LÊ QUANG THIÊN
TRƯỜNG TRUNG HỌC CỞ TRẦN NHÂN
SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ
A.Lý do chọn đề tài:
Phương trình vô tỉ là một nội dung khó đối học sinh lớp 9 .Đứng trước một bài toán
phương trình vô tỉ thường thì các em sẽ có nhiều phương pháp giải khác nhau khi biến
đổi tương đương, dùng ẩn phụ, đánh giá, đưa về phương trình trị tuyệt đối . Song có một
cách khác dùng giải quyết bài toán dạng này rất hữu dụng và phù hợp tư duy các em học
sinh lớp 9 đó là nhân lượng liên hợp
B. Cơ sở lý luận:
Ta biết x=x
0
nghiệm của phương trình. f(x)=0
0
0
x D
f (x ) 0
∈

⇔

=


Như vậy phương trình :
0
0
x x 0
f (x) 0 (x x )p(x) 0
p(x) 0

Ta tìm
1
x : 6
3
−
 
∈
 
 
rồi thế vào biểu thức 3x+1 và 6-x chứa trong căn nếu giá trị các biểu
thức trên có dạng bình phương của một số hửu tỉ thỏa mãn phương trình trên thì giá trị
của x vừa tìm là nghiệm phương trình.Dễ thấy x=5 là nghiêm phương trình (*) vì vậy ta
đưa phương trình (*) về dạng
(x-5)f(x)=0 ,nhưng định lý Bezou chỉ đúng với f(x) là đa thức. Nhưng vế trái phương
trình là biểu thức vô tỷ. Vậy cần cần xuất hiện nhân tử chung x-5 từ vế trái phương trình
bằng lượng liên hợp. Muốn vậy ta cần tìm hai số a;b dương sao cho hệ phương trình sau
có nghiêm x=5
3x 1 a 0 a 4
b 6 x 0 b 1
 
+ − = =
 
⇔
 
− − = =
 
 

Vậy:
1

Thí dụ. 2 :
Giải Phương trình:
2
3
2x 11x 21 3 4x 4− + = −
(*)ĐK:x>0
Phân tích với x=3 là ngiệm phương trình mà giá trị của
3
4x 4−
là 2.
Do đó
2
3 3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
3( 4x 4 2)( (4x 4) 2 4x 4 4)
(*) (x 3)(2x 5)
(4x 4) 2 4x 4 4
12(x 3)

4x 4−
nên
2
3
3
(4x 4) 2 4x 4 4− + − +
= t
2
+2t +4 =(t+1)
2
+3
Do đó x >3 suy ra
3
4x 4−
> 2
( )
( )
2
2
12
t 1 3 12 1
t 1 3
+ + > ⇒ <
+ +
⇒
còn 2x-5>1
Với 0<x<3 thì ngược lại . Nên (**) có nghiệm x=3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=3
Dạng 2:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một biểu thức chứa biến
Thí dụ: 3


⇔ ⇔
  
− + = =
+ = +
 


Suy ra hạng tử cần liên hợp với
3x 1+
là
2x 1+
2

3 2
3 2
2
2
2
2
1
(*) 4x 5x x 3x 1 (2x 1) (x )
3
(2x 1) 3x 1 4x 5x x 0
4x x
(x 1)(4x x) 0
(2x 1) 3x 1
1
(4x x) x 1 0
(2x 1) 3x 1

⇔ = −


∈∅

© ¬
ª 
ª 
ª 
« ®
Thí dụ. 4
giải phương trình:
2 2
x x 1 (x 2) x 2x 2 0+ − = + − + =
(*)
Phân tích cách giải
Dùng máy tính bấm cho nghiệm của phương trình là một số thập phân

1
2
x 3,828427125
x 1,828427125
≈


≈ −


Dùng máy tính lưu lại nghiệm, cho
1 2

2
x x 1
(*) -(ax b) x 2x 2 (ax+b)
x 2
+ −
⇔ + = − + −
+
, Như vậy m(
2
x 2x 7− −
) ( m hằng số
dương ) là hiệu của tử biếu thức
2
x x 1 (ax b)(x 2)
x 2
+ − − + +
+
; hoặc biểu thức m(
2
x 2x 7− −
) có các hệ số tỉ lệ với biểu thức
2 2
x 2x 2 (ax b)− + − +
. Từ đó
⇒
ax+b=3
Lời giải:
Với x=-2 không phải nghiệm phương trình nên(*) được viết dưới dạng:
2 2 2 2 2
2

x 1 8
x 1 8
x

= −

⇔ = +


∈∅


3
Tuy nhiên nếu không dùng máy tính, ta cũng có thể tìm được biểu thức thêm vào lượng
liên hợp, bằng cách như sau:
Gọi biểu thức thêm vào lượng liên hợp là ax+b, ta có
2
2
x x 1
(*) -(ax+b) x 2x 2 (ax+b)
x 2
+ −
⇔ = − + −
+
2 2 2 2
2
(1 a)x (b 2a 1)x 1 2b (1 a )x (2 2ab)x 2 b
x 2
x 2x 2 +ax b
− − + − − − − − + + −

2
x x 1 x x 1 ( x 2x 2) b
x 2x 2 b (x R;x 2 : b 0)
x 2 x 2
x 2x 2 b
x x 1 bx 2b x 2x 2 b
( x 2x 2 b) 0;b 0)
x 2
x 2x 2 b
x (1 b)x 1 2b x 2x 2 b
x 2
x 2x 2 b
+ − + − − + −
= − + ⇔ − = ∈ ≠ >
+ +
− + +
+ − − − − + −
⇔ = − + + > >
+
− + +
+ − − − − + −
⇔ =
+
− + +
Bậy giờ ta xác định sao cho
2 2 2
2 2
x (1 b)x 1 2b 0 x 2x 2 b 0
b 3
1 b 2 b 3

của x như nhau. Vậy phương trình có chứa nhân tử x
2
-25 và hạng tử thêm vào lượng liên
hợp là 6. Nên
2
2 2 2 2 2
2
2
1
2
2
2
2
x 25
x x 11 31 (x 25) ( x 11 6) 0 (x 25) 0
x 11 6
x 5
x 25 0
1
(x 25)(1 ) 0 x 5
1
1 0
x 11 6
x
x 11 6
−
+ + = ⇔ − + + − = ⇔ − + =
+ +
=
 

− −
⇔ − − + − + + ⇔ + − − =
− +
⇔ − + − =
− +
Nhận thấy phương trình trong ngoặc có nghiệm là 1. Nên phương trình đã cho có chứa nghiệm
kép .Do đó phương trình đã cho có chứa thừa số :
2
x 2x 1− +
.Vậy ta tiến hành cách giải như
sau:
2 2
2 2
2
2 2
2
( 2x 1) x
(*) ( 2x 1 x) (x 2x 1) 0 (x 2x 1) 0
2x 1 x
(x 2x 1) 1
x 2x 1 0 (x 2x 1)( 1) 0
2x 1 x 2x 1 x
x 1(t / h)
x 2x 1 0
x 1
x 2 2(loai)
1
1
1 0
2x 1 1 x( x 1)




Vậy :
x 1;x 2 2= = −

Thí dụ: 7
Giải phương trình.:
3x
3x 1 1
3x 10
= + −
+
(*) Nhẩm ngiệm có 2 nghiêm x=0;x=5
Từ đó suy ra cách giải sau:
( )
1
TXD : x
3
3x 3x ( 3x 1 1)( 3x 1 1)
(*) 3x 1 1
3x 10 3x 10 3x 1 1
3x 3x 1 1
3x( ) 0
3x 10 3x 1 1 3x 10 3x 1 1
3x 0
x 0
1 1
0
3x 10 3x 1 1 1

(3x 15)( ) 0
1 1
0
3x 10 5 3x 1 4
3x 10 5 3x 1 4
x 5
x
⇔ + = + + ⇔ + − = + −
+ − + + + − + +
⇔ =
+ + + +
− =


⇔ − − = ⇔

− =
+ + + +

+ + + +

=

⇔

∈∅


Vậy phương trình có hai nghiệm: x=0;x=5
Dạng: 3 Đưa về hệ tạm

A
2
+ α
=
là phương trình hệ quả
Thí dụ 8.
giải phương trình:
2 2
2x x 9 2x x 1 x 4(*)+ + + − + = +
Nhận xét:
2
2x x 9+ +
-(
2
2x x 1− +
) =2(x+4) phương trình này có nghiệm với
x 4≥ −
nhưng x=-4 không phải là nghiêm cửa phương trình vậy :
2
2x x 9+ +
≠
2
2x x 1− +
.Do đó ta xét x>-4
Giải:
ĐK:
2
2
2x x 9 0
2x x 1 0

2x x 9 2x x 1 x 4
2 2x
≥ −

=



=


+ = + ⇔ ⇔



=


=




x 6
x 0
x 0
x 9 x 6
8
x
8

≥


Từ hệ phương trình ta có:
x 1 x 2 y 1 y 2 (3)
( y 1 y 2)( y 1 y 2)
( x 1 x 2)( x 1 x 2)
x 1 x 2 y 1 y 2
x 1 x 2 y 1 y 2 (4)
+ − − = + − −
+ − − + + −
+ − − + + −
⇔ =
+ + − + + −
⇔ + + − = + + −

Lấy (3) +(4) theo vế ta có:
x 1+
=
y 1+

⇒
x=y
Thay x=y vào (1). Ta có
x 1 x 2 3+ + − =
6
x 3 x 3
( x 1 2) ( x 2 1) 0 0(vi x 1 2 0; x 2 1 0)
x 1 2 x 2 1
(x 3) 0

2 2
x 3 1
(x 3) x 9 (x 3) 2x 1 1 x 9 2x 1 x 4(*)
2x 1 1 x 3 x 3
−
= ≥ ⇔ − − − = − − ⇔ − − − = −
− − + − −
Nhận xét:
2 2
(x 9) (2x 1) x 2x 8 (x 4)(x 2)− − − = − − = − +
.Theo phương pháp hệ tạm ta có:
2 2 2
2 2 2
(*) ( x 9 2x 1)( x 9 2x 1) (x 4)( x 9 2x 1)
x 2x 8 (x 4)( x 9 2x 1 (x 2)(x 4) (x 4)( x 9 2x 1)
⇔ − − − − + − = − − − −
⇔ − − = − − − − ⇔ + − = − − + −
Với x-4=0
x 4
⇔ =
với
x 4≠
Ta có:

2
(x 2) ( x 9 2x 1)(**)+ = − + −
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
2
2 2
2

7