MỤC LỤC
Nội dung
1. Đặt vấn đề
2. Giải quyết vấn đề
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề
2.2. Thực trạng của vấn đề
2.3.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Giải pháp chung
2.3.2. Một số ứng dụng cụ thể
2.3.2.1. Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ

Trang
2
2
2
3
4
4
5
5

kiến thức cơ bản và phương pháp một cách hệ thống.
2.3.2.2. Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số

8

sai lầm khi giải toán liên quan đến khảo sát
2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài toán thành các dạng theo

15


việc tiếp cận với bài toán tính tích phân đặc biệt bài tập sách giáo khoa nhiều
học sinh chỉ làm những bài đơn giản, những học sinh yếu còn không biết xác
định các phương pháp cho một bài toán đơn giản. Do vậy tôi chia dạng bài tập
và với mỗi dạng đưa ra các bài toán tổng quát từ dễ đến khó và phương pháp
giải.
Để đáp ứng được việc thay đổi chương trình sách giáo khoa cần thay đổi
phương pháp giảng dạy. Đặc biệt là đổi mới phương pháp giải bài tập hay
phương pháp giải toán
Ở trường phổ thông đối với học sinh có thể xem việc giải là hình thức
chủ yếu của của hoạt động toán học.
Trong dạy toán mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác
nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ để làm việc với nội
dung mới, để củng cố, kiểm tra.
Ở mỗi thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn
tàng những chức năng khác nhau, các chức năng này đều hướng tới chức năng
dạy học.

2


Tìm được một lời giải hay của một bài toán, tức là đã khai thác những đặc
điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh biết được sự quyến rũ của sự
sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
Khi thực hiện giải toán cần đảm bảo: lời giải không có sai lầm, lập luận
phải có căn cứ chính xác, lời giải phải đầy đủ ngoài ra cần lời giải ngắn gọn,
đơn giản nhất cách trình bày rõ ràng hợp lý.
Khi thực hiện giải toán việc quan trọng là phương pháp tìm tòi lời giải
trước hết:
Tìm hiểu nội dung bài toán tức là tìm hiểu về giả thiết, kết luận, hình vẽ
minh hoạ.

Trong quá trình tìm tòi cách giải, học sinh biết phân tích nhận dạng hoặc
tìm các kiến thức vận dụng. Tìm các mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán.
Có thể sử dụng hình vẽ để học sinh quan sát tìm ra hướng giải.
Khi tiếp cận với bài toán cần cho học sinh hiểu và nắm vững nội dung
của bài, gợi mở cho học sinh những bài toán quen thuộc có sử dụng phương
pháp giải. Có thể là đặc điểm nhận dạng. Có thể là nguyên nhân để có kết quả và
lời giải của bài toán.
Thực hiện lời giải, kiểm tra quá trình phương pháp vận dụng và các kiến
thức vận dụng.
Mở rộng bài toán nếu có thể, giúp học sinh phát triển tư duy. Ta đưa ra
các bài toán gốc sau đó giúp học sinh giải được một lớp các bài toán tưng tự với
các hàm khác nhau.
Đưa ra các sai lầm hay mắc phải để học sinh nhận biết và tránh mắc phải
sai lầm.
Dự trên nhận định trên tôi đưa ra các giải pháp sau:
Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản và
phương pháp một cách hệ thống.
Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi giải toán
lien quan đến khảo sát
Giải pháp 3: Chia tích phân thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách
giải đối với từng dạng.
2.3.2. Một số ứng dụng cụ thể

4


2.3.2.1. Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản
và phương pháp một cách hệ thống
Việc sứ dụng bản đồ tư duy trong qua trình dạy học giúp cho học sinh có
thể nhớ kiến thức của một chương, của toàn cấp, của một bài một cách dễ dàng

giới thiệu với học sing bằng sơ đồ sau
Hướng dẫn học bằng sơ đồ tư duy giúp học sinh:
Sáng tạo hơn
Ghi nhớ tốt hơn
Có cái nhìn tổng thể về kiến thức
*Sau khi dạy xong bài , để thực hiện ôn tập tôi thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xây dựng sơ đồ tóm tắt các dạng bài tập và phương pháp giải
Sau mỗi bài học lý thuyết tôi đã hướng dẫn học sinh về nhà học theo sơ kiến
thức và các dạng bài tập.
Làm như vậy học sinh có dịp ôn lại kiến thức đã học và tự sáng tạo sơ đồ
theo năng lực và năng khiếu bản thân
Đặc biệt là sau học song chương I tôi câu đã yêu cầu học sinh viết sơ đồ
các bài toán liên quan đến khảo sát và mỗi một học sinh đưa ra một ý tưởng
( Có bản đính kèm)
Nhưng bảng sơ đồ tư duy chỉ là Minh họa trong thự tế giảng dạy tôi yêu
cầu học sinh chia nhỏ kiến thức và đưa ra phương pháp cụ thể

Bài tính đơn điệu hàm số

6


Cho hàm số y = ax3 + bx2
+ cx + d (a0). Tìm m để
hàm số thỏa mãn một số
tính chất sau:

Dạng 1: Để hàm số
đồng biến trên R thì


Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f ( x) =

x −1
x +1

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y ' = ( x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D
Bảng biến thiên:
x
y'

- ¥

+¥

-1

+

+
+¥

y

1
- ¥



1


y

- Ơ

1

Suy ra: Hm s ng bin trờn tng khong (- Ơ ; - 1) v (- 1; + Ơ ) .
Nhiu khi cỏc em khụng chỳ ý n cỏc im ti hn ca hm s, vỡ vy
vic xột du ca o hm y' s b sai.
b. Sai lm khi chng minh bt ng thc
Khi s dng tớnh n iu ca hm s chng minh bt ng thc, hc
sinh thng mc phi sai lm l khụng nh chớnh xỏc nh ngha tớnh n iu
ca hm s vn dng.
Vớ d 2: (Bi tp 5, trang 10, sỏch giỏo khoa gii tớch 12 - ban c bn)
Chng minh rng: tanx > x, vi " x ẻ

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố 2ứ

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
f(0)
ỗ
ữ
ỗ
ữthỡ vỡ sao t x > 0
ố 2ứ

ổ pử

ờ
2x + 1 ỳ
ở
ỷ

ỉ Sai lm khi tớnh o hm ca hm s ti mt im.
a
a- 1
Cỏc em hay mc phi sai lm dng ny l ỏp dng cụng thc ( u ) ' = a .u .u ' ,

a ẻ Ă , nhng quờn rng nu nh a khụng nguyờn thỡ cụng thc ny ch ỳng

khi u nhn giỏ tr dng.
d. Sai lm khi gii cỏc bi toỏn liờn quan ti cc tr ca hm s
Khi s dng quy tc I xột tớnh n iu ca hm s cỏc em quờn rng
ú l iu kin ch khụng phi l iu kin cn.
10


Quy tắc:
Ÿ y ' > 0 , " x Î (a; b ) Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
Ÿ y ' < 0 , " x Î (a; b ) Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = x3 - mx2 + x- 1 đồng biến trên ¡ .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ .
ìï a > 0
ïî D ' < 0

0
Û ïí 2
Û ïïî m - 3 < 0

3< m
0

ìï f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực đại
Ÿ ïíï
ïî f ''(x 0 ) < 0

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) = mx 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm
số đạt cực đại tại x = 0 ?
11


Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
ïì f '(0) = 0

Û
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ïíï
ïî f ''(0) < 0

ïìï 4m.0 = 0
í
hệ vô
ïïî 12m.0 < 0

Vậy lời giải trên sai ở đâu ???
ìï f '( x0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số, còn điều
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn ïíï
ïî f ''( x0 ) < 0

ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) =
0. Lí do là điều kiện f ''(x 0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch
biến trong lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), khi đó:
ìïï f '(x) > f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 - h; x 0 )
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số.
í
ïïî f '(x) < f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 ; x 0 + h)

Lời giải đúng là:
Cách 1:
Ta có y ' = 4mx3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0, " x Î (- h;0) , với
ïìï 4mx3 > 0
Þ
h > 0. Tức là: íï
h


ỗ
ữ .
ố
cosx ứ

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
t t = cosx +

1
1
ị cos 2 x +
= t2 - 2.
cosx
cos 2 x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 - 4, " t ẻ Ă
Vy min f (x) =- 4 , khi t = - 1.
Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng. Giỏ tr nh
nht ca hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă .
Cú th thy ngay khi t = - 1 thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx +

1
= - 1 (!)
cosx

f ( x) m , x D
x 0 D : f ( x 0 ) = m

f ( x)
Nh rng, s m = min


Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t 2 ):
t

- Ơ

-2

-1

2
13

+Ơ


g '(t)

-

-

+

0

+

+¥


=- 2
cosx

Û cosx =- 1

Û x = p + k 2p , k Î ¢
g. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 7:
Cho hàm số y = f(x) = - x 3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4) y
Một số học sinh trình bày như sau:

A

h (x) = 4

4

2

f '(x) = - 3x + 6x.
Ta có điểm A(-1;4) Î đồ thị (C).
suy ra phương trình tiếp tuyến là:
x

y = f '(-1).(x+1)+4 Û y = - 9(x + 1) + 4
Û y = - 9x - 5 .

Phân tích:


3
x
+
6
x
î
ìï x3 - 3x - 2 = 0
éx = 2, k = 0
Û
Û ê
Hệ (I) ïíï
2
ê
ëx = - 1, k = - 9
ïî k = - 3x + 6x

14


Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4 và y = - 9x - 5.
2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài toán thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách
giải đối với từng dạng.
Bài toán 1 : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0). Tìm m để hàm
số thỏa mãn một số tính chất sau:
a > 0

Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ 0
 y'
a < 0

0

Dạng 7: Để hàm số đạt cực tiểu tại x = B ⇔ 

 f '( x0 ) = 0
 f ( x0 ) = h

Dạng 8: Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x = x0 ⇔ 

 f '( x0 ) = 0
 f ( x0 ) = y0

Dạng 9: Để hàm số đi qua điểm cực trị M( x0 ; y0 ) ⇔ 

Dạng 10: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d):
Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2, khi đó 2 điểm
cực trị là M1 (x1; y1 )& M 2 (x 2 ; y 2 ) .
1. Nếu (d) là trục Oy thì ycbt ⇔ x1 < 0 < x 2
2. Nếu (d) là đường thẳng x = k thì ycbt ⇔ x1 < k < x2
3.

Nếu

(d)


1. Nếu (d) là trục Oy thì ycbt ⇔ 

 0 < x1 < x 2
 x1 < x 2 < k

2. Nếu (d) là đường thẳng x = k thì ycbt ⇔ 

 k < x1 < x 2

3.

Nếu

(d)

là

đường

thẳng

ax

+

by

+


Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình y =
Ax + B.
- Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số có dạng y = Ax + B.
Dạng 13: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta
thực hiện các bước sau:
 b' 
 a' 

- TXĐ: D = ¡ \ − 
- Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 ⇔ g ( x) = Ax 2 + Bx + C = 0

(*)

b'
- Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ Pt(*) có hai nghiệm phân biệt khác −

a'


A ≠ 0

⇔ ∆ > 0
(**)

b'
 g (− ) ≠ 0
a'

- Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ:

a'


ax + bx + c
(
a
'
x
+
b
')

 y = a ' x + b '
Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình
y=

2ax + b
a'

- Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số có dạng y =

2ax + b
a'

Dạng 14: Để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
(d): y = mx + n, (m ≠ 0).
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (1)
- Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm cực trị

3. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1phía đối với trục
hoành:

4. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành:
.

5. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành:

6. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục

a ≠ 0

⇔ ∆ y ' > 0

 yCĐ . yCT > 0
a ≠ 0
∆ > 0
 y'
⇔
 yCĐ + yCT > 0
 y .y > 0
 CĐ CT

a ≠ 0
∆ > 0
 y'
⇔
 yCĐ + yCT > 0
 y .y < 0
 CĐ CT


9. hm s y = f(x) cú hai cc tr nm bờn trỏi trc tung:

a 0
> 0
y'

xC .xCT > 0
x + x < 0
CT
C

10. hm s y = f(x) cú cc tr tip xỳc vi trc honh:

yC . yCT = 0

Bai toan 2. Cho hm s y = f(x) cú th (C). PTTT ti M ( x0 ; y0 ) (C ) cú
dng:

y = f '( x0 )( x x0 ) + y0

*Dng 1: Tip tuyn thng gp:
PTTT ca (C) ti im cú honh x0:

y 0 = f(x 0 )
PTTT can tỡm laứ : y = f '(x 0 )(x x 0 ) + y 0
Ta i tỡm:
f
'(x
)



PTTT ca (C) bit tip tuyn song song vi ng thng y = ax + b:
Ta i tỡm:
x 0 baống caựch Gpt :f '(x 0 ) = a
PTTT can tỡm laứ : y = f '(x 0 )(x x 0 ) + y 0


y
=
f(x
)

0
0
19


PTTT ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng y = ax + b:
Ta i tỡm:

x 0 baống caựch Gpt : a.f '(x 0 ) = 1
PTTT can tỡm laứ : y = f '(x 0 )(x x 0 ) + y 0


y
=
f(x
)


(2)
f '(x) = k

- Thay (2) vo (1) ta c:

f(x) = f(x)(x - x0) + y0

(3)

S nghim ca phng trỡnh (3) l s tip tuyn k t A ti (C).

Vy t A k c n tip tuyn ti th (C) (3) cú n nghim phõn bit
im A(nu cú).
* Dng 4: Vit PTTT ca th hm s y = f(x) (C) i qua im A(x0; y0).
Phng phỏp:
20


- Gọi phương trình đường thẳng đi qua A(x0; y0) và có hệ số góc k có dạng (d): y
= k(x-x0) + y0
f(x) = k(x − x 0 ) + y 0 (1)
- Để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ 
có
(2)
f '(x) = k

nghiệm.
- Thay (2) vào (1) ta được:

f(x) = f’(x)(x - x0) + y0


Kém

SL %

SL %

SL %

SL %

SL

%

12A1

27

0

0

5

18,5 9

33,4 8

29,6 5


Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL %

SL %

SL %

SL %

SL %

12A1

27

5

18,5 6

22,2 14

điểm yếu, kém giảm đi rõ rệt so với năm học trước mà hai lớp có học lực ngang
nhau. Hy vọng các em sẽ có nhiều thành công hơn trong các kỳ thi sắp tới.
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc
biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu

21


bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó
là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
3. Kết luận
Từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy và áp dụng thử nghiệm thí hầu hết học
sinh làm một cách đơn giản.
Qua kết quả đó khi dạy học sinh những bài toán phức tạp mỗi giáo viên
cần hướng dẫn học từ những bài toán đơn giản gần gũi với bài đang xét và
hướng dẫn từ đó học sinh tìm ra cách giải cho bài toán phức tạp.
Để tạo khả năng tư duy của một nhóm học sinh tôi đưa ra các bài toán
tổng quát cho học hoạt động nhóm tìm ra hướng giải, và nêu các cách giải khác
nhau, so sánh tính ưu việt của các cách giải đó.
Đối với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi cho học sinh tự xây dựng
lời giải cho bài toán tổng quát sau đó đi giải một lớp các bài toán cụ thể nhằm
phát triển tư duy cho học sinh.
Đối với đối tượng học sinh yếu hướng dẫn học sinh và đưa học sinh lời
giải của bài toán tổng quát học sinh áp dụng giải lớp các bài toán cụ thể.
Tôi đưa ra một vài giải pháp mang tính chất khả thi và hiệu quả
Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản và
phương pháp một cách hệ thống.
Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi giải toán
lien quan đến khảo sát
Giải pháp 3: Chia tích phân thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách