PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
****
I. Một số kiến thức cần nhớ:
I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
+
( ) ( )
2 2
x y x y x y
− = − +
+
( )
( )
3 3 2 2
x y x y x xy y
− = − + +
+
( ) ( )
( )
4 4 2 2
x y x y x y x y
− = − + +
…
+
( )
( )
1 2 2 1

n n n n n n
x y x y x x y xy y
− − − −
− = − + + + +

2 1 1x x
+ + =
c)
2
2 1 3 1 0x x x
− + − + =
d)
( )
9 4 1 3 2 3x x x
+ − − = +
II. 2. Bài tập minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình
3
2 2 2
3 8 2 15x x x
+ + − = +
(1)
Giải:
Ta dự đoán được nghiệm
1x
= ±
, và ta viết lại phương trình như sau:
( )
(
)
(
)
(
)
3

+ =

+ + + + + +

Mặt khác, ta có:

2 2 2 2
2 2
1 1
15 8 15 4 8 3
15 4 8 3
x x x x
x x
+ > + ⇒ + + > + + ⇒ <
+ + + +
Nên phương trình thức hai vô nghiệm.
Vậy (1) có 2 nghiệm
1, 1x x
= = −
.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x
− + − − = − − − − +
(2)
Giải:
Ý tưởng:
Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm
2x

x x
x x x
x x x x
− + −
⇔ =
− + − +
− + + − +
( )
( )
2 2
2 2
2 3
2 0
2 3 4
3 5 1 3 1
x
x x x
x x x x
 
 
⇔ − + =
 
− + − +
− + + − −
 
Mặt khác, ta có:
( )
2 2
2 2
2 3

( )
2
7 10 1 0x x x
− + − + =
và
( )
2
12 20 2 0x x x− + − + =
vô nghiệm nên
nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:
( ) ( )
2 2
18 1 16 1
7 10 1 12 20 2
x x
x x x x x x
− − − −
=
− + + + − + + +
2 2
1
9 8
(*)
7 10 1 12 20 2
x
x x x x x x
=


⇔

5 7 10 4 5
4
2
15 25 0
x
x x x x
x x

≥
+

− + = − ⇔ ⇔ =


− + =

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
15 5 5
1,
2
x x
+
= =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình
3 3 2
162 2 27 9 1 1x x x
+ − − + =
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:

2 3 1 9 3 1
3 3 1
0
27 9 1 1
162 2 2 162 2 4
x x x
x x
x x
x x
− + +
−
⇔ − =
− + +
+ + + +
( )
( )
(
)
2
2
2
3 33 3
2 9 3 1
3
3 1 0
27 9 1 1
162 2 2 162 2 4
x x
x
x

− + +
+ + + +
( )
(
)
2
2
3
3
3 33 3
2 9 3 1
3
162 2
162 2 2 162 2 4
x x
x
x
x x
+ +
⇔ =
+
+ + + +
Ta đặt
3 3
162 2a x
= +
suy ra:

1 4 1 2
2 3 1 2 3 1 1

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phương trình đã cho có thể phân tích
được về dạng
( ) ( )
2 0x Q x− =
!
Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
12 4 3 6 5 3x x x
+ − = − + + −
( )
2 2
2 2
4 4
3 2
12 4 5 3
x x
x
x x
− −
⇔ = − +
+ + + +
( )
2 2
2 2
2 3 0
12 4 5 3
x x
x
x x
 

+ +
< ⇒ − <
+ + + + + + + +
nên pt (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 6: Giải phương trình
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x
− + − − = − − − − +
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2 2 2 2
3 5 1 3 7 3 2 3 4 0x x x x x x x
− − − − + + − − − + =
Bằng cách nhân liên hợp, ta có:
( )
2 2 2 2
2 3
2 0
3 5 1 3 7 3 2 3 4
x
x x x x x x x
 
− + =
 ÷
− − + − + − + − +
 
.
Do
2 2 2 2

1 2 5
5 1 2
9 2 9 4
x
x
x x
x
x x
−
−
⇔ + = − +
− +
− + − +
⇔
( )
( )
2
3 3
5 1
1 2 5 0
5 1 2
9 2 9 4
x x
x
x x
 
 
− + − + =
 
− +

2 6 2 6
3 3
x− ≤ ≤
,
Ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình để dùng lượng liên
hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ là chiếc máy tính Casio fx570 Es thì mọi chuyện
có vẻ dễ dàng hơn!
Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là:
1 2
0,6180339887 ; 1,618033989 x x= − =
sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B.
Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình A + B và AB,
ta thu được kết quả “đẹp” sau:
1, 1A B AB
+ = = −
.
Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0X X
− − =
Và từ đây, ta có thể dự đoán được
2
1x x
− −
chính là nhân tử của pt! 
Ta viết pt đã cho lại thành:
( )
3 2
3 1 8 3 0x x px q x px q− + − + − − + + =
( )

Đến đây, để xuất hiện nhân tử
2
1x x
− −
thì
( ) ( )
2 2 2 2
3 2 8 1p x pqx q x x
+ + + − = ∂ − −
với
∂
là một
hệ số. Chọn
∂
= 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành:
2
3
2
1
2 1 4 0
8 3 2
x x
x x
x x
− −
− − + =
− + −
( )
2
2

3
8 3
x
f x x
x
−
⇒ = ⇔ = ⇔ = −
−
Ta có bảng biến thiên:
( )
6 4 6
3
f x
+
⇒ ≤
kết hợp với
2 6
3
x
≤

( )
6 4 6
0
3
f x
+
⇒ < ≤
( )
2

2 7 3 2 2 2 2 0x x x x x x
− − + + − + − + =
( )
(
)
2 2
2 7 2 3 2 2 0x x x x x
⇔ − − + + − − + =
( )
( ) ( )
2
2
2
1 1 1
2 7 0
2 2 3
x x
x x
x x
 
− + − −
 ÷
⇔ − − =
 ÷
− + +
 
1 7
1 7
x
x

2
2
1
2 2
2
x x
x x Ax B Ax B
x
+ −
− + − + = − +
+
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2
1 2 1 2
1 1 2 1 2
2
2 2
A x AB x B
A x A B x B
x
x x Ax B
− − + + −
− + − − − −
⇔ =
+

2 2
2 2
2 1 2
3 1 2
x x x x
x x x
x x x x
− + + − + +
⇔ + = + + −
− + − + +
( ) ( ) ( )
1 1
2 1 2 0
3 1 2
x x x
x x x x
 
⇔ − + + + + =
 
− + − + +
 
 
1
2
x
x
= −

⇔


3
1 2 3 1 2 3 2
6
x
x x x x
x
+
− − + − + + − + − = −
−
( )
( )
2 2
2
2
32 2
3
1 8 1 4 15 2
3 3
6
1 2
1 2 1 4
x x x x
x x
x
x
x x
− − + − + −
⇔ + − + + − =
−
+ +

 
3x
⇔ =
.
III. Bài tập
Giải các phương trình sau:
(1)
2
2 1 3 1 0x x x− + − + =
ĐS:
1, 2 2x x= = −
Hướng dẫn:
2
2 1 1 3 2 0pt x x x⇔ − − + − + =
, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x – 1.
(2)
( )
3 2 2 2 6x x x+ − = + +
ĐS:
11 3 5
3;
2
x x
−
= =
Hướng dẫn:
( )
3 2 1 2 6 6 3pt x x x⇔ − − = − + + −
, sau đó trục căn thức làm xuất hiện nhân tử
chung x – 3.

(4)
( )
9 4 1 3 2 3x x x+ − − = +
ĐS:
6x
=
Hướng dẫn:
( )
9 4 1 5 4 3 2 6pt x x x⇔ − − + − − = −
(5)
2
2 4 2 5 1x x x x− + − = − −
ĐS:
3x
=
Hướng dẫn:
2
2 1 4 1 2 5 3pt x x x x⇔ − − + − − = − −
, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là x
– 3.
(6)
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
ĐS:
2x