CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

1 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

Định nghĩa
Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗. Giả sử
B = {e1, e2, . . . , en } là một cơ sở của E . Như vậy
n

∀x ∈ E , ∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x =

xi ei . Các số
i=1

xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và


3 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
Tọa độ [x]B là duy nhất.
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
Tọa độ [x]B là duy nhất.
[αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K .

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Tọa độ của véctơ

Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
Tọa độ [x]B là duy nhất.
[αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K .
[x + y ]B = [x]B + [y ]B , ∀x, y ∈ E .
1

2

3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 37


+
2x
+
x
=
6
 1
 x1 = 3
2
3
⇔ x1 + x2
= 5 ⇔
x =2

 2
3x2 + 2x3 = 4
x3 = −1
Vậy [x]B = (3, 2, −1)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

4 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Ví dụ

⇔ λ1 − λ2 + λ3 = 7 ⇔ λ2 = −4


λ3 = 1
λ1 + λ2
= −2
Vậy [x]B = (2, −4, 1)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

5 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Chuyển cơ sở

Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en } và
B = {e1, e2, . . . , en } là 2 cơ sở của E . Giả sử giữa
B và B có mối liên hệ
n

ei =

ski ek ,

i = 1, 2, . . . n.


s12
s22
...
sn2

...
...
...
...



s1n

s2n 
 được
... 
snn

gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B . Ký hiệu
S = Pass(B, B ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

7 / 37



Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau

n

x=

xi ei
i=1

= x1e1 + x2e2 + . . . + xn en
= x1(s11e1 + s21e2 + . . . + sn1en ) + x2(s12e1 + s22e2 +
. . . + sn2en ) + . . . + xn (s1n e1 + s2n e2 + . . . + snn en )
= (s11x1 + s12x2 + . . . + s1n xn )e1 + (s21x1 + s22x2 +
. . . + s2n xn )e2 + . . . + (sn1x1 + sn2x2 + . . . + snn xn )en
n

=

xk ek
k=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.


 x2   s21 s22 . . . s2n   x2
 ..  = 
 .
 .   . . . . . . . . . . . .   ..
xn
sn1 sn2 . . . snn
xn







⇒ [x]B = S[x]B , [x]B = S −1[x]B .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

10 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Ví dụ

Ví dụ


e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

12 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Ví dụ

e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3
2
2
2
⇔ s
11 (2x + x) + s21 (x + 3) + s31 .1 = x + 1
= 1
 2s11 + s21
⇔
s
= 0
 11
3s21 + s31 = 1
⇔ s11 = 0, s21 = 1, s31 = −2.

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

14 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Ví dụ

e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3
2
2
⇔ s
13 (2x + x) + s23 (x + 3) + s33 .1 = x + 3
= 0
 2s12 + s22
⇔
s
= 1
 12
3s22 + s32 = 3
⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = 9.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3
2
2
2
⇔λ
1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + 6
= 8
 2λ1 + λ2
⇔
λ
= −4
 1
3λ2 + λ3 = 6
⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42.
⇒ [p(x)]B = (−4, 16, −42)T .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

17 / 37


Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở

Ví dụ

2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B .


Hệ quả
Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không
gian véctơ con của E thì dim(F ) n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

18 / 37