www.k2pi.net

1
SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Nguyễn Văn Cƣờng Gv THPT Mỹ Đức A-HN:0433741526- 0127.23.34.598
[email protected]
Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu giải phương trình vô tỷ,câu này gây nhiều khó khăn cho
học sinh khi làm bài thi.Để giúp học sinh nắm vững cách làm dạng phương trình trên,bài viết này tôi xin
trình bày kỹ năng biến đổi sử dụng biểu thức liên hợp trong giải phương trình vô tỷ . Hy vọng rằng sẽ
giúp ích cho các em làm tốt các dạng bài trên .
Cơ sở lý thuyết :

Xét phương trình f(x) = 0 ( f(x) là đa thức).Nếu phương trình có một nghiệm
x = x
0
khi đó ta có thể viết phương trình trên dạng : (x-x
0
)g(x) = 0 (Định lý Bơzu)
ab
ab
ab


(a,b>0 a

b);
33
33
22
3

   



Lg: TXĐ
1
6
3
x  

(1)


2
3 5 5
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
xx
x x x x x x
xx

              
   
5 0 5
11
(3 1) 0(*)
3 1 4 1 6

2( 1) 2
( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0
2 1 1 2 1 1
1
2
2 0(*)
2 1 1
x
x x x x x x x
xx
x
x
x


               

   






  




Đặt t=

Lg: Viết lại phương trình (2):
2(x-3) +
8( 3)
( 6 3 2) 0 2( 3) 0
6 3 2
x
x x x
xx

       
  

3
30
3
8
11 3 5
20
6 3 2 4
6 3 2
2
x
x
x
xx
x
xx




(4)
Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x=
1
2
,ta phân tích như sau
Lg:
Đk
01x
,(3)
   
   
2 2 2
1 1 2 1 1 2 0x x x x x x x x x x x           

 
 
2
3 2 2
12
1 4 2 1
0 1 2 0
1 1 2 1 1 2
xx
x x x x x
x
x x x x x x x x x x


   
      

x 
là nghiệm duy nhất .
Ví Dụ 5:Giải phương trình :
 
9 4 1 3 2 3x x x    
(5) (HSG k12 Hà Nội -2010)
Lg: Đk
2
3
x 
,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau
(5)
   
36( 6) 27( 6)
9 4 1 5 4 3 2 6 6
4 1 5 4 3 2
xx
x x x x
xx



           


   


6
36 27

xx


       

  


Bình phương hai vế ta cũng thu được x=6
Ví Dụ 6 Giải phương trình :
22
12 5 3 5x x x    
(6)
Phan tích: Để phương trình có nghiệm thì :
22
5
12 5 3 5 0
3
x x x x       

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình .
Lg:
www.k2pi.net

3
 
 
22
22
22

x
xx

    
   
)
Ví Dụ 7. Giải phương trình :
23
3
11x x x   
(7)
Lg : Đk
3
2x 

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
 
 
 
 
2
23
3
23
22
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1

xx
x x x

   
      
2
3
39
25
xx
x




Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3
Ví Dụ 8 Giải phương trình
2
2 4 2 5 1x x x x     
(8) (THTT)
Lg: Đk:
24x

(7)
2
33
( 2 1) ( 4 1) 2 5 3 ( 3)(2 1)
2 1 4 1
xx
x x x x x x

2 1 2 2
4 1 2 1 2 1 4 1x x x
      
      

Lại có 2x+1
5
với mọi x thỏa
24x
.Vậy (*) vô nghiệm .(7) có nghiệm x=3.
Ví Dụ 9 Giải phương trình
33
22
33
2 1 2 2 1x x x x     
(9)
Phân tích :
VP
1 1 1VT x     
.Nhận thấy nếu 2x
2
= x+1 thì hai vế của pt bằng nhau gợi cho ta nghĩ đến việc phân
tích ra thừa số chung là 2x
2
-x – 1
Lg: (8)
33
22
33
( 2 1 2) ( 2 1) 0x x x x       

         


1
1;
2
(*)
xx
vn

   




(Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số)
Ví Dụ 10 Giải phương trình :
3
24 12 6xx   
(10)
Lg: Đk:
12x 

(10)
3
2
3
3
33
( 24 3) ( 12 3) 0 0

3
6 24 12xx   
vào (*) ta có
2
3
3
( 24) 4 ( 24) 0 24; 88x x x x        

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9).
Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88.
Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế,lựa
chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét ví dụ sau
VÍ Du 11 Giải phương trình
  
1 1 1 2 5x x x x     
(11)
Lg: Đk x
1
. Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với
1 1 0x  
ta có

   
1 2 5 1 1 1 2 5 1 1 2x x x x x x x x x              

Nhận xét:Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng
Nhân biểu thức liên hợp .Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan
trọng của phương pháp này .
Ví Dụ 12 Giải phương trình :

23
x x x x
x
xx
   



31
2( 3) ( 3) 2 0
2 3 2 3
x
xx
x x x x


      

   

,
1
2
23xx


>0
Ví Dụ 14: Giải phương trình
2
9 20 2 3 10x x x   



       

   


 
6
( 6)
3 10 1
x
x


=0(*)
Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và
10
3
3
x   
phương trình (*) vô nghiệm
Ví dụ 15 Giải phương trình
2
3
2 11 21 3 4 4x x x   

Lg: pt tương đương
 
 

2 5 0, 4 4
24
x t x
tt
    

.x>3 ,2x-5>1 ,
2
12
24tt
<1,cmtt x<3 ptvn
Ví dụ 16: Giải phương trình
2
64
2 4 2 2
4
x
xx
x

   


www.k2pi.net

5
Lg : Đk x

 
2;2


[-1;2]
2
(1) ( ) ( 2 2 ) (1 1) 0 ( 1) 0
2 2 1 1
0
11
1 0(2)
2 2 1 1
xx
PT x x x x x x
xx
x
x
xx
             
   





   

   


+) Giải (2):
11
( 1 2) (1 2 )

3 1 1x x a x x    
(13)
Lg: Đk
1x 
;(13)
 
 
 
32
3
32
3
31
3 1 1
1
xx
a x x x x a
xx

       


Xét hàm số g(x) =
32
31xx
>0 , đồng biến trên


1; 