toán và một số tài liệu tham khảo khác
thì phương trình vô tỷ là những phương trình chứa căn thức.


trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
3


Phương pháp nghiên cứu khoa học
1. Phím CALC:
Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá trị biểu
thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này cho phép ta tính một biểu thức cồng
kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể.

2. Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi là SOLVE:
Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì màn hình hiển
thị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán
kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới
dạng phân số tối giản hoặc số thập phân. Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưa
tìm được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình với
sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai vế (thông
10 −6

thường sai số này rất bé khoảng

trở xuống).

3. Chức năng TABLE: (MODE 7)
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trị
biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức,
thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm
một cách tiết kiệm thời gian.

VII.

hai phương trình bậc 2.
Tìm nghiệm của hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của
phương trình (*).
Máy tính CASIO sẽ giúp ta dễ dàng tìm ra 2 nghiệm x1, x2 và các hệ số của 2 tam thức bậc 2
cũng như giải 2 phương trình bậc 2 nói trên
Ví dụ áp dụng:
10x 2 + 3x − 6 − 2(3x + 1) 2x 2 − 1 = 0(1)

Giải phương trình sau:

.

Điều kiện của phương trình:

Ta chia được cho

3x + 1

2x 2 − 1 ≥ 0
 −3 − 249 − 2   2


⇔ x∈
;
; +∞ ÷
10x 2 + 3x − 6
∪
20
2   2
≥0

ALPHA X. Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn

-

1

0

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
5


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Tiếp theo nhấn

Tiếp theo nhấn

=

=

1

màn hình hiện ra chữ End?. Nhấn

màn hình hiện ra chữ Step? Nhấn

1


=
=
2
nhấn tiếp AC
=1
C
Ta được một bảng giá trị của f(x) từ 1 tới 2.

0
1

.

1

=

Như vậy khoảng nghiệm hẹp hơn là (1.3; 1.4).
Tương tự cho 2 khoảng nghiệm còn lại.

-

Khoảng nghiệm (-1; 1) có khoảng nghiệm hẹp hơn là (-0.9; -0.8) và (-0.8; 0.8).
Khoảng nghiệm (-2; -1) có khoảng nghiệm hẹp là (-1.8; -1.7).

Bước 2: Tìm nghiệm
(10x 2 + 3x − 6) 2 − [2(3x + 1) 2x 2 − 1]2 = 0(1').

Trở lại màn hình soạn thảo nhập biểu thức “

-0.8) , chẳng hạn “-0.85”.

giá trị x trong khoảng (-0.9,
4
7

Màn hình hiện kết quả X= -0.820852384.

Gán kết quả này vào phím B : . SHIFT

STO

B

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
8


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Tiếp tục thực hiện lại các bước trên với 2 khoảng nghiệm còn lại.
Nhập x trong khoảng (-0.8; 0.8) chẳng hạn “ 0.75”
Màn hình hiện kết quả X=0.7247448714.
Gán kết quả này vào phím C:

SHIFT

STO


8
X2 − X − = 0
7
7

⇔


2(1 + 15)
A =

7

 B = 2(1 − 15)

7

( A được nhập bằng phím

ALPHA

A

và B được nhập bằng ALPHA

B

).

Tương tự, tính C+D và C.D.


D

).

Vậy: Với điều kiện trên (1) trở thành
(10X 2 + 3X-6) 2 − (2(3X+1) 2X 2 − 1)2 = 0
4
8 
5

⇔  X 2 − X − ÷ X 2 + X − ÷ = 0
7
7 
4

8
 2 4
X − 7 X − 7 = 0
⇔
X2 + X − 5 = 0

4

x =


x =
⇔




Phương pháp nghiên cứu khoa học

2(1 + 15)
x =
7


2(1 − 15)
x =
7


−1 + 6
x =
2


Chú ý:
Để rút ngắn thời gian nhập lại nhiều lần biểu thức f(x) ở bước 3, sau khi nhập biểu thức f(x) ở
bước 2, ta nhấn
sau thành nhấn

=

rồi tiếp tục nhấn các tổ hợp phím như trên và thay các lần nhập biểu thức

∆


Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
11


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Bước 1:

Đặt điều kiên:

D=

8x + 5 ≥ 0
 2
 4x − 1 ≥ 0

 −3 −1  1

 8 ; 2  ∪  2 ; +∞ ÷

8x + 5 + 2 4x 2 − 1 − 3 = 0 ( 1′)

Bước 2: Viết phương trình dưới dạng:
Bước 3: Nhập vế trái của phương trình

( 1′)
vào màn hình máy tính.

Bước 4: Dùng chức năng có
phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng.

trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
12


Phương pháp nghiên cứu khoa học
x=

Biết phương trình có 1 nghiệm

1
2

1
8. + 5 = 3
2

. Ta tính

(
. Vậy biểu thức

( 2x − 1)
nhân tử:
sẵn nhân tử.

2 4x 2 − 1 = 2

)

8x + 5 − 3


 2 2x − 1
+ 2x + 1 = 0(vô nghiêm)

⇔  8x + 5 + 3

1
 x = 2 (nhân)
x=

Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất

1
2

.

Biến đổi phương trình về dạng: B. a(x-x1)(x-x2)g(x)=0 với x1, x2 là nghiệm của phương trình
Ví dụ: Giải phương trình

3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4 ( 2 )

Bước 1:
Đặt điều kiện phương trình:
3x + 1 ≥ 0
−1

⇔x≥
5x + 4 ≥ 0
3

=

”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ End?, nhấn “10”

Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ Step?, nhấn “ ”

Tiếp theo nhấn “=”. Vậy ta được bảng gồm các giá trị của x từ

−1
2

tới 10.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
14


Phương pháp nghiên cứu khoa học

Nhìn vào bảng giá trị ta thấy tại x=0 và x=1 thì ta nhận được giá trị bằng 0. Vậy x=0 và x=1 là
hai nghiệm của phương trình.
Bước 3:
Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x(x-1).
Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần thêm -3x nữa. Vậy ta được
3(x 2 − x) + 2x + 3 − 3x + 1 − 5x + 4 = 0

tiếp tục muốn sau khi nhân lượng liên hợp để mất đi số

( nhân)
x = 1

Vậy phương trình có nghiệm là:

x = 0
x = 1


DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2
VD: Giải phương trình

x 2 − 2x = 2 2x − 1

(dạng

ax 2 + bx + c = k dx + e

)(1)

(a=1, b=-2, c=0, k=2, d=2, e=-1)

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
15


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Bây giờ công việc của chúng ta là đặt ần phụ y theo x sao cho có thể đưa phương trình (1) về

gần đúng.
Nhấn SHIFT
thể chọn số khác.

CALC

máy hiện ra “Solve for X” nhấn =

2

(vì

2∈

D) hoặc có

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
16


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Màn hình hiện kết quả X=3.414213562.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

Tính

2A − 1 − A




Phương pháp nghiên cứu khoa học
x − 1 = 2x −1
1

x ≥
⇔
2
 x 2 − 4x + 2 = 0
1

x ≥
2
⇔
x = 2 ± 2

⇔ x = 2± 2

Thế (3) vào (**) ta được
x + 3 = 2x − 1
 x ≥ −3
⇔ 2
 x + 4x + 10 = 0(vô nghiêm)

So điều kiện ban đầu

x≥2

ta được nghiệm của phương trình là

* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giảiphương
trình: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x) = k
hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến
(nghịch biến)
Nếu là phương trình: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là phương trình: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất một
nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn
nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình:
f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến còn g(x)
nghịch biến.
*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a.
*Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a.
Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và
g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là
nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì
f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y )
Ví dụ: Giải phương trình:

x 3 − 3x + 1 = 8 − 3x 2

Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình

(1)


CALC

màn hình máy tính hiện ra “Solve for X”, nhấn “ ” ( có thể chọn

Màn hình hiện kết quả X1 = 1.618033989.

Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn

SHIFT

STO

A

SHIFT

CALC

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
20


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Rồi tiếp tục nhập vế trái của (1’) vào màn hình máy tính, nhấn

hình hiện ra “solve for X”,
khác ) , nhấn “=”.

màn

⇔ x 3 − 3x + 1 − (px + q) +
⇔ x 3 − (3 + p)x + 1 − q +

(px + q) 2 − (8 − 3x 2 )
px + q + 8 − 3x 2

=0

(p 2 + 3)x 2 + 2pqx + q 2 − 8
px + q + 8 − 3x 2

=0

(p 2 + 3)x 2 + 2pqx + q 2 − 8 = a(x 2 − x − 1)
2

Đến đây để xuất hiện nhân tử (x – x -1) thì
số. Chọn a=4 thì ta được một cặp (p,q) thỏa mãn là (p,q)=(-1,2).

với a là một hệ

Lời giải:
x 3 − 3x + 1 + 4

x2 − x −1

=0
2 − x + 8 − x2
4(x 2 − x − 1)
⇔ (x 2 − x − 1)(x + 1) +

2
8 − 3x
 −2 6
2 6
0
⇔ x < 0
⇔x=−
3
8 − 3x 2 = 9x 2

6

x = ±

3
2

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
22



3
6+2 6
3
6−2 6
3
0 < f (x) ≤

Suy ra

6+4 6
3

Như vậy:
x +1+

4
2 − x + 8 = 3x

2

= x +1+

4
−2 6
12
≥
+1+
>0
f (x)
3


Phương pháp nghiên cứu khoa học
Phương pháp khảo sát hàm số cho phép chúng ta đánh giá tập giá trị của biểu thức một cách chặt
chẽ nhất. Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi những tính toán cồng kềnh vì những số vô tỷ chứa
căn mà nếu không có máy tính thì chúng ta khó mà tính toán dễ dàng. Như vậy với tổ hợp phím
SHIFT CALC và phím CALC của máy tính giúp đỡ chúng ta rất nhiều trong quá trình tìm
nghiệm, tính các giá trị trong bảng biến thiên một cách chính xác nhất và nhanh nhất.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
HÓA
Lượng giác hóa phương trình theo một số dấu hiệu chủ yếu sau đây

Nếu phương trình xuất hiện x2+ y2=a thì đặt

 x = asint

 y =acost

Đặt ẩn phụ lượng giác tùy theo điều kiện của phương trình và đặc thù của phương trình (đặc ẩn
phụ để có thể áp dụng được công thức lượng giác)
x ≤a

Nếu

thì có thể đặt x=asint,
x=

x ≥a

Nếu


π
2

Ta xét ví dụ sau:
x 3 − 3x = x + 2

Lời giải.
Điều kiện:
+Nếu

x>2

x ≥ −2

.

thì

x 3 − 3x = x ( x 2 − 3) > x > 2x = x + x > x + 2

.
Vậy

x>2

không thỏa mãn phương trình.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
24

8cos3 t − 6cos t = 2 ( 1 + cos t ) ⇔ 4 cos3 t − 3cos t = cos

t


t =
3t = 2 + k2π
t
⇔ cos3t = cos ⇔ 
⇔
2
t =
3t = − t + k2π
2



k4π
5
k4 π
7

t = 0, t =

t ∈ [ 0, π ]

Do

x


x
16x − 12x 2 + 1
4

Lời giải.

Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
25