BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phạm Hải Dương
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Ở LỚP 9, 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phạm Hải Dương
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Ở LỚP 9, 10
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Ái Quốc
Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
Phạm Hải Dương
DANH MỤC VIẾT TẮT
THCS: Trung học cơ sở
THPT: Trung học phổ thông
PTBH: Phương trình bậc hai một ẩn
PTBN: Phương trình bậc nhất một ẩn
GDTHPT: Giáo dục trung học phổ thông
HS: Học sinh
M1: Sách giáo khoa lớp 9 tập 2
G1: Sách giáo viên lớp 9 tập 2
E1: Sách bài tập lớp 9 tập 2
M2: Sách giáo khoa lớp 10 (cơ bản)
G1: Sách giáo viên lớp 10 (cơ bản)
E2: Sách bài tập lớp 10 (cơ bản)
M3: Sách giáo khoa lớp 10 (nâng cao)
G3: Sách giáo viên lớp 10 (nâng cao)
E3: Sách bài tập lớp 10 (nâng cao)
OM: Tổ chức toán học
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Bảng danh mục các chữ viết tắt
Mục lục
MỞ ĐẦU ..........................................................................................................1
Chương I .........................................................................................................5
I. Các khái niệm tham số và phương trình chứa tham số trong các giáo trình
2.5.1 Đối với bài toán 1: ...................................................................................69
2.5.2 Đối với bài toán 2: ...................................................................................73
2.6 Kết luận từ thực nghiệm: ...........................................................................78
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................79
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................82
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:
a. Lý do chọn đề tài:
Xuất phát từ tầm quan trọng của PTBH chứa tham số trong chương
trình Toán phổ thông:
PTBH là khái niệm cơ bản và quan trọng của chương trình Toán ở cấp THCS
và cấp THPT. Nó được xuất hiện đầu tiên vào năm lớp 8 nhưng tới năm lớp 9 thì
mới được chính thức định nghĩa và nghiên cứu, đóng vai trò công cụ trong suốt cấp
THPT. Đặc biệt là sự xuất hiện của PTBH chứa tham số vào cuối học kì 2 của lớp 9
sau khi định lý Vi-ét về các nghiệm của PTBH được dạy. Tới đầu năm lớp 10,
PTBH chứa tham số được giới thiệu chính thức về mặt định nghĩa và nghiên cứu ở
cấp độ cao và sâu hơn với việc biện luận số nghiệm của một phương trình tùy theo
giá trị một tham số và việc biện luận này đóng một vai trò công cụ trong các bài
toán liên quan đến phương trình bậc cao, khảo sát hàm số,…
Xuất phát từ thực tế giảng dạy:
Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn
trong quá trình nghiên cứu khái niệm PTBH chứa tham số, cụ thể là gặp khó khăn
trong việc lựa chọn phương pháp đại số hay phương pháp đồ thị để giải quyết các
bài toán liên quan đến biện luận số nghiệm của PTBH chứa tham số.
Ngoài ra, xuất phát từ mong muốn mở rộng hướng nghiên cứu trong luận án
của TS. Nguyễn Ái Quốc khi nghiên cứu về việc dạy và học khái niệm PTBH ở hai
nước Việt Nam và Pháp, mà trong đó sự khác biệt rất lớn là sự xuất hiện của khái
niệm PTBH chứa tham số trong chương trình Việt Nam.
•
Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong xã hội, thực tế
toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội, cho nên, cũng cần thiết xây dựng một mô
hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà
Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxéologie.
Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ],
trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công
nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ . Một praxéologie mà
các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học.
Bosch M. và Chevallard Y. (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế đối với
một đối tượng, với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một
tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những
kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải
làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ
thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với
đối tượng nói trên”
Do đó, việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức
O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I đối với O, từ đó hiểu được
quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I - giáo viên hay học sinh
chẳng hạn) duy trì đối với O.
• Chuyển hóa sư phạm:
Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho
HS toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích lũy được trong lịch sử. Hơn
nữa để tri thức của nhân loại trở nên có thể dạy được trong nhà trường phổ thông thì
cần phải lựa chọn, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho
cứu của chúng tôi như sau:
Phân tích mối quan hệ thể chế đối với phương trình bậc hai chứa tham
số.
Từ đó, đề xuất các hợp đồng didactic hay giả thuyết nghiên cứu.
Xây dựng bài toán thực nghiệm cho phép tìm câu trả lời cho các câu
hỏi đã đặt ra hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu.
Luận văn gồm 4 phần:
Phần mở đầu: Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu,
lợi ích của đề tài nghiên cứu, mục đích của đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu,
phương pháp và tổ chức nghiên cứu, cấu trúc luận văn.
Chương 1: Mở đầu là sự trình bày các khái niệm về tham số, phương trình
tham số. Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học toán ở cấp
THCS, THPT đối với các khái niệm PTBH chứa tham số.
Chương 2: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các
giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 1.
Phần kết luận: Tóm lược lại những kết quả đạt được trong chương 1, 2 và đề
xuất một số hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn này.
Chương I
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA
THAM SỐ
Chương này nhằm tìm câu trả lời các câu hỏi Q1, Q2, Q3 được đặt ra trong
phần mở đầu.
I.
Các khái niệm tham số và phương trình chứa tham số trong các
cho việc phân biệt khi nào tham số là biến số, khi nào nó đóng vai trò là hằng số.
Tham số trong phương trình chứa tham số được xem là hằng số tùy ý chứ
không phải là “biến” có các giá trị khác nhau và nó cung cấp các giá trị khác nhau
cho biến khác.
Tiếp sau đây là khái niệm về phương trình tham số:
1.2 Phương trình tham số
Để hiểu nghĩa của tham số thì ta phải gắn nó với một phương trình khi đó ta
có phương trình chứa tham số. Vậy phương trình chứa tham số được hiểu như thế
nào?
Theo Nguyễn Bá Kim thì phương trình chứa tham số được hiểu như sau:
“Một phương trình nhiều biến được xét dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng
hạn:
-
Tìm tất cả các bộ số là nghiệm của phương trình đó.
-
Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại
lượng, ví dụ như S = vt . Khi ấy vấn đề không phải ở chỗ tìm những bộ ba số thỏa
mãn phương trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng
đường, vận tốc và thời gian trong chuyển động đều.
-
Dùng để đặc trưng cho một dạng phương trình nhất định. Các
1
2
2
Như vậy trong các bài toán chứa tham số người ta phải xem xét đối tượng
tham số ở hai khía cạnh:
• Một là tham số được xem như là một giá trị số cố định.
• Hai là tham số có sự thay đổi giá trị của nó, vì sự thay đổi giá trị này
mà tùy từng điều kiện cụ thể của bài toán mà nảy sinh sự phân chia
các trường hợp khác nhau. Trong từng trường hợp đó thì tham số lại
được xem là một giá trị số cố định.
Vì vậy, biện luận chính là quá trình đi lập luận về số nghiệm của phương
trình tùy theo giá trị nhận được của tham số, nghĩa là ứng với trường hợp này của
tham số thì ta có tập nghiệm tương ứng, ứng với trường hợp khác thì ta cũng có tập
nghiệm tương ứng…
Trong phương trình thì khái niệm gắn liền với tham số nhiều nhất đó là ẩn
số, vậy giữa ẩn số và tham số có mối quan hệ như thế nào?
1.3 Mối quan hệ giữa tham số và ẩn số trong phương trình
Từ các cách hiểu về tham số và ẩn số chúng tôi đưa ra được các vấn đề sau:
-
Những điểm tương tự và khác nhau giữa tham số và ẩn số
Những điểm tương tự:
Cùng biểu thị bằng một chữ cái, ẩn số thường dùng chữ x còn tham số
-
thì dùng chữ m,t ,…
Có thể nhận được nhiều giá trị khác nhau và phải thỏa điều kiện cho
-
như sau:
“Phương trình ax = b được gọi là phương trình một ẩn chứa hai tham biến a
và b. Dưới góc độ của người thầy giáo, ta cần hiểu rằng đây là một phương trình có
3 biến, trong đó có sự phân biệt giữa hai loại biến: x là biến cần biểu thị qua các
biến còn lại, còn a, b là các biến chỉ dạng phương trình.[…] các tham biến được
xem như đại diện cho những số đã biết và ta phải biểu thị các nghiệm qua các tham
biến đó”.[12, tr 63 -64]
Như vậy trong phương trình chứa tham số thì các giá trị của tham số là độc
lập còn các giá trị của ẩn số thì lại phụ thuộc vào các giá trị của tham số.
II.
Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng PTBH chứa tham số:
2.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS và THPT:
2.1.1 Phân tích chương trình ở bậc THCS:
Theo chương trình GDTHPT thì vấn đề phương trình được học sinh tiếp thu
chính thức từ năm lớp 8 trở đi, nhưng PTBH thì được chính thức học vào năm lớp 9
với đầy đủ lý thuyết và kỹ năng để giải. PTBH được trình bày ở trong chương IV
của phần đại số lớp 9, trước đó là các chương:
Chương I: Căn bậc hai, căn bậc ba
Chương II: Hàm số bậc nhất
Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Các chương này có thể xem là bước đầu để học sinh có thể tiếp thu phần
PTBH.
Trong chương IV: “Hàm =
số y ax 2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn”,
thì phần hàm=
số y ax 2 (a ≠ 0) là bài đầu tiên trước khi bước vào PTBH.
trình và bất phương trình.
Về phương trình một ẩn được chia thành hai phần: một là đại cương về
phương trình, hai là phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai. Trong
phần một thì các yêu cầu được đặt ra là:
“Kiến thức:
Hiểu khái niệm phương trình, nghiệm của phương trình.
Hiểu định nghĩa hai phương trình tương đương và các phép biến đổi tương
đương phương trình.
Biết khái niệm phương trình hệ quả.
Kỹ năng:
Nhận biết một số cho trước là nghiệm của phương trình đã cho; nhận biết
được hai phương trình tương đương.
Nêu được điều kiện xác định của phương trình (không cần giải các điều
kiện)
Biết biến đổi tương đương phương trình.”
Như vậy đối với bài này yêu cầu tập trung vào phần nắm các khái niệm về
phương trình và các phép biến đổi tương đương. Chưa thấy xuất hiện vấn đề liên
quan tham số trong phương trình. Còn phần hai liên quan nhiều đến việc tính toán
giải phương trình được chương trình GDTHPT đặt ra yêu cầu như sau:
“Kiến thức:
0 ; phương trình
Hiểu cách giải và biện luận phương trình ax + b =
ax 2 + bx + c =
0.
Hiểu cách giải các phương trình quy về dạng bâc nhất, bậc hai: phương
trình có ẩn ở mẫu số, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa
căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích.
quan đến phương trình bậc hai như: điều kiện để phương trình có nghiệm, có hai
nghiệm trái dấu”
Như thế qua việc phân tích chương trình lớp 10 chúng tôi thấy đã có sự xuất
hiện PTBH chứa tham số nhưng với mật độ rất thấp và sự yêu cầu chỉ ở mức cơ
bản.
2.2 Phân tích SGK:
2.2.1 Phân tích SGK lớp 9 (M1)
Trong M1 thì PTBH được trình bày ở chương thứ hai trước đó là chương về
“hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn”, chương này “là bước tiếp theo của hệ thống
kiến thức về phương trình và hệ phương trình”[G1].
Trong chương thứ hai của M1 gồm tất cả là 8 bài như sau:
Bài 1: Hàm=
số y ax 2 (a ≠ 0)
Bài 2: Đồ thị của hàm=
số y ax 2 (a ≠ 0)
Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Bài 7: Phương trình qui về phương trình bậc hai
Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Như vậy hai bài đầu của chương này trình bày trường hợp đơn giản nhất của
hàm số bậc hai đó là hàm số dạng
=
y ax 2 (a ≠ 0) nhưng nó lại vô cùng quan trọng
vì nó giải quyết hết mọi vấn đề cơ bản như: đồ thị là một đường cong gọi là parabol,
nhận trục Oy làm trục đối xứng, có điểm thấp nhất nếu a > 0 (cao nhất nếu a < 0 )
gọi là đỉnh của parabol. Và đây cũng được xem là các kiến thức liên quan đến việc
giải phương trình bậc hai.
Các bài còn lại đều liên quan đến PTBH. Theo G1 thì những kiến thức về
đẳng thức đưa về dạng f 2 ( x) = m , m là hằng số. Trong phần bài tập thì có xuất hiện
một dạng bài tập về PTBH chứa tham số:
Bài tập 11/42 “Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 + bx + c =
0 và chỉ rõ
hệ số a, b, c :
d ) 2 x 2 + m 2 = 2(m − 1) x , m là một hằng số”.
Như vậy M1 không đưa ra một định nghĩa gì liên quan đến khái niệm PTBH
chứa tham số mà chỉ đưa kèm theo lời giải thích khi có sử dụng tham số.
Kế tiếp là hai bài liên tiếp trình bày về công thức nghiệm và công thức thu
gọn để giải PTBH, các bài tập cũng đều không có dạng chứa PTBH tham số mà chỉ
là các PTBH thuần số. Nhưng sau các bài này thì có một bài luyện tập để rèn luyện
cách giải PTBH đã học, ở cuối bài luyện tập này có xuất hiện một dạng toán về
PTBH chứa tham số, đó là bài tập 24 trang 50:
0
“Cho phương trình (ẩn x ) x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 =
a. Tính ∆ ' .
b. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có
nghiệm kép? Vô nghiệm”.
Cũng như bài tập trước thì trong bài tập này M1 cũng đưa ra lời giải thích
nhằm để học sinh phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số.
Bài 6 là về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó, đây là hệ thức quan trọng được
vận dụng nhiều khi gặp các PTBH. Cũng như các bài trước thì trong bài này đều
không xuất hiện PTBH chứa tham số cả trong phần lý thuyết lẫn phần bài tập. Sau
bài này cũng có một bài luyện tập mà trong đó có xuất hiện dạng PTBH chứa tham
số đó là bài tập 30 trang 54:
“Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính tổng và tích các
b. Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi–ét , hãy
tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m .”
Như vậy, qua việc phân tích trên chúng tôi nhận thấy rằng trong M1 không
xuất hiện định nghĩa khái niệm PTBH chứa tham số và không có quy ước nào để
phân biệt đâu là ẩn số đâu là tham số mà chỉ được phân biệt qua các lời giải thích
kèm theo bài tập. Từ đó, chúng tôi nhận thấy có một hợp đồng didactic được diễn ra
là:
“Trong các PTBH chứa tham số HS có trách nhiệm xem x là ẩn và các
chữ khác m, t , k ,... là các tham số”
Các OM trong M1:
Trong các kiểu nhiệm vụ sau chúng tôi xét các PTBH chứa tham số có dạng:
x 2 + bx + c =
0 (*), trong đó b, c có thể chứa m và b được cho dưới
dạng tường minh 2b .
Bởi vì qua việc phân tích M1 chúng tôi có đưa ra nhận xét là trong M1 chỉ
đưa ra các PTBH chứa tham số có dạng như trên.
T1 1 : Đưa các phương trình cho trước về dạng ax 2 + bx + c =
0 và chỉ rõ
các hệ số a, b, c.
τ 11 : Chuyển tất cả các số hạng về vế trái.
Thu gọn để đưa về dạng ax 2 + bx + c =
0
Chỉ ra các hệ số
θ11 : Các quy tắc biến đổi đại số; định nghĩa PTBH.
Θ1 1 : (, +, ×) là trường số thực, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.
Tính ∆ '= b '2 − ac
θ 21 : Các phép biến đổi đại số, định nghĩa biệt số delta.
Θ1 2 : (, +, ×) là trường số thực, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.
Ví dụ bài tập 24a/50: Cho phương trình (ẩn x) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 =
0.
Tính ∆ ' .
Giải (lời giải trong G1)
∆' =
(m − 1) 2 − m 2 =
m 2 − 2m + 1 − m 2 =−
1 2m
Nhận xét:
Đây cũng là một kiểu nhiệm vụ cơ bản, nó được vận dụng rất nhiều trong các
kiểu nhiệm vụ sau này.
Trong ví dụ này M1 cũng đưa phần chú thích để học sinh có thể xác định
được tham số và ẩn số là “ẩn x ”
Trong dạng của PTBH trên chúng tôi thấy rằng m chỉ xuất hiện trong hai hệ
số b, c không có trong hệ số a , đồng thời hệ số b cũng là bội của 2.
Trong phần trình bày lời giải không có trình bày phần xác định các hệ số của
PTBH và được xem như học sinh đã biết.
T1 3 : Với giá trị nào của m để phương trình x2 + bx + c = 0 (*) có nghiệm
thỏa điều kiện cho trước (ĐKCT):
τ 31 : Tiến hành τ 21
T1 3.2 : ĐKCT là phương trình có nghiệm kép.
1
: Tiến hành τ 21
τ 3.2
Phương trình có nghiệm kép khi ∆ ' =0
Giải phương trình trên với ẩn là m .
Kết luận.
1
: Các phép biến đổi đại số, công thức nghiệm.
θ3.2
Θ1 3.2 : (, +, ×) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.
Ví dụ câu 24b/50: Cho phương trình (ẩn x): x 2 − 2(m − 1) x + m 2 =
0 với giá trị
nào của m thì phương trình có nghiệm kép.
Giải (trong G1)
∆' =
(m − 1) 2 − m 2 =
m 2 − 2m + 1 − m 2 =−
1 2m
Phương trình có nghiệm kép khi m =
1
T1 3.4 : ĐKCT là phương trình có nghiệm.
1
: Tiến hành τ 21 .
τ 3.4
Phương trình có nghiệm khi ∆ ' ≥ 0 .
1
: Các phép biến đổi đại số, công thức nghiệm.
θ3.4
Θ1 3.4 : (, +×) là 1 trường, lý thuyết vành đa thức hệ số thực.
Ví dụ câu 62a/64: Cho phương trình 7 x 2 + 2(m − 1) x − m 2 =
0 với giá trị nào
của m thì phương trình có nghiệm.
Giải (trong G1)
∆ =' (m − 1) 2 + 7 m 2 > 0 với mọi giá trị của m . Do đó, phương trình có nghiệm
với mọi giá trị của m .
Nhận xét:
Trong lời giải trên đưa ra nhận xét về ∆ ' luôn lớn hơn không điều này có thể
gây khó khăn cho học sinh khi làm.
Các kiểu nhiệm vụ con của T1 3 đều sử dụng công thức nghiệm thu gọn để
tính, không thấy việc xác định các hệ số của phương trình. Như vậy, trong quá trình
tính delta của các kiểu nhiệm vụ T1 3 thì công việc xác định các hệ số của phương
trình không cần trình bày.
x1 x2 m
Nhận xét:
Trong yêu cầu của bài đã nêu lên các bước chính để giải bài toán, tức là yêu
cầu xác định m để phương trình có nghiệm rồi sau đó tính tổng và tích các nghiệm.
Đây là dạng bài vận dụng để ghi nhớ công thức của định lý Vi-ét, và cũng là
tiền để để có thể giải quyết các kiểu nhiệm vụ sau.
Copyright: Tài liệu đại học ©