www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
1MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PT-BPT VÔ TỶ Nguyễn Văn Cường Gv THPT Mỹ Đức A-Hà Nôi. [email protected] Đt 01272334598
( Gửi tặng các em học sinh 12A4-THPT Mỹ Đức A –HN năm 2014- 2015)
NỘI DUNG BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN THTT THÁNG 10 2014
Khi giải các bài toán về phương trình,bất phương trình vô tỷ trong các kỳ thi đại học hay học sinh
giỏi các tỉnh ,thành phố ,một trong các phương pháp hay được sử dụng là đưa phương trình về phương
trình,bất phương trình tích .Để giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp này ,tôi xin giới thiệu một số
kỹ năng thường dùng khi vận dụng lượng liên hợp vào giải phương trình ,bất phương trình vô tỷ .

Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hịên ngay trong phương trình ,bất phương trình.
Lưu ý:
a b
a b
a b
−
± =
∓
(a,b>0 a
≠
b);
3 3
3 3
2 2

x 3 0 x 3 0 x 3
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
− −
⇔ + − + + − − − ≥ ⇔ + ≥
+ + + − + −
 
− + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
 
+ + + − + −
 

So với điều kiện,bất phương trình có nghiệm
x 3
≥
.

Ví dụ 2: Giải phương trình :
(
)
9 4 1 3 2 3
+ − − = +
x x x
(HSG K12 Hà Nội -2010)
Lời giải: Đk
2 / 3
≥
x

3
9 3 9 4 1 3 2

+ +

2
x 3/ 2
2x 4 2 2 x x 4(*)

=

+ + − = +


Bình phương hai vế phương trình (*) và chuyển vế ta có
(
)
(
)
2
4 2x 4 2 x x 2x 8
+ − = + −
Do
2
x 2x 8 0 x 4;x 2
+ − ≥ ⇔ ≤ − ≥
Kết hợp điều kiện ta có x=2
Ví d
ụ 4: Giải phương trình sau :
2
3 2 1 2 3
x x x x
− − + = − −

xuất hiện nhân tử chung.
Lời giải : Đk
2 /3
x
≥
.Pt
( )( ) ( ) ( )
2 3 1
2 3 1 2 3 1 0
3 2 1 3 2 1
x
x x x x
x x x x
−
 
⇔ = − + ⇔ − − + =
 
− + + − + +
 

3/ 2
x
⇔ =
ho
ặ
c
( )
1
1
3 2 1

ỏ
túi ta tìm
đượ
c nghi
ệ
m x=5 ho
ặ
c
Ta tìm một số x (
1
6
3
x
− ≤ ≤
) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên
Dễ thấy x=5 thỏa (1).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0, ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử
chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho
hệ phương trình sau có nghiệm x=5.
3 1 0 4
6 0 1
x a a
b x b
 
+ − = =
 
⇒
 
− − = =
 
 

3 1 4 1 6
x x
x
x x
− = ⇔ =



+ + + =

+ + + −


Ta th
ấ
y ph
ươ
ng trình (*) vô nghi
ệ
m v
ớ
i
1
6
3
x
− ≤ ≤
.V
ậ
y x=5 là nghi

ư
sau:Thay x =1 vào
5 1
x
−
ta
đượ
c 2, vào
3
9
x
−
ta
đượ
c 2 vì th
ế
ta tách nh
ư
sau.
Lời giải :Đ
k

x 1/ 5
≥

Bi
ế
n
đổ
i ph

x
x
x x
=



= + +

− +
− + − +


Pt (*) vô nghi
ệ
m vì VP
≥
5,VT < 5/2

Ví dụ 7:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trinh
(
)
2

2
4(x 3) 4(x 3)
4( x 1 2) 2( 2x 3 3) x x 2x 12 (x 3) x 2x 4
x 1 2 2x 3 3
4 4
(x 3) x 1 3 0 x 3
x 1 2 2x 3 3
− −
⇔ + − + + − ≤ − − − ⇔ + ≤ − + +
+ + + +
 
⇔ − + − + − ≤ ⇔ ≥
 
+ + + +
 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm là
x 1;x 3
= − ≥

Ví du 8: Giải phương trình
(
)
(
)
(
)
2 2
x 2 x 4x 7 1 x x 3 1 0
+ + + + + + + =

x 4x 7 2 x 3 2 x 4x 7 2 x 3 2
x 5x 8 x 4x 7 x x 2 x 3
x 1 4 0 x 1
x 4x 7 2 x 3 2
 
+ + −
− + −
⇔ + + + + = ⇔ + + + =
 
 
+ + + + + + + + + +
 
 
+ + + + + − + + +
+  + +  = ⇔ = −
 
+ + + + +
 

Cách khác:

( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)

( ) ( )
(
)
2
2
x 2 x 2 3 1 ( x) ( x) 3 1
 
+ + + + = − − + +
 
 
,xét hàm số f(t) =
(
)
2
t t 3 1
+ +

Dạng 3: Tìm được nhiều hơn một nghiệm.
Ví dụ 9: Giải phương trinh
2 2
2 3 21 17 0
x x x x x
− + − − + − =

Phân tích :Dùng máy tính ta thấy phương trình có nghiệm x=1,x=2. suy ra phương trình sẽ có nhân
tử là
2
3 2
x x
− +

c

(
)
(
)
(
)
(
)
, 1;1 ; ; 3; 1
m n p q
= = −

t
ừ

đ
ó ta có l
ờ
i gi
ả
i sau
Lời giải: Đ
k
17 / 21
x
≥
.Pt


− − + + + + =

Phân tích: Phương trình có nghiệm x=-1,x=2 nên ta làm xuất hiện biểu thức
2
x x 2
− −
làm nhân tử chung
Lời giải :Đk
x 6 / 5
≥ −
Phương trình

(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2
2
2
2 x x 2 x 2 5x 6 x 3 7x 11 0
x x 2 x x 2
2 x x 2 0
x 2 5x 6 x 3 7x 11
x x 2 0 x 1,x 2
2(*)
1 1

x x 1 x 2 x 2x 2
+ − = + − +

Phân tích :Bài toán này ta không nhẩm được nghiệm của phương trình ngay.Tuy nhiên nếu dùng
máy tính bỏ túi ta dễ tìm được 2 nghiệm là x =3,828427125 ,x=-1,828427125 .ta thấy
các nghiệm không đẹp nhưng quan sát kỹ ta lại thấy hai nghiệm tổng là 2,tích là -7 từ đó
ta làm xuất hiện nhân tử chung là
2
x 2x 7
− −
trong phương trình
Lời giải :Phương trình tương đương :

( )
2 2 2 2
2
2
2
x 2x 7 3(x 2) (x 2) x 2x 2 0 x 2x 7 (x 2)(3 x 2x 2) 0
x 1 8
(x 1) 1 (x 1)
x 2x 7 0
x 1 8
3 x 2x 2
− − + + − + − + = ⇔ − − + + − − + =
 

= +
− + − −
 

x 2x 7 0
x 2
x 2x 2 x 1(VN)
x 2x 2 3

− − =
 
⇔ − − − = ⇔

 
 
+
− + = −

− + +
 


Tại sao thêm số -3 vào hai vế của phương trình ? ,dạng 4 sẽ giúp ta tìm ra điều đó
Ví dụ 12 Giải bất phương trình
2 2
2
x x 1 x 1
x 4 2
x 1
+ +
+ ≤
+
+


x 1
+
có giá trị
1
2
.
Vì vậy ta cần thêm vào hai biểu thức này lần lượt hai số 1,
1/ 2

Lời giải :Đk x>-4 Phương trình tương đương
( )
(
)
( )
( )
(
)
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
x x 1 x 3 1 1 x 3 x 3 x 3
1 0 0
x 4 2 2 2 2
x 1
2 x 1 x 1 2
x x 1

 
 
 
+
 
 

Ví dụ 13: Giải phương trinh
2
6 2 8
x x x
− − = +

Phân tích :Phương trình trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc đưa về dạng
2 2
a b
=
.
Tôi xin trình bày một cách khác là sử dụng lượng liên hợp
Dùng máy tính ta thấy phương trình có 1 nghiệm là
7 3 5
2
+
thay vào
46 6 5 1 3 5
8 (1)
4 2
x
+ +
+ = =

3 8 0
2
( 3 8)( 2 8) 0
2 8 0 5 41
2
x
x x
x x x x
x x
x

+
=


− − + =

⇔ − − + − + + = ⇔ ⇔


− + + = −


=



Ví dụ 14:
Gi
ả

4 2
x 5x 4 0 x 1,x 2
⇔ − + = ⇔ = =

Bình luận
:
Để
tách
đượ
c 7x = 2x +5x nh
ư
trên ta
đ
i tìm hai s
ố
a,b th
ỏ
a mãn a+b =7 và
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
GV: Nguy
ễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com
6

4 2 4 2
4-ax=0; 20 4 0
x x x x bx
− + + + − =
có nghiệm x=1 ta tìm được a=2,b=5
Dạng 4: Xây dựng biểu thức liên hợp trong phương trình ,bất phương trình
Ý tưởng xuất phát từ việc nhiều phương trình ,bất phương trình nghiệm quá xấu,không phù

2
2
6 2 1
6 1 2 3
2 3
2 1 2 1
2 3
x a x a
x x x x a
x x a a
x x
x x a
+ − + −
+ + + + −
+ + − = − ⇔ =
+ +
+ + +

Lúc đó ta cần xác định a để
(
)
2 2 2
2 3 6 2 1
x x a x a x a
+ + − = + − + −
.Ta tìm được a=2
Lời giải: D=R. x=-1/2 không thỏa .Pt
2 2 2 2
2 2
2

 
⇔ + − − = ⇔

 
+
+ + +
+ + + = +

 

1 2
3 15
3
x
x

= − ±

⇔
+

=



Bình luận:Tổng quát hơn ta có thể thêm vào hai vế của phương trình với đại lượng ax+b rồi
tìm a,b bằng phương pháp cân bằng hệ số như trên. Xét ví dụ sau
Ví du 16 Giải phương trình:
( )
(

x x x x
x x
x x
x x x x x x x x
x x x
− + − − + −
⇔ = − + ⇔ − + = − + − +
− −
 
− − − −
 
⇔ = ⇔ − − − =
− −
 
− + + + − + + +
 
⇔ − − ⇔ =

Ví du 17: Giải phương trình
(
)
(
)
2 3
x x 6 5x 1 x 3 2x 3
+ = − + + −

Lời giải: Đk
3
x 3

− + =



Nếu
3
x 3 2x 0
+ + ≠
(*) tương đương
3 2
3 2 3 2
3
3
x 4x 3 0
x 4x 3 x 4x 3
5x 1
x 3 2x 5x 1
x 3 2x

− + =
− + − +
⇔ = ⇔

−
+ + = −

+ +


Giải hai phương trình ta được nghiệm x=1,

2 2
2
3 3( 3) 7 8
3 4 1
1 1
3 3
7 8
7 8 7 8 7 8
1 3 1 3
3 3 3
1 3
8/ 7
8/ 7
1 1
7 8 0
1 3 2 5
3
1 ( 1) 1
1 3
2
x x x x
x x x
x x x x
x x
x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x


=

 



( phương trình
( )
2
1 3
x x x
− + + +
=0 vô nghiệm)
Ví du 19: Giải phương trình
(
)
2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
− − = − − −

Lời giải
:
Đ
k
1
x
≥
,Pt

4 2
1 1
1 4 3 1 2 4 5
2
2, 5
1
1
1 0( )
5 1 0
1 2
1 2
x x x x
x x
x x x x x x
x
x x
x
x x
x
x x x x x x
x
x x
x Vn
x x
x
x
− − − −
− = + ⇔ − − = ⇔ = ⇔
− − − − − −
− +



Bài tập Vận dụng:
1.Gpt :
2
2 1 3 1 0
x x x
− + − + =
2.Gpt :
(
)
3 2 2 2 6
x x x
+ − = + +

3.Gpt :
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +
4. Gpt
2
2 4 2 5 1
x x x x
− + − = − −

5 Gpt
(
)
(