SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG ĐỊNH
HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Lĩnh vực/ Môn: Toán

Năm học: 2014 – 2015
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải
phương trình vô tỉ”
A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình vô tỉ là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán
trung học phổ thông. Các bài toán về phương trình vô tỉ thường xuyên xuất
hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi
Thành Phố Hà Nội những năm gần đây. Các bài toán này thường gây ra rất
nhiều khó khăn cho học sinh, trong đó quan trọng nhất là bước định hướng
tìm lời giải bài toán. Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các
phương pháp thường dùng khi giải phương trình vô tỉ và định hướng lựa
chọn phương pháp hợp lí qua các bài toán cụ thể. Trong quá trình giảng dạy
ôn tập cuối năm cho học sinh lớp 12 và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 tôi
nhận thấy học sinh rất hứng thú với cách sử dụng máy tính cầm tay để tìm
nghiệm phương trình vô tỉ từ đó đề xuất ra các giải pháp tốt nhất để giải bài
toán. Cách làm này sẽ giúp học sinh tích cực hơn khi tiếp cận các bài toán
phương trình vô tỉ và phát huy được tính chủ động, sáng tạo cho các em
trong giải toán.
Với những lí do trên, tôi xin hệ thống một số dạng toán về phương
trình vô tỉ, các phương pháp giải và cách tiếp cận lời giải những dạng toán
này thông qua việc nghiên cứu đề tài:
“Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình

Học sinh khối 12 và đội tuyển học sinh giỏi khối 11 – 12 của
trường THPT Tùng Thiện trong hai năm liên tiếp
NĂM HỌC LỚP SĨ SỐ
2013 – 2014
12A4 43
Đội tuyển học sinh
giỏi 11
10
2014 – 2015 Đội tuyển học sinh 10
3
giỏi 12
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại
học, Cao đẳng những năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà
Nội và một số tỉnh khác.
- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực
hiện.
- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh.
- Dạy thực nghiệm trên lớp 12A4 của trường THPT Tùng Thiện năm học
2013 - 2014 và trong lớp bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường.
VII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về phương trình vô tỉ trong một số đề thi Đại học – Cao
đẳng và đề thi học sinh giỏi trong quá trình ôn tập cuối năm lớp 12 và bồi
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường.
VIII. ĐIỀU TRA CƠ BẢN BAN ĐẦU
Khi chưa thực hiện đề tài thì thực tế là hầu hết học sinh đều khó khăn,
lúng túng khi giải các bài toán nâng cao về phương trình vô tỉ như:
• Không có lời giải.
• Có hướng giải nhưng lời giải chưa chặt chẽ.
• Không tự tin với lời giải của mình.


= ⇔

=  

 


( ) ( ) ( ) ( )
3
3
f x g x f x g x= ⇔ =  
 

2) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
5
3) Cách sử dụng máy tính cầm tay fx-570MS tìm nghiệm của
phương trình vô tỉ:
a) Tìm nghiệm hữu tỉ của 1 phương trình vô tỉ:
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình:
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +

• Cách thực hiện:
Thao
tác trên
máy
Kết quả hiển thị Ý nghĩa
6
tính


(X+3)+ (3X+1)=
Viết dấu
=
CALC
2
(X+3)+ (3X+1)=2
(X+3)+ (3X+1)=2
ALPHA
(X+3)+ (3X+1)=2 X
Viết ẩn X
)
+
(X+3)+ (3X+1)=2 X+
(X+3)+ (3X+1)=2 X+
(
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (
2
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2
ALPHA
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X
Viết ẩn X
)
+
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+
2
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+2
)
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+2)
SHIFT X? SOLVE
CALC

SHIFT X? SOLVE
CALC
9
= X?
9
SHIFT X=
0
Nghiệm
của
phương
trình là
x = 0
CALC
SHIFT X?
CALC
2
= X?
2
SHIFT X=
1.125
Nghiệm
của
phương
trình là
x = 1.125
=
9
8

CALC

(4X
2
+14X+11)
2
= 16(6X+10)
SHIFT X?
CALC
9
= X?
9
SHIFT X=
0.15138781
8
Nghiệm của
phương trình
là
x = 0.15
CALC
ALPHA X

0.151387818
)
SHIFT Gán cho X =
A
RCL

(-) X
→
A
Tìm nghiệm thứ 2 của phương trình và gán cho X giá trị B

O
’’’ X
→
B
ALPHA Nhập A
( - ) A
+ A +
ALPHA Nhập B
O
’’’ A + B
= A + B
-1.5
A + B = -
3
2

Nhập
phép
toán
A.B
-0.25
A.B = -
1
4

Nhân tử của phương trình đã cho là
( )
2 2
3 1
.

3 9
x x x
x x x
x x x x
x
+ + + − + =
⇔ + + + = + +
⇔ + + + = + + + +
⇔ =
3x⇔ =
(Thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Cách 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Điều kiện: x
≥
- 1
( )
( )
2
2 2 2 1 1 4
2 1 1 1 4
2 1 1 1 4
1 2
x x x
x x
x x
x
+ + + − + =
⇔ + + − + =
⇔ + + − + =

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
2 1 3 1 0x x x− + − + =
(2) ( Trích đề thi Đại
học khối D năm 2006)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 1 ( Dùng nhiều
lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số phương pháp
giải.
• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp nâng lũy thừa
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
4 3 2
2
2
2 1 3 1 0
2 1 3 1
3 1 0
2 1 3 1
3 5 3 5
;

− +
∈

 
⇔

 

− + − + =


 
− +
∈

 

⇔
 


− − + =


=

⇔

= −


2 2
4 4 1 0
1 2 1 0
1 ( )
1 2 ( )
1 2 (TM)
t t
t
t t t
t t t
t TM
t L
t
 
+ +
+ − + =
 ÷
 
⇔ − + − =
⇔ − + − =
=


⇔ = − −


= − +


+) Với t = 1

2
2
2
2
2
2
2 1 3 1 0
2 1 2 1 0
2 1
1 0
2 1
1
1 1 0
2 1
1
2 1 1
1
1
2 1 1 2
1
2 2
x x x
x x x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x

− = − +


=

⇔

= −

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là:
{ }
1;2 2−
• Nhận xét: Trong cách giải 3 học sinh sẽ gặp khó khăn nếu
thêm bớt để trục căn thức, tạo nhân tử chung (x – 1), do đó đòi
hỏi học sinh phải tư duy để thêm bớt tạo nhân tử chung (x-1)
2

thì bài toán trở nên đơn giản!
13
( Tổng quát lên khi dùng máy tính cẩm tay tìm được nghiệm
hữu tỉ x = a thì ta có thể có hướng thêm bớt, trục căn thức tạo
nhân tử chung là (x – a) hoặc (x –a)
n
với n > 1)
Cách 4: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
2
2 1 3 1 0− + − + =x x x
(2)
Đặt
2

=
⇒ − = − ⇔ − + − = ⇔

= −


+ Với y = x ta có
2
0
2 1 1
2 1 0
x
x x x
x x

≥
− = ⇔ ⇔ =

− + =

(thỏa mãn (2))
+ Với
2
1
1 2 1 1 2 2
4 2 0
x
y x x x x
x x


3
2
3 2
3
t
t x x
+
= − ⇒ =
Phương trình (3) trở thành:
( )
( )
( )
3
3
3 2
3 2
2
2
2 3 6 5. 8 0
3
3 8 5 8 2
4
24 15 64 32 4
4
15 4 32 40 0
4
2 15 26 20 0
2
t
t


⇔ = −

Với t = -2
⇒
x = -2 (Thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -2
• Nhận xét: Vì phương trình (3) có nghiệm nguyên x = -2 nên
nếu đặt
3
3 2t x= −
hoặc
6 5t x= −
và dùng phương pháp nâng
lũy thừa thì thu được phương trình bậc 3 có nghiệm nguyên và
bài toán trở nên đơn giản!
Cách 2: Phương pháp đặt 2 ẩn phụ
Điều kiện :
6
5
x ≤

Đặt
( )
3
3 2
3 2
3 2
2 6
0 5 3 8

( )
2
3
3 2
2
8 2
3
8 2
5 3 8
3
8 2
3
15 4 32 40 0
8 2
3
2 15 26 20 0
2
4 ( )
−

=


⇔

−
 

+ =
 ÷

a
a
b
a a a
a
b
a a a
a
b TM
Với a = -2
2x
⇒ = −
(Thỏa mãn phương trình (3) )
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -2
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =
(4)
( Trích đề thi Đại học khối B năm 2010)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 5 duy nhất
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương
pháp giải: Phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung là
( x- 5)
• Giải: Điều kiện :
1
6
3
x− ≤ ≤

 ÷
+ + − +
 
⇔ =
Vì
3 1 1
3 1 0,
3
3 1 4 6 1
x x
x x
+ + + > ∀ ≥ −
+ + − +
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5
16
• Nhận xét: Với bài toán này thì các phương pháp khác sẽ thực
hiện rất khó khăn. Nếu không sử dụng máy tính cầm tay tìm
nghiệm x = 5 thì rất khó định hướng cách giải!
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2
3
5 1 9 2 3 1− + − = + −x x x x
(5)
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2012 - 2013)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 1 duy nhất
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương
pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung là
(x – 1)

1 2 5 0 (*)
5 1 2
9 2 9 4
− + − = + −
⇔ − − + − − = + −
−
−
⇔ + − − + =
− +
− + − +
 
 
⇔ − − − − =
 
− +
− + − +
 
x x x x
x x x x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
Ta có:
1 5 5 5
5 0

• Phân tích hướng giải:
17
S dng mỏy tớnh fx-570MS nhp phng trỡnh
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2 5 4 1 3x x x x+ + = +
ta tỡm c 2 nghim ( Nhp
phng trỡnh hai ln, dựng SHIFT CALC ) s dng lnh gỏn
X

A v X

B, ta tớnh c A + B =
4
3
; A.B = -
2
3
d oỏn
khi bỡnh phng 2 v phng trỡnh thỡ thu c phng trỡnh
h qu cú nhõn t bc hai cú dng
2
4 2
3 3
x x
hoc

x x x
x x
x
x
+ + = +
+ + + + + = + +
+ =
+ =
=

+
=





=



Vy phng trỡnh (6) cú nghim duy nht
2 10
3
x
+
=
Cỏch 2: Phng phỏp t n ph khụng ton phn
( )
( )


=

⇔

= −



+ Với
2 2
1 1 11
3
2 2 4
t x x= ⇒ + = ⇔ = −
: Vô nghiệm
+ Với
2 1t x= −
2
2 2 2
1 1
3 2 1
2 2
3 4 4
2 10
1 3 4 2 0
3
x x
x x x
x x x x x

• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp nâng lũy thừa
( )
( ) ( )
( )
4 2 2 4
4
2 6 2
2 4 8
2 4 2
1 1 1 1
1 1
1 0
2 1 0
1 1 2
0
1 1
1
1 1 1 0
5 1
2
+ − = ⇔ − = −
− ≤ ≤


− ≥
 
⇔ ⇔
 
− + =

x
x x x x x
x
19
Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 
−
 
± ±
 
 
 

Cách 2: Phương pháp đặt 1 ẩn phụ.
Điều kiện :
1 1− ≤ ≤x
Đặt t =
2
1− x
, t ≥ 0, x
2
= 1 – t
2
phương trình (7) trở thành:
( )
( )
( )

+ Với t = 1
2
1 1 0x x⇒ − = ⇔ =
+ Với t =
5 1
2
−

2 2
5 1 5 1 5 1
1
2 2 2
x x x
− − −
⇒ − = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 
−
 
± ±
 
 
 

Cách 3: Phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung
Điều kiện :
1 1− ≤ ≤x

⇔ + = ⇔ − =
 ÷
− + − +
 
=

=


⇔ ⇔

− − − =
− − − =








= = =




⇔ = ± ⇔ = ± ⇔ = ±




−
 
± ±
 
 
 

Cách 4: Phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác
Điều kiện :
1 1− ≤ ≤x
Đặt x = cost,
0;t
π
 
∈
 
thì phương trình (7) trở thành:
( ) ( )
( )
( )
4 2 4
2 2
2 2
2
3
1 cos 1 sin 1
1 cos 1 cos sin 0
sin 1 cos sin 0
sin sin 2 sin 1 0
sin 0

− + =


−

= ≥



+ Với sint = 0
⇒

0
1
t
x
t
π

=
⇒ = ±

=


+ Với sint = 1
⇒

0
2

 
 
 

Cách 5: Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Đặt a = x
2
;
2
1b x= −
(a ≥ 0; b ≥ 0)
2
1a b⇒ + =
(a)
Từ phương trình (7)
2
1a b⇒ + =
(b)
Trừ 2 vế của (a) cho (b) ta có:
( )
( ) ( )
2 2
0 1 0
1
b a a b b a a b
b a
b a
− + − = ⇔ − + − =

=

Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 
−
 
± ±
 
 
 

Ví dụ 8: Giải phương trình:
2
3
2 3 7 3 4 4 0− + − + =x x x
(8)
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2014 - 2015)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = 1
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương
pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc
phương pháp khác.
• Một số cách giải:
Cách 1:
( )
( )
( )
( ) ( )

2 1 0
5 3 5 4 4 9 4 4
17
1 2 0 (*)
5 3 5 4 4 9 4 4
− + − + =
⇔ − + + − + =
+ − +
⇔ − + =
+ + + + + +
− +
⇔ − + =
+ + + + + +
 
+
 
⇔ − + =
 
+ + + + + +
 
x x x
x x x
x x
x
x x x x
x x
x
x x x x
x
x

hỏi học sinh phải tư duy để thêm bớt tạo nhân tử chung (x-1)
2

và để ý giá trị của x suy ra được từ phương trình (8) thì bài
toán trở nên đơn giản!
Cách 2: Phương pháp đánh giá
( )
2
3
2
3
2 3 7 3 4 4 0 (8)
2 1 3 4 4 5 (*)
− + − + =
⇔ − = + − −
x x x
x x x
Từ phương trình (8)
2
3
3 4 4 2 3 7x x x⇒ + = − +
mà
2
2 3 7 0,x x x− + > ∀
3
4 4 0 1x x⇒ + > ⇒ > −
Ta chứng minh:
3
3 4 4 5+ − −x x
≤ 0,

1
3 4 4 5 0
x
x
x x

− =

⇔ ⇔ =


+ − − =


Vậy phương trình (8) có nghiệm duy nhất x = 1.
• Nhận xét: Khi sử dụng máy tính cầm tay dự đoán được phương
trình có nghiệm duy nhất thì ta có thể nghĩ đến phương pháp
đánh giá. Trong phương trình (8) có thể dễ dàng biến đổi vế
trái thành
( )
2
2 1x −
, từ đó định hướng chứng minh vế phải có
giá trị không dương.
Ví dụ 9: Giải phương trình:
5 3
15 11 28 1 3+ + = −x x x
(9)
23
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2006 - 2007)

+ + = −
⇔ + + − − − =
− −
⇔ + − + − + − =
− +
 
⇔ + − + − + + =
 ÷
− +
 
x x x
x x x
x
x x x x x
x
x x x x x
x

Ta có:
2
4 3 2 2 2
4 3 2
89 1
15 15 26 26 26 15 26 26 0,
2 4 3
3 1
15 15 26 26 26 0,
3
1 3 2
   

3
∀ ≤x

⇒
f(x) đồng biến trên
1
;
3
 
+∞
÷

 3 1
'(x) 0,
3
2 1 3
g x
x
−
= < ∀ <
−

⇒
g(x) nghịch biến trên
1
;
3

x− < ≤
thì
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
f x f
g x g

> − =

⇒

< − =


phương trình (9) vô nghiệm.
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất x = -1
Ví dụ 10: Giải phương trình:
2 2
5 10 60 24 5+ − = − −x x x x
(10)
( Trích đề học sinh giỏi Cần Thơ – Vòng 2 - năm 2008 - 2009)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình
( )
2
2 2
5 10 60 24 5x x x x+ − = − −
ta tìm được 2 nghiệm ( Nhập