I.ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong các năm học qua Bộ giáo dục đã có chủ trương đưa máy tính Casio vào
hỗ trợ cho việc dạy và học trong chương trình THPT. Hàng năm đều có các cuộc
thi giải toán trên máy tính bỏ túi từ cấp tỉnh đến cấp Quốc gia, trong đó các môn tự
nhiên nói chung và môn toán nói riêng được sử dụng nhiều hơn cả. Nhìn chung học
sinh chỉ sử dụng máy tính ở việc thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng
dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên
công cụ máy tính.
Bên cạnh đó qua quá trình giảng dạy tôi thấy được việc sử dụng máy tính giúp
cho học sinh thực hiện các phép tính nhanh chóng với độ chính xác cao; biết cách
kiểm tra kết quả, dự đoán kết quả điều này rất có ích khi làm bài thi.
Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm còn giúp cho các đồng nghiệp có một tài liệu
tham khảo thêm về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mang lại.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi không đi vào trình bày các vấn đề cơ bản
về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mà đưa ra các ứng dụng thiết thực, có
tính mới phục vụ vào giải các bài tập thường gặp trong sách giáo khoa cũng như
trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đại học.
1
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Cơ sở lí luận của vấn đề:
Trong chương trình môn toán THPT ở mỗi khối học đều có các bài đọc thêm
hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi vào giải toán mà cụ thể là dòng máy Casio fx-
500MS, điều đó nói lên rằng việc sử dụng máy tính bỏ túi là rất cần thiết, có nhiều
loại máy tính bỏ túi trên thị trường hiện này, trong đó máy tính Casio fx-570ES là
loại máy phổ biến, được đông đảo học sinh sử dụng và tính năng tương tự như
Casio fx-500MS; Do vậy trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn cho học sinh THPT
sử dụng máy tính này vào giải toán.
Khi làm bài thi thí sinh sử dụng máy tính trong quá trình tính toán sẽ rút ngắn
được thời gian, độ chính xác cao; Điều quan trọng nữa là định hướng được cách
làm và còn kiểm tra được kết quả đúng hay sai.
Học sinh đã được trang bị các kiến thức toán học cơ bản trong sách giáo khoa

đổi phương trình ấy về dạng phương trình tích qua đó phương trình bậc cao hơn
được chuyển về giải các phương trình bậc thấp hơn. Trong chủ đề này sẽ lấy tư
tưởng trên vào việc giải một số phương trình lượng giác với sự trợ giúp của máy
tính Casio fx-570ES.
a) Nội dung phương pháp: để giải phương trình lượng giác bằng phương
pháp này, tiến hành theo các bước sau.
Bước 1. Tiến hành thử tìm một nghiệm nào đó, ta thử với các giá trị đặc biệt sau:
2 3 5
0; ; ; ; ; ; ; ;
6 4 3 2 3 4 6
π π π π π π π
π
Chú ý: để tìm các nghiệm trên dùng máy tính bỏ Casio fx-570ES theo một trong
hai cách sau
3
Cách 1: Dùng chức năng (CALC), chức năng này có công cụ là tính giá trị của một
hàm số tại một điểm.
- Chuyển phương trình về dạng f(x) = 0, giả sử cần thử với giá trị x = x
0

- Thực hiện như nhập vào máy hàm số f(x), ấn phím (CALC) máy hỏi x? ta
nhập vào x
0
và ấn phím (=); Để thử với các giá trị khác ta tiếp tục nhấn
phím (CALC).
Cách 2: Dùng chức năng (SOLOVE); Chức năng này có công dụng là tìm nghiệm
của phương trình trong một lân cận của x đã chỉ ra. Ta thực hiện như sau:
- Chuyển máy tính về đơn vị độ; nhập vào phương trình f(x) = 0
- ấn phím (SOLOVE), máy hiển thị x? ta nhập giá trị mà ta dự đoán là
nghiệm, chẳng hạn 30 (30

=
nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x
sao cho
1
sinx=
2
, hay phương trình có một thừa số là
(2sin 1)x −
4
+ thử lại với giá trị hơn (kém) nó
π
, thử với
6
x
π
π
= +
=
7
6
π
nếu giá trị này thỏa
mãn thì ta dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho
3
tan
3
x
=
hay có thừa số
( 3 t anx-1)

Áp dụng viet:
1 2
5 2cos
6
x
t t
−
+ =
suy ra: t
2
= (1-cosx)/ 3
Vậy phương trình đã cho tương đương với
1
sinx=
2
3sin osx=1x c



+

Với
2
1
6
sinx= ;
5
2
2
6

Do dự đoán được
1
sinx=
2
, do đó phương trình chứa thừa số (2sinx-1). Vậy ta nên
kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số (2sinx-1) từ đó ta phân tích được
(1-2sinx)(cosx + 3sinx -1) = 0
1
sinx=
2
3sin osx=1x c


⇔

+

.
Từ đó ta giải được phương trình như trên.
Ví dụ 2.
Giải phương trình: cos3x + cos2x + sin2x + sinx- 5cosx = 3
Phân tích: thực hiện phép thử ta tìm được 2 nghiệm
2
3
x
π
= ±
vậy ta dự đoán
phương trình có nghiệm x:
1

2 2
1 8 1
2cos os ( ) sin 2 3cos( ) sin
3 3 2 3
x c x x x x
π
π
+ + = + + + +
Giải
Đưa phương trình về
6cos os2 3sin 2 9sin 8 0x c x x x
+ − + − =
nhận thấy phương trình này có nghiệm
2
2
x k
π
π
= +
nên chứa thừa số (sinx – 1)
Cách 1. Đặt t = sinx (
1t ≤
). Phương đã cho trở thành
-2t
2
+ (9- 6cosx)t + (6cosx – 7) = 0 phương trình này có A + B + C = 0. Vậy
sinx=1
6cosx-7
sinx=
-2

Vậy cần nhóm 2 số hạng nào đó để làm xuất hiện nhân tử chung (tanx + 1) ta
đi đến phương trình: (1 + tanx)(cosx + 3sinx -3) = 0. Từ đó ta dễ ràng tìm được tập
nghiệm của phương trình.
Ví dụ 4. giải phương trình sin3x - 6sin2x + 9sinx – cos3x + cosx = 8
Giải
Thử thấy phương trình có các nghiệm
2 ;
2
x m
π
π
= +
nên phương trình chứa thừa số
( sinx-1). Đặt t = sinx (
1t ≤
). Phương đã cho trở thành
Trở thành -4t
3
+ 4(cosx) t
2
+ (12-12cosx)t + (8cosx – 8)= 0
Thực hiện phép chia đa thức ta được phương trình
(t – 1)[-4t
2
+ (4cosx-4)t + 8- 8cosx] = 0
Hay t = 1 hoặc -4t
2
+ (4cosx-4)t + 8- 8cosx = 0 (*) nhận thấy
2x k
π

2 2
2 3sin 2 -1=2t-1 2t 2(1 3sin ) 0
0
1 3sin
t x t x t
t
t x
+ ⇔ − − =
=

⇔

= −

8
Hay
;
2
cosx=0
2
2
2 ;
1
3
3 sin osx=1
os(x- )
2
3 2
x k k Z
x k


=




Cách 2
Do dự đoán được
cosx=0
, do đó phương trình chứa thừa số ( cosx). Vậy ta nên kết
hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số ( cosx) từ đó ta phân tích được
1
cosx=
2
( 3 sinx+cosx-1)cosx=0
3 sinx+cosx=1


⇔



.
Từ đó ta giải được phương trình như trên.
Ví dụ 6 (ĐH Khối A – 2011). giải phương trình
2
1 sin 2 ox2x
2 sinxsin2x
1+cot
x c

sin
t=0
t= 2-sinx
x t x t
x
− = ⇔ + −

⇔


9
Hay
;
cosx=0
2 2
;
sin osx= 2
os(x- ) 1 2
4 4
x k x k k Z
m Z
x c
c x m
π π
π π
π π
π
 
= + = + ∈
 

⇔


.
Đến đây ta giải được phương trình như trên.
(Nhận xét: Với bài tập đơn giản như ví dụ 5, 6 thì nên làm theo cách 2)
c. Bài tập rèn luyện: giải các phương trình sau:
1) sin2x + 3sinx – 2cosx = 3
2) sin5x +sin2x + cos6x = cos4x + cosx
3) 1 + cosx + cos2x = sin2x + sin 3x + sin4x
4) 4sinx + cosx = 1 + tanx – 3sinxtanx
3.2 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để giải bất phương trình.
Tôi thấy rằng việc giải bất phương trình có dạng f(x) > 0 (f(x) < 0
,
( ) 0, ( ) 0)f x f x≥ ≤
thì phức tạp hơn nhiều so với việc giải phương trình f(x) = 0
. Thực chất của bài toán là quy về việc xét dấu của của biểu thức f(x) trên miền xác
định của bất phương trình. Do vậy nội dung của chủ đề này là quy việc giải bất
phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0 sau đó lập bảng xét dấu của f(x) và
từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình.
a) Nội dung phương pháp:
10
Nội dung của phương pháp này dựa trên tính chất sau
Tính chất: giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K. Nếu phương trình
f(x) = 0 vô nghiệm nghiệm trên miền K thì f(x) không đổi dấu trên K.
Phương pháp giải bất phương trình theo cách này:
+ Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) là D
+ Giải phương trình f(x) = 0
+ Lập bảng xét dấu của f(x) ( để xác định dấu của f(x) trên khoảng con K của D mà
f(x) vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f(x

2
40
( ) 16
16
f x x x
x
= + + −
+
là hàm số liên tục trên D, tập xác định
hàm số là D = R
• Phương trình f(x) = 0

2 2
2 2 2 2
2
16 24
( 16) (24 )
64 576 3
x x x
x x x
x x
⇔ + = −
⇒ + = −
⇔ = ⇔ = ±
11
Thử lại thấy nghiệm x = 3 thỏa mãn.
• Bảng xét dấu f(x):
x -∞ 3 + ∞ Ta có: f(0) = -6 < 0 và f(4)=2,58>0
nên ta xác định được dấu trên các
f(x) - 0 + khoảng ( - ∞; 3) và ( 3;+∞)


< + ≠

* Đặt
2
1
1
3
3
1 1
( )
log ( 1)
log 2 3 1
f x
x
x x
= −
+
− +
PT f(x) = 0 trở thành:

2
1 1
3 3
2
2
log 2 3 1 log ( 1)
2 3 1 1
5 0 0; 5
x x x

* Phương trình f(x) = 0
2
2
1 1 1 1 2 1
2 1 2 0
x x x x x x x x
x x x x x
⇔ + = + − ⇒ + = + − + −
⇒ − = − ⇒ =
Thử lại thấy x = 0 thỏa mãn.
* Bảng xét dấu của f(x).
Ta có: f(-1/2)=0,017 < 0; f(1/2) = 0,017 > 0
x - 1 0 1
f(x) - 0 +

Qua bảng xét dấu của f(x). Tập nghiệm BPT là T = [0; 1]
Ví dụ 4. giải bất phương trình sau:
2
sin x osx
6
2
( ) 3 log 2005 0
3
c
+ − ≥
Nhận xét: dùng máy tính kiểm tra thì: log
6
2005
≈
4, 243537…>4

− + − − + ≥ −
x x x x x
4)
2 1 2 1
( 1) ( 1)
x x x
x x x x
− + −
+ + ≥ + +
3.3. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có nghiệm của
phương trình:
Ví dụ: Cho hàm số y = x
4
– 6x
2
+ 4x + 6. Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị
Thật vậy
Ta có: y’ = 4x
3
– 12x + 4 ta chỉ cần chứng minh phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt. Dùng máy tính ta biết được 3 nghiệm:
1 2 3
1,8; 0,3; 1,5x x x≈ − ≈ ≈
Sau đó ta áp dụng định lí về hàm liên tục cho hàm số g(x) = 4x
3
– 12x + 4 trên các
đoạn [-2; -1], [0; 1], [1; 2] ta được điều phải chứng minh.
3.4. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để nhận dạng tam giác
Trong tiết học về nhận dạng tam giác, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của các biểu thức lượng giác rất hay gặp

1,35… 1,09… 1,38…
14
Từ đó rút ra kết luận
3
2
T ≤
hay ta phải chứng minh
3
cos cos cos
2
A B C+ + ≤
2
2 2
3
2cos cos cos 0
2 2 2
4sin cos 2(1 2sin ) 3 0
2 2 2
(2sin cos ) sin 0
2 2 2
A B A B
C
C A B C
C A B A B
+ −
⇔ + − ≤
−
⇔ + − − ≤
− −
⇔ − + ≥

80
0
T
3 3
2
1,36… 1,17… 2,42…
Từ đó rút ra kết luận
3 3
sin sin sin
2
A B C
+ + ≤
. Sau đó dùng lí luận để chứng minh
bất đẳng thức này và chỉ ra được dấu bằng khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
3.4. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để tìm các nghiệm duy nhất của phương
trình.
Ví dụ
Giải phương trình:
2 8
1 2 4 3 2 1 14
1
x
x x x
x
+
= − + + + − −
+
Giải
Điều kiện:
1x

hàm số f(x) nghịch biến và hàm số g(x) đồng biến trên miền xác định.
Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm, dùng chức năng (SOLVE) ta
tìm được nghiệm x = 5. Vậy PT có một nghiệm x = 5
3.5. Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để kiểm tra lại kết quả giới hạn của
hàm số:
Máy tính bỏ túi không có chức năng tính giới hạn của hàm số, tuy nhiên ta có
thể dự đoán kết quả giới hạn qua ý tưởng sau
Giả sử cần tính
lim ( )
x a
f x
→
ta dùng chức năng ( CALC) để tính giá trị của hàm
số f(x) tại các giá trị của x rất gần a. Sau đây là các ví dụ minh họa
Ví dụ1. Tính
3
2
2
7 25
lim
3 2
x
x x
x x
→
+ − +
− +
Bằng phương pháp gọi số hạng vắng, ta viết:
3 3
2 2

3 2
x x
f x
x x
+ − +
=
− +
tại giá trị của x rất gần với 2, chẳng hạn tính f(1,999999), ta
sẽ được kết quả là 0,1300000, đây cũng là giá trị gần đúng của 7/54; Nếu gặp các
16
bài toán trắc nghiệm về tính giới hạn thì hoàn toàn có thể dùng máy tính Casio fx-
570ES để tìm đáp án đúng.
Ví dụ2 Cho hàm số :
2 1
1
x
y
x
−
=
−
tính các giới hạn sau:
a)
1
lim
x
y
−
→
a)

+
→
= +∞
c)
lim 2
x
y
→−∞
=
d)
lim 2
x
y
→+∞
=
Nhận xét:
* Đây là một ý trong câu khảo sát hàm số thường gặp ở học sinh lớp 12; Đối
với học sinh học lực trung bình trở lên thì các bài toán này không có vấn đề gì,
nhưng với những học sinh yếu kém thì các em hay sai ở câu này nhất là ý a) và b)
dẫn đến lập bảng biến thiên sai và bài khảo sát hàm số làm không chọn vẹn mà đây
là câu “gỡ điểm” của kỳ thi tốt nghiệp THPT
* Do vậy gợi ý để học sinh yếu kém kiểm tra kết quả như sau:
Để tính
1
lim
x
y
−
→
ta lấy x nhỏ hơn 1 rất gần với 1, chẳng hạn tính f(0,999999999), ta sẽ

Tính tích phân sau:
ln2
2
0
( 1)
x x
I e e dx= −
∫
Giải
ln2
ln2
3 2 3 2
0
0
1 1
( 2 ) ( )
3 3
x x x x x x
I e e e dx e e e= − + = − + =
∫
Sử dụng máy tính Casio fx-570ES ta tính được
ln2
2
0
( 1) 0,333333333
x x
I e e dx= − ≈
∫
Đây chính là kết quả gần đúng của phân số 1/3.
Nhận xét: Qua kiểm tra này học sinh có thể so sánh đáp số của mình làm với

làm cho công việc học toán bớt nặng nề hơn.
Những vấn đề trình bày trong Sáng kiến kinh nghiệm này là những gợi ý về
cách sử dụng máy tính Casio fx-570ES trong giải toán; Mong các đồng nghiệp sẽ
tiếp tục nghiên cứu để ngày càng nhiều thủ thuật trong ứng dụng máy tính cầm tay.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai trong các chủ đề tự chọn để bồi
dưỡng cho học sinh lớp 10, 11, 12 học toán tốt hơn.
Trong điều kiện hiện nay 100% học sinh đã có máy tính cầm tay nên việc rèn
luyện cho học sinh tư duy giải toán với sự trợ giúp của máy tính là một việc làm
khả thi.
2.Đề xuất: Qua SKKN này mong nhận được sự trao đổi, góp ý góp phần nâng cao
chất lượng của Sáng kiến kinh nghiệm này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
19
Đỗ Văn Hào
MỤC LỤC
Nội dung Trang
I.Đặt vấn đề 1
II.Giải quyết vấn đề 2
1.Cơ sở lí luận 2
2.Thực trạng 2
3.Các giải pháp và tổ chức thực hiện 3
3.1.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES giải phương trình lượng
giác
3
3.2.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES giải bất phương trình 6
3.3.Sử dụng máy tính tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có